Materi Pokok 24LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTIONS) - 1

Konvergen Dalam Fungsi Sebaran

Definisi :Misalkan Fn(y) merupakan fungsi sebaran dari peubah acak Yn yang tergantung pada ukuran contoh = n. Jika F(y) adalah fungsi sebaran bagi Y dan jika untuk setiap y dan F(y) kontinu maka peubah acak Yn disebut mempunyai sebaran limit terhadap fungsi sebaran F(y); sekuens Y1, Y2,..., Yn adalah konvergen dalam fungsi sebaran F(y).

y Fy Flim n n

Aplikasi Limit Sebaran Contoh 1.Misalkan X1, X2,..., Xn merupakan contoh acak berukuran n dan Yn merupakan urutan ke n dalam contoh, fungsi kepekatan peluang dari X1, X2,..., Xn adalah

Fungsi kepekatan peluang dari Yn adalah

selainnyauntuk 0,

θ x 0 ; θ 0 ; θ1 x f

lainnya nilaiuntuk o,

θy0 ,θ

nyy g

n

1n

n

Fungsi sebaran dari Yn adalah

Suatu sebaran diskrit yang peluangnya sama dengan satu pada satu titik disebut degenerate distribution dan Yn konvergen dalam f. Sebaran pada titik y =

y Fy FlimJadi

y θ 1,

θy 0,y F

y θ 1,

θy 0,y Flim

maka

yθ , 1

θy0 , θy

dz θ

n Z

0y, 0

y F

n n

n n

y

0n

1n

n

Contoh 2 : Misalkan mempunyai fungsi sebaran

nX

kontinu yang x F titik setiap x F x F Lim sehingga

0 x1,

0 x0, xF

dan

0 x1,

0 x,21

0 x0,

xFn Lim

dan dν e 2π1

xFn maka

nω νacak peubah kan Substitusi

dω e 2π

n1

1 xFn

n n

n

22ν-xn

-

22nω-x

-

Contoh 3Jika sekuens konvergen dalam sebaran untuk peubah acak X umumnya tidak dapat menentukan sebaran X dengan menentukan limit fungsi kepekatan peluang dari Xn.Bila fungsi kepekatan peluang

maka untuk semua nilai x sehingga Xn, n = 1, 2, 3,.... tidak konvergen dalam fungsi sebaran.Fungsi sebaran dari Xn adalah

... X ,X ,X 3,21

lainnyauntuk x 0,n1

2 x1, x fn

0x flim n n

n1

2 x1,

n1

2 x0,x Fn

untuk semua titik kontinu dari F(x),

sekuens X1, X2, X3,… konvergen dalam sebaran untuk contoh acak dalam fungsi sebaran F(x)

Contoh 4 :Misalkan Yn melambangkan statistik urutan ke n contoh acak dari sebaran seragam (uniform)dengan fungsi kepekatan

x F x F Lim karena

2 x1,

2 x0,x F

2 x1,

2 x0,x FLimit

n n

n n

θ o θ, x 0 , θ1

x f

Ambil Zn = n (-Yn) maka fungsi kepekatan peluang dari Zn adalah

zθn , 1

nθz0 , nθz

1 1

0z , 0

z G

zθn , 1

θn z0 ,dθ

ω/nθ

0z , 0

z G

z G Zdarisebaran fungsidan lainnya z 0,

θn x0 ,θ

z/nθz h

n

n

z

0n

1n

n

nn

n

1n

n

z0 ,e1

0z , 0zG

z0 ,e1

0z , 0z GLim

z/θ

z/θn n

Contoh 5 :Peubah acak Tn mempunyai sebaran t dengan nderajat bebas, n =1, 2, 3,… Fungsi sebarannya:

t

21nn dy 2/ny 1

1

n/2 Γ πn21n τ

(t)F

2n2

n 21

2 n

n n

n

t

- n n

t

- n n

n n

nn

ny

1 2n

1 lim

ny 1

1 lim x

2n τ2n21 n τ

lim y F lim

dy y f lim

dy y f lim t Flim

T dari peluangkepekatan fungsi y f

dimana

baku. normalsebaran limit mempunyaiTn Jadi

dy e 2π1

t Flim

sehingga eny

1 limingat

t

-22y

nn

2yn2

n

Materi pokok 25LIMIT SEBARAN (LIMIT DISTRIBUTION) - 2

Konvergensi dalam Peluang

Definisi: Suatu sekuens peubah acak X1, X2, X3, ….. Konvergen dalam

peluang terhadap peubah acah X, jika untuk setiap > 0,

0 XnX P

n Lim

atau 1 XnX P n

Lim

Contoh 1Misalkan melambangkan nilai tengah contoh acak berukuran n dari sebaran yang mempunyai nilai tengah dan ragam 2 maka nilai tengah dan ragam dari adalah berturut-turut dan 2/n.

Perhatikan untuk > 0:

Berdasarkan ketaksamaan chebyshev peluang tersebut kurang atau sama dengan 1/k2 = 2/ne2 sehingga

n

_X

n

_X

σn k dengan n

kσ μ n

__X P μ n

__X P

0 2n

2σ

n Lim μn

_X P

n Lim

Akibatnya konvergen dalam peluang terhadap jika 2 tertentu (finite). Jika finite maka konvergen dalam peluang dan hasil ini disebut WLLN (The Weak Law of Large Numbers).

Suatu sifat konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh

dan dalam hal ini disebut Yn , n = 1, 2, 3, …. konvergen ke c dengan peluang 1. Jadi bila sebagai nilai tengah contoh acak yang konvergen dengan peluang 1 terhadap nilai tengah sebaran = maka bentuk ini merupakan bentuk SLLN (The Strong Law of Large Numbers).

..... 3, 2, 1, n , _X n

n

_X

1 c nY n

Lim P

..... 3, 2, 1, n , _X n

Teorema IBila Fn (y) melambangkan fungsi sebaran peubah acak Yn yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat positif n dan c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n.Sekuens Yn , n = 1, 2, 3,…. konvergen dalam peluang terhadap c jika dan hanya jika limit sebaran degenerate pada y = c.

Limit Fungsi pembangkit MomenUntuk menentukan Limit fungsi sebaran suatu peubah acak Yn perlu mengetahui fungsi kepekatan peluang f(y) atau fungsi sebaran Fn(y) untuk setiap n bulat positif, tetapi jika ada fungsi pembangkit momen Yn = M (t; n) dapat digunakan untuk menentukan limit fungsi sebaran.

Teorema 2Misalkan peubah acak Yn mempunyai fungsi sebaran Fn(y) dan fungsi pembangkit momen M(t; n) ada pada selang –h < t < h untuk semua n. Jika ada fungsi sebaran F(y), dengan fungsi pembangkit momen M(t) yang ada pada |t| h1 < h sedemikian sehingga maka Yn mempunyai limit fungsi

sebaran dengan fungsi sebaran F(y).

tM n t;Mn

Lim

0 n ψ n

Lim Bila

bce cn

nb

1 n

Lim

cn

nψ(n)

nb

1 n

Lim

Ingat,

22te

n/2

nn

3t

n

2t 1

nLim

rtentuuntuk t te

n3t n ψdan

21

c ,2t buntuk

n/2

nn3t

n

2t 1

nLim

n/2

3/2n

3t

n

2t 1

nLim

Contoh 2Misalkan Yn mempunyai sebaran binomial b(n,p), = np adalah sama untuk setiap n sehingga dimana adalah konstanta. Tentukan

Untuk semua nilai t yang nyata akibatnya:

nμ p

nt; M n

Lim

n

n

1teu 1

n tpe p1 nty

e E nt; M

1teμ e nt; M

nLim

Karena ada sebaran yang mempunyai fungsi pembangkit momen seperti itu yakni sebaran Poisson maka limit dari Yn adalah sebaran Poisson.Hasil dari contoh di atas menunjukkan bahwa dapat digunakan sebaran Poisson untuk memperkirakan sebaran binomial bila n besar dan p kecil misalnya untuk n = 50, dan p = maka

dan dengan pendekatan Poisson = np = 2 maka P (Y 1) = e-2 + 2e-2 = 0, 406

251

400 0, 49

2524

251

50 50

2524

1Y P

Contoh 3Misalkan Zn ~ X12 maka fungsi pembangkit momen Zn = M (t; n) = (1 – 2t) –n/2, untuk ½. Nilai tengah dan ragam Zn berturut-turut n dan 2n.Cari limit sebaran .

Fungsi pembangkit momen Yn adalah

2nnnZ nY

2n

nnZ t exp E nt; M

2n

t, n/2

2/nte n2

t 2/nte

22n

t, n/2

2n1

2-1

ee nt; M

2

n

n

2t- exp

)2nntZ

( E 2ntn/

Menurut Taylor ada bilangan (n) antara 0 dan sehingga

Maka

n2t

3n Σ22/nt

n2

t 6

e

n2

t 21

2/n t 1 e

baku. normalsebaran limit mempunyai 2nnZ Y

sehingga te nt; M Lim

3ne t2

- n t2

- n

n Σe t2 n ψ

dengan nn ψ

nt

1 nt; M

nn

22

n

n Σ43

3

3

n/22