nota pengamiran

Kalkulus MTE3108

1 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013

IPGK TUN ABDUL RAZAK JABATAN MATEMATIK

PENGAMIRAN

Proses mencari fungsi y apabila dx

dy diberi disebut pengamiran.

Pengamiran ialah proses songsang bagi pembezaan

dx

dy= f (x) kamirkan f (x) utk dapatkan y f (x)dx

Pengamiran Tak Tentu.

Proses Pembezaan

selepas pembezaan selepas

pengamiran Kamirkan ∫ terhadap Nota:

Proses Pembezaan akan melibatkan - mendarab indeks x dengan fungsi (langkah 1) dan

kemudiannya mengurangkan indeks x sebanyak 1 (langkah 2)

Proses Pengamiran akan melibatkan - menambahkan indeks sebanyak 1 (langkah 3) dan

membahagi fungsi dengan indeks baru x (langkah 4)

f’(x) = 3 * 4x3-1

y = 4x3+c

12x2

4. Bahagi dengan

indeks baru

1. Darab dengan indeks x

2.Kurangkan indek sebanyak 1

3. Tambah indeks x sebanyak 1

Kalkulus MTE3108


Pengamiran Fungsi Algebra Asas

Rumus Kamiran xn

c1n

xdxx

1nn

dengan syarat n -1

Rumus Kamiran axn

c1n

axdxax

1nn

dengan syarat n -1

CONTOH :

1. c2xc2

4xdx 4x 2

2

4. c23ydy 23

2. c8

7xc

4

x

2

7dx

2

7x 443

5. c10zdz 10

3. c6

tdt t

65 6. dk5k = c

2

5k 2

Tambah indeks x sebanyak 1

Bahagi dengan indeks baru

Tambah pemalar c

Bahagi dengan indeks baru

Tambah pemalar c

Tambah indeks x sebanyak 1

Kalkulus MTE3108


Pengamiran Hasil Tambah dan Hasil Tolak

Fungsi lebih daripada banyak fungsi lain, kamirkan setiap fungsi satu demi satu.

a) Pengamiran hasil tambah q(x)dxp(x)dxq(x)]dx[p(x)

b) pengamiran hasil tolak q(x)dxp(x)dxq(x)]dx[p(x)

Contoh:

a. dx 3dx2x 3]dx[2x

= c3x3

2x3

b. dt3

2tdt 3tdt ]

3

2t[3t 55

= c23

2t

6

3t 26

= c3

t

2

t 26

c. dx 2]x[6xdx 1)2)(2x(3x 2

= dx6x 2 x dx 2

= c2x2

x

3

6x 23

= c2x2

x2x

23

d. dx ]x

2x

x

4x[dx

x

2x4x 5353

dx2xdx4x 42

c5

2x

3

4x 53

Tambah satu pemalar sahaja

sebab satu fungsi

Kembangkan untuk

mendapat

Bahagikan setiap sebutan pengangka

dengan x

Tambah satu pemalar sahaja

sebab merupakan satu fungsi

Kalkulus MTE3108


Pengamiran Melalui Penggantian

Jika fungsi merupakan polinomial , kamiran boleh dibuat melalui penggantian

Contoh 1: Cari, dx3)(2x 5

Penyelesaian : Biarkan u = 2x – 3.

Maka, 2dx

du

2

dudx

2

duudx 3)(2x 55

duu2

1 5

c15

u

2

1 15

c62

3)(2x 6

c12

3)(2x 6

Contoh 2 :

Cari kamiran bagi dx5)(3x 6

Biarkan u = 3x + 5

3dx

du

3

dudx

3

duudx5)(3x 66

c7

u

3

1 7

c21

5)(3x 7

Gantikan (2x-3)

dengan u

Gantikan dx dengan

Ganti semula

u = (2x-3)

Gantikan (3x+5) dengan u

Gantikan dx dengan

Gantikan semula u dengan 3x + 5

Kalkulus MTE3108


Rumus-Rumus Melalui Kaedah Penggantian

Rumus Kamiran (ax+ b) n

c1na

baxdxbax

1nn

, 1n

a. c22

1)(2xdx 1)(2x

2

b. c

33

4)(3xdx 4)(3x

32

c4

1)(2x 2

c9

4)(3x 3

c.

c20

7)(4t

c54

7)(4tdt7)(4t

5

54

d.

c3

1)(3k

c1)(3

1)(3kdk 1)(3k

1

12

Tambah indeks n sebanyak 1

Bahagi dengan indeks baru didarab dengan pekali x

Tambah pemalar c

Kalkulus MTE3108


PENGAMIRAN FUNGSI LOGARITHMA

Kamiran Fungsi Salingan x, x

1 ;

untuk semua nilai x

cxlndxx

1

cbaxlna

1dx

bax

1

dx

xf

xf'dx

bax

1n

Contoh

a)

cxln2

1

dxx

1

2

1dx

2x

1

b)

cx3ln

dxx

13dx

x

3

c)

cxln5

1

dxx

1

5

1dx

5x

1

d)

c32tln2

1dt

32t

1

e)

c2x-5ln2

1dx

2x-5

1

f)

c25xln5

1dx

25x

1

Semua nilai

mesti

+ve

Kalkulus MTE3108


g)

dx

3x

x2

katakan 3xxf 2

2xxf'

maka

c3xln2

1

dx3x

2x

2

1dx

3x

x

2

22

h)

dp

3p

p5

4

katakan 3pxf 5

45pxf'

maka

c3pln5

1

dp3p

5p

5

1dp

3p

p

5

5

4

5

4

Kamiran Fungsi Trigonometri

1. c xkosdx x sin

2. c xsindx x kos

3. c xtandx x sek2

4. cax kosa

dxax sin 1

5. cax sina

dxax kos 1

6. cax tana

dxax sek2 1

7. cb)(ax kosa

dx b)(ax sin 1

8. cb)(ax sina

dx b)(ax kos 1

9. cb)(ax tana

dx b)(ax sek2 1

Tulis semula dalam bentuk

Tulis semula dalam

bentuk

Kalkulus MTE3108


Contoh:

a)

c x sin 3

dx x kos3dx x kos 3

b)

c xtan2

1

dxx sek2

1dx

2

xsek 22

c)

c4x sin2

1

c4x sin4

12

dx4x kos2dx4x kos 2

d)

cx3

1sin 3

cx3

1sin

31

1

xdx3

1kosdx

3

xkos

e)

c1)(3k kos6

1

c1)(3k kos3

1

2

1

dk 1)(3k sin2

1dk 1)(3k sin

2

1

f)

c3x)-(1 tan3

5

c3x)-(1 tan3

15

dx 3x)-(1 sek5dx 3x)-(1 sek 5 22

Kalkulus MTE3108


g)

dx xkos

xsindx x tan

katakan xkosxf

xsinxf'

maka

c xkosln

dx xkos

xsin-dx

xkos

xsin

h) dx

xsin

xkosdx x kot

katakan xsinxf

xkosxf'

maka

c xsinln

dx xsin

xkosdx

xsin

xkos

Tulis semula

dalam bentuk

Tulis semula

dalam bentuk

Kalkulus MTE3108


Pengamiran Melalui Penggantian – Identiti Trigonometri

Jika soalan melibatkan fungsi trigonometri yang mempunyai kuasa maka penyelesaian

masalah mesti menggunakan identiti trigonometri.

Langkah-langkah penyelesaian masalah

o Tukar ke bentuk yang boleh dikamirkan dengan menggunakan identiti trigo. –

pilih identiti trigo yang sesuai

o salin semula soalan yg telah ditukar bentuk dan selesaikan.

a) dx3x kos2

cx2

16x sin

12

1

cx6x sin6

1

2

1

dx 1dx6x kos2

1

1)dx6x (kos2

1

Diketahui : 1A2kos2A kos 2

Gantikan : 3xA

1)6x (kos2

1

2

12(3x) kos3xkos

12(3x) kos3x2kos

13x2kos2(3x) kos

2

2

2

b)

dx3x tan2

cx3x tan3

1

dx 1dx3x sek

dx 1)3x(sek

2

2

Diketahui : Atan1 Asek 22

Gantikan : 3xA

1-3x sek3x tan

3x tan13x sek

22

22

c)

dx3

xsin2

cx3

2sin

4

3x

2

1

cx3

2sin

2

3x

2

1

cx3

2sin

32

1x

2

1

dxx 3

2 kosdx 1

2

1

x)dx3

2 kos(1

2

1

x)dx3

2 kos(1

2

1

Diketahui : Asin12A kos 22

2A) kos(12

1

2

2A kos1Asin

2A kos1Asin 2

2

2

Gantikan : 3

xA

x)3

2 kos(1

2

1

3

xsin 2

1

2

2

1

Kalkulus MTE3108


Kamiran Fungsi Eksponen

1. cedx e xx

2. cea

1dx e axax

3. cea

1dx e baxbax

Contoh:

a) cedx e xx

b)

ce4

1dx e 4x4x

c)

c2e

ce

21

1dx e

x2

1

x2

1x

2

1

d) ce

3

1dxe 53x53x

Kalkulus MTE3108


Soalan Latihan 1 1. Cari setiap kamiran berikut.

a. dxxx ]4[ 23

b. dtt

t ]1

3[3

3

c. dxx

]32

[2

2. Nilaikan yang berikut:

a. dkkk ]44[ 2

b. dzz 2)32(

c. dxx

x

2

542

3. Nilaikan kamiran yang berikut:

a. dz7

b. dtt32

c. dxx 4

10

d. dxxxx 96 2

e. dzx2

52

4. Tuliskan semula ungkapan berikut supaya ia boleh diselesaikan dengan menggunakan

rumus hasil tambah dan hasil tolak pengamiran. a. (3x - 2)2

b. 5

2 )1(

x

xx

c. 2

)1)(1(

k

kk

Kalkulus MTE3108


5. Selesaikan:

a. dss334

b. dzx 2)76(

Soalan Latihan 2 1. Dapatkan setiap kamiran berikut:

a. dxx 4)32(

b. dzz 3)63(

c. dtt 5)75(

d. dxx 3)84(6

e. dxx 3)27(

f. dtt 2)31(

g. dxx 3)54(

1

h. dxx

4)53(2

3

a. Nilaikan kamiran berikut:

a. dkkk 732 )1(

b. dzzzz )33()3( 233

c. dppp

p

3 3

2

3

1

Kalkulus MTE3108


PENGAMIRAN TENTU

CONTOH

a. 2

0

22

0 ]x

2

x [dx )1(x

4

0)(02)2

2(

2

b.

2

1

232

1

2

2

3x

3

2xdx 3x)(2x

6

1

2

3

3

26

3

16

2

13

3

12

2

23

3

22 2323

c.

2

1

32

2

1

2

3

x2x dx )x(4x

3

3

12

3

88

3

1)(1)(2

3

222

32

32

Hasil pengamiran Gantikan x = b

a disebut had bawah pengamiran dan b

had atas pengamiran

Gantikan x = a

Gantikan semua x dengan 2

Gantikan semua x dengan 0

Kalkulus MTE3108


SOALAN LATIHAN KAMIRAN TENTU

Cari nilai bagi kamiran tentu yang berikut:

a) 3

2

2 dx 5x)(x

b) dx x

5xx1

2 3

4

c) 4

2 dt 2t)3t)(1(1

d) 3

0 dx 3)

3

2x(

e) 3

1

2 dx 16x2x

f) Satu objek dicampakkan ke bawah daripada sebuah helikopter pada masa sifar (t=0).

Objek itu mempunyai halaju v=13 +10t meter per saat. Jika objek itu mencecah tanah

selepas 10 saat, apakah jarak helikopter daripada tanah pada masa t = 10 saat?

Kalkulus MTE3108


KAMIRAN TENTU BAGI FUNGSI SELANJAR DALAM SELANG TERTUTUP [a, b]

Contoh:

Diberi 6dx f(x) 5

3 , nilaikan kamiran berikut.

a)

5

3 dx 3f(x)

18

63

dx f(x)35

3

b)

6

91512

3x62

dx 3 dx f(x) 2

dx 3)f(x) 2 (

5

3

5

3

5

3

5

3

HAD KAMIRAN TENTU YANG DISALING TUKARKAN

CONTOH :

Diberi 12dx h(x) 5

1 , nilaikan kamiran berikut:

a)

dx h(x) 1

5

12

dx h(x) 5

1

b)

72

25)(196

x12)8(

dx2x dx h(x) 8

dx 2x)(8h(x)

1

52

1

5

5

1

1

5

Ingat!

dinilaikan

berasingan

Apabila had kamiran disaling tukarkan, kamiran itu bertukar tanda.

Tukar tanda

Kalkulus MTE3108


Kamiran Tentu Bagi Fungsi Hasil Tambah

CONTOH:

Diberi 5dx f(x) 6

2 , nilaikan kamiran berikut.

a)

6

2 dx 3f(x)

15

53

dx f(x)36

2

b)

23

815

4)(1215

2x5)(3

dx 2 dx f(x)3

dx 2)(3f(x)

6

2

6

2

6

2

6

2

CONTOH SOALAN

1. Jika 2

7dx f(x)

1

2 dan

2

3dx f(x)

2

1 , nilaikan yang berikut.

a.

2

1

1

2dx 2f(x) dx f(x)

2

16

2

13

2

32

2

7

dx f(x)22

7 2

1

b.

2

2dx f(x)

5

2

3

2

7

dx f(x)dx f(x) 2

1

1

2

Ingat!

dinilaikan berasingan

Kalkulus MTE3108


c.

1

2

1

2 dx f(x)2dx f(x)

2

16 atau

2

13

2

32

2

7

dx f(x)22

7 2

1

2. Nilaikan yang berikut jika 1dx f(x)3

2 dan 4dx g(x)

3

1

a. dx )1(3f(x)

3

2

4

13

2)(33

x1)3(

dx 13f(x)dx

3

2

3

2

3

2

b. )dx f(x)dx g(x)2(

3

2

3

1

10

28

1)2(2(4)

dx f(x)2dx g(x)23

2

3

1

Kalkulus MTE3108


PENGAMIRAN TENTU MENGGUNAKAN KAEDAH GANTIAN

a.

1

0

32 dx2xx

Andaikan

u = x2 + 2

dx

du = 2x

dx = 2x

du

Apabila x = 0 maka u = 0 + 2 = 2

Apabila x = 1 maka u = 1 + 2 = 3

Maka kamiran menjadi :

8

65

4

16

4

81

2

1

4

2

4

3

2

1

4

u

2

1

duu2

1

2x

duux

44

3

2

4

3

2

3

3

2

3

KESIMPULANNYA

1. Andaikan U

2. Bezakan U

3. dx jadikan tajuk

4. gantikan nilai x dalam u

5. kamirkan dan selesaikan

}

Kalkulus MTE3108


b. dt 3t

36

1

Andaikan

u = t + 3

dt

du= 1

du = dt

Apabila t = 1 maka u = 1 + 3 = 4

Apabila t = 6 maka u = 6 + 3 = 9


6

2)6(3

496

2u3

2

1

u3

du u3

dt u

3dt

3t

3

9

4

2

1

9

4

2

1

9

4

2

1

9

4

9

4

Kalkulus MTE3108


CONTOH SOALAN :

1.

1

0

3dx12x2

Andaikan

u = 2x + 1

dx

du = 2

dx = 2

du

Apabila x = 0 maka u = 2(0) + 1 = 1

Apabila x = 1 maka u = 2(1) + 1 = 4


20

4

1

4

81

4

1

4

3

4

u

duu2

duu2

44

3

1

4

3

1

3

3

1

3

Kalkulus MTE3108


2.

3

22

dz12z

4z2

Andaikan

u = 2z2 + 1

dz

du = 4z

dz = 4z

du

Apabila z = 0 maka u = 2(2) 2 + 1 = 9

Apabila z = 1 maka u = 2(3) 2 + 1 = 19


171

10

171

199-

9

1

19

1

u

1

1-

u

duu

duu

1

4z

du

u

4z

19

9

19

9

1-

19

9

2-

19

9

2

19

9

2

Kalkulus MTE3108


3.

2

1-

43 dt15tt

Andaikan

u = 5t4 + 1

dt

du = 20t3

dt = 320t

du

Apabila t = -1 maka u = 5(-1)4 + 1 = 6

Apabila t = 2 maka u = 5(2)4 + 1 = 81


8

1163

40

6525

2

6525

20

1

2

36

2

6561

20

1

2

6

2

81

20

1

2

u

20

1

du u20

1

20t

duut

22

81

6

2

81

6

81

6

3

3

Kalkulus MTE3108


4. dk 1k

k3

02

Andaikan

u = k2 + 1

dk

du = 2k

dk = 2k

du

Apabila k = 0 maka u = 1

Apabila k = 3 maka u = 4


1

1-2

14

u

2u2

1

2

1

u

2

1

du u2

1

2k

du

u

kdk

1k

k

4

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

1

3

02

4

Kalkulus MTE3108


SOALAN LATIHAN

1. Dengan menggunakan kaedah kamiran terhad, kamirkan setiap yang berikut:

a)

2

0dx 1x

b) 3

1

2 dx 3x2x

c) 0

2-

2 dx x2x d)

4

2

2 dx 3xx

e) 0

2-

2 dx x xkos f)

3

0

2 dx xtan2

2. Dengan menggunakan kaedah kamiran terhad, kamirkan setiap yang berikut:

a) 2

0

42 dx 3x2x b)

3

0

4dx x3x3

c)

0

2- 2dx

53x

6x2

d)

3

1 2dx

2-x

x

nota pengamiran

Documents