Draf Modul Matematik PPG : MTE3114 Aplikasi

Pengenalan

Modul Matematik ini merupakan usaha sama pensyarah-pensyarah Matematik IPGKPP dan IPGKTB.Agihan topik-topik dalam modul ini berdasarkan ProForma MTE 3114 Aplikasi Matematik.

Modul ini sesuai diguna sebagai bahan online learning tambahan yang boleh membantu pelajar guru PISMP dan peserta kursus PPG memahami kandungan kursus ini dengan mudah. Selain daripada nota ringkas dan contoh-contoh terkerja, modul ini juga mengandungi latihan, aktiviti berkumpulan dan bahan bacaan yang bertujuan mempermudahkan pembelajaran akses kendiri pelajar.

Panel Penulis Modul IPGK Pulau Pinang

1. En. Ong Lock Tong (Ketua Jabatan)2. En. Tan Kah Kheng3. Dr. Teong Mee Mee

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Isi Kandungan Modul

Topik 1: Matematik dalam Kehidupan Seharian (IPGK Tuanku Bainun) Peranan matematik teknologi moden Matematik sebagai kegiatan budaya yang berterusan Asas bagi matematik kontemporari

Topik 2: Klasik Kod dan Cipher (IPGK Pulau Pinang) Beberapa Definisi Gantian Transposisi

Topik 3: Klasik Kod dan Cipher (IPGK Pulau Pinang) Kapal Angkasa Mariner6 Kod Pembetulan Kesilapan Kod Ulangan Kod Semakan Pariti Kod Linear Kod Hamming Algoritma RSA

4 Penggunaan Model Matematik dalam Biologi dan Ekologi (IPGKPP – IPGKTB) Model Mangsa - pemangsa: generasi terpisah dan tak terpisah, persamaan logistik,

interaksi antara spesis, simulasi. Penggunaan persamaan pembezaan yang mudah dalam model dos dadah yang

selamat dan berkesan. Model penularan penyakit seperti AIDS, selsema burung dan lain-lain.

5 Beberapa Idea Utama Matematik Berkaitan dengan Kalkulus (IPGK Tuanku Bainun) Penghampiran Archimedes bagi π Penentuan luas bulatan Archimedes Paradoks Zeno Penyiasatan lengkung kubik Newton

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Topik 1: Matematik dalam Kehidupan Seharian (IPGK Tuanku Bainun) Peranan matematik teknologi moden Matematik sebagai kegiatan budaya yang berterusan Asas bagi matematik kontemporari

2: Kod Klasik dan Cipher

2.1 Beberapa Definisi

Kod

Satu peraturan /petua untuk menukar sebarang maklumat ke dalam bentuk / perwakilan yang berlainan.

Pengkodan

Proses di mana maklumat daripada sumber ditukar kepada simbol untuk dikomunikasi.

Pengdekodan

Proses songsang pengkodan di mana simbol kod ditukar balik kepada bentuk / maklumat yang mudah difahami oleh si penerima.

Cipher

Algoritma atau prosedur yang ditetapkan untuk menjalankan proses enkripsi ( mesej dienkod agar maklumat tidak dapat difahami oleh pihak lain kecuali pihak yang dibenarkan)[ atau dekripsi (proses mengdekod mesej yang diterima kepada mesej yang asal dan mudah difahami)

Perkembangan kod klasik dan cipher menggunakan teknik-teknik yang berikut o Transposisi o Gantian

2.2 Transposisi

Kaedah enkripsi mesej yang melibatkan perubahan penyusunan semula huruf / kumpulan huruf mengikut peraturan atau sistem tertentu

Cipher Pagar Kereta Api

Huruf-huruf dalam mesej ditulis semula dalam dua atau lebih baris. Kemudiannya, dicantumkan semula untuk membentuk mesej yang telah dienkodkan.

Contoh:

Mesej “ KAMI TERTIPU OLEH MEREKA LAGI ” bila ditulis dalam LIMA baris menjadi

K E U M A A R O E L M T L R A I I E E G T P H K Idan bila digabungkan semula menjadi mesej “ KEUMAAROELMTLRAIIEEGTPHKI “

Si penerima akan menyusun mesej yang diterima dalam lima baris dan membaca mengikut arah yang dipersetujui dengan si pengirim – dalam contoh ini dari atas ke bawah untuk mengdekod mesej kepada yang asal.

Cipher Lintasan

Huruf-huruf dalam mesej ditulis semula mengikut satu lintasan yang tertentu, misalnya mengikut lintasan spiral dari luar ke dalam yang tersusun dalam satu segiempat sama. Bilangan petak dalam segiempat sama yang diguna merupakan rahsia antara si pengirim dan si penerima.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Contoh:Mesej “ KAMI TERTIPU OLEH MEREKA LAGI “ selepas ditulis mengikut lintasan spiral akan menjadi mesej “ KAMITMEREEHGIKREALATLOUPI “

Untuk mengdekod mesej, si penerima menggunakan segiempat sama yang serupa dengan si pengirim dan membaca ikut lintasan yang dipersetujui.

2.3 Gantian

Kaedah enkripsi mesej yang melibatkan penggantian semula huruf/kumpulan huruf mengikut peraturan atau sistem tertentu

Cipher Gantian Mudah

Semua huruf dalam abjad dipadankan dengan huruf secara padanan satu dengan satu mengikut peraturan atau sistem yang dipersetujui dan dirahsiakan.

Contoh:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZM E L A Y U B C D F G H I J K N O P Q R S T V W X Z

Merujuk kepada sistem di atas mesej “ SATU MALAYSIA “ akan ditulis sebagai “QMRSIMHMXQDM”Kedua-dua pengirim dan penerima akan menggunakan sistem yang sama.

Cipher Caesar

Setiap huruf dalam abjad digantikan oleh huruf yang berkedudukan tertentu daripadanya dalam susunan abjad.

Contoh:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZY Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

Dalam contoh ini, setiap huruf digantikan dengan huruf yang berada dua tempat selepasnya.

Oleh yang demikian, mesej “ KECEMERLANGAN “ akan ditulis sebagai “ICACKCPJYLEYL”

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Cipher Pigpen

Sistem ini menggunakan simbol-simbol yang diguna oleh kumpulan Freemason bagi mewakili huruf-huruf tertentu. Cipher ini juga dikenali sebagai cipher Masonic atau Rosicrucian.

Contoh:

Cipher Atbash

Cipher ini merupakan cipher gantian yang mudah yang hanya mengandungi dua baris abjad yang yang disusun secara bertentangan arah.

Contoh :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZZ Y X W V U T S R Q P O N M L K J I H G F E D C B A

Mesej “ BAHASA JIWA BANGSA “ akan ditulis sebagai “YZSZHZ QRDZ YZMTHZ “

Cipher Kama Sutra

Cipher ini juga dikenali sebagai cipher Vatsyayana yang pernah dihuraikan dalam buku Kama Sutra yang ditulis dalam abad ke-4 AD. Setiap huruf dipadankan dengan huruf lain secara rawak dan digunakan untuk menulis mesej rahsia. Padanan satu dengan satu antara pasangan huruf-huruf hanya diketahui oleh pengirim dan penerima.

Contoh:

A = K B = C C = Z D = I E = R F = S G = M H = P I = L J = H K = V L = E M =YN = G O = J P = F Q =N R = W S = B T = O U = D V = X W= U X = A Y = T Z = Q

Mesej “ TERPERANGKAP “ ditulis sebagai “ ORWFRWKGMVKF “

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

3: Kod dan Kriptografi

3.1 Kapal Angkasa Mariner6 1969

Pada tahun1965, Amerika Syarikat telah melancarkan kapal angkasa Mariner4 untuk mengambil gambar Marikh. Transmisi setiap gambar mengambil masa 8 jam. Misi Mariner selanjut, seperti Mariner6, telah menghasilkan gambar yang lebih jelas sebab menggunakan kod pembetulan ralat.

.

Kaedah transmisi gambar oleh Mariner6 dari Marikh ke Bumi yang digunakan pada tahun 1969 melibatkan penggunaan grid halus yang diletakkan ke atas gambar yang dikirim. Setiap “petak” atau piksel, diberi “darjah kehitaman” antara julat 0 hingga 63.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Setiap nombor ditulis sebagai urutan enam 0 dan 1. Contoh cara penulisan dalam sistem binari (nombor asas 2) adalah seperti di bawah:

0 000000

1 000001

2 000010

3 000011

4 000100

5 000101

6 000110

7 000111

8 001000

9 001001

…

43 101011

…

63 111111

Jadi, darjah kehitaman = 43 → 101011.

Dalam kes Mariner6, setiap gambar dipecahkan kepada 700 x 832 petak, di mana setiap petak dikodkan oleh 6 digit binari, setiap gambar akan mengandungi satu urutan 6 x 700 x 832 = 3 494 400 digit binari.

Walau bagaimana pun, darjah kehitaman setiap petak mengandungi enam digit binari manakala mesej yang dikirim sebenarnya menggunakan lebih banyak digit bagi setiap darjah kehitaman – sebenarnya 32 digit binari digunakan bagi setiap petak, oleh yang demikian gambar akan mengandungi urutan 32 x 700 x 832 = 18 636

800 digit binari.

Proses Transmisi Mesej

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Sungguh pun, saluran transmisi mesej yang ditunjukkan di atas mudah. Kadang-kadang mesej yang dikirim akan diganggu oleh ralat tertentu. Sama ada saluran transmisi yang digunakan merupakan pautan satelit, tanpa wayar atau wayar telefon, biasanya saluran tersebut mungkin akan menambah unsur gangguan (noise) yang menyebabkan ralat. Kejadian ini serupa dengan gangguan suara yang kita alami semasa panggilan telefon di kawasan isyarat lemah.

Dalam contoh di atas, mesej 01101 dikirim tetapi mesej yang diterima kurang jelas. Jadi, adalah sukar untuk menterjemahkan digit tengah dan digit terakhir yang diterima 01?0?

Apakah yang si penerima patut buat bila menerima mesej tersebut? Jawapannya bergantung kepada situasi. Misalnya, adalah mungkin mesej tersebut diminta dikirim sekali lagi – semasa panggilan telefon, minta disebut sekali lagi atau pun semasa menggunakan kad kredit, kad kredit dilalui mesin kad kredit sekali lagi jika nombor yang diterima kurang jelas sebab sukar diteka. Dalam kes misi angkasa lepas Mariner, gambar tersebut tidak dapat dihantar sekali lagi dan adalah lebih praktikal untuk mengdekod mesej seberapa yang mungkin (oleh komputer bukan oleh manusia).

Secara am, kesan gangguan dalam saluran komunikasi akan mengakibatkan ralat yang menyebabkan mesej yang diterima berlainan daripada apa yang dikirim. Oleh demikian, dalam contoh Mariner6 di atas, kita dapat lihat situasi di mana 43 yang ditransmisikan oleh kapal angkasa diterima dan diterjemahkan sebagai 11 di Bumi.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

3.2 Kod Pembetulan Kesilapan

Kod pembetulan kesilapan (ralat) menangani masalah ralat dengan menggunakan konsep lebihan (redundancy) – menggunakan lebih banyak simbol yang diperlukan untuk mesej.

Dalam bahasa biasa, lebihan kerap berlaku, di mana pengetahuan bahasa dan konteks ianya digunakan – membantu kita mengenal pasti ralat tipografikal (ejaan) dan membetulkannya apabila dibaca.

Misalnya, jika perkataan ‘cetakan’ dikirim, ia mungkin diterima sebagai ‘cetekan’ atau ‘cetakau’. Dalam konteks topik ini, memang dapat dikenal pasti dengan mudah yang ralat tipografikal (ejaan) telah berlaku dan perkataan yang betul diteka dengan tepat sebagai ‘cetakan’.

Misi Mariner6 telah menggunakan 6 digit binari untuk mengenkod setiap petak kecil (piksel) dalam gambar Marikh. Apabila mengirim isyarat balik ke Bumi, Mariner6 mengirim 32 digit dengan 26 (=32-6) digit lebihan. Yang lebih mengkagumkan ialah terjemahan betul bagi setiap rantaian yang mengandungi kurang daripada 8 ralat.

Jadi: Setiap rantaian mengandungi enam 0 dan 1 → rantaian tiga puluh dua 0 dan 1 → rantaian dengan < 8 ralat didekodkan dengan betul

Bagaimanakah ini boleh berlaku?

Proses mengenkod mesej bermula dengan penukaran teks biasa kepada satu rantaian nombor dengan menggunakan abjad digital berikut. Dalam kod ini, setiap huruf (dan juga tanda isyarat) diwakili oleh urutan 0 dan 1 sepanjang 5-digit. Oleh yang demikian, urutan-urutan tersebut merupakan nombor antara 0 dan 32 yang ditulis dalam sistem binari (asas 2).

Dalam kest Mariner6, satu kod Reed-Muller yang kuat telah digunakan untuk pembetulan kesilapan. Seperti yang dinyatakan, mesej 6 digit binari telah ditukar kepada mesej 32 digit binari yang digelar sebagai katakod (codewords).

Misalnya, mesej yang dikirim mengandungi 3 digit binari. Oleh yang demikian, terdapat 8 mesej yang mungkin, yang boleh diwakili oleh integer 0 hingga 7.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Dalam contoh ini, 5 digit lebihan akan ditambah kepada setiap mesej untuk menghasilkan katakod yang panjangnya 8.

0 = 000 000 00000

1 = 001 001 10110

2 = 010 010 10101

3 = 011 → 011 00011

4 = 100 100 10011

5 = 101 101 00101

6 = 110 110 00110

7 = 111 111 10000

Katakod 00110110 mewakili integer 1. Jika dibandingkan dengan katakod 00000000 yang mewakili integer 0, mudah dilihat bahawa kedua-dua katakod ini berbeza di empat tempat (ketiga, keempat, keenam dan ketujuh). Dengan cara yang sama, jika dibandingkan 0110110 dengan katakod 01010101, dapat dilihat sekali lagi bahawa kedua-dua katakod ini berbeza di empat tempat – kali ini di tempat kedua, ketiga, ketujuh dan kelapan.

Perhatikan yang hanya ada 8 mesej, iaitu 8 katakod daripada 28 = 256 rantaian lapan digit binari yang mungkin. Hal ini akan dapat membantu pengesanan ralat tetapi juga pembetulan ralat yang tunggal.

Jika 00111110 diterima, memang mudah untuk menyemak bahawa ini bukan katakod dan ralat telah berlaku – biasanya tidak pasti hanya satu ralat berlaku tetapi yang pasti adalah sekurang-kurangnya satu ralat telah berlaku.

Sungguh pun sukar untuk mengetahui mesej asal, prinsip kemungkinan maksimum (principle of maximum likelihood) boleh digunakan untuk mengdekod mesej yang diterima. Ini boleh dilakukan dengan membandingkan mesej yang diterima dengan 8 katakod dan lihat yang mana satu katakod paling rapat dengan mesej yang diterima.

Apabila ini dilakukan, dapat dilihat yang katakod yang paling rapat dengan 00111110 ialah 00110110. Ia hanya berbeza di satu tempat – tempat kelima (yang digariskan).

Oleh sebab setiap katakod berbeza daripada yang laing dalam tepat empat tempat, mesej yang diterima 00111110 akan berbeza daripada yang lain dalam sekurang-kurangnya tiga tempat.

Jadi, dapat diandaikan yang ralat jarang-jarang berlaku, jadi katakod yang mungkin ditransmisikan ialah 00110110. Dalam kes ini, selagi ada satu ralat (dan ini adalah kes yang paling mungkin) ianya dapat diperbetulkan.

Ini memang benar untuk semua kes di mana satu ralat berlaku – jadi ia digelarkan sebagai kode pembetulan ralat tunggal (single-error-correcting code).

Dalam contoh ini,

8 digit katakod

3 digit maklumat dan

5 digit lebihan.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Kadar maklumat =

Secara am,

n digit

}– – – … – – – … – –

} }

k digit mesej

r digit semakan (lebihan)

Kadar maklumat, R = .

Bagi Mariner 6, kadar maklumat R = .

3.3 Kod Ulangan

Satu cara yang mudah untuk memperkenalkan lebihan adalah untuk mengulang semua. Jadi, jika ada mesej, ia boleh dikodkan dengan mengulang setiap digit n kali.

Jika n = 5, panjang kod ulangan ialah 5.Contoh :

S → 10011 → 11111 00000 00000 11111 11111

U → 10101 → 11111 00000 11111 00000 11111

S → 10011 → 11111 00000 00000 11111 11111

I → 01001 → 00000 11111 00000 00000 11111

E → 00101 → 00000 00000 11111 00000 11111

Jika dikirim S = 10011 as 11111 00000 00000 11111 11111, ia akan diterima sebagai urutan ) dan 1 yang panjangnya 25.

Kita perlu peraturan (algoritma) untuk mengdekod mesej yang diterima.

Dengan bantuan komputer mengdekod mesej, tekaan mengikut konteks tidak dilakukan tetapi peraturan yang tepat perlu digunakan.

Misalnya, apabila mesej berikut di terima:

11011 00110 11000 10000 10111 bagaimanakah ianya didekod ?

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Algoritma Dekod bagi Kod Ulangan Panjang 5

1. Bilang digit 1.

2. Jika bilangan digit 1 ≥ 3 , tulis 11111.

3. Jika bilangan digit 1 ≤ 2 , tulis 00000.

Perhatikan bahawa kod ini boleh membetulkan 2 ralat tetapi ia mempunyai kad maklumat yang sangat rendah

.

Jika n = 4 (setiap digit diulang 4 kali),apakah yang berlaku jika terika 0011 ?

Saluran Simetri Binari

Kebarangkalian menerima simbol yang silap adalah serupa sama ada simbol 0 atau simbol 1 dikirim.

Kebarangkalian menerima simbol yang silap = p

Misalnya, jika p = , jadi kebarangkalian satu digit tunggal diterima secara silap ialah = 0.01, jadi

kebarangkalian satu digit tunggal diterima secara betul ialah = 0.99.

Dianggap semual ralat berlaku secara rawak – iaitu secara tidak bersandar satu sama lain.

Untuk memudahkan pengiraan, kod ulangan panjang 3 digunakan.

Bolehkah kebarangkalian = 0.99 diperbaiki jika satu katakod satu digit diterima?

Mesej dikirim

Mesej

dikodkan

Mesej mungkin diterima

Mesej didekod

0 → 000 → 000 001010 100 → 0

1 → 111 → 101 011110 111 → 1

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Jika 000 dikirim,

Pengiraan kebarangkalian mesej yang mungkin diterima:

Pr (000) = x x = 0.970299

Pr (001) = x x = 0.009801

Pr (010) = x x = 0.009801

Pr (100) = x x = 0.009801

Jadi kebarangkalian mengdekod mesej sebagai 0:

Pr (0) = Pr (000) + Pr (001) + Pr (010) + Pr (100)

= 0.970299 + 3 x 0.009801

= 0.999702 .

Jadi, secara purata, kesilapan mengdekod mesej yang dikirim 0 sebagai 1 berlaku hanya sekali setiap 100 kali, kita akan dapat ralat kurang daripada 3 setiap 10 000 (atau 1/3000) ! Ini merupak kemajuan yang hebat.

Bagi kod ulangan panjang n,

n digit

}

– – – … – –

} }

1 digitMesej

n – 1 digitsemakan

Kadar maklumat, R = . Ini sangat kecil!

Kod ulangan dapat membetulkan ralat tetapi kadar maklumatnya sangat rendah!

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Latihan

1. Anda telah menerima mesej berikut yang ditulis dengan kod ulangan panjang 5.

00000 10010 11011 11000 01111

11110 01010 01000 01011 00001

00111 10000 01100 11100 00000

01000 11111 00111 10111 11101

01111 00010 01000 10111 10000

a) Tukar mesej ini kepada kod 5 digit binari.

b) Tukarkan kepada abjad biasa.

2. Anda telah menerima mesej berikut yang ditulis dengan kod ulangan panjang 5.

00000 11011 01111 00100 11111

01000 11111 00100 00001 11101

11101 00100 00000 11110 01111

11111 10000 01000 00000 00100

10111 00010 10000 00111 01100

01100 10001 01010 00011 11001

01010 10111 01111 11111 00000

11111 00010 11011 01000 00000

a) Tukar mesej ini kepada kod 5 digit binari.

b) Tukarkan kepada abjad biasa.

c) Apakah mesej yang sebenar?

3. Kod ulangan panjang 3 digunakan untuk transmisi mesej. Jika kebarangkalian membuat kesilapan dalam satu digit ialah 0.01 dan kita anggap kesilapan berlaku secara tak bersandar satu sama lain, kirakan kebarangkalian mesej 000 yang dikirim diterima sebagai 111.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

3.4 Kod Semakan Pariti

Kod semakan pariti tunggal merupakan ekstrem daripada kod ulangan. Berbanding dengan kod ulangan, kod semakan pariti tunggal hanya ada satu digit semakan.

Digit semakan ini diperolehi daripada jumlah digit maklumat (mod 2).

Sebagai contoh, lihat bagaimana digit semakan dikira

A 000001 1} ←

5 digit maklumat

1 digitsemakan

B 000010 1

C 000011 0

D 000100 1

…

Secara am katakod ditulis sebagai c1 c2 c3 c4 c5 c6 di mana

c6 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 (mod 2).

Bagi kod semakan pariti tunggal,

n digit

}

-- … - -

}

←

k = n – 1 digit

mesej

1 digit semakan

Kadar maklumat = , amat tinggi!

Akan tetapi, kod semakan pariti tunggal hanya boleh mengesan bilangan ralat yang ganjil tetapi tidak dapat membetulkannya.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Latihan

1. Cari katakod yang mewakili huruf berikut dalam kod semakan pariti tunggal di atas : J , L , Q , S , G , X.

2. Tulis mesej NO ERRORS dengan kod semakan pariti tunggal.

3. Mesej berikut telah diterima dalam kod semakan pariti tunggal:

000011 000000 001111 011110 010110 001001000000 100100 001010 100111 101001 011000 101000

a) Kesan di mana ralat telah berlaku.

b) Dekod semua huruf yang lain.

c) Cuba teka mesej yang dikirim.

3.5 Kod Linear

Perhatikan kod linear panjang 6 berikut ada 3 digit mesej dan 3 digit semakan

Katakod panjang 6

}c1 c2 c3 c4 c5 c6} } 3 digit mesej

3 digit semakan

boleh ditulis semula sebagai persamaan linear untuk mentakrifkan digit-digit semakan.

Bila diberi mesej c1 c2 c3 ,

c4 = c1 + c2 (mod 2)

c5 = c1 + c3 (mod 2)

c6 = c2 + c3 (mod 2)

untuk memperolehi katakod C= [c1 c2 c3 c4 c5 c6].

=> = .

Sebagai contoh, 010 akan ditransmisikan sebagai [010101].

Latihan

Tuliskan katakod yang sepadan dengan mesej:

(i) 111 (ii) 101

(a) Berapakah mesej tiga digit yang dibentukkan?

(b) Senaraikan semua katakod bagi kod ini.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Persamaan Semakan Pariti

Katakod C = [c1 c2 c3 c4 c5 c6 ] menyempurnakan persamaan semakan pariti

c1 + c2 + c4 = 0 (mod 2)

c1 + c3 + c5 = 0 (mod 2)

c2 + c3 + c6 = 0 (mod 2).

Persamaan-persamaan ini dinamakan sebagai persamaan semakan pariti sebab menyemak pariti atau kegenapan hasil tambah digit-digit dalam katakod – untuk memperolehi 0 di sebelah kanan, kita perlu dapat bilangan 1 yang genap pada sebelah kiri setiap persamaan.

Persamaan semakan pariti juga boleh ditulis sebagai

= ,

atau H CT = 0 ,

di mana H ialah matriks semakan pariti.

[CT = transpos menegak bagi vektor C ]

Apakah yang berlaku semasa transmisi katakod?

Apabila katakod C = [c1 c2 c3 c4 c5 c6] dikirim

saluran transmisi akan menambah gangguan (ralat)

E = [e1 e2 e3 e4 e5 e6]

mengakibatkan katakod diterima sebagai

R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6]

di mana ri = ci + ei (mod 2) .

Latihan

1. Jika C = [100110] , E = [000101], cari R.

2. Jika R = [001000], E = [000011], cari C.

3. Jika R = [010000], C = [111000], cari E.

Biasanya, kita hanya tahu katakod yang diterima, R. Jadi masalah adalah untuk mengetahui katakod yang dikirim C jika kita terima katakod R. Ini boleh dilakukan dengan mencari E dahulu.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Mengira Sindrom

Bagi katakod yang diterima, R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6], kita mentakrifkan sindrom, s = [s1 s2 s3] bagi R dengan

s1 = r1 + r2 + r4 (mod 2)

s2 = r1 + r3 + r5 (mod 2)

s3 = r2 + r3 + r6 (mod 2).

= atau

sT = H RT.

Oleh kerana digit-digit sindrom ditakrifkan oleh persamaan semakan pariti yang sama dengan katakod, digit sindrom akan mendedahkan pola kegagalan semakan pariti.

s dinamakan sebagai sindrom R sebab ia mempamerkan “ simptom khas” ralat tanpa mengenal pasti sebabnya, seperti cara kita mengenal sesuatu penyakit daripada simptomnya dan bukan sindrom (sebabnya yang sebenar) – contoh SIDS = Sudden Infant Death Syndrome.

Semua katakod mempunyai sindrom 0 = [000] sebab H CT = 0 .

Sindrom katakod yang diterima serupa dengan sindrom ralat.

Katakod yand diterima R merupakan hasil tambah katakod C dan ralat E. R = C + E.

Jadi C = R – E dan

0 = H CT = H (R – E)T

= H (R T – E T)

= H R T – H E T

Oleh itu sT = H RT = H E T.

Jadi katakod yang diterima R mempunyai sindrom yang sama dengan ralat E.

Maklumat ini sangat berguna sebab ini bermakna jika R merupakan katakod yang diterima, set ralat yang mungkin juga merupakan set vektor yang sama dengan sindrom R.

Dari atas, jika R dan E mempunyai sindrom yang sama, kita boleh guna akas penghujahan untuk menunjukkan bahawa jika H RT = H E T , jadi R – E = C , di mana C adalah katakod.

Bilangan perkataan dengan sindrom yang sama serupa dengan bilangan katakod.

Dalam kes ini ada 23 = 8 sindrom yang mungkin dan setiap selaras tepat dengan

perkataan.

Oleh itu, sebagai contoh, 8 katakod selaras tepat dengan 8 perkataan dengan sindrom[000].

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Mencari perkataan selaras dengan sindrom yang diberi

Sebab sindrom katakod yang diterima R sama dengan sindrom ralat E, satu perkara yan perlu dilakukan untuk dekod katakod yang diterima adalah untuk mencari semua perkataan yang mempunyai sindrom yang sama dengan R.

Misalnya, kita akan mencari semua perkataan dengan sindrom [001] bila kita menggunakan kod linear yang ditakrifkan. Oleh itu,

r1 + r2 + r4 = 0 (mod 2)

r1 + r3 + r5 = 0 (mod 2)

r2 + r3 + r6 = 1 (mod 2).

= ,

atau H RT = = sT.

Dengan cara yang sama, kita akan dapat mencari semua perkataan yang selaras dengan sindrom [001] dengan cara menyenaraikan semua 8 pilihan yang mungkin bagi 0 dan 1 bagi ketiga-tiga pembolehubah yang pertama dan mencari nilai baki tiga pembolehubah tersebut. Misalnya, jika kita mula dengan r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0, kita dapat lihat daripada persamaan ini, kita dapatkan tiga persamaan di mana r4 = 0, r5 = 0, r6 = 1.

Jadi salah satu daripada 8 perkataan yang selaras dengan sindrom [001] ialah [000001].

Kita boleh memperolehi semua 8 perkataan dengan cara yang sama.Misalnya, jika r1 = 0, r2 = 0, r3 = 1, kita dapat r4 = 0, r5 = 1, r6 = 0, yang membentuk perkataan [001010].

Latihan

1. Cari 6 perkataan lagi yang selaras dengan sindrom [001].

2. Senaraikan semua perkataan dengan sindrom

a) [010].

b) [111].

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Tatasusunan Piawai Slepian menyenaraikan semua perkataan yang selaras dengan setiap sindrom bagi kod linear.

Set perkataan { [r1 r2 r3 r4 r5 r6] di mana ri = 0 atau 1, bagi i = 1, 2, …, 6} membentuk ruang vektor dimensi 6 di atas Medan Galois GF(2).

Sebab semua katakod merupakan penyelesaian bagi H CT = 0, semua katakod membentuk subruang bagi ruang vektor yang mengandungi semua perkataan. Dimensi sub ruang ini ialah 6 – 3 = 3.

Khasnya, ini bermakna set katakod akan membentuk kumpulan di bawah penambahan(mod 2) dan juga hasil tambah mana-mana dua katakod merupakan satu katakod.

Latihan Berkumpulan

1. Semak bahawa hasil tambah mana-mana dua katakod merupakan katakod.

2. Pilih sindrom yang tidak sama dengan [000] – pastikan semua ahli dalam kumpulan anda memilih sindrom yang berlainan.

a) Pilih satu katakod dan tambah kepadanya setiap daripada perkataan dalam baris yang selaras dengan sindrom pilihan anda. Apakah yang anda dapati ?What do you find?

b) Dengan menggunakan sindrom yang sama, pilih katakod yang berlainan dan ulang (a).

c) Dengan menggunakan sindrom yang sama, semak yang setiap perkataan yang selaras dengan sindrom dlam Tatasusunan Piawai Slepian boleh diperolehi sebagai hasil tambah perkataan pertama dalam baris (pemimpin koset) dan katakod dalam lajur yang sama.

d) Banding jawapan a), b) dan c) dengan ahli kumpulan lain.

Dalam Tatasusunan Piawai Slepian, semua katakod disenaraikan sebagai baris pertama bermula dengan katakod [000000].

Setiap baris berikut dalam tatasusunan mengandungi satu koset katakod. Dalam setiap koset, perkataan disusun dalam setiap baris di mana perkataan pertama dalam setiap baris mempunyai bilangan 1 yang paling kurang. Perkataan pertama dalam setiap baris Tatasusunan Piawai Slepian dinamakan pemimpin koset.

Dalam baris pertama, selaras dengan sindrom [000], perkataan dalam baris tiada 1; perkataan pertama dalam setiap daripada enam baris berikut mempunyai hanya satu 1 sahaja; manakala perkataan pertama dalam baris terakhir merupakan salah satudaripada tiga perkataan dalam baris tersebut yang ada tepat dua 1.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Berat sesuatu perkataan ditakrifkan sebagai bilangan 1 dalam perkataan tersebut.

Tatasusunan Piawai Slepian boleh dibina bagi kod linear dengan langkah-langkah berikut:

1. Dalam baris pertama, senaraikan semua katakod yang bermula dengan 0.

2. Pilih mana satu perkataan, W, yang berat minimum weight yang bukan katakod (tidak disenaraikan pada baris pertama) dan senaraikannya sebagai unsur pertama dalam baris berikut.

3. Bermula dengan W, senaraikan semua unsur koset W + C, di mana C adalah katakod, dalam urutan yang sama seperti senarai katakod dalam baris pertama.

4. Ulangi langkah 2 dan 3 dengan menggunakan perkataan baru X, di mana X tiada dalam dua baris yang pertama.

5. Ulangi langkah 4 dengan menggunakan perkataan baru yang tiada dalam baris- baris sebelumnya sehingga semua perkataan telah disenaraikan.

Pengdekodan Perkataan yang diterima R

R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6] boleh didekodkan dengan langkah-langkah berikut:

1. Kirakan sindrom s = [s1 s2 s3] bagi R.Ini merupakan sindrom bagi E.

2. Guna Tatasusunan Piawai Slepian untuk mencari perkataan dengan sindrom s dengan bilangan 1 yang paling sedikit.Pilih perkataan ini sebagai E.

3. Kirakan C di mana C = R – E.

Latihan

1. Cari C jika R = [101110]. [ Nota: Apabila menggunakan tatasusunan ini, kita tidak perlu mengira sindrom. Sebab R dan E mempunyai sindrom yang sama, kita hanya cari R dalam sifir ini. E merupakan perkataan dalam baris yang mengandungi R. ]

2. Cari C jika (i) R = [111111], (ii) R = [111011], (iii) R = [110011].

3. Bekerja secara berpasangan dan jalankan langkah-langkah berikut:[1] Pilih katakod C untuk dikirim sebagai mesej.[2] Pilih ralat E.[3] Kirakan R = C + E dan kirimkan kepada pasangan anda.[4] Dekod perkataan pasangan anda.[5] Ulang ini sebanyak tiga kali: sekali pilih E yang berat 1 (hanya satu 1 dalam perkataan); sekali

dengan E = 0; dan sekali dengan E yang berat 2 (dengan dua 1 dalam perkataan).Dalam kes yang manakah anda dapat mengenal pasti katakod?

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Kod Linear secara Am

Satu kod merupakan kod linear atau kod kumpulan jika katakodnya merupakan set vektor C yang memuaskan persamaan H CT = 0, di mana H adalah matriks semakan pariti.

Dalam kod semakan pariti tunggal , digit-digit c1, c2, c3, c4, c5, c6 dalam katakod [c1 c2 c3 c4 c5 c6 ] memuaskan persamaan semakan pariti

c6 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 (mod 2),

yang serupa dengan

c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 = 0 (mod 2).

Ini ditulis sebagai H CT = 0, di mana H = [111111].

Kod ulangan panjang 5 juga boleh ditakrifkan dengan menggunakan persamaan semakan pariti berikut:c1 + c2 = 0 (mod 2)

c1 + c3 = 0 (mod 2)

c1 + c4 = 0 (mod 2)

c1 + c5 = 0 (mod 2).

H CT = 0, di mana H = .

Secara am, jika kod ulangan panjang n kita akan dapat matriks semakan pariti H yang (n – 1) x n

Kod blok merupakan kod di mana setiap katakod merupakan urutan bilangan tetap, n, simbol. Bagi kes kod linear, panjang bloknya ialah bilangan lajur dalam H.

Sindrom, s, katakod yang diterima R diberi sebagai sT = H RT. Koset terdiri daripada semua perkataan yang mempunyai sindrom tertentu.Berat perkataan merujuk kepada bilangan 1 dalam perkataan tersebut.Dalam satu koset, perkataan yang mempunyai berat yang minimum dipilih sebagaai pemimpin koset (coset leader).

Untuk mengdekod R:

1. Kirakan sindrom s;

2. Cari pemimpin koset E; dan

3. Kirakan C = R – E.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

3.6 Kod Hamming

Teori kod pembetulan ralat telah bermula dengan usaha Richard Hamming dalam 1947. Sebagai seorang ahli matematik, Hamming dapat menggunakan kemudahan komputer di Bell Telephone Laboratories untuk menjalankan pengiraan matematik. Ketika itu, masa untuk melaksanakan program sangat lama dan apabila Hamming datang bekerja pada hujung minggu beliau kerap menemui situasi di mana program pengiraan terhenti kerana menemui ralat. Oleh yang demikian, Hamming memikirkan tentang kebolehan komputer bukan sahaja untuk mengesan ralat tetapi membetulkannya!

Pada 1950 Richard Hamming telah memperkembangkan kod Hamming yang merupakan kod linear yang dapat membetulkan ralat tunggal.

H =

sT = H RT = H ET.

Jika ralat E = [e1 e2 e3 e4 e5 e6], persamaan boleh ditulis semula sebagai

= e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6

.

Sindrom ialah hasil tambah lajur-lajur H di mana ralat-ralat saluran berlaku.

Oleh yang demikian, jika mana:

satu lajur H adalah 0 , ralat pada kedudukan tersebut tidak dapat dikesan; dan

dua lajur H serupa, kita tidak dapat membezakan ralat tunggal yang berlaku pada kedua-dua kedudukan tersebut

Kod linear hanya dapat membetulkan semua pola ralat tunggal jika lajur-lajur H berbeza dan bukan sifar

Sebaliknya, jika semua lajur H berbeza dan bukan sifar, ralat tunggal pada kedudukan berbeza akan menghasilkan sindrom yang berbeza.

Kod binari linear mampu membetulkan semua pola yang tiada lebih daripada satu ralat saluran jika dan hanya semua lajur dalam matriks semakan pariti H berbeza dan bukan sifar.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Pengdekodan Perkataan

Untuk mengdekodkan perkataan yang diterima R, sindrom s dikira.

Jika s ialah sifar, andaikan tiada ralat.

Jika s bukan sifar dan sama dengan salah satu lajur dalam H, andaikan ralat tunggal telah berlaku pada kedudukan tersebut.

Jika s bukan sifar dan tidak sama dengan mana satu lajur dalam H , prosedur pengdekodan ini gagal.

Kegagalan pengdekodan dan ralat hanya berlaku jika dua atau lebih ralat saluran berlaku.

Misalnya, jika H = .

Jika diterima perkataan R = [101000101], jadi kita dapat mengira s = [1100].

Sebab sT merupakan lajur kelima dalam H , kita andaikan E = [000010000].

Oleh itu C = R – E = [101010101].

Walau bagaimana pun jika R = [101000101], kita perolehi s = [1101], dan dalam kes ini di mana sT bukan salah satu lajur dalam H , ini bermakna terdapat ≥ 2 ralat dan prosedur pengdekodan gagal.

Latihan

Bagi matriks semakan pariti H di atas, cuba dekodkan perkataan-perkataan berikut yang diterima:

(i) R = [101001101] (ii) R = [111000101] (iii) R = [101000111]

Bagi kod pembetulan ralat tunggal, bilangan maksimum lajur bukan sifar matriks binari yang berbeza dan bukan sifar 2r – 1.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Kod Hamming

Lajur-lajur dalam matriks semakan pariti H , Kod Hamming terdiri daripada 2r – 1 lajur bukan sifar r –tuple (non-zero binary r-tuples ) yang tersusun dalam mana-mana satu urutan.

Jika A merupakan matriks m × n dengan pangkat r, dimensi ruang nol A adalah n − r.

Sebab H mengandungi semua lajur bukan sifar yang mungkin, ia mengandungi setiap satu daripada lajur-lajur matriks identiti r x r dan mempunyai pangkat r.

Jadi H merupakan matriks r x n dengan pangkat r dan dimensi subruang yang memenuhi syarat H CT = 0 iaitu n − r = k.

Oleh itu, bilangan digit mesej = k = n − r = 2r – 1 – r.

Bagi setiap integer positif, wujud Kod Hamming dengan digit semakan r, panjang blok n= 2r – 1 dan k = n − r = 2r – 1 – r.

Kod ini boleh membetulkan ralat tunggal pada mana-mana satu digit. Sebab setiap r-tuple bukan sifar wujud sebagai lajur, kegagalan pengdekodan tidak akan berlaku. Jadi prosedur pengdekodan ralat tunggal lengkap.

Walau bagaimana pun kod ini tidak dapat mengesan lebih daripada 2 ralat. Kadangkala digit semakan pariti yang lain akan ditambah untuk mengesan (tetapi tidak dapat membetulkan ) 2 ralat.Lajur-lajur dalam matriks semakan pariti H boleh disusun dalam mana-mana satu urutan.

Kadar maklumat Kod Hamming

R = = = 1 – .

Bila r → ∞, R→1.

Dengan membina Kod Hamming yang mempunyai panjang blok yang besar, kita akan dapat kadar maklumat yang sangat tinggi. Sungguh pun Kod Hamming merupakan perkembangan hebat berbanding dengan kod semakan pariti tunggal, kod ini tidak dapat membetulkan lebih daripada dua ralat.

Sekitar 1960, Bose, Changhuri and Hocquenghan telah menemui kod pembetulan dwi-ralat Kod BCH (double-error-correcting codes) yang lebih kompleks. Seterusnya, kod-kod ini diperkembangkan sehingga menjadi kod pembetulan t ralat.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Latihan

1.(a) Yang mana satu daripada matriks semakan pariti ini merupakan kod pembetulan ralat tunggal? Beri sebab jawapan anda.

(i) H =

(ii) H =

(b) Yang mana satu daripada kedua matriks di atas merupakan Kod Hamming ? Beri sebab mengapa atau mengapa tidak.

2. Guna matriks (ii) daripada soalan 1 di atas untuk mengdekod setiap daripada perkataan yang diterima berikut:

(a) R = [111101000] (b) R = [110101011]

(c) R = [100010001] (d) R = [010010010].

3. Pertimbangkan Kod-Kod Hamming yang ditakrifkan oleh tiga matriks semakan pariti di bawah.

(i) H =

(ii)H =

(iii) H =

(a) Bagi setiap kod, dekodkan perkataan-perkataan berikut yang diterima:

R1 = [1110000] , R2 = [1111000] .

(b) Tunjukkan yang dua daripada tiga matriks di atas mentakrifkan kod-kod yang serupa (identical codes). Panduan: Tunjukkan bahawa baris-baris mana satu merupakan kombinasi linear yang lain.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

3.7 Algoritma RSA

Masalah Penyebaran Kunci (Key-Distribution Problem)

Dalam sistem tradisional, kunci yang diguna oleh si-pengirim untuk mengenkod mesej diguna juga oleh si-penerima untuk mengdekodnya. Oleh yang demikian, kunci tunggal ini mesti dijaga dengan baik dan dirahsiakan agar hanya dapat digunakan oleh pihak tertentu.

Dalam masyarakat moden, masih ada jumlah data yang banyak yang perlu dirahsiakan dan ini mengakibatkan keperluan penggunaan kunci bagi pengguna-pengguna kod.

Masalah penyebaran kunci ini diterangkan oleh Simon Singh dalam bukunya The Codebook (2002) seperti berikut:

a classic catch-22 situation. If two people want to exchange a secret message over the phone, the sender must encrypt it. To encrypt the secret message the sender must use a key, which is itself secret, so then there is the problem of transmitting the secret key to the receiver in order to transmit the secret message. In short, before two people can exchange a secret (an encrypted message) they must already share a secret (the key). (pp. 189–190)

Pada pertengahan tahun 70-an, Whitfield Diffie, Martin Helman dan Ralph Merkle telah mencadangkan penggunaan cipher asimetrik (asymmetric cipher) untuk mengatasi masalah penyebaran kunci. Mereka mencadangkan penggunaan kunci berlainan untuk mengenkod dan mengdekod mesej.

Peranan Pemfaktoran

Aktiviti: Faktorkan 518 940 557

Darabkan 15 107 dengan 34 351

Aktiviti di atas menunjukkan betapa sukarnya untuk mencari faktor-faktor hasildarab dua nombor perdana. Oleh yang demikian, konsep ini diguna untuk menjanakan sistem pengkodan yang baru yang dinamakan sebagai Kriptografi Kunci Umum (Public Key Cryptography).

Dalam kriptografi kunci umum, kunci untuk mengdekod mesej tidak dapat diperolehi dengan mudah daripada kunci yang diguna untuk mengenkodnya. Ini membolehkan pengiriman mesej secara elektronik secara selamat ke destinasi di mana kunci umum boleh dihebahkan secara umum.

Penggunaan Aritmetik Modular

Aritmetik modular digunakan dalam banyak kriptosistem untuk menyamarkan maklumat dengan mudah kerana fungsinya yang agak mengelirukan.

Jadual berikut menunjukkan bagaimana nilai P dapat dirahsiakan melalui pengiraan C = P3 dalam modulo 11.

P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C = P3 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

C = P3 modulo 11 0 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10

Aritmetik modular juga dikenali sebagai ‘aritmetik jam’ diperkenalkan oleh K.F.Gauss (1777-1855). Bagi sebarang nombor asli n, aritmetik modulo n berasaskan kepada pembahagian set integer Z = {…, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, …} ke dalam n kelas yang berasingan yang selaras dengan n baki yang mungkin apabila dibahagi oleh n.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Misalnya, jika n =2, baki yang mungkin jika integer dibahagi oleh 2 adalah 0 atau 1.

Kelas integer dengan baki 0 merupakan set nombor genap = {..., – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, ...} manakala kelas integer dengan baki 1 merupakan set nombor ganjil = {..., – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7, ...}.

Secara umum, semua integer dalam kelas yang sama mempunyai baki yang sama apabila terbahagi oleh modulus. Ini bermakna terdapat perbezaan antara dua integer dalam kelas yang sama juga merupakan gandaan modulus.

Jadi, dalam contoh di atas, apabila kita memerhatikan perbezaan antara dua nombor genap kita akan memperolehi gandaan 2 (8 – 2 = 6 = 3x2) dan apabila kita lihat perbezaan antara dua nombor ganjil kita juga akan mendapat gandaan 2 ( 7 – (– 1) = 8 = 4x2).

Sifat Kongruen Modulo

Dua integer a dan b dikatakan sebagai kongruen modulo jika a – b merupakan gandaan n dan ini ditulis sebagai

a ≡ b (mod n) .

Oleh yang demikian, semua nombor genap ≡ 0 (mod 2) dan semua nombor ganjil ≡ 1 (mod 2).

Dengan perkataan lain, kita boleh mewakili setiap nombor genap (mod 2) dengan integer 0 dan setiap nombor ganjil (mod 2) dengan 1.

Aktiviti

1. (a) Apakah baki yang mungkin bila integer dibahagi dengan 3?

(b) Bagi setiap integer berikut, tulis baki yang diperolehi selepas dibahagi dengan 3:

(i) 7; (ii) 301; (iii) 963; (iv) –31; (v) –5; (vi) –1.

(c) Pasangan integer yang manakah yang kongruen mod 3?

2. Bekerja secara berkumpulan.

(a) Pilih mana-mana dua integer a dan b – pastikan semua orang menggunakan pasangan integer yang berbeza.Cari integer bukan negatif terkecil a′ dan b′ di mana a ≡ a′ (mod 7) dan b ≡ b′ (mod 7).

(b) Kirakan nilai, dengan bantuan kalkulator saintifik jika perlu: (i) ab ; (ii) ab (mod 7) ; (iii) a′b′ ; (iv) a′b′ (mod 7) .

(c) Berdasarkan pengiraan kumpulan anda, apakah kesimpulan yang anda dapati tentang apa yang berlaku dengan hasil darab aritmetik modulo?

Jika a ≡ a′ (mod n) dan b ≡ b′ (mod n), maka ab ≡ a′ b′ (mod n).

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Contoh:

Cari X = 36 * 53 * 91 * 17 * 22 (mod 29).

Penyelesaian :

36 ≡ 7 (mod 29), 53 ≡ 24 (mod 29), 91 ≡ 4 (mod 29), 17 ≡ 17 (mod 29), dan 22 ≡ 22 (mod 29).

Ini boleh ditulis semula sebagai

X = 36 * 53 * 91 * 17 * 22 (mod 29)

= 7 * 24 * 4 * 17 * 22 (mod 29)

= 168 * 68 * 22 (mod 29)

= 23 * 10 * 22 (mod 29)

= 230 * 22 (mod 29)

= 27 * 22 (mod 29)

= 594 (mod 29)

= 14.

Semak 36 * 53 * 91 * 17 * 22 = 64 936 872 dan 64 936 872 (mod 29) = 14.

[Nota: Kalkulator saintifik komputer anda juga boleh melakukan pengiraan aritmetik modulo.]

Aktiviti

Cari X = 73 * 29 * 102 * 14 * 87 (mod 31) dan semak jawapan anda.

Contoh pengiraan aritmetik modulo secara berperingkat-peringkat:

Cari X = 1143 (mod 13).

Perhatikan bahawa 112 (mod 13) = 121(mod 13) = 4.

Jadi 114 (mod 13) = 42 (mod 13) = 16 (mod 13) = 3.

118 (mod 13) = 32 (mod 13) = 9 (mod 13) = 9, dan

1116 (mod 13) = 92 (mod 13) = 81 (mod 13) = 3.

1132 (mod 13) = 32 (mod 13) = 9 (mod 13) = 9.

Tidak perlu cari kuasa yang lebih tinggi bagi 11 sebab 1164 > 1143.

Perhatikan yang 1143 = 1132 * 1111 = 1132 * 118* 113 = 1132 * 118* 112 * 11.

Oleh itu 1143 (mod 13) = 1132 * 118* 112 * 11 (mod 13) = 9 * 9 * 4 * 11 (mod 13)

= 81 * 44 (mod 13) = 81 * 44 (mod 13) = 3 * 5 (mod 13)

= 15 (mod 13) = 2.

Aktiviti

Cari X = 1756 (mod 11).

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

Teorem Kecil Fermat

Fungsi Euler φ bagi integer m ditakrifkan sebagai bilangan integer positif yang kurang atau sama dengan m dan perdana relatif (relatively prime) kepada m.

Aktiviti

Cari φ(n) bagi n = 1, 2, 3, …, 20.

Semak bahawa n = p x q bagi nombor-nombor perdana p dan q,

dan φ(n) = (p – 1) (q – 1)

Teorem Kecil Fermat menyatakan bahawa bagi setiap integer yang perdana relatif kepada n,

aφ(n) ≡ 1(mod n).

Aktiviti

Bekerja secar berkumpulan, pilih satu nilai n antara 10 dan 20.

Cari φ(n)

Semak bahawa aφ(n) ≡ 1(mod n).

Sistem Rivest-Shamir-Adleman (RSA)

Salah satu kriptosistem kunci umum yang paling awal adalah sistem RSA yang dicipta oleh Ted Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman. Sistem RSA bergantung kepada kesukaran memfaktorkan nombor yang besar dan penggunaan aritmetik modular serta teori nombor.

Sistem RSA boleh diterangkan seperti berikut:

Menyediakan SistemPilih dua nombor perdana yang besar, p dan q, di mana panjang setiap satu 100 digit. ( Nombor perdana ini dirahsiakan.)Biar n = p x q. (Nombor n dihebahkan secara umum tetapi pengetahuan n tidak memungkinkan anda menentukan nilai p dan q kerana kesukaran memfaktorkan nombor ini.)

Fungsi Euler function φ(n) = (p – 1)(q – 1) merupakan bilangan integer antara 1 dan n yang perdana relatif kepada n – iaitu, bilangan nombor integer yang faktor sepunya dengan n adalah 1. Fungsi Euler φ(n) mempunyai ciri bagi sebarang integer a antara 0 dan n – 1 di mana

a 1 + k.φ(n) = a mod n .

Pilih integer positif rawak E < φ(n) , di mana E perdana relatif kepada φ(n). (E, seperti n, diumumkan – bersama n dan E menjadi kunci umum)

Sebab pihak yang menyediakan kod ketahui rahsia nombor perdana p dan q, mereka juga ketahui nilai φ(n) = (p – 1)(q – 1), tetapi nilai ini dirahsiakan daripada orang ramai. Jadi bagi pihak yang menyediakan kod, adalah mudah untuk mencari songsang E modulo φ(n) – iaitu nombor D di mana

D.E ≡ 1 mod φ(n) ,

Iaitu nombor D yang memberi

D.E = 1 + k.φ(n) bagi sebarang integer k.

Nombor D ini juga dirahsiakan.

Secara ringkas,

Kunci rahsia: p, q, φ(n), D Kunci umum: n, E.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

EnkripsiLangkah pertama adalah untuk mewakili sebarang mesej sebagai urutan integer. Setiap mesej dipecahkan kepada beberapa blok digit, setiapnya merupakan nombor yang kurang daripada n. Setiap blok boleh dienkodkan secara berasingan.

Jika P adalah blok dalam mesej – iaitu integer antara 0 dan n – 1.

Sekarang biarkanC = P E mod n,

Iaitu, kita naikkan kuasa P ke kuasa E dan mencari bakinya selepas dibahagi dengan n.

Dengan cara demikian, C dienkripkan atau mesej berkod yang selaras dengan mesej asal P, dan C ialah mesej yang ditransmisikan dengan apa jua kaedah (mungkin kurang selamat) yang digunakan.

DekripsiUntuk mengdekodkan mesej C , kita cari P secara mengira

P = C D mod n.

Oleh keranaC = P E mod n,

Kita akan dapatC D mod n = P E.D mod n

= P 1 + k.φ(n) mod n= P mod n , sebab 0 < P< n.

Keberkesanan Kod RSASemasa kod RSA diperkembangkan, adalah dijangka yang masa untuk memfaktorkan nombor 200 digit n = p x q akan mengambil masa sejuta tahun dengan bantuan algoritma komputer terpantas di dunia ketika itu. Kini, dengan komputer yang cepat dan canggih, kaedah pengkodan sebegini mungkin akan ditewaskan pada satu masa. Oleh yang demikian, sistem-sistem kriptografi yang baru sentiasa dicipta demi menampung keperluan keselamatan dan kerahsiaan ketika menyimpan data dan transmisi maklumat digital. Minat dalam penggunaan Kriptografi Kunci Umum telah memesatkan lagi penyelidikan dan perkembangan teknik pemfaktoran nombor dan teori nombor secara umum.

Contoh Pengiraan Algoritma RSA

#1: Pilih nilai p dan q (nombor perdana) p= 7, q =11 => n = 7 x 11 = 77

#2: Cari nilai Φ(n) =(p-1)(q-1) Φ(n) = (7-1)(11-1) = 6 x 10 =60

#3: Pilih nilai e (nombor yg relatif perdana) e = 13

#4: Cari nilai d di mana d.e = 1 mod Φ(n) - Kaedah Euler d. 13 = 1 mod 60 60 = 4 x 13 + 1 x 8 1 = 3 – 1 x 2 13 = 1 x 8 + 1 x 5 = 3 – 1 x (5 – 1x3) 8 = 1 x 5 + 1 x 3 = 2x 3 – 1x5 5 = 1 x 3 + 1 x 2 = 2 x (8 – 1x5) – 1 x5 3 = 1 x 2 + 1 x 1 = 2 x 8 – 3 x 5 2 = 2 x 1 + 0 = 2 x 8 – 3 (13 – 1x 8)

= 5 x 8 – 3 x 13

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

= 5 (60 – 4 x 13) – 3 x 13 = 5 x 60 – 23 x 13 (sebab nilai negatif jadi

kena tukar kpd yg positif) d = 60 -23 =37

#5: Jika diberi, M =26 cari C C = Memod n = 2613 mod 77 = 75 261 mod77 = 26

262 mod77 = 676 mod77 = 60264 mod77 = 602 mod77 = 58268 mod77 = 582 mod77 = 532613 mod77= 268 264 261 mod77= 53 x 58 x 26 mod77 = 71 x 26 mod77 = 75

#6 : Semakan – guna M = Cdmod n M = 7537mod 77 = 26 751 mod77 = 75

752 mod77 = 5625 mod77 = 4754 mod77 = 42 mod77 = 16758 mod77 = 162 mod77 = 257516 mod77 = 252 mod77 = 97532 mod77 = 92 mod77 = 4

7537 mod77 = 7532 754 751 mod77 = 4 x 16 x 75 mod77

= 64 x 75 mod77= 26

Aktiviti Bacaan

Sila baca artikel berikut tentang perkembangan Sistem RSA.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

4 Penggunaan Model Matematik dalam Biologi dan Ekologi Model Mangsa - pemangsa: generasi terpisah dan tak terpisah, persamaan

logistik, interaksi antara spesis, simulasi. Penggunaan persamaan pembezaan yang mudah dalam model dos dadah

yang selamat dan berkesan. Model penularan penyakit seperti AIDS, selsema burung dan lain-lain.

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p

5 Beberapa Idea Utama Matematik Berkaitan dengan Kalkulus Penghampiran Archimedes bagi π Penentuan luas bulatan Archimedes Paradoks Zeno Penyiasatan lengkung kubik Newton

M T E 3 1 1 4 / k k t a n / i p g k p p