mte3114 - topik 4

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4

http://slidepdf.com/reader/full/mte3114-topik-4 1/7

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4


Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)

Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 22

Polinomial dan Persamaan Sifat (Characteristicequation and polynomial )

Diberi A =

Pembuktian Teorem =

310

130

552

Tukar kepada Matrik Augmented dan jalankanElementary Row Operation (ERO)

Maka, + = 0 =

= 1

Penyelesaian untuk = adalah semua

vektor bagi =

= 1

0

0

+ 01

1

.

Jadi, eigenvector, v bagi matrik A dan λ = 2

adalah infiniti, dan ianya adalag kombinasi linear

bagi vektor 1

0

0

dan 01

1

.

Persamaan

(

–

)

=

dipanggil

persamaan sifat (characteristic equation) bagi A

Manakala ( – ) dipanggil polinomial sifat

(characteristic polynomial ) bagi A

det ( – ) = = ( – 2) [( – 3) ( – 3 ) – 1]

=

(

–

2)(

–

2)(

–

4)

( – 2)( – 2)( – 4) = 0 = 2, 2,4

o Kita dapat mencari eigenvalues A denganmencari persamaan sifat (characteristicequation) seperti di bawah:

Maka det – = 0

Jadi, eigenvalues matrix A ialah = 2, 2,4.

o Mencari eigenvalues A ( polynomial

characteristic ) yang sepadan dengan = 2 Lihat contoh pada m/s 21 – 22 (kotak

merah)

o Mencari eigenvalues A ( polynomial

characteristic ) yang sepadan dengan = 4

Selesaikan sistem = 4, yang mana

ditulis sebagai ( − 4) = 0

Gunakan ERO

Eigenvector, v yang sepadan dengan = 4

adalah 5−1

1

Diberi = −2 3 10 1 1−3 4 1

Eigenvalues, = 0, −2, 2

Eigenvector ,

=

−1

−1

1 ,

11

1,

5

−3

9

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4




Kesimpulan:

Model Pemangsa-Mangsa (Predator-Prey)

Generasi Terpisah dan Berlanjutan (Tidak Berpisah)

Generasi terpisah

o Populasi mangsa akan meningkat ketikapemangsa berkurangan.

o Ketika bilangan pemangsa bertambah, bilanganmangsa akan berkurang kerana dimakan olehpemangsa.

o Jumlah mangsa yang dimakan oleh pemangsamungkin tetap dan mungkin juga berubah-ubah.

o Namun, jika populasi mangsa ditentukan olehpopulasi pemangsa, maka secarakeseluruhannya: Populasi pemangsa akan meningkat apabila

populasi mangsa naik. Populasi pemangsa akan berkurangan

apabila populasi mangsa turun.

Generasi berlanjutan (tidak terpisah)o Generasi pemangsa ( predator ) dan mangsa

( prey ) bergantung kepada kelahiran dankematian yang berlaku sepanjang tahun.

o Pada kebiasaannya, pemangsa generasi ini

adalah daripada kumpulan vertebra.o Model generasi berlanjut juga digambarkan oleh

Model Lotka (1925) dan Voltera (1926).

= − 1

8 × 6 −2 −4

3 −7 −4−1 1 0

= −1 1 5−1 1 −31 1 9

0 0 0

0 −2 0

0 0 2

− 1

8

× 6 −2 −4

3 −7 −4−1 1 0

= 0 2 −10

0 2 6

0 2 −18

− 1

8 6 −2 −4

3 −7 −4−1 1 0

= − 18 16 −24 −80 −8 −8

24 −32 −8

= −2 3 10 1 1−3 4 1

=

Diberi teorem = ,

Daripada Eigenvector , = −1−1

1

, 11

1

, 5−39

,

matrik B diberi sebagai −1 1 5−1 1 −31 1 9

Daripada Eigenvalues, = 0, −2, 2, membentuk

matrik diagonal D sebagai 0 0 0

0 −2 0

0 0 2

Semakan teori,

Terbukti bahawa =

o Jika λ adalah eigenvalue bagi matrix A, makaset semua eigenvectors yang sepadandengan λ ialah ruang vektor.

o Set-set eigenvectors yang sepadan dengan λ ialah null space bagi matrik ( λI – A) – setpenyelesaian bagi ( λI – A) x = 0 .

o Set semua eigenvectors yang sepadandengan eigenvalue λ ialah ruang vektor yangdisebut sebagai eigenspace bagi λ.

Bahagian A: Haiwan membiak danmenyebabkan populasi meningkat.

Bahagian B: Haiwan mengalami persainganhidup sama ada untuk mendapatkanmakanan, tempat tinggal atau pasangan danmenyebabkan populasi haiwan

berkurangan.

Faktor kematian secara semula jadi jugaboleh menyebabkan populasi haiwanberkurangan.

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4




o Andaian:

Permodel Lotka-Volterra

Permodelan antara populasi pemangsa danpopulasi mangsa pada sebuah lingkungan yangbergantung satu sama lain berdasarkan hubunganinteraksi saling antara pemangsa-mangsa.

Persamaan permodelan:

Persamaan Logistik

Perkembangan populasi berlaku pesat kerana:

Kadar pertumbuhan populasi:

Persamaan pertumbuhan semulajadi:

Apabila populasi mula berkembang, ia akanmelalui fasa pertumbuhan eksponen, namunapabila menghampiri kepada kapasiti bawaan (carrying capasity ), pertumbuhan akan menjadiperlahan dan ia mencapai tahap yang stabil.

Interaksi Antara Spesies

Interaksi pemangsa-mangsa (Contoh: Musang dan Arnab)

Andaian:

Bilangan arnab sekiranya tiada musang:

Spesis pemangsa adalah bergantungsepenuhnya hanya pada spesis mangsa

tersebut sahaja sebagai bekalan makanan

Spesies mangsa mempunyai bekalanmakanan tanpa had

Tiada ancaman lain kepada mangsa selain daripada pemangsa tersebut.

Di mana, - bilangan pemangsa

- bilangan mangsa

,

- perkembangan pemangsa /

mangsa berkadar dengan masa

, , , - parameter yang menunjukkaninteraksi antara spesies

o sumber makanan yang tidak putus.o ruang (habitat yang sempurna) untuk

berkembango tiada ancaman daripada pemangsa

=

Di mana,P ialah populasi sebagai fungsi masa t,r adalah pemalar perkadaran

() = Di mana adalah populasi pada masa t = 0

o Arnab hanya mati dengan dimakan olehmusang.

o Musang akan mati secara semula jadi.o Interaksi antara musang dan arnab boleh

digambarkan oleh sebuah persamaan.

= () + × () Di mana:

o ∶ bilangan arnab yang baru selepas

tempoh masa

o () : bilangan awal arnab pada tempoh

masa − 1

o : kadar kelahiran untuk arnab

Dalam keadaan ini bilangan arnab secaraberterusan akan meningkat.

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4




Bilangan musang jika tiada pemburu:

Apabila musang memakan arnab, persamaanpopulasi mempunyai satu lagi istilah untukmenggambarkan interaksi tersebut.

Persamaan berikut menunjukkan bilangan arnabyang semakin berkurangan akibat dimakan olehmusang:

Simulasi

Simulasi model pemangsa-mangsa pada grafbilangan pemangsa dan mangsa terhadap masa:

Simulasi model pemangsa-mangsa pada grafbilangan pemangsa terhadap bilangan mansa

o Titik keseimbangan (equilibium point )

Penggunaan Persamaan Pembezaan PermodelanDos Dadah yang Selamat dan Berkesan

Pharmakokinetik (PK) vs Pharmakodinamik (PD)

= () − × () Di mana:

o ∶ bilangan musang baru selepas tempohmasa

o

(

) : bilangan awal musang pada

tempoh masa − 1 o : kadar kematian musang

= {[(

(

)

+

×

(

))

− × ()] × ()}

Di mana:

o ∶ interaksi yang berterusan antara musang

dan arnab.

Diberi persamaan permodelan Lotka-Volterra

Titik keseimbangan = ,

Di mana, = (parameter graf sistem trajectori) dan , , = pemalar

Diberi

,

,

= 1

Maka titik keseimbangan

= ,

.

=(1,1.5)

Pharmakokinetik (PK) adalahtindakan dadah di dalam badan yangmempunyai hubungan dengantempoh masa, termasuk proses penyerapan,pengedaran dalam tisubadan, biotransformasi dan perkumuhan.o

Apakah yang berlaku kepada ubatitu selepas ia masuk ke dalam badan?o Apakah reaksi tubuh badan dengan

dadah yang berkadar dengan masa?

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4




Kepentingan Model

Kegunaan Model

Contoh Permodelan

Paracetamolo Kajian ini adalah untuk memastikan

dos paracetamol diperlukan bagi orang dewasamelalui rektum untuk mencapai kepekatanplasma paracetamol antara 10-20 µgml-1.

o Kepekatan toksik = 120 µg ml –1

o Dos Berapa banyak ubat yang anda perlukan? Contoh Paracetamol 500 mg

o Dos Regimen Berapa kerap ubat yang diperlukan? Masa – 4 jam sekali.

Kesan dos bagi phenylbutazone (PBZ) dan flunixin(FLU)

o Graf menunjukkan hubungan antara kesan dosbagi phenylbutazone (PBZ) dan flunixin (FLU)kepada kuda.

o PBZ dan FLU telah diuji pada sendi carpal bagipenyakit artritis.

o Untuk Flunixin (FLU)

o Bagi Phenylbutazone (PBZ)

Model PK dan PD membantu dalam memilih dosyang bersesuaian untuk disahkan dalam ujianklinikal

Model ini dapat melihat keberkesanan terhadapdos dadah yang dipilih.

•Percubaan reka bentuk klinikal

•Ramalan tindak balas daripada pesakit

•Ramalan kejayaan berdasarkan ujianklinikal

Hospital

•Percubaan reka bentuk klinikal

•Sokongan dalam menjelaskan mekanismadadah

Universiti

•Penggunaan dadah yang baru (ubat)•Menentukan keputusan dalampenyelidikkan

Syarikat Farmaseutikal

•Tinjauan untuk mendapat kelulusan dalampenggunaan dadah

•Pelabelan dan regimen dos

Food and Drug Administration

Pharmakodinamik (PD)menerangkan hubungan antarakepekatan dadah sistemik dan kesannya dengan masadan model statistik.o Apakah yang dadah lakukan kepada

badan?

Pada dos 0.5 mg / kg = kesan terapeutikyang minimum terhasil

Dos sebanyak 1 mg / kg = kesan yanghampir maksimum (dos yang disyorkan).

Jika dos 2 mg / kg diberikan, ia tidakmeningkatkan kesan intensiti, tetapi

meningkatkan tempoh masa iaitu kira-kira24 jam.

Apabila < 1.0 mg,kg dos diberikan, tiadakesan akan berlaku.

Jika 1.5mg/kg dos diberikan kesan yangmaksimum akan terhasil tetapi dalam jangka masa yang pendek sahaja.

Jika 4m/kg dos diberikan, kesan yang

maksimum akan terhasil iaitu lebihdaripada 12jam.

8/12/2019 MTE3114 - Topik 4




Permodelan Penyebaran Wabak dan Penyakit

Model Asas Jangkitan AIDS / HIV

Matematik telah digunakan untuk memahami danmeramalkan penyebaran penyakit.

Mengkaji semula model penyakit yang palingmudah dan mempertimbangkan beberapaperkembangan matematik yang telah meningkatkanpemahaman kita dan keupayaan ramalan terhadap

jangkitan penyakit. Dipelopori oleh Kermack dan McKendrick (1926)

Susceptible – Infected – Recovered (SIR)

Susceptible – Infected – Aids (SIA)o Bagi penyakit AID / HIV secara khusus kerana

tiada penawar penyakit yang ditemui lagisetakat hari ini.

o Justifikasi:

Susceptible – Exposed – Infected – Aids (SEIA)

o Lebih tepat untuk permodelan penularan HIV.

o S – individu yang terdedah kepada

jangkitan penyakit

o I – individu yang telah dijangkiti penyakit

o R – individu yang kembali pulih dari

penyakit setelah menjalani rawatan

S(t) - kelas individu yang mudahterpengaruh, orang-orang yang aktifsecara seksual dan tidakmempunyai pendedahan kepada virus.

I(t) - kelas individu yang dijangkiti, orang-orang yang aktif secara seksual, yangdijangkiti dan berjangkit bagi individuyang mudah terpengaruh.

A(t) - kelas pesakit AIDS kritikal, merekamenunjukkan tanda-tanda yang berkaitandengan AIDS dan kita menganggap

bahawa mereka tidak melibatkanbanyak dalam aktiviti seksual akibatdaripada penyakit.

() = () + () + ()

() = () + ()

Bilangan individu yang mudahterpengaruh boleh meningkat disebabkan oleh individu yang baru direkrut

Ia boleh berkurangan akibat jangkitanbaru sebagai hasil interaksi denganindividu yang dijangkiti di dalamkelas

(

) dan juga disebabkan

oleh kematian semula jadi.

Individu yang dijangkiti (kelas ())boleh maju ke kelas () atau mungkinmati kerana kematian semula jadi.

Selepas perkembangan ke kelas (), individu yang dikeluarkan daripadakelas ini disebabkan oleh kematian semulajadi atau kematian berpuncadaripada penyakit.

Jumlah individual seksual yang matangbagi populasi pada masa yangdiberikan adalah jumlah semua individudalam semua kelas yang diberikan oleh,

Manakala, kelas yang aktif dalam aktivitiseksual yang diberikan oleh

Model SEIA yang memperhatikan adanyatempoh masa dan pendekatancompartmental (pembahagian kelas) maka populasi dibahagi ke dalam empatkelas iaitu susceptible, exposed,infected dan AIDS.

Penyebaran virus dari kelas susceptible,() perlu melepasi tempoh masa tertentuberdasarkan situasi sehingga memasukikelas exposed,

(

).

Setelah tempoh masa tertentu, individudalam kelas ini memasuki kelas infected,().

Jika: tahap imunisasi tubuh tinggi, HIV

akan tetap pada kelas infected, () tahap imunisasi tubuh rendah maka

akan memasuki kelas AIDS, ()

A

mte3114 - topik 4

Documents