matematika dasar 2a€¦ · ruang). fungsi dua variabel merupakan perluasan konsep dari fungsi satu...

MATEMATIKA DASAR 2A

Modul 9: Fungsi Dua Variabel Bebas

Tim Matematika

TAHAP PERSIAPAN BERSAMA

INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN

16 JANUARI 2019

Fungsi Dua Variabel Bebas Fungsi Dua Variabel

1

PENDAHULUAN

Pada modul ini akan dijelaskan mengenai fungsi dengan dua variabel

bebas atau cukup dengan menyebutkannya sebagai fungsi dua variabel,

mulai dari bentuk fungsi, domain, dan grafik fungsinya (permukaan pada

ruang). Fungsi dua variabel merupakan perluasan konsep dari fungsi satu

variabel yang selama ini dipelajari pada modul-modul sebelumnya, termasuk

pada Matematika Dasar 1A.

Setelah mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa mampu

1. Menjelaskan ulang konsep fungsi dua variabel

2. Menentukan domain natural dari suatu fungsi dua variabel

3. Menggunakan kurva ketinggian untuk menganalisa suatu permukaan

4. Menentukan limit fungsi dua variabel

5. Menentukan kekontinuan suatu fungsi dua variabel


2

MATERI PERKULIAHAN

Fungsi Dua Variabel

Fungsi dengan dua variabel bebas atau cukup disebut sebagai fungsi dua

variabel merupakan perluasan konsep dari fungsi satu variabel yang selama

ini dipelajari pada modul-modul sebelumnya. Pada fungsi satu variabel

mempunyai bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥), dengan 𝑓: 𝑅 → 𝑅, yaitu pemetaan dari 𝑅 ke 𝑅.

Dalam hal ini, variabel 𝑥 merupakan variabel bebas, dan 𝑦 variabel tak

bebas. Fungsi ini memetakan setiap nilai 𝑥 pada domain ke tepat satu nilai 𝑦

pada kodomain. Sebagai contoh untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, jika diambil nilai 𝑥 =

2, maka didapatkan tepat satu nilai 𝑦, yaitu 𝑦 = 𝑓(2) = 2(2) − 1 = 3. Satu nilai

𝑥 dapat diartikan sebagai titik pada sumbu-𝑥, dan nilai 𝑦 yang terkait diwakili

oleh satu titik pada sumbu-𝑦. Sebagai ilustrasi dapat dilihat

Gambar 1 (a).

(a) (b)

Gambar 1 (a) Ilustrasi contoh fungsi satu variabel, yaitu 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. Satu

nilai 𝑥 = 2 memiliki tepat satu pasangan 𝑦 = 3. (b) Ilustrasi contoh fungsi dua

variabel, yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥 − 2𝑦. Satu pasang nilai (𝑥, 𝑦) = (1,2) memiliki

tepat satu pasangan 𝑧 = −3.

𝑥

𝑦 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥 − 2𝑦

𝑥 𝑦

𝑧

(1,2,0)

(1,2, −3)


3

Pada fuungsi dua variabel mempunyai bentuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dengan 𝑓: 𝑅2 → 𝑅,

yaitu pemetaan dari 𝑅2 ke 𝑅. Dalam hal ini, variabel 𝑥 dan 𝑦 merupakan

variabel bebas, dan 𝑧 merupakan variabel tak bebas. Fungsi ini memetakan

setiap pasang nilai (𝑥, 𝑦) di domain ke tepat satu nilai 𝑧 di kodomain. Sebagai

contoh untuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥 − 2𝑦, jika diambil satu pasang nilai (𝑥, 𝑦) misal

𝑥 = 1 dan 𝑦 = 2 atau dapat dituliskan sebagai (𝑥, 𝑦) = (1,2), maka

didapatkan tepat satu nilai 𝑧, yaitu 𝑧 = 𝑓(1,2) = 2 − (1) − 2(2) = −3. Satu

pasang nilai (𝑥, 𝑦) dapat juga diartikan sebagai titik pada bidang-𝑥𝑦, dan

nilai 𝑧 yang terkait diwakili oleh satu titik pada sumbu-𝑧. Sebagai ilustrasi

dapat dilihat

Gambar 1 (b),

Contoh:

Diberikan fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2, tentukan nilai fungsi 𝑔 di titik (𝑥, 𝑦)

berikut ini,

a. (𝑥, 𝑦) = (3,1)

b. (𝑥, 𝑦) = (2,4)

c. (𝑥, 𝑦) = (3,4)

d. (𝑥, 𝑦) = (−1,1)

e. (𝑥, 𝑦) = (𝑎3, 𝑏 + 1)

Jawab:

a. 𝑔(3,1) = √(3)2 + (1)2 = √9 + 1 = √10

b. 𝑔(2,4) = √(2)2 + (4)2 = √4 + 16 = √20 = 2 √5

c. 𝑔(3,4) = √(3)2 + (4)2 = √9 + 16 = √25 = 5

d. 𝑔(−1,1) = √(−1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2

e. 𝑔(𝑎, b + 1) = √(a3)2 + (b + 1)2 = √𝑎6 + (𝑏 + 1)2

Secara geometri, jika dilihat bentuk grafik fungsinya, grafik dari fungsi

satu variabel dapat diartikan sebagai kurva pada bidang atau 𝑅2,

sedangkan grafik dari fungsi dua variabel dapat diartikan sebagai

permukaan pada ruang atau 𝑅3, pada contoh di atas permukaan dari fungsi

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 berupa bidang (permukaan datar) yang miring.

Fungsi Dua Variabel Bebas Domain Fungsi Dua Variabel

4

Domain Fungsi Dua Variabel

Pada fungsi satu variabel dikenal istilah domain (daerah asal/daerah

definisi), yang terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu domain yang ditentukan

secara langsung dan domain natural. Begitu juga pada fungsi dua variabel.

Sebagai pengingat bahwa, suatu fungsi belum didefinisikan secara lengkap

jika domain dari fungsi tersebut tidak disebutkan secara eksplisit. Domain

pada fungsi satu variabel merupakan kumpulan titik-titik pada absis (sumbu-

𝑥), sedangkan domain pada fungsi dua variabel merupakan titik-titik pada

bidang (bidang-𝑥𝑦).

1. Domain yang diberikan secara langsung

Sebagai contoh, diberikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 dengan domain 𝐷 =

{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|−2 ≤ 𝑥 ≤ 2, −2 ≤ 𝑦 ≤ 2}

Dapat diartikan bahwa grafik dari fungsi di atas merupakan permukaan

yang berada di atas bidang-𝑥𝑦 dengan −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 dan −2 ≤ 𝑦 ≤ 2

Perhatikan ilustrasi berikut ini.

Gambar 2

Domain fungsi di atas dapat dilihat pada bidang datar yang diberi warna

abu-abu. Permukaan yang didapatkan merupakan kumpulan semua titik

yang didapatkan dari nilai fungsi 𝑓 pada domain yang diberikan, yaitu

titik-titik pada bidang datar yang diberi warna abu-abu. Perhatikan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2

𝑥

𝑦

𝑧


5

Gambar 2, untuk (𝑥, 𝑦) = (1,1) mempunyai nilai fungsi yaitu 𝑧 = 2,

sedangkan untuk (𝑥, 𝑦) = (−2,2) mempunyai nilai fungsi yaitu 𝑧 = 8, dan

seterusnya.

2. Domain natural

Jika suatu fungsi ditulis tanpa menyebutkan domainnya secara eksplisit,

maka disepakati bahwa domain dari fungsi tersebut merupakan

himpunan semua titik (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 dan 𝑦 merupakan bilangan riil,

sehingga fungsi tersebut terdefinisi, Inilah yang dinamakan sebagai

domain natural. Dengan kata lain jika diberikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tanpa

menyebutkan domainnya secara eksplisit, maka 𝐷𝑓 =

{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}. Sebagai ilustrasi misal diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√4 − 𝑥2 − 𝑦2. Fungsi tersebut akan terdefinisi (dapat dihitung dan

menghasilkan bilangan riil) jika 4 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 atau 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4. Dengan

kata lain, domain natural dari fungsi tersebut dalah semua titik (𝑥, 𝑦) yang

berada di dalam daerah lingkaran juga pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 4 atau

dapat dituliskan sebagai berikut, 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}. Perhatikan

gambar berikut,

(a) (b)

Gambar 3 (a) Permukaan dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2. (b) Ilustrasi domain

dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2.

Pada gambar di atas terlihat bahwa permukaan yang terbentuk hanya

berada di atas daerah cakram tertutup dengan jari-jari 2 dan pusat (0,0).

Dengan kata lain, untuk titik (𝑥, 𝑦) di luar lingkaran domain, maka nilai 𝑧 =

𝑓(𝑥, 𝑦) bukan bilangan riil. Misal saja (𝑥, 𝑦) = (2,2) merupakan titik di luar

𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2

𝑥 𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4


6

lingkaran domain, jelas bahwa 𝑓(2,2) = √4 − (2)2 − (2)2 = √4 − 4 − 4 =

√−4 = 2√−1 = 2𝑖 yang merupakan bilangan imajiner.

Contoh:

Tentukan domain natural dari fungsi-fungsi berikut ini

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦 + 4

b. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + √𝑥 + 3

c. ℎ(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦

𝑥+𝑦

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 − 3

Jawab:

a. Karena 𝑥 dan 𝑦 pada fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦 + 4 dapat digantikan

dengan semua bilangan riil maka domain natural dari fungsi di atas

adalah semua titik (𝑥, 𝑦) pada bidang-𝑥𝑦, atau dapat ditulis sebagai

berikut,

𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅}

b. Fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + √𝑥 + 3 akan terdefinisi (dapat dihitung dan

menghasilkan suatu bilangan riil) jika 𝑥 + 3 ≥ 0 atau 𝑥 ≥ −3. Dengan

kata lain, domain natural dari fungsi di atas adalah semua titik (𝑥, 𝑦)

dengan 𝑥 ≥ −3, atau dapat ditulis sebagai berikut,

𝐷𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥 ≥ −3}

Gambar 4

Fungsi 𝑔 di atas terdefinisi pada titik-titik (𝑥, 𝑦) pada daerah yang

berwarna abu-abu seperti pada Gambar 4 di atas.

𝑥

𝑦

𝑥 ≥ −3


7

c. Fungsi ℎ(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦

𝑥+𝑦 akan terdefinisi (dapat dihitung dan

menghasilkan suatu bilangan riil) jika 𝑥 + 𝑦 ≠ 0 atau 𝑥 ≠ −𝑦. Dengan

kata lain, domain natural dari fungsi di atas adalah semua titik (𝑥, 𝑦)

dengan 𝑥 ≠ −𝑦, atau dapat ditulis sebagai berikut,

𝐷ℎ = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑥 ≠ −𝑦}

Gambar 5

Fungsi ℎ di atas terdefinisi pada titik di seluruh bidang-𝑥𝑦 kecuali pada

garis putus-putus seperti yang terlihat pada Gambar 5 di atas.

d. Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 − 3 akan terdefinisi (dapat dihitung dan

menghasilkan suatu bilangan riil) jika 𝑦 ≥ 0. Dengan kata lain, domain

natural dari fungsi di atas adalah semua titik (𝑥, 𝑦) dengan 𝑦 ≥ 0, atau

dapat ditulis sebagai berikut,

𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑦 ≥ 0}

Gambar 6

Perhatikan Gambar 6, fungsi 𝑓 di atas terdefinisi pada titik-titik (𝑥, 𝑦)

pada daerah yang berwarna abu-abu dan juga termasuk titik-titik

pada sumbu-𝑥.

𝑥

𝑥 ≠ −𝑦

𝑥

𝑦

𝑦 ≥ 0

𝑦

Fungsi Dua Variabel Bebas Grafik Fungsi Dua Variabel

8

Grafik Fungsi Dua Variabel

Untuk menggambar grafik dari suatu fungsi dua variabel tidaklah

mudah. Akan tetapi dengan bantuan penggunaan komputer dan software

dapat dilakukan dengan mudah. Meskipun demikian, untuk memberikan

visualisasi grafik suatu fungsi dua variabel dapat dilakukan secara manual

menggunakan kurva ketinggian.

Kurva ketinggian merupakan kurva hasil perpotongan dari permukaan

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan bidang 𝑧 = 𝑘 (bidang yang sejajar dengan bidang-𝑥𝑦),

dengan 𝑘 konstan dan diproyeksikan ke bidang-𝑥𝑦. Misal diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥2 + 𝑦2. Maka kurva ketinggian dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 untuk 𝑘 = 4 didapatkan

dari perpotongan permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 dan fungsi konstan 𝑧 = 𝑘 =

4, sebagai ilustrasi dapat dilihat Gambar 7 berikut,

(a) (b)

Gambar 7 (a) Permukaan dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2, (b) Kurva Ketinggian dari

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥^ + 𝑦2 dengan 𝑘 = 4

Secara matematis, kurva ketinggian didapatkan dengan cara

mensubtitusikan 𝑧 = 4 ke persamaan 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, yaitu didapatkan 𝑥2 + 𝑦2 = 4

atau 𝑥2 + 𝑦2 = 22. Ini merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0)

dan jari-jari 2. Jadi hasil perpotongan antara permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2

dan fungsi konstan 𝑧 = 𝑘 = 4 adalah merupakan lingkaran dengan pusat (0,0)

dan jari-jari 2.

𝑥

𝑦

𝑧

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2

𝑧 = 4

𝑥

𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = 4


9

Dengan demikian, untuk beberapa nilai 𝑘 yang dipilih/ditentukan, maka

didapatkan beberapa kurva ketinggian, yang kemudian dapat dikontruksi

menjadi suatu permukaan fungsi dua variabel dengan cara menarik kurva

ketinggian tersebut sejauh 𝑘 satuan (untuk 𝑘 positif berarti kurva ketinggian

tersebut ditarik sejauh |𝑘| ke arah sumbu-𝑧 positif, dan untuk 𝑘 negatif berarti

kurva ketinggian tersebut ditarik sejauh |𝑘| ke arah sumbu-𝑧 negatif). Sebagai

ilustrasi, berikut diberikan contoh kurva ketinggian yang digunakan untuk

menggambarkan permukaan suatu fungsi dua variabel.

Contoh:

Gambarkan permukaan dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 menggunakan kurva

ketinggian.

Jawab:

Persamaan kurva ketinggian dari fungsi di atas adalah 𝑥2 + 𝑦 = 𝑘, dengan 𝑘

konstan. Pilih beberapa nilai 𝑘 untuk mendapatkan beberapa kurva

ketinggian dari fungsi tersebut, misal dipilik 𝑘 = −3

2, 𝑘 = −1, 𝑘 = −

1

2, 𝑘 = 0, 𝑘 =

1

2,

𝑘 = 1, 𝑘 =3

2. (semakin banyak nilai 𝑘 yang diberikan semakin memberikan

banyak informasi dalam mengkontruksi permukaan dari suatu fungsi dua

variabel).

Gambar 8

Untuk 𝑘 = −3

2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = −

3

2 atau 𝑦 = −𝑥2 −

3

2

Untuk 𝑘 = −1 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = −1 atau 𝑦 = −𝑥2 − 1

Untuk 𝑘 = −1

2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = −

1

2 atau 𝑦 = −𝑥2 −

1

2

𝑥

𝑦

𝑘 =3

2

𝑘 = 1

𝑘 =1

2

𝑘 = 0

𝑘 = −1

2

𝑘 = −1

𝑘 = −3

2


10

Untuk 𝑘 = 0 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = 0 atau 𝑦 = −𝑥2

Untuk 𝑘 =1

2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 =

1

2 atau 𝑦 = −𝑥2 +

1

2

Untuk 𝑘 = 1 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = 1 atau 𝑦 = −𝑥2 + 1

Untuk 𝑘 =3

2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 =

3

2 atau 𝑦 = −𝑥2 +

3

2

Kesemuanya merupakan kurva dari 𝑦 = −𝑥2 yang digeser-geser ke atas dan

kebawah seperti yang terlihat pada Gambar 8. Jika kurva ketinggian tersebut

digambarkan pada bidang-𝒙𝒚𝒛, maka didapatkan kurang lebih seperti pada

Gambar 9.

Gambar 9

Jika masing-masing kurva ketinggian yang terlihat pada Gambar 9 dikontruksi

ulang dengan cara menariknya sejauh 𝑘 satuan sejajar dengan sumbu-𝑧,

yaitu untuk 𝑘 positif berarti kurva ketinggian tersebut ditarik sejauh |𝑘| ke arah

sumbu-𝑧 positif, untuk 𝑘 negatif berarti kurva ketinggian tersebut ditarik sejauh

|𝑘| ke arah sumbu-𝑧 negatif, dan untuk 𝑘 = 0 berarti kurva ketinggian tersebut

tetap/tidak berubah posidi, maka akan didapatkan kurang lebih seperti

paga Gambar 10.

𝑥 𝑦

𝑧

𝑥 𝑦

𝑧


11

Gambar 10

Garis putus-putus pada kurva ketinggian menandakan bahwa kurva tersebut

berada di bawah bidang-𝑥𝑦. Kemudian, dari beberapa kurva ketinggian

yang didapatkan dapat dikontruksi menjadi satu-kesatuan suatu permukaan,

yaitu dengan cara memberika suatu selimut yang melewati semua kurva

ketinggian yang didapatkan paga Gambar 10. Pada contoh ini didapatkan

permukaan dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 kurang lebih seperti pada Gambar 11

berikut,

Gambar 11

Kurva ketinggian seringkali digunakan untuk memperlihatkan kondisi cuaca,

tekanan udara atau lainnya dari berbagai titik di dalam peta. Misalnya, suhu

bervariasi dari satu tempat ke tempat lainnya, jadi dapat dimisalkan suatu

fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦) yaitu suhu di lokasi (𝑥, 𝑦). Kurva-kurva ketinggian untuk suhu-suhu

sama disebut sebagai isoterm. Gambar 12 memperlihatkan peta isotermal

untuk wilayah Amerika Serikat.

𝑥 𝑦

𝑧

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦

Fungsi Dua Variabel Bebas Limit Fungsi Dua Variabel

12

Gambar 12 Peta isotermal wilayah Amerika Serikat

Limit Fungsi Dua Variabel

Konsep limit fungsi dua variabel merupakan perluasan dari konsep limit

fungsi satu variabel. Definisi informal dari limit fungsi dua fariabel yaitu,

dikatakan bahwa, “limit dari 𝑓(𝑥, 𝑦) untuk (𝑥, 𝑦) mendekali (𝑥0, 𝑦0) sama

dengan 𝐿” jika 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dibuat sedekat mungkin dengan 𝐿 yaitu dengan

cara (𝑥, 𝑦) dibuat sedekat mungkin (tetapi tidak sama dengan) ke titik (𝑥0, 𝑦0),

dinotasikan sebagai berikut,

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿

Seperti pada fungsi satu variabel, terdapat definisi formal dari limit fungsi

dua variabel, akan tetapi pada Matematika Dasar 2A tidak dibahas sampai

sejauh itu. Titik pokok pada sub bab ini adalah menghitung nilai limit fungsi

dua variabel.

Terdapat beberapa aturan dalam menentukan nilai limit suatu fungsi

dua variabel, yaitu sebagai berikut,

Misal 𝑘 merupakan suatu sebarang konstanta, lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿1, dan


𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐿2, dengan 𝐿1 dan 𝐿2 merupakan bilangan riil, maka

berlaku:

1. Aturan penjumlahan


(𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)) = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) + lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑔(𝑥, 𝑦)


13

2. Aturan perkalian skalar


𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦)

3. Aturan perkalian


𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = ( lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦)) ( lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑔(𝑥, 𝑦))

4. Aturan pembagian


𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑔(𝑥, 𝑦)=


𝑓(𝑥, 𝑦)


𝑔(𝑥, 𝑦)

Dengan syarat 𝐿2 ≠ 0

Berikut diberikan contoh bagaimana menentukan limit menggunakan aturan

di atas.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi polinomial berikut,

1. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2 + 𝑦2)

2. lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)

(𝑥2 + 𝑦2)

3. lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)

𝑥2𝑦

4. lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

(𝑥2𝑦 + 3𝑥)

Jawab:

1. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2 + 𝑦2) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2 + lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑦2 = (0)2 + (0)2 = 0

2. lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)

(𝑥2 + 𝑦2) = lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)

𝑥2 + lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)

𝑦2 = (4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25

3. lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)

𝑥2𝑦 = ( lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)

𝑥2) ( lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)

𝑦) = (−1)2(2) = 2

4. lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

(𝑥2𝑦 + 3𝑥) = ( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

𝑥2𝑦) + ( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

3𝑥) =

( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

𝑥2) ( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

𝑦) + (3 lim(𝑥,𝑦)→(1,2)

𝑥) = (−1)2(2) + (3)(1) = 5

Dapat dilihat pada contoh di atas bahwa, dalam menentukan nilai limit

fungsi polinomial cukup dengan menghitung nilai fungsi pada titik yang


14

diberikan. Itu dikarenakan fungsi polinomial merupakan fungsi yang kontinu

pada domainnya, yang berarti bahwa nilai limitnya pada suatu titik sama

dengan nilai fungsinya di titik tersebut. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan

pada sub bak kekontinuan.

Untuk kasus fungsi rasional, perlu diperhatikan bahwa ada syarat yang

harus dipenuhi jika digunakan aturan yang sudah diberikan di atas.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi polinomial berikut,

1. lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)

3𝑥

𝑦

2. lim(𝑥,𝑦)→(2,0)

4𝑦+2𝑥

𝑥2+2𝑥𝑦−3

Jawab:

1. Diketahui bahwa lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)

𝑦 = 3 ≠ 0, maka berdasarkan aturan di atas

didapatkan

lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)

3𝑥

𝑦=

lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)

3𝑥

lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)

𝑦=

(3)(−1)

3= −1

2. Diketahui bahwa lim(𝑥,𝑦)→(2,0)

(𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3) = (2)2 + 2(2)(0) − 3 = 4 − 3 = 1 ≠ 0,

maka berdasarkan aturan di atas didapatkan

lim(𝑥,𝑦)→(2,0)

4𝑦 + 2𝑥

𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3=

lim(𝑥,𝑦)→(2,0)

4𝑦 + 2𝑥

lim(𝑥,𝑦)→(2,0)

𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3=

(4)(0) + (2)(2)

(2)2 + 2(2)(0) − 3= 4

Pada kasus nilai limit fungsi satu variabel, yaitu lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) terdapat dua

cara pendekatan variabel 𝑥 ke suatu titik 𝑥0, yaitu dari kanan dan dari kiri

yang mengindikasikan pada limit kanan ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = 𝐿1) dan limit kiri

lim𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥) = 𝐿2). Jika limit kanan dan limit kiri tersebut didapatkan nilai yang

sama yaitu 𝐿1 = 𝐿2, maka disimpulkan nilai limitnya ada yaitu 𝐿1 = 𝐿2.

Sebaliknya, jika didapatkan nilai limit yang berbeda yaitu 𝐿1 ≠ 𝐿2, maka

disimpulkan nilai limit tidak ada. Sedangkan pada kasus nilai limit fungsi dua

variabel, terdapat banyak cara pendekatan titik (𝑥, 𝑦) ke suatu titik (𝑥0, 𝑦0),


15

yaitu semua kurva (lintasan) pada bidang-𝑥𝑦 yang berakhir di titik (𝑥0, 𝑦0).

Dalam hal ini, lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) dikatakan ada jika nilai limit pada setiap

lintasan yang melalui (𝑥0, 𝑦0) ada dan semua nilainya sama. Hal ini tidaklah

mungkin dilakukan, karena ada tak hingga banyaknya lintasan yang harus

diperiksa. Akan tetapi, untuk menunjukkan nilai limit suatu fungsi dua variabel

tidak ada, cukup dengan memilih dua lintasan dan ditunjukkan nilai limitnya

berbeda untuk masing-masing lintasan yang dipilih. Dengan demikian, jika

𝑓(𝑥, 𝑦) mendekati 𝐿1 ketika (𝑥, 𝑦) menuju (𝑥0, 𝑦0) sepanjang lintasan 𝐶1 dan

𝑓(𝑥, 𝑦) mendekati 𝐿2 ketika (𝑥, 𝑦) menuju (𝑥0, 𝑦0) sepanjang lintasan 𝐶2, dan

didapatkan 𝐿1 ≠ 𝐿2 maka disimpulkan lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) tidak ada.

Contoh:

1. Tunjukkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2 tidak ada


4𝑥𝑦

𝑥𝑦+𝑦3 tidak ada

Jawab:

1. Misal dipilih dua lintasan sepanjang sumbu-𝑥 positif, dan sumbu-𝑦 positif.

Untuk lintasan sepanjang sumbu-𝑥 positif mengartikan bahwa 𝑦 = 0 dan

𝑥 > 0. Dengan demikian didapatkan bahwa

lim𝑥→0+

𝑥2 − (0)2

𝑥2 + (0)2= lim

𝑥→0+

𝑥2

𝑥2= 1

Untuk lintasan sepanjang sumbu-𝑦 positif mengartikan bahwa 𝑥 = 0 dan

𝑦 > 0. Dengan demikian didapatkan bahwa

lim𝑦→0+

(0)2 − 𝑦2

(0)2 + 𝑦2= lim

𝑦→0+

−𝑦2

𝑦2= −1

Karena dari dua lintasan yang dipilih didapatkan nilai limit yang berbeda,

maka dapat disimpulkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2 tidak ada.

2. Misal dipilih dua lintasan yaitu sepanjang garis 𝑦 = 𝑥 dengan 𝑥 > 0, dan

sepanjang kurva 𝑥 = 𝑦2, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦 > 0. Untuk lintasan sepanjang garis 𝑦 = 𝑥

dengan 𝑥 > 0 didapatkan bahwa

Fungsi Dua Variabel Bebas Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

16

lim𝑥→0+

4𝑥(𝑥)

𝑥(𝑥) + (𝑥)3= lim

𝑥→0+

4𝑥2

𝑥2 + 𝑥3= lim

𝑥→0+

4

1 + 𝑥= 4

Untuk lintasan sepanjang kurva 𝑥 = 𝑦2 dengan 𝑦 > 0 didapatkan bahwa

lim𝑦→0+

4(𝑦2)𝑦

(𝑦2)𝑦 + 𝑦3= lim

𝑦→0+

4𝑦3

2𝑦3= 2

Karena dari dua lintasan yang dipilih didapatkan nilai limit yang berbeda,

maka dapat disimpulkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

4𝑥𝑦

𝑥𝑦+𝑦3 tidak ada

Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Definisi kekontinuan pada fungsi dua variabel juga merupakan

perluasan dari konsep kekontinuan fungsi satu variabel, yaitu sebagai berikut:

Suatu fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) dikatakan kontinu di titik (𝑥0, 𝑦0) jika memenuhi tiga

syarat berikut,

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi di titik (𝑥0, 𝑦0)

2. lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) adal

3. lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

Contoh:

Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥2 + 𝑦2 kontinu di titik (0,0).

Jawab:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi di titik (0,0), yaitu 𝑓(0,0) = 2 + (0)2 + (0)2 = 2

2. Berdasarkan aturan mennentukan limit didapatkan bahwa

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(2 + 𝑥2 + 𝑦2) = 2

3. Didapatkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(2 + 𝑥2 + 𝑦2) = 2 = 𝑓(0,0)

Karena ketiga syarat kekontinuan suatu fungsi terpenuhi semua, maka

disimpulkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥2 + 𝑦2 kontinu di titik (0,0).

Contoh:

Diberikan

𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0 , (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Fungsi Dua Variabel Bebas Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

17

Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) tidak kontinu di titik (0,0).

Jawab:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi di titik (0,0), yaitu 𝑓(0,0) = 0

2. Berdasarkan pada contoh sebelumnya didapatkan bahwa

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2= tidak ada

3. Didapatkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓(0,0)

Karena ketiga syarat kekontinuan suatu fungsi tidak terpenuhi semua,

maka disimpulkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) tidak kontinu di titik (0,0). Satu saja

syarat tidak dipenuhi, maka dapat langsung disimpulkan bahwa fungsi

tersebut tidak kontinu pada titik yang diberikan.

18

SOAL LATIHAN

1. Tentukan nilai fungsi dari fungsi dua variabel berikut ini pada titik (𝑥, 𝑦)

yang diberikan, jika ada.

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑦, (𝑥, 𝑦) = (2,3)

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin(𝑥) + 2𝑦, (𝑥, 𝑦) = (0,2)

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3, (𝑥, 𝑦) = (4,2)

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 3𝑦, (𝑥, 𝑦) = (2,6)

e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2√𝑥 − 4, (𝑥, 𝑦) = (2,4)

f. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−2𝑦

𝑦, (𝑥, 𝑦) = (2,3)

2. Tentukan domain natural dari fungsi dua variabel yang diberikan di

bawah ini

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥−𝑦

𝑥+𝑦

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑦 − 𝑥2)

e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = exp(−(𝑥2 + 𝑦2))

3. Gambarkan permukaan dari fungsi dua variabel yang deberikan di

bawah ini.

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥 − 3𝑦

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥2 + 𝑦2

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2

e. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2

𝑦

4. Hitunglah limit fungsi beriku

a. lim(𝑥,𝑦)→(1,0)

(𝑥2 − 3𝑦2)

b. lim(𝑥,𝑦)→(1,−2)

(2𝑥3 − 3𝑦)(𝑥𝑦 − 2)

c. lim(𝑥,𝑦)→(0,2)

(4𝑥𝑦2 −𝑥+1

𝑦)

d. lim(𝑥,𝑦)→(1,0)

𝑥2+𝑦2

𝑥2−𝑦2

19

e. lim(𝑥,𝑦)→(2,0)

2𝑥+4𝑦2

𝑦2+3𝑥


𝑥2−2𝑦2

𝑥2+𝑦2 tidak ada dengan memeriksa lintasan

sepanjang sumbu-𝑥 positif dan sumbu-𝑦 positif.

6. Periksalah lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

4𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 pada lintasan sepanjang sumbu-𝑥 positif, sumbu-𝑦

positif, dan sepanjang garis 𝑦 = 𝑥. Apa yang dapat disimpulkan?

7. Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 + 𝑥2 + 𝑦2 kontinu di titik (0,0)

8. Tunjukkan bahwa

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

4𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0 , (𝑥, 𝑦) = (0,0)

tidak kontinu di titik (0,0)

20

DAFTAR PUSTAKA

Neuhauser, C. 2011. Calculus for Biology and Medicine 3rd Ed. Prentice Hall.

Varberg, D. Purcell, E. and Rigdon, S. 2006. Calculus 9th Ed. Prentice Hall.

matematika dasar 2a€¦ · ruang). fungsi dua variabel merupakan perluasan konsep dari fungsi satu...

Documents