JELMAAN LAPLACE ( KAJI SEMULA )DefinisiJelmaan Laplace adalah pengubahan satu rangkap daripada domain masa f(t)kepada domain frekuensi F(s).Balikan jelmaan Laplace atau disebut juga jelmaan songsang Laplace adalah pengubahan satu rangkap daripada domain frekuensi F(s) kepada domain masa f(t).Pengubahan Laplace DomainDomain masafrekuensi( Persamaan( Persamaankebezaan ) aljabar )Balikan LaplaceOperasi penyelesaiansatu persamaandi dalam domain masa f(t) melibatkan kalkulus ( selalunya rumit ) tetapi operasi penyelesaian satu persamaan di dalamdomain frekuensi F(s) melibatkan aljabar ( selalunya mudah ).Penyelesaian satu persamaan kebezaan yang mana melibatkan complementary function dan juga particular integral adalah rumit dan membosankan.Masalah tersebut boleh di atasi dan penyelesaian dapat dipercepatkan dengan menggunakan kaedah jelmaan Laplace.Kaedah ini juga dikatakan :i) Lebih sistematik.ii) Penyelesaian menggunakan aljabar mudah, maka dapat mengurangkan ralat.iii) Nilai-nilai permulaan dimasukan terus ke dalam persamaan.iv) Terdapat jadual yang dikenalisebagai Jadual Jelmaan Laplace bagi membantu menyelesaikan rangkap-rangkap yang lebih rumit.v) Memberikan kedua-dua penyelesaian iaitu keadaan fana dan keadaan mantap.vi) Penyelesaian bagi masukan yang berlainan ( langkah, meninggi, rupasain d.s.b. ) boleh dilakukan dengan mudah.FormulaJelmaan Laplace bagi satu rangkap f(t) didapatkan sebagai :L[ f(t) ]=dtste t f . ) ( = F(s)Sebaliknya jika :L-1 [ F(s) ]=f(t)Yang mana,s dinamakan frekuensi kompleks, iaitu :s= +jYang mana, dikenali sebagai frekuensi neper. dikenali sebagai frekuensi radian.Menggunakanformulatersebut, bolehdidapatkanjelmaanLaplaceuntuksebarang rangkap f(t).Berikut ditunjukkan beberapa contoh untuk rangkap-rangkap umumyang biasa digunakan di dalam pengujian sistem kawalan.CONTOH 1Satu rangkap unit langkah (t) ditunjukkan seperti pada rajah berikut :f(t)1 0 tRangkap tersebut boleh dituliskan sebagai :f(t) = 1Menggunakan formula,L[ f(t) ]= dt est. 1= dt est=1]1

sest=( ) 1 01s =s1Oleh itu,L[ (t) ] =s1CONTOH 2Satu rangkap eksponen iaitu f(t) = eatYang mana a adalah pemalarMenggunakan formula,L[ f(t) ]=0. dt e est at= 0) (dt et a s= 11]1

0) () (a st a se= 1]1

0) () (1t a sea s= ) 1 0 () (1 a s= ) (1a s Oleh itu,L[ eat ]=) (1a s Daripadacontoh-contohdi atas bolehdipanjangkanuntukmendapatkankeputusan jelmaan rangkap yang lain seperti :i) f(t) = 10 voltsii) f(t) = 0.5 amp.iii) f(t) = Aiv) f(t) = e2tvoltsv) f(t) = e-100tamps.CONTOH 3Satu rangkap meninggi ( tanjakan ) iaitu :f(t) = tMenggunakan formula,L[ f(t) ]= t. e-stdt Pengamilan kali ini terpaksa melibatkan kaedah kamilan berperingkat, iaitu : dxdvduv uv dxdtdvu . .Oleh itu,L[ t ]=dtsstesstet 1 .0

,_

11]1

,_

=( ) dtstes sstet 1 .10+11]1

,_

=+

,_

11]1

,_

010sstes sstet=

,_

11]1

,_

0210stessstet=[ ] [ ] 1 0210 0 s= 21sOleh itu,L[ t ]= 21sKuasa bagitboleh jadi 2 atau 3 atau juga yang lebih tinggi, maka bolih dinyatakan sebagai rangkap umum, iaitu :f(t) = tnMenggunakan formula bolih ditunjukkan bahawa :L[ tn ]=1 + nsn!Guna pakai keputusan di atas dan kemudian dapatkan jelmaan Laplace rangkap yang mempunyai nilai n = 5, maka :L[ t5 ]= 1 55+s!= 6120sJelmaan Laplace untuk rangkap rupasain Sin t atau Cos t boleh didapatkan dengan menggunakan formula dan akan melibatkan juga kaedah kamilan berperingkat.Penyelesaiannya agak membosankan dan sekiranya diketahui identiti matematik yang melibatkan kedua-dua rangkap rupasain tersebut, masalah itu akan dapat diatasi.CONTOH 4L[ f(t) ]= Sin tDiketahui,wt Sin j wt Cosjwte + OlehitusekiranyadidapatkanjelmaanLaplaceuntukrangkaptersebut makaboleh didapatkan jelmaan Laplace untuk rangkap Sin tdan juga Cos tdi dalam satu penyelesaian.Mengguna pakai keputusan sebelum ini, maka :L[ jwte] =jw s 1=jw sjw sjw s ++.1=2 2w sjw s++=2 2 2 2w sjww ss+++Oleh itu,L[ wt Sin ] = 2 2w sw+L[ wt Cos ] = 2 2w ss+LATIHAN 1Dapatkan jelmaan Laplace untuk rangkap Sinh t dan juga Cosh t.Menggunakan formula jelmaan Laplace dan juga identiti matematik, boleh ditunjukkan bahawa :L [ wt Sinh ] =2 2w swL [ wt Cosh ] =2 2w ssKebezaanJelmaan Laplace yang melibatkan rangkap kebezaan tertib pertama adalah :L [dt t f d ) (]=) ( ) (0t f Had s F st

=) ( ) ( 0 f s F s

Umumnya untuk terbitan yang lebih tinggi : L [ndtt fnd ) (] = 11]1

+ + + 1) (1) () ( ....2 10) (ndtt fnddtt dfs Fn ntns s Had s t f=) ( ...... .......... ) ( ) ( ) ( 0 0 0) 1 ( ) 1 ( 2 1 n n n nf f s f s s F sCONTOH 5Dapatkan jelmaan Laplace bagi persamaan kebezaan untuk sistem berikut :4. .. ... + + + x x x xDiberikan ketika t = 0 ,3 0.. . x dan x xPenyelesaian,+11]1

) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0. .2 3.x x s x s s X sss X x s X s x sx s X s4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0.2 +11]1

+11]1

Masukan nilai-nilai permulaan berkaitan yang diberi ke dalam persamaan,ss X s sX s X s s X s4) ( ) ( ) ( 3 ) (2 3 + + + 341 ) (2 3+ 1]1

+ + +ss s s s X) 1 (3 4) (2 3+ + ++s s s sss XKamilanJelmaan Laplace bagi kamilan pertama untuk rangkap f(t) adalah :L ss Fdtf) ()0( Jadual Jelmaan LaplaceSetelahdidapatkanjelmaanLaplaceuntukrangkap-rangkapumumyangdigunakan bagi menguji suatu sistem kawalan, maka keputusan tersebut bolih dituliskan di dalam satu jadual yang dinamakan Jadual Jelmaan Laplace.JadualiniakandigunakanbagitujuanmendapatkanjelmaanLaplacebagisebarang rangkap f(t) dan juga bagi tujuan mendapatkan balikan jelmaan Laplace bagi sebarang rangkap F(s).JADUAL JELMAAN LAPLACEf(t) F(s)Unit denyut (t)1Unit langkah (t)s1Pemalar AsAatea s +1nt1!+ nsnt Sin 2 2+ st Cos 2 2 + sst Sinh2 2 st Cosh2 2 ssndtt fnd ) () ( ..... .......... .......... .......... ............... ) () () ( ) (0) 1 (01 201 nn n nff s f s s F s dtf ) (0ss F ) (TeoremTerdapat banyak teorem digunakan di dalam kaedah jelmaan Laplace bagi membantu menyingkatkan kerja dan masa penyelesaian sesuatu permasalahan.Beberapa teoremyangpentingsahaja dibincangkan supaya dapat digunakanbagi menyelesaikan permasalahan di dalam sistem kawalan.1. Teorem Nilai Permulaan & Nilai AkhirNilai-nilai rangkap di dalam domain masa f(t) ketika t = 0 dan t = boleh didapatkan tanpa mendapatkan balikan jelmaan rangkap di dalam domain frekuensi F(s).Teorem nilai permulaan :) ( ) (0s F s Had t f Hads t Teorem nilai akhir :) ( ) (0s F s Had t f Hads t CONTOH 6Untuk sistemkawalan berikut, kirakan nilai akhir bagi sambutan sistemapabila dikenakan satu rangkap unit langkah.Penyelesaian :11) () (+s s Xs YMasukan,ss X1) ( Maka,) 1 (1) (+s ss YMenggunakan teorem nilai akhir,) 1 (1. ) (0 0+ s ss Had s Y s Hads s 1]1

+110sHads 1 Y(s)X(s)1 s+12. Teorem Anjakan PertamaIanya adalah satu peraturan yang berguna yang mana melibatkan keputusan-keputusan yang telah diketahui.Peraturannya adalah :Jika,L[ ] ) ( ) ( s F t f Maka,L) ( ) ( . a s F t fate + 1]1

Jika diketahui jelmaan bagi rangkap f(t), maka boleh dituliskan jelmaan bagie-at.f(t) tanpa sebarang kerja tambahan, iaitu dengan menuliskan ( s + a ) di mana terdapat s dalam jelmaan f(t).CONTOH 7i) L2) 4 (1.4+1]1

stteii) L 92) 2 (33 .2+ +1]1

st SinteTeorem ini juga boleh digunakan bagi mendapatkan balikan jelmaan Laplace.CONTOH 8L-1 )'+ + 9 421s sRangkaptersebuttidaklangsung menyerupai sebarang rangkap yang terdapat dalam jadual jelmaan Laplace, tetapi jika diolahkan, maka :=L-1 )'+ + 52) 2 (1s=L-1 ( ) )'+ +252) 2 (5.51s=t Sinte 5 .2.51Balikan Jelmaan LaplaceTerdapat banyakkaedahuntukmendapatkanbalikanjelmaanLaplacerangkapF(s), tetapi kaedah pengembangan separa selalu digunakan.Kaedah Pengembangan Separa1. Pengatasmestilahkurangkuasanyadaripembawah,jika tidak bahagikan dahulu.2. Faktorkan pembawah kepada faktor-faktor utama yang mana membentuk pengembangan separa.3. Satu faktor lelurus ( s + a ) membentuk pengembangan separa :) ( a sA+Yang mana A adalah pemalar yang perlu dikirakan nilainya.4. Faktor lelurus berulang membentuk pengembangan separa :2) ( ) ( a sBa sA+++Yang mana A & B adalah pemalar-pemalar yang perlu dikirakan nilainya.5. Faktor kuadratik ( s2 + ps + q ) membentuk pengembangan separa :)2( q ps sQ Ps+ ++Yang mana P & Q adalah pemalar-pemalar yang perlu dikirakan nilainya.6. Faktor kuadratik berulang membentuk pengembangan separa :2)2( )2( q ps sT Rsq ps sQ Ps+ ++++ ++YangmanaP, Q, R&Tadalahpemalar-pemalaryangperludikirakan nilainya.CONTOH 9Permasalahan pada CONTOH 6, dapatkan sambutan y(t) bagi sistem tersebut.Penyelesaian :) 1 (1) (+s ss YOleh itu :) 1 ( ) 1 (1++ + sBsAs sJika digunakan kaedah cover-up didapati :A=1danB=-1Maka :) 1 (1 1) (+ s ss YMerujuk jadual jelmaan Laplace, didapati :te t y 1 ) (Jika t , maka nilai akhir sambutan adalah :1 ) ( yCONTOH 10Dapatkan balikan jelmaan Laplace bagi rangkap :) 6 5 (4) (2+ ++s sss FPenyelesaian :) 3 ( ) 2 (4) (+ ++s sss FOleh itu :) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 (4++++ ++sBsAs ssGunakan kaedah cover-up atau pun :) 2 ( ) 3 ( 4 + + + + s B s A sB Bs A As s 2 3 4 + + + +Samakan pemalar,B A 2 3 4 + ..(i)Samakan pekali s,B A + 1.(ii)Selesaikan persamaan serentak (i) dan (ii) :A=2danB=-1Maka :) 3 (1) 2 (2) (++s ss FMerujuk jadual jelmaan Laplace, didapati :tete t f3 22 ) (Bagi rangkap yang mudah, kaedah cover-up boleh dugunakan, tetapi kaedah menyamakan pemalar dan pekali yang melibatkan penyelesaian satu persamaan serentak selalu digunakan.Penyelesaian Persamaan KebezaanCONTOH 11Selesaikan persaman kebezaan berikut :2 12.7.. + y y yDiberikan ketika t = 0 ,1 5. y dan yPenyelesaian :ss Y y s Y s y sy s Y s2) ( 12 ) 0 ( ) ( 7 ) 0 (.) 0 ( ) (2 + 11]1

11]1

ss Y s Y s s s Y s2) ( 12 7 ) ( 7 5 ) (2 + + ss s s s Y22 12 72) ( + + 1]1

2212 72) ( + + 1]1

sss s s Yss ss s s Y22212 72) ( + + 1]1

) 12 72(222) (+ +s s ss ss Y) 4 ( ) 3 (222 +s s ss sOleh itu :) 4 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 3 (222++ +sCsBsAs s ss sGunakan sebarang kaedah bagi mendapatkan nilai pemalar-pemalar A, B dan C.Dapat ditunjukkan bahawa :2535,61 C dan B AMaka :) 4 ( 25) 3 ( 3561) (+ s s ss YMerujuk jadual jelmaan Laplace, didapati :tete t y42533561) ( + LATIHAN 2Bagi permasalahan pada CONTOH 5 yang terdahulu, selesaikan persamaan kebezaan tersebut.Rangkap Unit Langkah HeavisideRangkap-rangkapyangtelahdibincangkansetakat ini adalahmelibatkanrangkap-rangkapyangberterusandenganmasa. Di dalampraktik, terdapat jugakeadaandi mana perubahan berlaku tiba-tiba ketika satu nilai tertentu masa t. Oleh itu adalah perlu didapatkan satu rangkap yang bolih diONkan dan diOFFkan pada nilai-nilai tertentu masa t. Kemudahan ini disediakan oleh rangkap unit langkah Heaviside.Perhatikan rangkap berikut :f(t) 1 0 c tRangkap ini dituliskan sebagai :) ( ) ( c t H t f Sebarangrangkapjikadigabungkandenganrangkapunit langkahHeaviside, maka rangkap tersebut dapat dianjakan sebanyak masa tertentu t dalam satah masa.Perhatikan rangkap berikut :y(t) a 0tKatakan rangkap y(t) di atas adalah :y(t) = f(t) Perhatikan pula rangkap berikut : y(t) a 0 ctRangkap di atas dituliskan sebagai :) ( ) ( ) ( t f c t H t y Ini melibatkan keadaan penghapusan.Perhatikan rangkap berikut : y(t) a 0 c tRangkap di atas dituliskan sebagai :) ( . ) ( ) ( c t f c t H t y Ini melibatkan keadaan penganjakan.Menggunakan formula, dapat ditunjukkan bahawa :L[ ]scsec t H ) (Juga bolih ditunjukkan bahawa :L[ ] ) ( . ) ( ) ( s Fcse c t f c t H Yang mana,F(s) = L [ ] ) (t fF(s) adalah jelmaan Laplace bagi rangkap f(t), iaitu rangkap asal yang tidak dianjakan.CONTOH 12i)L[ ] .23) 3 ( . ) 3 (sset t H ii)L[ ] .122) 2 ( . ) 2 (+ sset Sin t HBagi mendapatkan balikan jelmaan Laplace :Jika,F(s) = L [ ] ) (t fMaka,) ( . s Fcse = L [ ] ) ( ) ( c t f c t H Ini dikenali sebagai teorem anjakan kedua.Teorem anjakan pertamaadalah anjakan pada domain frekuensi s manakala teorem anjakan kedua adalah anjakan pada domain masa t.CONTOH 13Dapatkan balikan untuk rangkap :i)52) (sses FL-1

) 2 ( 5. ) 2 ( ) ( te t H s Fii)332) (sses FL-1

2) 3 ( . ) 3 ( ) ( t t H s FDengankeputusan-keputusandi atas, bolehdigunakanbagi mendapatkan jelmaan Laplace dan balikan jelmaan Laplace bagi rangkap-rangkap yang melibatkan rangkap unit langkah Heaviside.Ditujukkan bagaimana satu rangkap itu diONkan dan diOFFkan untuk masa-masa tertentu.CONTOH 14Janakan rangkap berikut dan kemudian dapatkan jelmaan Laplace bagi rangkap tersebut.Penyelesaian :Janakanrangkapbagi menghasilkanbahagianrangkapyangdikehendaki danbagi menghapuskan bahagian rangkap yang tidak dikehendaki.120f(t)tRangkap (i) menghasilkan rangkap (berlorek) :Janakan pula rangkap (ii) supaya bahagian rangkap yang tidak dikehendaki, dihapuskan.Dengan menjanakan dua rangkap di atas iaitu rangkap (i) dan rangkap (ii), menghasilkan rangkap yang dikehendaki ( berlorek ).Rangkap tersebut adalah :) 2 ( ) ( ) ( t H t H t fJelmaan Laplace rangkap tersebut adalah :1(ii)(i)-1120f(t)t2(i)10f(t)tssess F21) ( CONTOH 15Janakan rangkap berikut dan kemudian dapatkan jelmaan Laplace bagi rangkap tersebut.Penyelesaian :Rangkap (i) akan menghasilkan rangkap yang ditunjukkan seperti berikut :Janakan pula rangkap (ii) bagi menghapuskan sebahagian daripada rangkap yang tidak dikehendaki.110f(t)tt(i)211 0f(t)Denganrangkap(i)danrangkap(ii)sahaja, menghasilkanrangkapseperti berlorek pada rajah di atas.Rangkap (i) dan rangkap (ii) adalah garisan yang mempunyai kecerunan.Kemudianperludijanapularangkap(iii), bagi tujuansupayabahagianyangtidak diperlukan akan dapat dihapuskan :t(ii)(i)2-1110f(t)(iii)t(ii)(i)2-1110f(t)Dengan menjanakan ketiga-tiga rangkap tersebut, mengikut masa-masa tertentu, maka terhasillah rangkap yang dikehendaki seperti ditunjukkan berlorek pada rajah di atas.Rangkap f(t) yang dikehendaki adalah :) 1 ( ) 1 ( . ) 1 ( . ) ( ) ( t H t t H t t H t fJelmaan Laplace rangkap tersebut adalah :ssessess F12121) ( LATIHAN 3Janakan rangkap berikut dan kemudian dapatkan jelmaan Laplace bagi rangkap tersebut.TUTORIAL 11. Dapatkan jelmaan Laplace bagi rangkap :i)te t t f2.3) ( ii)t Sinte t f 2 .3) (110f(t)t23iii)3) . 1 ( ) (te t t f+ 2. Dapatkan rangkap f(t) bagi persamaan berikut :i)11]1

321) (ss Fii)11]1

+ 8 4214 3) (s sss Fiii)11]1

++ +) 42(423) (s ss ss F3. Selesaikan persamaan kebezaan berikut :i)te x x x23 2.2.. + Diberikan ketika t = 0 ,1.1 x dan xii)t Cos x x x 2 2. .. Diberikan ketika t = 0 ,1.1 x dan x4. Janakanrangkapberikut dankemudian dapatkanjelmaanLaplace bagi rangkap tersebut.i)01 2 3 421tf(t)ii)-100.1 0.2 0.3 0.421tf(t)RINGKASAN NOTATEORI KAWALAN ASASSEE 3112MODUL IJELMAAN LAPLACE( KAJI SEMULA )Disediakan oleh :SHAHARUM BIN SULAIMANDip. Elec. Power (UTM), B.Sc (CNAA), M.Sc (CIT)PensyarahJabatan Kejuruteraan Kawalan & InstrumentasiFakulti Kejuruteraan ElektrikUniversiti Teknologi MalaysiaBILIK SERBAGUNAMAKMAL INSTRUMENTASI, CIEDFAKULTI KEJURUTERAAN ELEKTRIKUNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA1 JULAI 2006