modul mte3143-bab 1.pdf
TRANSCRIPT
-
MODUL MTE 3114
APLIKASI MATEMATIK
-
2 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
2
1.1 PERANAN MATEMATIK DALAM TEKNOLOGI MODEN
Antara pendorong utama kemajuan sesebuah tamadun adalah rasa keinginan untuk
mengatasi masalah-masalah yang membelenggu kehidupan manusia dengan
bantuan alat teknikal. Kamus Dewan (2005) mentakrifkan teknologi sebagai aktiviti
atau kajian yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam
industri, pertanian, perubatan, perniagaan dan sebagainya. Justeru teknologi
moden secara umumnya adalah kajian atau aktiviti terbaru yang berkaitan tentang
masa kini yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis.
Matematik yang kita peroleh ini sebenarnya mempengaruhi teknologi moden pada
hari ini. Bahkan dalam segenap sisi kehidupan manusia.
1.1.1 Matematik Sebagai Satu Bahasa
Dengan memerhatikan evolusi sains secara semula jadi
dalam abad ke dua puluh ini, kita dapat mengakui bahawa
buku alam ditulis dalam bahasa matematik
Matematik ialah bahasa dan seperti bahasa-bahasa lain yang
mempunyai tatabahasa sendiri, sintaks, perbendaharaan kata,
susunan kata, sinonim, konvensyen, dan lain-lain [Esty, 1997].
Bahasa ini adalah kedua-dua alat komunikasi dan alat
pemikiran.
Salah satu matlamat utama matematik ialah untuk pelajar menyerap konsep-konsep
asas dan kemahiran bahasa yang penting dalam matematik. Kemahiran bahasa
matematik ialah kebolehan untuk membaca dengan kefahaman, untuk meluahkan
BAB 1 MATEMATIK DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN
1 Matematik dilihat sebagai satu bahasa
-
3 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
3
pemikiran matematik dengan jelas, untuk menyatakan sebab secara logik, untuk
mengiktiraf dan menggunakan corak pemikiran matematik. [Esty, W., 1997, kata
pengantar]
Keunikan bahasa-bahasa adalah keupayaan untuk memberikan ekspresi yg tepat
bagi setiap buah fikiran ataupun konsep yang dapat di formulasi melalui bahasa
tersebut. Kuasa bahasa matematik moden boleh dilihat dalam dua contoh di bawah:
BAHASA MATEMATIK PURBA BAHASA MATEMATIK MODEN
If a straight line be cut at random, the square
on the whole is equal to the squares on the
segments and twice the rectangle contained
by the segments. (Euclid, Elements, II.4,
300B.C.)
(a+b)2 = a2 + b2 + 2.a.b
The area of any circle is equal to a
rightangled triangle in which one of the
sides about the right angle is equal to the
radius, and the other to the circumference
of the circle.
(Archimedes, On the Sphere and the
Cylinder, 220B.C.)
A = r.2r/2 = r2
Jika kita mengekalkan peranan utama matematik sebagai penyelesaian masalah,
yang terdiri daripada masalah aktiviti model - operasi - mentafsir, maka matlamat
utama pembelajaran matematik ialah memproses terjemahan daripada suatu
masalah yang dirumuskan dalam bahasa ibunda kepada model matematik yang
ditulis dalam bahasa matematik.
1.1.2 Matematik Sebagai Teknologi Berfikir
"Teknologi pemikiran matematik adalah inti pati sains dan inti pati masyarakat yang
berasaskan teknologi "(Buchberger)
Teknologi pemikiran juga boleh diperoleh dalam mata pelajaran lain tetapi matematik
memerlukan cara khas dalam berfikir. Untuk menerangkan cara ini kita boleh
-
4 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
4
menggunakan "kreativiti lingkaran" Buchbergers
sebagai model cara pelajar memahami matematik
[Buchberger, 1992]. Lingkaran ini bermula dengan
pemerhatian, bahan atau masalah data, penyelesaian
yang boleh didapati dalam pembangunan algoritma
atau dalam penciptaan konsep baru. Model Kreativiti
Lingkaran Buchbergers merangkumi:
1.1.3 Matematik Sebagai Faktor Keselamatan Dalam Teknologi Moden
Realiti dunia pada hari ini, semakin maju sesebuah negara, maka semakin maju
teknologinya dan semakin besar juga gangguan ke atas keselamatan individu,
komuniti, syarikat dan negara. Justeru, bagaimana pula matematik dapat membantu
dalam aspek keselamatan?
Contoh yang pertama dapat dilihat pada
Kriptografi moden. Kriptografi moden ini
menyatukan disiplin matematik, sains
komputer dan kejuruteraan. Kriptografi
adalah teknik menyembunyikan maklumat
rahsia, biasanya dalam bentuk teknik-
teknik pengekodan, matematik, atau cara
lain dengan tujuan supaya mesej yang
disimpan atau dihantar hanya diketahui oleh mana-mana pihak yang berminat.
FASA 1: HEURISTIK (FASA
EKSPERIMENTAL)
Membangunkan andaian,
membentuk hipotesis, merangka
membuktikan idea-idea dan
strategi penyelesaian, konsep
asas masalah. Ciri-ciri bari aktiviti
ini ialah: munasabah, kesimpulan
induktif
FASA 2: FASA MEMPERSOAL
DAN MEMPERJELAS
Membuat andaian,
membuktikan
hipotesis,
pengaturcaraan
FASA 3: FASA APLIKASI
Menyelesaikan
masalah dengan
menggunakan konsep
dan algoritma
dibangunkan di fasa 1
dan 2: model, operasi
dan mentafsir.
2 Model Kreativiti Lingkaran Buchbergers
3 Bagaimana kriptografi berfungsi
-
5 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
5
Berhenti dan renungkan. Adakah sistem kriptografi ini dianggap selamat?
Apakah yang anda tahu mengenai Pubic Key Cryptography?
Selain itu, mesin ATM (Automatic Teller Machine) juga menggunakan matematik
dalam sistem sekuritinya. Mesin juruwang automatik (ATM) merupakan sejenis
peranti telekomunikasi berkomputer yang menyediakan capaian transaksi
kewangan kepada pelanggan institusi
kewangan di kawasan tumpuan awam tanpa
memerlukan juruwang manusia atau kerani
bank. Para pengguna akan memasukkan
nombor pin untuk mengakses mesin
tersebut.
1.2 MATEMATIK SEBAGAI KEGIATAN BUDAYA YANG
BERTERUSAN
Sepanjang sejarah, matematik telah digunakan oleh orang-orang yang berbeza
dalam pelbagai cara. Aritmetik dan geometri telah digunakan untuk memenuhi
keperluan harian rakyat. Orang-orang Mesir menggunakan geometri untuk membina
piramid dalam tujuan pengebumian (Burton, 1999). Kajian matematik yang
digunakan oleh orang-orang yang berbeza telah berkembang menjadi apa yang kini
dikenali sebagai etnomatematik. Etnomatematik ditakrifkan sebagai bagaimana
manusia pelbagai budaya menggunakan matematik dalam kehidupan seharian
mereka. Kumpulan budaya tidak hanya terhad kepada kaum semata-mata tetapi
konsepnya merangkumi lebih luas seperti golongan cerdik pandai.
Dr Chris Matthews, seorang lelaki Orang Asli dari Negara Quandamooka (Moreton
Bay, Queensland) menyatakan bahawa ia adalah penting untuk mempertimbangkan
bahawa budaya mempunyai kesan yang besar terhadap cara matematik dipelajari.
4 Papan kekunci mesin ATM
-
6 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
6
Beliau mencadangkan bahawa untuk memahami aspek-aspek budaya matematik,
adalah perlu untuk mengetahui apa itu matematik. Rajah di bawah menunjukkan
ringkasan Dr Matthews tentang pandangannya mengenai persoalan asas
epistemologi matematik. Beliau percaya pembangunan pedagogi yang berpusat
pada kitaran ini akan membawa kepada celik matematik tulen, membolehkan pelajar
untuk mencapai pada standard yang tinggi.
5 Epistemologi matematik oleh Dr. Matthews
Salah satu budaya yang berterusan di dalam matematik ialah Friezes (Dekorasi
Dinding). Friezes ialah satu konsep matematik untuk mengklasifikasikan corak pada
permukaan dua dimensi yang berulang-ulang dalam satu arah, erdasarkan Simetri
dalam corak.
Terdapat 7 corak dekorasi dinding asas yang pengaplikasikan konsep penjelmaan
(transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan pembesaran /
enlargement). John Conway mencipta nama-nama yang berkaitan dengan jejak
langkah bagi setiap kumpulan dekorasi dinding (F1 hingga F7).
-
7 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
7
-
8 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
8
Mosaic (Mozek)
Mosaic adalah seni mewujudkan imej-imej dengan himpunan kepingan kecil kaca
berwarna, batu atau bahan-bahan lain. Ia boleh menjadi satu teknik seni hiasan,
aspek hiasan dalaman, atau kepentingan budaya dan rohani seperti di beberapa
tempat terkenal tamadun dunia.
1. Roman Mosaic
-
9 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
9
2. Etruscan Mosaic
3. Girih islamic comlex mosaic
4. Dome of the Rock, Palestin
-
10 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
10
1.3 ASAS MATEMATIK KONTEMPORARI
Matematik kontemporari adalah jambatan kepada ilmu dan pengetahuan matematik.
Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu matematik untuk menjadikannya lebih
berkembang dan moden.
1.3.1 Enjin Carian Google.
Google mempunyai visi untuk mengatur maklumat dunia dan membuatkannya boleh
diakses secara universal. Proses enjin carian Google ini menggunakan prinsip
matriks dan algoritma.
Penggunaan matriks
Katakan setiap nod di sebelah kanan mempunyai link yang ditunjukkan dalam graf
yang diarahkan. Yang manakah nod yang paling penting dan akan muncul pada kali
yang pertama?
-
11 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
11
Berikut ialah kedudukan carian bagi setiap
laman sesawang yang dicari. Nombor satu
menunjukkan laman yang paling kurang
diakses dan nombor 10 adalah laman yang paling kerap dilayari pengguna internet.
Penggunaan Algoritma
PageRank adalah algoritma analisis link yang menyerahkan wajaran berangka untuk
setiap halaman Web, dengan tujuan untuk "mengukur" kepentingan relatif. Ia
berasaskan kepada peta hyperlink dan merupakan cara terbaik untuk
mengutamakan keutamaan carian kata kunci. Justeru bagaimana untuk mengiranya?
PR setiap halaman bergantung kepada PR di laman-laman menunjuk
kepadanya.
Tetapi kita tidak akan tahu apa yang PR halaman tersebut mempunyai
sehingga halaman menunjuk ke mereka mempunyai PR mereka dikira dan
sebagainya.
Jadi apa yang kita lakukan adalah membuat tekaan.
PR1 Very Poor. PR2 Poor. PR3 Average. PR4 Above Average. PR5 Good. PR6 Great. PR7 On Fire. PR8 Big. PR10 The Best.
-
12 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
12
Prinsip:
Ia tidak kira di mana anda bermula tekaan anda, apabila pengiraan PageRank telah
ditetapkan, "taburan kebarangkalian normal" (PageRank purata untuk semua muka
surat) akan menjadi 1.0.
Anggapkan 4 laman sesawang ialah A, B, C dan D. Biarkan setiap halaman bermula
dengan anggaran Page Rank sebanyak 0.25.
Pemerhatian: setiap halaman mempunyai sekurang-kurangnya PR 0.15 untuk
berkongsi keluar. Tetapi ini hanya mungkin dalam teori - terdapat khabar angin
bahawa Google menjalani fasa pasca spidering di mana mana-mana halaman yang
tidak mempunyai link masuk di semua benar-benar dihapuskan dari indeks ...
-
13 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
13
1.3.2 Global Positioning System (GPS)
GPS adalah sistem navigasi radio berasaskan satelit yang membolehkan sesiapa
sahaja di mana-mana di dunia ini untuk menentukan kedudukan mereka dengan
ketepatan yang besar dan tepat.
Komponen GPS:
a. Angkasa - Satelit
b. Kawalan - Stesen-stesen pemantauan di bumi
c. Pengguna - unit GPS seperti yang anda akan gunakan hari ini
Berapa banyak satelit yang membentuk GPS? 24 satelit GPS yang ada di orbit sekitar
12,000 batu di atas kita. Ia bergerak berterusan bergerak mengelilingi bumi 12 jam
dengan kelajuan 7,000 batu sejam. GPS juga memerlukan sekurang-kurangnya 3-4
satelit.
Bagaimana satelit bekerja?
Contoh:
Satu Kapal berada pada kedudukan yang tidak
diketahui dan tidak mempunyai jam. Ia menerima
isyarat serentak daripada 4 satelit, memberikan
kedudukan dan masa seperti yang ditunjukkan
dalam Jadual di bawah :
corresponds to latitude, to longitude and h to the ellipsoidal height,i.e.the length of the vertical P line to the ellipsoid.
-
14 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
14
1. Kira jarak dari kapal tersebut Isyarat itu dihantar pada masa 19.9 dan tiba pada
masa t. Perjalanan pada kelajuan .047, Jadi:
-
15 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
15
-
16 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
16
1.3.3 Kekunci Awam Kriptografi (Public Key Cryptography)
Berasal daripada perkataan Greek kryptos yang bermaksud tersembunyi dan
graphien untuk menulis. Kriptografi (Bruce Schneier) ilmu dan seni untuk menjaga
kerahsiaan berita.
Bagaimana Kriptografi berfungsi?
Berfungsi dalam sistem keselamatan rangkaian dan menjamin penyimpanan data.
Apa itu Kriptanalisis (Cryptanalisis)?
Seni dan ilmu untuk memecahkan ciphertext menjadi plaintext tanpa melalui cara
yang seharusnya (dekripsis).
Proses:
-
17 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
17
Algoritma Rivest-Shamir-Adleman (RSA)
RSA dicipta pada tahun 1978 dan dipaten pada 1983. Singkatan dari nama perintis
perintis iaitu Ron Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman dari Masschusetts
Institute of Technology.
Berikut ialah pengiraan inkripsi RSA:
Pengiraan:
Kekunci awam yang digunakan adalah (e,N).
Kekunci peribadi yang digunakan adalah d.
-
18 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
18
1.3.4 Pemampatan Imej Fraktal
10 hingga 15 tahun yang lalu, teknik fractal ini diperkenalkan dalam grafik computer.
Teknik ini menggunakan teori matematik Iterated Function System (IFS) yang
berasaskan Sistem Fungsi Pengulangan. Sistem ini dibangunkan oleh John
Hutchinson.
Apa yang dimaksudkan dengan pemampatan Imej Fraktal?
Bayangkan sejenis mesin fotokopi yang mengurangkan imej yang disalin kepada
separuh dan dalam masa yang sama, dihasilkan dalam tiga salinan imej.
Anda akan melihat kesemua salinan bertumpu kepada satu imej akhir.
-
19 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
19
Apabila mesin fotokopi menyusutkan input imej, maka sebarang imej permulaan yang
diletakkan pada mesin fotokopi akan menyusut kepada satu titik. Hakikatnya,
kedudukan dan orientasi salinan sahaja yang akan menentukan imej yang terakhir.
Pemampatan Fractal termasuk dalam kaedah mampatan tidak berkurang (lossy
compression). Terdapat kaedah tradisional yang lain tentang pemampatan imej dan
pemampatan fractal adalah merupakan salah satu yang terbaik. Walau bagaimana
pun, kaedah mampatan fractal didakwa mempunyai prestasi yang lebih baik kerana
ia menghasilkan anggaran yang lebih dekat kepada imej asal pada nisbah mampatan
yang lebih tinggi.
Apakah yang terkandung dalam Pemampatan Imej Fraktal?
- Affine transformation
- Iterated function system (IFS)
- Self-similarity in images
- Partition iterated function system
- Encoding images
- Encoding colour images
Salah satu sistem yang diguna pakai dalam pemampatan imej fractal ini ialah
Transformasi Affine (Affine Transformation). Affine transformation bagi sesuatu
imej adalah sebarang kombinasi bagi putaran, perubahan skala, condongan ataupun
translasi.
Contoh:
Imej yang diputar 90 darjah, dan diskalakan, akan membentuk affine transformation
-
20 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
20
-
21 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
21
Kesimpulan: pemampatan imej fractal masih dalam pembangunan. Penyelidik dan
syarikat-syarikat teknologi masih lagi mencuba membentuk algoritma baru untuk
mengurangkan masa pengekodan.
1.3.5 Sistem Binari
Sebuah sistem mempersembahkan nombor menggunakan asas 2. Nombor-nombor
(1, 2, 3, 4, 5, ...) dipersembahkan dengan diwakili dengan digit 0 dan 1. Ahli
matematik melihat sistem binari ini sebagai suatu alat berkembangnya ilmu sains
komputer dan kecanggihan peranti elektronik.
-
22 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
22
Secara ringkasnya, nilai tempat bagi sistem binari adalah:
100001 = (1 x 25) + (1 x 20) = 32 + 1 = 33 (nombor desimal)
Sistem binari ini digunapakai secara meluas dalam kebanyakan peranti dan litar
elektronik yang menggunakan get logik (yang mana input dan outputnya diwakili
oleh digit 0 dan 1). Contoh peranti yang menggunakan sistem binari ialah:
Kalkulator
Komputer
Mesin taip elektronik
Penggunaan sistem binari dalam kod ASCII
ASCII ialah American Standard Code for Information Interchange. Ia digunakan
secara meluas dalam bidang mikrokomputer. Kod ASCII ini mewakili symbol pada
papan kekunci komputer. Terdapat 127 kod ASCII yang mewakili 127 simbol
kesemuanya.
Contoh Kod ASCII:
-
23 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK
23
Secara kesimpulannya, matematik banyak digunakan dalam pelbagai bidang di
dunia. Di bawah ini merupakan rumusan berkenaan bidang-bidang yang
menggunakan matematik:
Aritmetik : kewangan, perakaunan, perbankan, insurans
Statistik : insurans, penyelidikan, pemasaran, hubungan awam
Geometri : arkitektur, reka bentuk, seni bina, GPS
Kalkulus : arkitektur, reka bentuk, seni bina
Algebra : penyelesaian masalah, kriptografi, enjin pencarian