modul fungsi trigo

8/18/2019 Modul Fungsi Trigo

1/21

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

1

Peta Konsep

______________________________________________________

5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Hasil Pembelajaran

Melakar graf fungsi trigonometri(a) y = c + a sin bx (b) y = c + a kos bx (c) y = c + a tan bx dengan a, b dan c ialah pemalar dan b > 0

Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri denganmenggunakan lakaran graf.

Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan graf-graf terlukis

( Sila Rujuk Modul Powerpoint Yang Disediakan Bersama )

Bab

5

FUNGSI TRIGONOMETRI

5.3 Graf Fungsi Sinus,Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5 Rumus Penambahan dan Rumus

Sudut Berganda

5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5.2 6 Fungsi Trigonometri BagiSebarang Sudut

FUNGSI TRIGONOMETRI


2/21


2

Hasil Pembelajaran 1: Melakar Graf Fungsi Trigonometri

A. Graf Fungsi Sinus

1. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut.

Contoh 1: 20,sin2 x x y (a) 20,sin4 x x y

Contoh 2: 20,2sin2 x x y (b) 20,2sin3 x x y

kala kala

Amplitudy = c + a sin bx,

a = amplitudb = bilangan kala dalam 360 0 atau

2π c = bilangan anjakan

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

-2

2π π 0x

2

y

-2

2π π 0x

2

y Semak :

a= 2b = 2c = 0


3/21


3

(c) x x y 0,2sin (d)

2

30,2sin3 x x y

Contoh 3: 20,sin2 x x y (e) 20,sin x x y

Contoh 4 : 20,1sin2 x x y (f) 20,1sin3 x x y

Contoh 5 : x y sin2 20 x (g) 1sin5 x y , 20 x

x

-2

0

-2

2π π 0x

2

y

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

-1

2π π 0 x

3

y

Semak :

a= 2

b = 1

c = 1

1

2π π

2

y

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0


4/21


4

B. Graf Fungsi Kosinus

2. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut.

Contoh 1 : 20,cos3 x x y (a) 20,cos2 x x y

Contoh 2 : 20,cos3 x x y (b) 20,cos2 x x y

-3

2π π

y

3

x

y

kala kala

y = c + a cos bx,



0

x

3

0 2π π

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0


5/21


5

Contoh 3 : 20,1cos3 x x y (e) 20,1cos2 x x y

Contoh 4 : 20,2

3cos3 x x y (f) 20,2

3cos5 x x y

Contoh 5 : 20,2

3cos x x y (g) 20,

2

3cos4 x x y

-1

2π π

-2

4

x0

y

x

-3

y

2π π

3

x0

x

y

2π

1

π 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0


6/21


6

C. Graf Fungsi Tangen

Contoh 1 : 20,2tan x x y (a) 20,2tan2 x x y

Contoh 2 : 20,tan x x y (b) x x y 0,2tan

Contoh 3 : 20,tan x x y (c) x x y 0,2tan

x

-3

2π

2π

Asimtot

Kala kala

y = c + a tan bx,



0

y

-3

π

3

x

-3

0 π x

y

2π

3

0 π

y

3


7/21


7

Aktiviti Berkumpulan : “JOM LAKAR”

Arahan :

1. Bentukkan kumpulan ( 3 – 4 orang satu kumpulan )

2. Setiap kumpulan mendapat sekeping papan putih ( saiz kecil ) dan pen marker atau kertas A4

( beberapa helai )

3. Guru memaparkan soalan ini tahun demi tahun dan setiap kumpulan dikehendaki

melakarkan graf fungsi trigonometri tersebut dalam masa 3 minit.

4. Wakil setiap kumpulan akan mempamerkan jawapan masing-masing.

5. Guru memberi markah kepada hasilan pelajar.

5. Setelah selesai semua soalan ( mengikut kesuaian masa ) . Guru memberi hadiah kepada

kumpulan yang menang.

6. Guru membuat kesimpulan dan membincangkan analisis soalan secara keseluruhan.


8/21


8

Analisis Soalan SPM Kertas 2 Bahagian A : ( 2003 – 2015)

Tahun Jenis Graf FungsiTrigonometri

Julat Lakaran Graf

2003 xkos y

232

20 x

2004 xkos y 22 00 1800 x

2005 xkos y 22 20 x

2006 xkos y 22 20 x

2007 xkos y 23 20 x

2008 x y 2tan x0

2009 xkos y 2

2

3

2

30 x

2010 kosx y 31 20 x

2011 x y

2

3sin3

20 x

2012 12 kosx y 20 x

2013 Tiada soalan lakaran graf

2014 x y 2tan1 x00

2015 xkos y 2 00 3600 x


9/21


9

Hasil Pembelajaran 2 :

Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan

trigonometri dengan menggunakan lakaran graf.

Untuk menentukan bilangan penyelesaian bagi sesuatu

persamaan trigonometri :

(i) asingkan ungkapan trigonometri daripada

ungkapan bukan trigonometri dahulu.

(ii) kemudian, lakarkan kedua-dua gaf fungsi itu pada

rajah yang sama.

(iii) bilangan penyelesian bagi persamaan trigonometri

itu diwakili oleh bilangan titik persilangan bagi

dua graf fungsi itu.

______________________________________________________________

Contoh 1:

Lakarkan graf x xkos y 0 bagi,12 . Daripada graf itu,

(a) Nyatakan koordinat titik maksimum dan minimum bagi graf y = kos2 x + 1,

(b) Tentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri

( i ) ,12 xkos ( ii ) x xkos 824

Info :


10/21


10

Penyelesaian :

Langkah 1:

x xkos y 0 bagi,12

(ii)

Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf y = kos 2x +1 dengan graf

4

32 x y

Maka persamaan trigonometri x xkos 824 mempunyai satu penyelesaian.

-1

2π π

y

1

x0

2π π

y

2

x0

Langkah 2 :

y

2

x0

4

32

14

1212

4

82

824

x y

x xkos

x xkos

x xkox

Lakarkan graf4

32 x y

pada rajah yang sama.

(a) Daripada graf, koordinat titik maksimumialah ( 0, 2 ) dan ( 2π, 2). Koordinat titik minimum ialah ( π, 0)

(b)( i ) Kos 2 x = -1

Kos 2 x + 1 = 0 y =kos2 x+ 1 dan y = 0,

Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf y = kos 2 x + 1 dengan paksi- x, Maka persamaan trigonometri kos 2 x = -1 mempunyai satu penyelesaian.


11/21


11

Contoh 2 :

(i) Lakarkan graf bagi y = 2 sin 2 x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

(ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang

sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan2

2sin

x x

bag i 0 ≤ x ≤ 2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian :

( i )

12

12

2sin2

2

12sin

22sin

x y

x x

x x

x x

Bilangan penyelesaian = 3

x 0 π 2π y -1 1 3

2π π 0x

2

y

Tip

Langkah penyelesaian

(i) Lakarkan graf

(ii) Cari Persamaan garis lurus

(iii) Lukiskan garis lurus

(iv) Nyatakan bilangan titikpenyelesaian

Plotkan garis lurus ini

Pilih 2 atau 3 nilai x yang sesuai dan carinilai y yang sepadan.


12/21


12

Latihan Format SPM Kertas 2

1 (a) Lakarkan graf bagi y = |5 sin2

3 x| bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 4 markah ]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untukmencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

5 − |5 sin2

3 x| =

x2π bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah ]

2 (a) Lakarkan graf bagi y = - 2 kos 3 x bagi 0 ≤ x ≤ π. [3 markah]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan xkos x 3234

bagi 0 ≤ x ≤ π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [4 markah]


13/21


13

3 (a) Lakarkan graf bagi y = sin 2 x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untukmencari bilangan penyelesaian bagi persamaan bagi x x 2sin4 bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [7 markah]

4 (a) Lakar graf bagi y = 2 kos x + 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π. [4 markah]

(b) Jika garis y = k dilukis pada paksi yang sama, cari julat nilai k atau nilai k jikak – 1 = 2 kos x

(i) tiada penyelesaian,

(ii) mempunyai satu penyelesaian. [2 markah]


14/21


14

5 (a) Lakar graf x y 2tan2 untuk x0 [3 markah ]


mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 62tan22 x untuk x0 .

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.[3 markah ]

6.(a) Lakarkan graf bagi y = 5 kos 3 x bagi 0 ≤ x ≤ π . [ 4 markah]


mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan−10 x

π + 7 − 5 kos 3 x = 0 bagi 0 ≤ x ≤ π .

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.[3 markah ]


15/21


15

7.(a) Lakarkan graf bagi y = −3 sin x bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 3 markah ]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −π x − 3 sin x = 0 bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah ]

8 (a) Lakarkan graf bagi y = tan 2 x bagi 0 ≤ x ≤ π. .


mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 02tan43

x x bagi 0 ≤ x ≤ π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [6 markah ]


16/21


16

9. (a) Lakarkan graf bagi x y 2sin3 bagi 0 ≤ x ≤ 2π [4 markah]

(b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang bersesuaian untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan - 2 + x2sin3 = 2

x for 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian tersebut. [3 markah]

10 (a) Lakarkan graf bagi y = −1 − 3 kos x bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 4 markah ]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untukmencari bil angan penyelesaian bagi persamaan −6π kos x = −2π + 2 x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah]

Selamat mencuba..!!!


17/21


17

Permarkahan :

Apa yang pelajar perlu tahu dan ingat…

Lakaran yang salah(i) (ii)

Garis lengkung tidak boleh melebihiatau tidak menyentuh garis amplitud

Pada garis lurus, pelajarmesti fokus kepada nilaipintasan – y dan bentukkecerunan

Kalaan mestilah tepat dengan julat yang diberi dalam soalan

Graf tajam graf mendatar


18/21


19/21


19

4.

5.

Lukis 3 y di atas paksi yang samaBil. Penyelesaian = 4

6. (a)

(b) 5 kos 3 x =−10 x

π + 7,

Bil. penyelesaian=2

3

π π /20

(i) k > 3, k < −1 (ii) k = −1


20/21


20

7. (a)

(b) y =π x ,

Bil. penyelesaian = 2

8. (a)

(b) y =−3 x

π + 4,

Bil.penyelesaian= 2

9. (a)

(b) y = 2 + x2π ,



21/21


21

10. (a)

(b) =

− 2 ,


Selamat Maju Jaya!!

modul fungsi trigo

Documents