kalkulus i - kuliah matematika - materi

18
Kalkulus I Nama: Yusep Jaelani NIM: 601190001 Prodi: Matematika UNIVERSITAS BALE BANDUNG KAB. BANDUNG 2019 1

Upload: others

Post on 16-Oct-2021

24 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Kalkulus I

Nama: Yusep JaelaniNIM: 601190001

Prodi: Matematika

UNIVERSITAS BALE BANDUNGKAB. BANDUNG

2019

1

Page 2: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Daftar Isi

1 PENDAHULUAN 51.1 Sistem Bilangan Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operasi Bilangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Urutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Pertaksamaan/Ketaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Ketaksamaan Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 FUNGSI DAN LIMIT 102.1 Fungsi dan Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Notasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Daerah Asal dan Daerah Hasil . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Daerah Asal Alami (Natural Domain) . . . . . . . . . . 112.1.4 Variabel Bebas dan Variabel Terikat . . . . . . . . . . 122.1.5 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.6 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Operasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Komposisi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Pengertian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Definisi Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

Page 3: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Daftar Tabel

1 Penulisan Selang Grafik Ketaksamaan . . . . . . . . . . . . . . 72 Kesamaan Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3

Page 4: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Daftar Gambar

1 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Domain dan Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Grafik Fungsi Genap dan Ganjil . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Nilai Sudut Istimewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Grafik Fungsi Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Grafik Fungsi Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Grafik Fungsi Tangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 Tabel dan Grafik Permasalahan Limit . . . . . . . . . . . . . . 1711 Grafik Limit f(x) mendekati nilai c . . . . . . . . . . . . . . . 18

4

Page 5: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

1 PENDAHULUAN

Kalkulus berasal dari bahas latin calculus yang berarti ”batu kecil”untukmenghitung. Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit,turunan, integral, dan deret tak terhingga serta ilmu yang mempelajari per-ubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yangmempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan permasalahan.Kalkulus juga dapat diaplikasikan lebih dalam lagi, bisa dalam bidang sains,ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidakdapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Dalam sejarahnya, Kalkulus dikembangkan secara terpisah oleh dua orangilmuwan pada saat itu, yaitu Sir Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leib-niz. Newton mengaplikasikan ilmunya ke bidang fisika, dan Leibniz berkon-tribusi pada pengembangan notasi kalkulus seperti yang dikenal saat ini.

Kemudian, kalkulus juga berperan penting pada bidang-bidang yang la-in, seperti di bidang sains, teknik, ekonomi, dan lain sebagainya. Biasanya,kalkulus digunakan untuk memecahkan berbagai masalah penting yang solu-sinya tak dapat dipecahkan dengan metode aljabar elementer. Oleh karenaitu digunakanlah kalkulus untuk memecahkan masalah itu.

1.1 Sistem Bilangan Real

Untuk mempelajari kalkulus, kita perlu memahami bahasan tetang sistembilangan real, karena di kalkulus ini didasari dengan sistem bilangan realbeserta sifat-sifatnya.

Pada sistem bilangan yang kita kenal, dapat dijabarkan beberapa, sebagaiberikut.

1. Bilangan bulat yaitu bilangan yang dimulai dari bilangan negatif, nol,dan positif, B = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

2. Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari 0, C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

3. Bilangan asli adalah bilangan real yang dimulai dari bilangan 1, A ={1, 2, 3, 4, 5, ...}

4. Bilangan prima adalah bilangan yang dapat dibagi 1 dan bilangan itusendiri, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}

5

Page 6: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

5. Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi dua,G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}

6. Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak dapat dibagi dua, G ={1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

7. Bilangan komposit adalah bilangan bukan nol, bukan satu dan bukanprima, K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...}

8. Bilangan kosong adalah bilangan yang tidak punya anggota, K = {}

9. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk ab

atau disebut pecahan. P = {12, 23, ...}

10. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalambentuk a

b, contoh π,

√3

1.2 Operasi Bilangan

Mungkin sudah pada kenal dengan operasi penjumlahan dan perkalian.Misalkan a dan b bilangan real, maka penjumlahan a dan b ditulis a+ b danperkalian a dan b ditulis a.b atau secara singkatnya ditulis ab.Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan sebagai berikut.

• Hukum komutatif: a+ b = b+ a dan ab = ba

• Hukum asosiatif: a+ (b+ c) = (a+ b) + c dan a(bc) = (ab)c

• Hukum distributif: a(b+ c) = ab+ ac

• Elemen-elemen identitas:Terhadap penjumlahan: 0 sebab a+ 0 = aTerhadap perkalian: 1 sebab a.1 = a

• Invers (Kebalikan):Setiap bilangan real a mempunyai invers aditif (disebut juga negatif)−a yang memenuhi a+−a = 0 dan setiap bilangan real yang tidak nolmempunyai invers multiplikasi (disebut juga balikan) yaitu a−1 yangmemenuhi a.a−1 = 1.Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dengan −b = a + (−b) danab

= a.b−1.

6

Page 7: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

1.3 Urutan

Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan, yaitu him-punan bilangan positif dan himpunan bilangan negatif. Berdasarkan fakta,diperkenalkan relasi urutan < (dibaca ”kurang dari”) yang didefinisikan de-ngan:x < y jika dan hanya jika y − x positifx < y mempunyai arti yang sama dengan y > x

Contoh Soal 1.1

1. 4− 3(8− 12)− 6 = 4− 6− 3(−4) = −2 + 12 = 10

2. 56− [1

4+ 2

3] = 5

6− [3+8

12] = 5

6− 11

12= 10−11

12= − 1

12

3. (2x− 3)(2x+ 3) = 4x2 + 6x− 6x− 9 = 4x2 − 9

1.4 Pertaksamaan/Ketaksamaan

Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan bi-langan riil yang membuat ketaksamaan berlaku, biasanya terdiri dari suatukeseluruhan selang bilangan, atau dalam beberapa kasus, suatu gabungan da-ri selang-selang demikian. Ketaksamaan pasti memiliki dua variabel a danb. Dituliskan dengan tanda kurang dari atau lebih dari seperti a < x < b,lalu dinyatakan dengan lambang (a,b) dan bisa dibentuk sebuah grafik garis.

Tabel 1: Penulisan Selang Grafik Ketaksamaan

7

Page 8: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Contoh: Selesaikan ketaksamaan berikut dan perlihatkan grafiknya.

1. 2x− 7 < 4x− 2

2. x−2x+2≥ 0

Jawab:

1.

2x− 7 < 4x− 2−7 + 2 < 4x− 2x−5 < 2x−5

2< x

2. x−2x+2≥ 0

hanya berubah tanda pada pembilang dan penyebut yaitu 1 dan -2.Namun -2 mempunyai hasil tak terdefinisisehingga penyelesaiannya adalah (−∞,−2) ∪ (1,∞)

1.5 Ketaksamaan Nilai Mutlak

Definisi:

|x| = x jika x ≥ 0|x| = −x jika x < 0

Misalnya, |3| = 3 dan | − 3| = −(−3) = 3. Dengan demikian, |x| tidakpernah negatif.Sifat-sifat nilai mutlak:

1. |ab| = |a||b|

2. |a||b| = |a||b|

3. |a+ b| ≤ |a|+ |b| (ketaksamaan segitiga)

4. |a− b| ≥ ||a| = |b||

Ketaksamaan nilai mutlak juga dapat diselesaikan dengan menggunakansifat-sifat berikut ini.

1. |x| < a↔ −a < x < a

2. |x| > a↔ x < −a atau x > a

8

Page 9: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

3. |x| =√x2

4. |x|2 = x2

5. |x| < |y| ↔ x2 < y2

Contoh:

1. Selesaikan ketaksamaan dari |x| < 3 dan perlihatkan himpunan penye-lesaiannya pada garis riil.

2. Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Carilah bilangan positifδ (delta) sedemikian sehingga |x− 3| < δ → |6x− 18| < ε

Jawab:

1. |x| < 3−3 < x < 3← |x| < a↔ −a < x < a

2.|6x− 18| < ε ↔ |6(x− 3)| < ε

↔ 6|x− 3| < ε (|ab| = |a||b|)↔ |x− 3| < ε

6(kalikan 1

6)

Karenanya, kita pilih δ = ε6

secara mundur, terlihat bahwa:|x− 3| < δ → |6x− 18| < ε

9

Page 10: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

2 FUNGSI DAN LIMIT

2.1 Fungsi dan Grafik

Gambar 1: Grafik Fungsi

Fungsi f dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan tiap-tiapanggota A dengan tepat satu anggota B. Himpunan A selanjutnya disebut se-bagai daerah asal dan himpunan B disebut daerah kawan. Himpunan semuaanggota B merupakan peta atau bayangan dari unsur A disebut himpunannilai fungsi f dan disebut jelajah fungsi f . Jika fungsi f memetakan sebagiansaja anggota A ke himpunan B maka daerah asal dari f dikatakan daerahasal alamiah. Pada notasi y = f(x), x dikatakan peubah bebas dan y dika-takan peubah terikat.

2.1.1 Notasi Fungsi

Untuk memberi nama fungsi dipakai huruf f(x), g(x) atau F(x). Maka f(x)dibaca f dari x atau f pada x.Contoh: Diketahui f(x)=x3 − 4, berapakah jika f(2)?f(x) = x3 − 4f(2) = (2)3 − 4f(2) = 8− 4f(2) = 4

10

Page 11: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

2.1.2 Daerah Asal dan Daerah Hasil

Daerah asal (domain) adalah himpunan semua bilangan real yang menye-babkan aturan fungsi berlaku/terdefinisi, dimana himpunan elemen-elemenfungsi itu mendapat nilai. Sedangkan daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian yang berisi semua pasangan dari daerahasal. Untuk menyebutkan suatu fungsi secara lengkap, selain korespondensi-nya maka harus menyebutkan daerah asal fungsi tersebut.Contoh: f(x)=x2 + 1 dengan daerah asal {−1, 0, 1, 2, 3}Sehingga daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}

Gambar 2: Domain dan Range

2.1.3 Daerah Asal Alami (Natural Domain)

Jika sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan, maka daerah asalnyaadalah himpunan bilangan real terbesar sehingga aturan fungsi ada makna-nya dan memberikan nilai bilangan real.Contoh: Carilah daerah asal mula (natural) dari fungsi,

1. f(x)= 1(x−3)

2. f(x)=√

4− x2

3. f(x)= 1√x2−x−12

Jawab:

1. f(x)= 1(x−3)

Daerah asal mula untuk f adalah {x ∈ R : x 6= 3}. Ini dibaca ”him-punan x dalam R (bilangan real) sedemikian sehingga x tidak samadengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.

11

Page 12: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

2. f(x)=√

4− x2, fungsi irasional terdefinisi jika bagian di bawah tandaakar positif atau nol, maka 4 − x2 ≥ 0 atau x2 − 4 ≤ 0 difaktorkan(x + 2)(x − 2) ≤ 0 atau −2 ≤ x ≤ 2. Jadi, daerah asal alami fungsiadalah Df = {x|x ∈ R,−2 ≤ x ≤ 2}.

3. f(x)= 1√x2−x−12 , fungsi pecahan irasonal jika bagian penyebut x2−x−

12 > 0 atau (x − 4)(x + 3) > 0 maka x < 3 atau x > 4. Jadi, daerahasal alami fungsi adalah Df = {x|x ∈ R, x < 3 atau x > 3}.

2.1.4 Variabel Bebas dan Variabel Terikat

Jika aturan fungsi diberikan oleh persamaan:y = f(x)maka x → variabel bebas (independent variable)y → variabel terikat (dependent variable)

2.1.5 Grafik Fungsi

Gambar 3: Grafik Fungsi

2.1.6 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f(−a)= f(a) atau f(−x)=f(x). Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu −y. Contoh:

1. g(x)= x3 − 2xg(−x)= (−x)3 − 2(−x) = −x3 + 2x = −(x3 − 2x) = −g(x)

2. Apakah f(x)= x3+3xx4−3x2+4

genap, ganjil, atau bukan keduanya?

f(−x)= (−x)3+3(−x)(−x)4−3(−x)2+4

= −(x3+3x)x4−3x2+4

= −f(x)

12

Page 13: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Gambar 4: Grafik Fungsi Genap dan Ganjil

2.2 Operasi Fungsi

Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f+g, selisih f−g, hasil kali fg, hasilbagi f

gdan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa

irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dirumuskan sebagai berikut.

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• (f − g)(x) = f(x)− g(x)

• (fg)(x) = f(x)g(x)

• (fg)(x) = f(x)

g(x), asalkan g(x) = 0

Contoh:Jika f(x) = x2 − 2x dan g(x) = x− 1, tentukan:a. f + g c. f

g

b. f − g d. f 2

Jawab:a. f + g = (x2 − 2x) + (x− 1) = (x2 − x− 1)b. f − g = (x2 − 2x)− (x− 1) = (x2 − 3x+ 1)

c. fg

= (x2−2x)(x−1) = x(x−2)

(x−1)d. f 2 = (x2 − 2x)2 = x4 − 4x2 + 4x2 = x4

2.2.1 Komposisi Fungsi

Jika f dan g dua fungsi maka dengan daerah asal g merupakan daerahhasil f maka komposisi (g ◦ f) = g(f(x))Contoh: Jika f(x) = x2 − 2x dan g(x) = x− 1, tentukan g ◦ f dan f ◦ g

13

Page 14: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

a. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 − 2x) = x2 − 2x− 1b. (f ◦g)(x) = f(g(x)) = f(x−1) = (x−1)2−2(x−1) = x2−2x−1−2x+2 =x2 − 4x+ 1

2.2.2 Fungsi Trigonometri

Gambar 5: Fungsi Trigonometri

Gambar 6: Nilai Sudut Istimewa

14

Page 15: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Berikut adalah grafik-grafik fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen.

Gambar 7: Grafik Fungsi Sinus

Gambar 8: Grafik Fungsi Cosinus

Gambar 9: Grafik Fungsi Tangen

15

Page 16: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

Kesamaan TrigonometriKesamaan Ganjil genap Kesamaan ko fungsi:sin(−x) = −sinx sin(π

2− x = cosx)

cos(−x) = cosx cos(π2− x) = sinx

tan(−x) = −tanx tan(π2− x) = cotx

Kesamaan Penambahan: Kesamaan sudut ganda:sin(x+ y) = sinxcosx+ cosxsinx sin2x = 2sinxcosx

cos(x+ y) = cosxcosy − sinxsinycos2x = cos2x− sin2x

= 2cos2x− 1= 1− 2sin2x

tan(x+ y) = tanx+tany1−tanxtany

Kesamaan Jumlah: Kesamaan Pythagoras:sinx+ cosy = 2sin(x+y

2)cos(x−y

2) sin2t+ cost = 1

cosx+ cosy = 2cos(x+y2

)cos(x−y2

) 1 + tan2t = sec2t1 + cot2t = csc2t

Kesamaan hasil kali:sinxsiny = −1

2(cos(x+ y)− cos(x− y))

cosxcosy = 12(cos(x+ y) + cos(x− y))

tanx = sinxcosx

cotx = cosxsinx

secx = 1cosx

cscx = 1sinx

sinxcosy = 12(sin(x+ y) + sin(x− y))

Tabel 2: Kesamaan Trigonometri

Contoh: Periksalah kebenaran dari kesamaan-kesamaan berikut.

1. 1 + tan2t = sec2t

2. 1 + cot2t = csc2t

Jawab:

1. 1 + tan2t = sec2t1 + tan2t = 1 + sin2t

cost= cos2t+sin2t

cos2t= 1

cos2t= sec2t

2. 1 + cot2t = csc2t1 + cot2t = 1 + cos2t

sin2t= sin2t+cos2t

sin2t= 1

sin2t= csc2t

16

Page 17: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

2.3 Pengertian Limit

Perkataan limit berarti mendekati, untuk memahami limit kita awali de-ngan pemahaman secara intuisi.f(x) = x3−1

x−1

Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berben-tuk 0

0. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat

dengan 1(x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x sepertiterlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x)

Gambar 10: Tabel dan Grafik Permasalahan Limit

mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskandengan:

limx→1

x3 − 1

x− 1= 3

Dan ini dibaca ”limit x3−1x−1 untuk x mendekati 1 adalah 3”. Dalam contoh

ini kita menghubungkan limit limit dengan fungsi dekat dengan 1. Bukan di1.Secara bentuk aljabar:

limx→1x3−1x−1 = limx→1

(x−1)(x2+x+1x−1 = limx→1(x

2 + x+ 1) = 12 + 1 + 1 = 3

17

Page 18: Kalkulus I - Kuliah Matematika - Materi

2.3.1 Definisi Limit

Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c ∈ I. Fungsi f(x) dika-takan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semuatitik pada I

{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak.

Berapakah nilai limit f(x) ketika x mendekati c?

Gambar 11: Grafik Limit f(x) mendekati nilai c

(Pengertian limit secara intuisi) untuk menyatakan bahwa limF (x)x→c =L berarti bahwa bilangan x dekat tetapi berlainan dari c maka f(x) dekatke L.

Definisi: suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x disekitar c,maka limx→c f(x) = L jika dan hanya jika limx→c− f(x) = limx→c+ f(x) = L.

Contoh:Fungsi f(x) = x + 1 dengan daerah asal Df = {x|x ∈ R}, akan ditentukandengan nilai fungsi f(x) jika x mendekati 2.x 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,02 2,1 2,2 2,3

x+1 2,8 2,9 2,99 ... 3,01 3,02 3,1 3,2 3,3

Dari tabel tampak bahwa fungsi f(x) = x+1 mendekati nilai L = 3 jika xmendekati 2, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. Dengan demikiandapat ditulis bahwa: limx→2 f(x) = limx→2(x+ 1) = 3

18