plagiat merupakan tindakan tidak terpuji … · pembahasan ekstrem fungsi satu variabel dan dua...

92
PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si) Program Studi Matematika Disusun oleh : Sihwanto NIM : 003114045 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Upload: trannhan

Post on 24-Mar-2019

228 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

PEMBAHASAN

EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL

DENGAN TEOREMA TAYLOR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)

Program Studi Matematika

Disusun oleh :

Sihwanto

NIM : 003114045

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah

disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini ku persembahkan kepada: Kedua orang tuaku

Almamaterku dan

wiwin

v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

ABSTRAK

Skripsi ini membahas tentang penggunaan Teorema Taylor dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel

mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan kontinu di c dengan maka terdapat

bilangan dengan sehingga

)(xf)()1( xf n+ 0)()1( ≠+ cf n

θ 10 << θ )()!1(

)()( 1(1

θhcfnhcfhcf n

n

++

=−+ ++

.

Apabila n gasal maka: a. mencapai maksimum di c jika )(xf 0)()1( <+ cf n

b. mencapai minimum di c jika )(xf 0)()1( >+ cf n

Apabila n genap maka tidak terjadi ekstrem di c. Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka

),( yxf

),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ + untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ dan

),()!1(

1),(1

1 yxfy

kx

hn

yxRn

n

+

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+= .

Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari

),(1 θkbθhaRn +++ tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan pada keadaan ),(1 θkbθhaRn +++ untuk . 1>n Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan 1=n , yaitu untuk:

[ ] ),(2!2

1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++

dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).

yyxyxx fff dan,),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR

),(2 yxRJika , maka : ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=

i. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx

ii. Jika dan 0),( >baH 0),( <baf xx terjadi maksimum di (a,b) iii. Jika 0),( <baH tidak terjadi ekstrem di (a,b) iv. Jika 0),( =baH belum ada keputusan, mungkin terjadi atau

mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b). Dalam skripsi ini dibahas penyelidikan apakah ada ekstrem atau tidak untuk kasus

dengan menggunakan contoh-contoh soal. 0),( =baH

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

ABSTRACT

This thesis study concerning usage of Theorem of Taylor in investigation of value of extreme for function from one and two variabe. If function one variable

have first derivative up to nth derivative the valuableness zero at point of c, and continuous at c with , hence there are number with

so that

)(xf)()1( xf n+ 0)()1( ≠+ cf n θ

10 << θ )()!1(

)()( 1(1

θhcfnhcfhcf n

n

++

=−+ ++

.

If n is odd then: a. achieve maximum at c if . )(xf 0)()1( <+ cf n

b. achieve minimum at c if . )(xf 0)()1( >+ cf n

if n is even then hasn’t extreme at c. )(xf For function with two variable , if all of the partial derivatives begin to first order up to nth order the valuableness zero at point of (a,b), then

),( yxf

),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ + for a number θ with and 10 << θ

),()!1(

1),(1

1 yxfy

kx

hn

yxRn

n

+

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+=

Theoretically there is or inexistence extreme value at point of (a,b) can be checked if for values of h and k small enough and sign from

),(1 θkbθhaRn +++ remain to or erratic. In practice do not easy to perform a to investigation in the situation ),(1 θkbθhaRn +++ to . 1>n In this thesis only studied for situation 1=n , that is to

[ ] ),(2!2

1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++

with not all valuable zero at point of (a,b). In this case sign from determined by sign from , because at this solution is

assumed that continuous at point of (a,b).

yyxyxx fff and,),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR

If , then: ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=

i. If and , has minimum at point of (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx ),( yxfii. If and 0),( >baH 0),( <baf xx , has maximum at point of (a,b) ),( yxf

iii. If , hasn’t extreme at point of (a,b) 0),( <baH ),( yxfiv. If there is no decision, happened possible or might not

happened extreme at point of (a,b). 0),( =baH

In this thesis is studied by investigation what is there extreme or not to case by using problem of examples. 0),( =baH

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat

dan karunia-Nya penulis dapat kembali ke bangku kuliah untuk menyelesaikan

tugas akhir ini, meskipun harus menempuh perjalanan yang cukup panjang.

Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak

yang telah membantu dan memberi dukungan materiil maupun spiritual selama

masa perkuliahan serta penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan

sangat sabar membimbing, memberi motivasi serta saran dalam

penyusunan tugas akhir ini.

2. Bapak Y.G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku ketua program studi

Matematika.

3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu M.V. Any Herawati, M. Si yang

telah memberikan semangat dan saran dalam penyusunan tugas akhir ini.

4. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan begitu banyak ilmu

dan pengalaman yang sangat berguna sebagai bekal penulis dalam

menyongsong masa depan.

5. Seluruh staf karyawan sekretariat FMIPA, bu Warni, pak Tukijo yang

telah membantu penulis dalam pelayanan administrasi perkuliahan.

6. Bapak Ngadul Wiyardi beserta ibu selaku orang tua atas doa, kasih sayang,

pendidikan, sarana maupun prasarana yang telah diberikan selama ini.

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

7. Winarti Harjo Wiyono, SE (Wiwin) atas kasih sayang , cinta serta doa.

8. Sahabat-sahabat yang selalu bersama melewati masa perkulihan: Fery,

Heru’su timbul’, Ayuk adikku, Lina, Bunga, Tatik, Vincent, Wiwid, Lissa,

Mira, Tika, Dewi, Wahyu, Feliks, Willy, Pras, Toni, Sunarto, Prihanto,

Andi, Susiantoro.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh

karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang

bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga

skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .........................................................................................

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...............................................

HALAMAN PENGESAHAN ...........................................................................

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...........................................................

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................

ABSTRAK ........................................................................................................

ABSTRACT ......................................................................................................

KATA PENGANTAR ......................................................................................

DAFTAR ISI .....................................................................................................

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................

A. Latar Belakang .................................................................................

B. Rumusan Masalah ............................................................................

C. Pembatasan Masalah ........................................................................

D. Manfaat Penulisan ............................................................................

E. Tujuan Penulisan ..............................................................................

F. Metode Penulisan .............................................................................

G. Sistematika Penulisan ......................................................................

BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL ..

A. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Satu Variabel ................

B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel .................

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

viii

x

xii

1

1

4

4

4

5

5

5

7

7

26

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

BAB III TEOREMA TAYLOR ........................................................................

A. Deret Pangkat ..................................................................................

B. Deret Taylor ....................................................................................

C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel .....................

D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel ......................

BABIV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN

EKSTREM SUATU FUNGSI .............................................................

A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0)( =′′ cf ....................

B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0),( =baH ..................

BAB V PENUTUP ...........................................................................................

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................

52

52

60

62

65

70

70

73

78

80

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 .........................................................................................

Gambar 2.2 .........................................................................................

Gambar 2.3 .........................................................................................

Gambar 2.4 .........................................................................................

Gambar 2.5 .........................................................................................

Gambar 2.6 .........................................................................................

Gambar 2.7 .........................................................................................

Gambar 2.8 .........................................................................................

Gambar 2.9 ...........................................................................................

Gambar 2.10 .........................................................................................

Gambar 2.11 .........................................................................................

Gambar 2.12 .........................................................................................

Gambar 2.13 .........................................................................................

9

10

10

11

13

14

15

16

27

33

35

48

51

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Salah satu penggunaan derivatif yang menarik dan berguna adalah

menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. Banyak problema

dalam teknik, sains, geometri dan ekonomi menuntut untuk memenuhi syarat-

syarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi itu mencapai nilai maksimum atau

minimum. Selain menentukan daerah dimana fungsi itu mencapai nilai maksimum

atau minimum juga untuk menentukan dimana suatu fungsi cekung ke atas atau

ke bawah, penentuan titik belok, penentuan asimtot dan sebagainya.

Grafik sebuah fungsi yang digambar dengan ketelitian yang tinggi dapat

memberikan banyak informasi mengenai kelakuan fungsi tersebut. Tetapi untuk

mendapatkan gambar grafik yang cukup tepat adalah sebuah pekerjaan yang

membosankan.

Di dalam penulisan ini akan dibahas tentang maksimum dan minimum

fungsi satu variabel dan dua variabel yang merupakan pendalaman tentang

maksimum dan minimum fungsi yang sudah diperoleh dibangku sekolah

menengah maupun didalam bangku kuliah. Jadi bukan merupakan hal yang baru

lagi.

Nilai maksimum dan minimum dibagi menjadi dua yaitu nilai maksimum

atau minimum mutlak dan nilai maksimum atau minimum relatif. Fungsi f disebut

mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

2

selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x) untuk setiap x pada selang.

Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum mutlak pada suatu selang, jika

terdapat bilangan c pada selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x)

untuk setiap x pada selang.

Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum relatif di x = c, jika ada selang

terbuka yang memuat c, pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi

untuk semua x pada selang terbuka. Sedangkan fungsi f disebut

mencapai minimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c

pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi

)()( xfcf ≥

)()( xfcf ≤ untuk semua

x pada selang terbuka.

Suatu fungsi yang mencapai maksimum atau minimum (mutlak/relatif)

disebut mencapai ekstrem (mutlak/relatif). Dalam penulisan ini yang menjadi

pokok permasalahan yang akan dibahas adalah syarat-syarat apa saja yang harus

dipenuhi agar suatu fungsi dapat mencapai maksimum atau minimum.

1. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan satu variabel

Jika )(xf ′ ada dalam maka syarat perlu adanya nilai ekstrem pada

titik

),( ba

cx = di mana c dalam interval adalah ),( ba 0)( =′ cf . Sedangkan syarat

cukup adanya nilai ekstrem pada titik cx = adalah 0)( ≠′′ cf . Kemudian didapat

bahwa

1. Jika maka mempunyai nilai minimum di c 0)( >′′ cf )(xf

2. Jika maka mempunyai nilai maksimum di c. 0)( <′′ cf )(xf

Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam suatu interval yang

memuat titik x = c dan didapat

)(xf

0)( =′′ cf maka uji turunan kedua tidak dapat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

3

digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Sebagai contoh, diberikan

fungsi f (x) = x 3 . Didapat turunan pertama dan keduanya berturut – turut adalah

dan . Satu-satunya bilangan kritis adalah titik nol,sehingga

diperoleh

23)( xxf =′ xxf 6)( =′′

0)0( =′′f . Jadi uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk

menyimpulkan soal tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk

menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema

Taylor untuk fungsi dengan satu variabel .

2. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan dua variabel

Jika suatu fungsi beserta turunan parsial pertamanya kontinu

dalam cakram terbuka maka syarat perlu suatu fungsi adanya nilai

ekstrem pada titik adalah

),( yxf

));,(( 0 ryxB o

),(),( 00 yxyx = 0),( 00 =yxf x dan . Titik

disebut titik kritis.

0),( 00 =yxf y

),( 00 yx

Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam himpunan tersebut dan

turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka , maka

syarat cukup adanya nilai ekstrim pada titik

),( yxf

));,(( 0 ryxB o

),(),( 00 yxyx = adalah

),(),(),(),( 002

000000 yxfyxfyxfyxH xyyyxx −=

Kemudian didapat bahwa

1. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( 00 >yxH 0),( 00 >yxf xx

2. Jika dan 0),( 00 >yxH 0),( 00 <yxf xx terjadi maksimum di (a,b)

3. Jika 0),( 00 <yxH tidak terjadi ekstrem di (a,b)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

4

Selanjutnya timbul masalah jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam

suatu himpunan dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka

dan didapat nilai

),( yxf

));,(( 0 ryxB o 0),( 00 =yxH maka uji turunan kedua tidak dapat

digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Oleh karena itu perlu dicari

cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan

bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah:

1. Bagaimana Teorema Taylor digunakan untuk menjelaskan pemecahan

masalah ekstrem suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel,

yaitu dalam kasus 0)( =′′ cf dan

? 0),(),(),(),( 002

000000 =−= yxfyxfyxfyxH xyyyxx

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan ini pembahasan masalah hanya dibatasi tentang

pembahasan masalah ekstremum fungsi dengan satu variabel dan dua variabel

dengan menggunakan Teorema Taylor.

D. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang diharapkan yaitu agar kita dapat menyelesaikan masalah

ekstrem fungsi dengan satu variabel dan dua variabel dengan menggunakan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

5

bantuan turunan tingkat tinggi dan bantuan teorema Taylor, apabila dengan uji

turunan kedua tidak bisa menarik suatu kesimpulan

E. TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari penulisan ini agar kita dapat menyelesaikan permasalahan

seputar maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua

variabel, misalnya :

1. Dapat mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi

mencapai maksimum atau minimum.

2. Dapat menggunakan teorema Taylor dalam membahas masalah maksimum

atau minimum jika syarat-syarat suatu fungsi untuk mencapai maksimum

atau minimum tidak dipenuhi.

F. METODE PENULISAN

Dalam penulisan ini dilakukan dengan metode pustaka yaitu dengan

menelaah buku-buku pustaka sebagai acuan untuk membuktikan teorema-teorema

mengenai masalah Ekstremum dengan menggunakan Teorema Taylor, sehingga

dalam penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

G. SISTEMATIKA PEMBAHASAN

Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini,

berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

6

BAB I Pendahuluan

Bab ini berisi tentang gambaran umum tentang skripsi ini yang terdiri dari

latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat

penulisan, tujuan penulisan dan metode penulisan.

Bab II Ekstrem Fungsi Satu Variabel dan Dua Variabel

Bab ini berisi pembahasan tentang ekstremum fungsi satu variabel dan dua

variabel beserta sifat-sifatnya.

Bab III Teorema Taylor

Bab ini berisi tentang deret pangkat, deret Taylor serta Teorema Taylor

untuk fungsi dengan satu variabel dan fungsi dengan dua variabel.

Bab IV Penggunaan Teorema Taylor untuk Menentukan Ekstrem suatu

Fungsi

Bab ini berisi tentang penyelesaian masalah ekstremum fungsi satu

variabel di mana 0)( =′′ cf dan ekstremum fungsi dua variabel dimana

. Untuk mempermudah

pemahaman dalam bab ini disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

0),(),(),(),( 002

000000 =−= yxfyxfyxfyxH xyyyxx

Bab V Penutup

Bab ini berisi tentang kesimpulan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

BAB II

EKSTREM FUNGSI

SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL

Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai

maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai

nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum

atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum

dan berapa nilai maksimum atau minimumnya.

Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik

suatu fungsi.

A. Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel

Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel

diberikan sebagai berikut.

Definisi 2.1

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik cx = jika untuk sebarang 0>ε yang

diberikan akan dapat ditentukan 0>δ sedemikian hingga jika δ<− cx maka

ε<− )()( cfxf .

Definisi 2. 2

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka jika f kontinu di

setiap titik pada interval tersebut.

),( ba

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

8

Definisi 2.3

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [ ]ba, jika f kontinu di

setiap titik dari dan jika ),( ba )()(lim afxfax

=+→

dan )()(lim bfxfbx

=−→

atau disebut

kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.

Definisi 2.4

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval

sedemikian hingga untuk setiap x dalam interval

. Jika hubungan berlaku untuk setiap x dalam domain

f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.

),( δcδc +− )()( xfcf ≥

),( δcδc +− )()( xfcf ≥

Definisi 2.5

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval

sedemikian hingga ),( δcδc +− )()( xfcf ≤ untuk setiap x dalam interval

. Jika hubungan ),( δcδc +− )()( xfcf ≤ berlaku untuk setiap x dalam domain f,

maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.

Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka

dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f

mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi

f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah

ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

9

a bc1 c2 c3 c4 x

y

y = f (x)

maks multak

maks relatif

min multak

min relatif

f (c1)

f (c3)

f (c2)

f (c4)

Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya dari suatu fungsi f (x) dalam interval [a, b]

Dari grafik di atas tampak bahwa:

• nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c1

• nilai maksimum relatif dicapai pada x = c3 dan x = b

• nilai minimum mutlak dicapai pada x = c4

• nilai minimum relatif dicapai pada x = c2 dan x = a

Contoh 2.1

Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh . Sket dari grafik

fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena , maka

. Akan tetapi

3)1()( −= xxf

2)1(3)( −=′ xxf

0)1( =′f 0)( <xf , jika 1<x dan , jika . Jadi f tidak

mempunyai ekstrem relatif di titik satu.

0)( >xf 1>x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

10

y

x

1

Gambar 2.2 Grafik fungsi 3)1()( −= xxf

Contoh 2.2

Misalkan diketahui fungsi xxf 2)( = . Keterangan dari grafik f pada

selang [1, 4) diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum

mutlak sebesar 2 pada [1, 4) tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada

interval [1, 4) karena untuk setiap )4,1[∈x selalu ada nilai x yang memberikan

nilai yang lebih besar. )(xf

1 4

2

8

y

x

Gambar 2.3 Grafik fungsi xxf 2)( =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

11

Contoh 2.3

Diberikan fungsi . Sket dari grafik f pada selang (-3, 2]

diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak

sebesar 0 pada selang (-3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak

pada selang (-3, 2] karena untuk setiap

2)( xxf −=

]2,3(−∈x selalu ada nilai x yang

memberikan nilai yang lebih kecil. )(xf

-3 2

-4

-9

x

y

Gambar 2.4 Grafik fungsi 2)( xxf −=

Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu

fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang

memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

12

Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilai-

nilai c yang memberikan ekstrem relatif.

Teorema 2.1

Jika fungsi f kontinu pada interval [ ]ba, dan terdeferensial pada interval

maka:

),( ba

1. fungsi f naik pada interval [ ]ba, jika 0)( >′ xf untuk semua titik dalam

interval . ),( ba

2. fungsi f turun pada interval [ ]ba, jika 0)( <′ xf untuk semua titik dalam

interval . ),( ba

Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f

berturunan (pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal).

Definisi 2.6

Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana atau

f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana

0)( =′ xf

0)( =′ cf , maka c disebut

titik stasioner.

Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau

horisontal atau gais singgungnya mendatar.

Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f

mempunyai turunan pertama di titik ekstremnya, misal titik c, maka garis

singgung di titik tersebut adalah mendatar atau 0)( =′ cf . Namun titik stasioner

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

13

ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi . Dalam

kasus ini , tetapi (0,0) bukan titik kritis dari grafik fungsi ,

seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.

3)( xxf =

0)( =′ cf 3)( xxf =

Gambar 2.5 Grafik fungsi 3)( xxf =

Keadaan di mana atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya

ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat

perlu adanya ekstrem suatu fungsi.

0)( =′ xf

Teorema 2.2

Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka 0)( =′ cf atau f tidak berturunan.

Bukti:

Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak

berturunan.

Pertama, jika f tak berturunan , maka c adalah titik kritis untuk f .

Kedua, jika f berturunan pada c, maka harus diperlihatkan bahwa . 0)( =′ cf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

14

a. Jika adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval

sedemikian sehingga jika c + h dalam interval

dengan

)(cf

],[ δcδc +−

],[ δcδc +− hcc +≠ maka )()( cfhcf <+ .

i. Jika maka 0>h 0)()(<

−+h

cfhcf

ii. Jika maka 0<h 0)()(>

−+h

cfhcf

c c + h c + h δ−c δ+c x

y f(c)

h > 0 h < 0

Gambar 2.6

Jika berturunan pada x = c , maka ada dan )(xf )(cf ′

)()()( cfcfcf ′=′=′ −+ , yaitu:

0)()(lim0

≤−+

=′+→

+ hcfhcff

h dan 0)()(lim

0≥

−+=′

−→− h

cfhcffh

Karena dan 0≥′−f 0≤′+f , maka 0)( =′ cf .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

15

b. Jika adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval

sedemikian sehingga jika c + h dalam interval

dengan

)(cf

],[ δcδc +−

],[ δcδc +− hcc +≠ maka )()( cfhcf >+ .

i. Jika maka 0>h 0)()(>

−+h

cfhcf

ii. Jika 0<h maka 0)()(<

−+h

cfhcf

Jika berturunan pada x = c , maka ada dan )(xf )(cf ′

)()()( cfcfcf ′=′=′ −+ , yaitu:

0)()(lim0

≥−+

=′+→

+ hcfhcff

h dan 0)()(lim

0≤

−+=′

−→− h

cfhcffh

Karena dan 0≤′−f 0≥′+f , maka 0)( =′ cf . ■

c c + h c + h δ−c δ+c x

y

f(c)

h > 0 h < 0

Gambar 2.7

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

16

Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di

sekitar titik kritis.

Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata

Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik (a,b) maka

terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikian sehingga ab

afbfcf−−

=′ )()()( .

Bukti:

Misal diberikan fungsi dan seperti gambar di bawah ini. )(xf )(xg

x

y

f(b)

f(a)

a b

y = f(x)

s(x)

x

y = g(x)

Gambar 2.8

Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi )()()( xgxfxs −= . Andaikan

adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik ke

. Karena garis ini mempunyai kemiringan

)(xgy = ))(,( afa

))(,( bfbab

afbf−− )()( dan melalui

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

17

))(,( afa , maka bentuk kemiringan untuk persamaannya adalah

)()()()()( axab

afbfafxg −−−

=− atau )()()()()( afaxab

afbfxg +−−−

= .

Kemudian ini menghasilkan rumus untuk , yaitu: )(xs

)()()()()()()()( axab

afbfafxfxgxfxs −−−

−−=−=

Tampak bahwa 0)()( == bsas .

Untuk setiap fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada

interval (a,b) dan

)(xs

0)()( == bsas maka fungsi terdapat titik c di dalam

interval (a,b) sedemikan sehingga

)(xs

0)()()()( =−−

−′=′ab

afbfcfcs .

Jadi terbukti bahwa ab

afbfcf−−

=′ )()()( . ■

Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif

Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka yang

memuat titik kritis c, maka:

),( ba

1. adalah nilai maksimum relatif, jika )(cf 0)( >′ xf untuk semua x di dalam

interval dan ),( ca 0)( <′ xf untuk semua x di dalam interval ),( bc

2. adalah nilai minimum relatif, jika )(cf 0)( <′ xf untuk semua x di dalam

interval dan untuk semua x di dalam interval ),( ca 0)( >′ xf ),( bc

3. bukan nilai ekstrem relatif jika)(cf )(xf ′ bertanda sama pada kedua pihak

c.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

18

Bukti:

a) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan

memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam (a, b) )()( xfcf ≥

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu

pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata

dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga

)()()(ξ′=

−− f

xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf

0>− xc karena xc > dan 0)( >ξ′f karena f ′positif dimana-mana

pada interval (a, c).

Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di

dalam interval (a, c).

0)()( >− xfcf )()( xfcf >

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu

pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata

dipenuhi pada interval [c, x].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga

)()()(ξ′=

−− f

cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf

0>− cx karena cx > dan 0)( <ξ′f karena f ′negatif dimana-mana

pada interval (c, b).

Jadi 0)()( <− cfxf atau )()( cfxf < dan dipenuhi untuk semua x di dalam

interval (c, b).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

19

Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). )()( cfxf <

b) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan

memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam (a, b) )()( xfcf ≥

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu

pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata

dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga

)()()(ξ′=

−− f

xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf

0>− xc karena xc > dan 0)( <ξ′f karena f ′negatif dimana-mana

pada interval (a, c).

Jadi 0)()( <− xfcf atau )()( xfcf < dan dipenuhi untuk semua x di

dalam interval (a, c).

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu

pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata

dipenuhi pada interval [c, x].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga

)()()(ξ′=

−− f

cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf

0>− cx karena cx > dan 0)( >ξ′f karena f ′ positif dimana-mana

pada interval (c, b).

Jadi 0)()( >− cfxf atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam

interval (c, b).

)()( cfxf >

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

20

Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). )()( cfxf >

c) Untuk membuktikan bagian ini akan ditinjau dalam dua kemungkinan, yaitu:

i. Jika untuk semua x dalam (a, c) dan 0)( <′ xf 0)( <′ xf untuk semua x

dalam (c, b), maka bukan merupakan nilai ekstrem. )(cf

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f

kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema

nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian

sehingga

)()()(ξ′=

−− f

xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf

0>− xc karena xc > dan 0)( <ξ′f karena negatif di mana-

mana pada interval (a, c).

f ′

Jadi 0)()( <− xfcf atau )()( xfcf < dan dipenuhi untuk semua x

di dalam interval (a, c).

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f

kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema

Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian

sehingga

)()()(ξ′=

−− f

cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

21

0>− cx karena cx > dan 0)( <ξ′f karena f ′ negatif di mana-

mana pada interval (c, b).

Jadi 0)()( <− cfxf atau )()( cfxf < dan dipenuhi untuk semua x

di dalam interval (c, b).

Karena untuk setiap x di dalam interval (a, c). dan

untuk setiap x di dalam interval (c, b), maka bukan

merupakan nilai ekstrem relatif.

)()( xfcf <

)()( cfxf < )(cf

ii. Jika untuk semua x dalam (a, c) dan 0)( >′ xf 0)( >′ xf untuk semua x

dalam (c, b), maka bukan merupakan nilai ekstrem. )(cf

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f

kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema

nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian

sehingga

)()()(ξ′=

−− f

xcxfcf atau )()()()( ξ′−=− fxcxfcf

0>− xc karena xc > dan 0)( >ξ′f karena f ′ positif di mana-

mana pada interval (a, c).

Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x

di dalam interval (a, c).

0)()( >− xfcf )()( xfcf >

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval . Karena f

kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema

Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

),( bc

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

22

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian

sehingga

)()()(ξ′=

−− f

cxcfxf atau )()()()( ξ′−=− fcxcfxf

0>− cx karena cx > dan 0)( >ξ′f karena f ′ positif di mana-

mana pada interval (c, b).

Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x

di dalam interval (c, b).

0)()( >− cfxf )()( cfxf >

Karena untuk setiap x di dalam interval dan

untuk setiap x di dalam interval , maka bukan

merupakan nilai ekstrem relatif. ■

)()( xfcf > ),( ca

)()( cfxf > ),( bc )(cf

Teorema 2.5 Teorema Uji Turunan Kedua

Andaikan f berturunan dua kali pada titik stasioner c, maka :

a. Jika , maka f mempunyai minimum relatif pada titik c. 0)( >′′ cf

b. Jika , maka f mempunyai maksimum relatif pada titik c. 0)( <′′ cf

Bukti :

Dengan menggunakan definisi turunan dapat dituliskan :

( ) ( ) ( ) cxcfcx

cfxf ii

cx≠=

−−

→,lim '' (2.1)

a). Menurut hipotesis sehingga dapat memilih 0)('' >cf 0>ε dalam definisi

limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada 0>δ sedemikian

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

23

hingga ε<−−− )()()( ''

''

cfcx

cfxf bilamana <− cx δ , cx ≠ atau

εε +<−−

<− )()()()( ''''

'' cfcx

cfxfcf ,bilamana x dalam interval

( ) .,, cxcc ≠+− δδ

Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan

diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :

- untuk semua x dalam ,0)(' >xf ( )δ+cc, .

- untuk semua x dalam ,0)(' <xf ( )cc ,δ− .

Ini menyusul dari uji turunan pertama bahwa f memiliki minimum relatif

pada c.

Apabila ε > 0 yang dipilih kurang dari maka )('' cfcx

cfxf−− )()( ''

terletak antara dua bilangan positif, yang artinya :

0)()( ''

>−−

cxcfxf bilamana ( ) .,, cxcc ≠+− δδ

Selanjutnya dapat ditulis :

0)()( '' >− cfxf atau untuk semua x dalam ( ))()( '' cfxf > δ+cc, dan

atau untuk semua x dalam ( )0)()( '' <− cfxf )()( '' cfxf < cc ,δ− .

Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi . 0)(' =cf

Ini berarti :

- untuk semua x dalam 0)(' >xf ( )δ+cc, .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

24

- untuk semua x dalam 0)(' <xf ( )cc ,δ− .

b). Menurut hipotesis sehingga dapat memilih 0)('' <cf 0>ε dalam definisi

limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada 0>δ sedemikian

hingga ε<+−− )()()( ''

''

cfcx

cfxf bilamana <− cx δ , cx ≠ atau

εε +−<−−

<−− )()()()( ''''

'' cfcx

cfxfcf ,bilamana x dalam interval

( ) .,, cxcc ≠+− δδ

Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan

diperlihatkan / ditunjukkan bahwa :

- untuk semua x dalam ,0)(' >xf ( )δ+cc, .

- untuk semua x dalam ,0)(' <xf ( )cc ,δ− .

Karena ε yang dipilih merupakan bilangan positif yang sangat kecil maka

cf '

xcxf

−− )()(' terletak antara dua bilangan negatif, yang artinya :

0)()( ''

>−−

cxcfxf bilamana ( ) .,, cxcc ≠+− δδ

Selanjutnya dapat ditulis :

- atau untuk semua x dalam0)()( '' <− cfxf )()\( '' cfxf < ( )δ+cc, .

- atau untuk semua x dalam ( )0)()( '' >− cfxf )()( '' cfxf > cc ,δ− .

Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi . 0)(' =cf

Ini berarti :

- 0 untuk semua x dalam )(' <xf ( )δ+cc, .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

25

- 0 untuk semua x dalam )(' >xf ( )cc ,δ− . ■

Contoh 2.4

Periksa nilai ekstrem untuk untuk setiap x dalam ℜ ! 56)( 2 +−= xxxf

Penyelesaian :

Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan maka

untuk x = 3. Titik kritis fungsi di atas adalah

)3(262)(' −=−= xxxf

0)(' =xf 3=x

2)('' =xf maka .02)3('' >=f

Jadi f mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif adalah

4)3( −=f

Contoh 2.5

Untuk ,4331)( 23 +−−= xxxxf gunakan uji turunan kedua untuk mengenali

ekstrem relatif fungsi tersebut!

Penyelesaian :

Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan

)3)(1(32)( 2' −+=−−= xxxxxf maka untuk x = -1 dan x = 3. 0)(' =xf

22)('' −= xxf . Karena dan maka 04)1('' <−=−f 04)3('' >=f

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

26

f ( -1) adalah nilai maksimum relatif dan f (3) adalah nilai minimum relatif.

B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel

Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang salah satu penggunaan

turunan fungsi dengan satu variabel dalam menentukan nilai maksimum dan

minimum suatu fungsi. Dalam subbab ini, akan dibahas tentang perluasan untuk

fungsi dengan dua variabel.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel

didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada fungsi dengan satu variabel.

Pada fungsi dengan dua variabel peranan interval terbuka digantikan dengan

cakram terbuka dan peranan interval tertutup digantikan dengan cakram tertutup.

Definisi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel

diberikan sebagai berikut:

Definisi 2. 7

Misalkan adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada

suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram

terbuka sedemikian sehingga yang terletak pada

cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f

dikatakan mencapai maksimum relatif di titik dengan nilai maksimum

.

),( yxfz =

),( ba

));,(( rbaB ),(),( yxfbaf ≥

),( ba

),( ba

),( baf

Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak

dalam daerah definisi fungsi

),(),( yxfbaf ≥ ),( yx

),( yxfz = , maka fungsi f dikatakan mencapai

maksimum mutlak di titik dengan nilai maksimum . ),( ba ),( baf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

27

Definisi 2. 8

Misalkan ),( yxfz = adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada

suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram

terbuka sedemikian sehingga

),( ba

));,(( rbaB ),(),( yxfbaf ≤ yang terletak pada

cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f

dikatakan mencapai minumum relatif di titik dengan nilai minimum

.

),( ba

),( ba

),( baf

Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak

dalam daerah definisi fungsi

),(),( yxfbaf ≤ ),( yx

),( yxfz = , maka fungsi f dikatakan mencapai

minimum mutlak di titik dengan nilai minimum . ),( ba ),( baf

Kedua definisi di atas dapat diperlihatkan dalam ilustrasi di bawah ini.

Gambar 2. 9 Nilai-nilai ekstrem dari fungsi dengan duavariabel

),( yxfz =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

28

Dari grafik tampak bahwa fungsi ),( yxfz = terdefinisi di dalam

domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya

memenuhi ketaksamaan 10 ≤≤ x , 10 ≤≤ y . Fungsi ),( yxfz = mempunyai

maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi

juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di

titik D.

),( yxfz =

Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik

maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik dan jika

mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik maka

dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik .

),( ba ),( ba

),( ba

),( ba

Teorema 2.6

Misal terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka

dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik serta

turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik , maka

),( yxfz =

));,(( rbaB ),( ba

),( ba 0),( =baf x

dan 0),( =baf y .

Bukti:

Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika adalah nilai maksimum

relatif dan adalah nilai minimum relatif.

),( baf

),( baf

i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada

dan ada, maka ),( ba ),( baf x 0),( =baf x .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

29

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f

terhadap x pada titik adalah

),( yxf ),( yx

),( bah

bafbhafbafhx

),(),(lim),(0

−+=

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai

Definisi 2.7 didapat

),( ba

0),(),( ≤−+ bafbhaf .

Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam .

),( bha +

));,(( δbaB

Jika , maka +→ 0h 0>h 0),(),(≤

−+h

bafbhaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≤−+

=→ h

bafbhafbafhx

Jika , maka −→ 0h 0<h 0),(),(≥

−+h

bafbhaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≥−+

=→ h

bafbhafbafhx

Karena dan 0),( ≥baf x 0),( ≤baf x maka 0),( =baf x .

Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada

dan ada, maka ),( ba ),( baf y 0),( =baf y .

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f

terhadap y pada titik adalah

),( yxf ),( yx

),( bak

bafkbafbafky

),(),(lim),(0

−+=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

30

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai

Definisi 2.7 didapat

),( ba

0),(),( ≤−+ bafkbaf .

Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam .

),( kba +

));,(( δbaB

Jika , maka +→ 0k 0>k 0),(),(≤

−+k

bafkbaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≤−+

=→ k

bafkbafbafky

Jika , maka −→ 0k 0<k 0),(),(≥

−+k

bafkbaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≥−+

=→ k

bafkbafbafky

Karena dan 0),( ≥baf y 0),( ≤baf y maka 0),( =baf y .

ii. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada

dan ada, maka

),( ba

),( baf x 0),( =baf x .

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f

terhadap x pada titik adalah

),( yxf ),( yx

),( bah

bafbhafbafhx

),(),(lim),(0

−+=

Karena f mempunyai nilai minimum relatif di maka dengan memakai

Definisi 2.8 didapat

),( ba

0),(),( ≥−+ bafbhaf .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

31

Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam .

),( bha +

));,(( δbaB

Jika , maka +→ 0h 0>h 0),(),(≥

−+h

bafbhaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≥−+

=→ h

bafbhafbafhx

Jika , maka −→ 0h 0<h 0),(),(≤

−+h

bafbhaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≤−+

=→ h

bafbhafbafhx

Karena dan 0),( ≥baf x 0),( ≤baf x maka 0),( =baf x .

Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada

dan ada, maka

),( ba

),( baf y 0),( =baf y .

Jika adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f

terhadap y pada titik adalah

),( yxf ),( yx

),( bak

bafkbafbafky

),(),(lim),(0

−+=

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai

Definisi 2.8 didapat

),( ba

0),(),( ≥−+ bafkbaf .

Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ada di

dalam .

),( kba +

));,(( δbaB

Jika , maka +→ 0k 0>k 0),(),(≥

−+k

bafkbaf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

32

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≥−+

=→ k

bafkbafbafky

Jika , maka −→ 0k 0<k 0),(),(≤

−+k

bafkbaf

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:

0),(),(lim),(0

≤−+

=→ k

bafkbafbafky

Karena dan 0),( ≥baf y 0),( ≤baf y maka 0),( =baf y .

Definisi 2.9.

Titik disebut titik kritis dari fungsi f, jika berlaku dan

.

),( ba 0),( =baf x

0),( =baf y

Teorema 2.6 mengatakan bahwa syarat perlu agar suatu fungsi dengan dua

variabel mencapai nilai ekstrem relatif di suatu titik, di mana turunan parsialnya

ada di titik tersebut, adalah bahwa titik tersebut merupakan titik kritis dari

. Namun hal ini belum menjamin terjadinya nilai ekstrem relatif

apabila turunan parsialnya di suatu titik sama dengan nol. Keadaan ini terjadi

pada suatu titik yang disebut dengan titik pelana (saddle point), yaitu titik kritis di

mana fungsi tidak mempunyai nilai ekstrem. Hal ini ditunjukkan pada

contoh 2.6

),( yxfz =

),( yxfz =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

33

Contoh 2.6

Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh persamaan

22 246),( yxyxyxf −−−=

Tentukan apakah f mencapai nilai ekstrem!

Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka

Teorema 2. 6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

),( yx

xyxf x 26),( −= dan yyxf y 44),( −−=

Dari persamaan-persamaan 026),( =−= xyxf x dan 044),( =−−= yyxf y

didapat x = 3 dan y = -1 sebagai titik kritis fungsi.

Grafik persamaan tampak pada gambar 2.10

yaitu berupa paraboloida dengan titik puncak (3, -1, 11) dan terbuka ke bawah.

22 246),( yxyxyxfz −−−==

Dapat disimpulkan bahwa:

)1,3(),( −< fyxf untuk semua )1,3(),( −≠yx

Menurut Definisi 2.7, maka 11)1,3( =−f merupakan nilai maksimum mutlak f.

Gambar 2.10. Grafik fungsi dengan 22 246),( yxyxyxf −−−= )11,1,3( − sebagai titik puncaknya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

34

Contoh 2.7

Tentukan nilai ekstrem relatif dari fungsi ! yxyyxyxf 72)( 22 −−+=

Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka

Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

),( yx

yxyxf x −= 4),( dan 72),( −−= xyyxf y

Kemudian dengan menyelesaikan

04),( =−= yxyxf x

072),( =−−= xyyxf y

didapat x = 1 dan y = 4 sebagai titik stasionernya.

Sekarang akan dibandingkan nilai f pada (1, 4) dengan nilai f pada . )4,1( kh ++

14284162)4,1( −=−−+=f

)4)(1()4()1(2)4,1( 22 khkhkhf ++−+++=++

khkkhkkhh 72844816242 22 −−−−−−+++++=

142 22 −−+= hkkh

( ) 221222 22)4,1()4,1( khkhhkkhfkhf +−=−+=−++

( ) 02 2892

41 >+−= kkh untuk semua h, k di dalam ℜ .

Jadi f mempunyai minimum relatif pada titik (1, 4) dengan nilai minimum

relatifnya -14.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

35

Contoh 2.8

Selidiki apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif! 22),( yxyxf −=

Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka

Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

),( yx

xyxf x 2),( =

yyxf y 2),( −=

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan

. Kemudian diperoleh titik (0,0) sebagai titik kritisnya.

02),( == xyxf x

02),( =−= yyxf y

Pada bidang , bernilai positif, dan pada bidang ,

bernilai negatif. Jadi titik (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dari

0=y 2),( xyxf = 0=x

2),( yyxf −=

22),( yxyxf −= . Hal ini ditunjukkan pada grafik di bawah ini.

Gambar 2.11 Grafik fungsi 22),( yxyxf −= dengan titik (0,0) sebagai titik pelananya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

36

Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel bahwa syarat

belum cukup menjamin bahwa f mempunyai ekstrem pada c. Demikian

pula halnya bahwa syarat

0)( =′ cf

0),( =yxf x dan 0),( =yxf y belum cukup menjamin

bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik . Untuk itu

diperlukan syarat cukup yang menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel

mempunyai ekstrem pada titik .

),( ba

),( ba

Teorema 2.7

Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel dengan turunan-turunan parsial

tingkat dua yang kontinu pada cakram terbuka dan

. Misalkan .

));,(( rbaB

0),(),( == bafbaf yx ),(),().,(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=

Maka berlaku:

1. f mencapai nilai minimum relatif di titik jika dan

),( ba 0),( >baH

0),( >baf xx

2. f mencapai nilai maksimum relatif di titik jika dan

),( ba 0),( >baH

0),( <baf xx

3. f tidak mempunyai nilai ekstrem relatif di titik jika ),( ba 0),( <baH

4. jika , f belum dapat disimpulkan apakah mempunyai nilai

ekstrem atau tidak.

0),( =baH

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

37

Bukti:

1. Misalkan . ),(),().,(),( 2 yxfyxfyxfyxφ xyyyxx −=

Diketahui dan , akan dibuktikan bahwa

adalah nilai minimum relatif.

0),( >baφ 0),( >baf xx ),( baf

Karena , dan adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada cakram

terbuka , maka juga kontinu di . Akibatnya

terdapat cakram terbuka

xxf yyf xyf

));,(( rbaB ),( yxφ ));,(( rbaB

));,(( rbaB ′′ , dengan rr ≤′ , sedemikian

sehingga dan untuk setiap di cakram

terbuka .

0),( >yxφ 0),( >yxf xx ),( yx

));,(( rbaB ′′

Misalkan h dan k adalah konstanta-konstanta yang tidak keduanya nol,

sedemikian sehingga titik ),( kbha ++ di ));,(( rbaB ′′ . Maka dua

persamaan berikut :

htax += dan ktby += , 10 ≤≤ t

mendefinisikan semua titik pada segmen garis yang menghubungkan titik

dan . Misal F adalah fungsi dengan satu variabel yang

didefinisikan oleh:

),( ba ),( kbha ++

),()( ktbhtaftF ++= (2.2)

Dengan rumus Maclaurin untuk fungsi F dengan satu variabel didapat:

2

!2)()0()0()( tFtFFtF ξ′′

+′+= (2.3)

dengan t<ξ<0

untuk t = 1 pada persamaan (2.3) berlaku:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

38

)()0()0()1( 21 ξ′′+′+= FFFF (2.4)

dengan 10 <ξ<

Karena dan ),()0( bafF = ),()1( kbhafF ++= maka dengan persamaan

(2.3) didapat:

)()0(),(),( 21 ξ′′+′+=++ FFbafkbhaf (2.5)

dengan 10 <ξ<

Untuk mendapatkan )(tF ′ dan )(ξ′′F digunakan aturan rantai pada

persamaan (2.2), maka didapat:

),(),()( ktbhtakfktbhtahftF yx +++++=′ (2.6)

Jika fungsi f dengan dua variabel dalam x dan y terdefinisi pada cakram

terbuka dan , , dan terdefinisi di B serta ,

kontinu B, maka diperoleh:

));,(( rbaB xxf yyf xyf yxf xyf

yxf

),(),( yxfyxf yxxy = untuk setiap titik di . ),( yx 1B

Jadi berlaku:

yyxyxx fkhkffhtF 22 2)( +=′′ (2.7)

di mana setiap turunan parsial di ruas kanan persamaan (2.6) dihitung di

titik . Dengan memasukkan t = 0 pada persamaan (2.5) dan

pada persamaan (2.6) didapat:

),( ktbhta ++

ξ=t

0),(),()0( =+=′ bakfbahfF yx (2.8)

dan

yyxyxx fkhkffhF 22 2)( ++=ξ′′ (2.9)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

39

di mana setiap turunan parsial kedua persamaan (2.9) dihitung di titik

dengan ),( ktbhta ++ 10 <ξ< .

Dengan memasukkan persamaan (2.8) dan (2.9) ke dalam persamaan (2.5)

akan diperoleh:

)2(),(),( 2221

yyxyxx fkhkffhbafkbhaf ++=−++ (2.10)

bentuk-bentuk di dalam tanda kurung pada persamaan (2.9) dapat ditulis

sebagai:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++

xx

yy

xx

xy

xx

xy

xx

xyxxyyxyxx f

fk

ff

kff

kff

hkhffkhkffh 222

222 22

sehingga persamaan (2.10) dapat ditulis:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−++ 2

2

22

2),(),( k

ffff

ff

hf

bafkbhafxx

xyyyxx

xx

xyxx (2.11)

Karena dihitung di titik 2xyyyxx fff − ),( ktbhta ++ , maka nilainya sama

dengan 0),( >ξ+ξ+φ kbha . Jadi akan diperleh bentuk di dalam kurung

pada persamaan (2.10) akan bertanda positif. Selain itu karena

0),( >ξ+ξ+ kbhaf xx , maka dari persamaan (2.11) didapat bahwa

bertanda positif. ),(),( bafkbhaf −++

Terbukti bahwa ),(),( bafkbhaf >++ untuk setiap

pada . Kemudian dengan memakai Definisi 2.8

akan diperoleh bahwa merupakan nilai minimum relatif dari f.

),(),( bakbha ≠++ 1B

),( baf

2. Diketahui dan 0),( >baφ 0),( <baf xx , akan dibuktikan bahwa

adalah nilai maksimum relatif. Langkah-langkah pembuktian merupakan

),( baf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

40

analogi dari langkah pembuktian pada kasus pertama. Karena

),( ξ+ξ+ kbha di dalam , maka ));,(( rbaB 0),( <ξ+ξ+ kbhaf xx dan

dari persamaan (10) didapat bahwa ),(),( bafkbhaf −++ bertanda

negatif.

Jadi terbukti bahwa ),(),( bafkbhaf <++ untuk setiap

pada . Kemudian dengan memakai Definisi 2.7

akan diperoleh bahwa merupakan nilai maksimum relatif dari f.

),(),( bakbha ≠++ 1B

),( baf

3. Diketahui 0),(),().,(),( 2 <−= bafbafbafbaH xyyyxx

Dari persamaan (2.9) andaikan bahwa

yyxyxx fkhkffhF 22 2 ++= (2.12)

Atau dapat ditulis sebagai

( ) 0,21 222 ≠++= xxxxyyxxxyxxxx

fffkfhkffhf

F

( ) ( )[ 0,1 222 ≠−++= xxxyyyxxxyxxxx

ffffkkfhff

F ] (2.13)

Tanda dari F bergantung pada nilai h dan k.

Misalkan

• diambil k = 0, maka dan F akan mempunyai tanda yang

sama dengan .

xxfhF 2=

xxf

• diambil xy

xx

fhf

k−

= ,maka xxxxxx

ff

Hkf

HkF 2

22

== ,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

41

02

2

<xxfHk , untuk nilai

xy

xx

fhf

k−

= dan F mempunyai tanda yang

berlawanan dengan . xxf

Dari dua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa titik kritisnya merupakan

titik pelana karena F tidak memberikan tanda yang sama untuk setiap

yang diberikan. ),( kh

Jadi bukan merupakan nilai ekstrem. ),( baf

4. Untuk akan diselesaikan

dengan deret Taylor yang akan dibahas pada bab selanjutnya. ■

0),(),().,(),( 2 =−= bafbafbafbaH xyyyxx

Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem

fungsi dengan dua variabel:

1. Menentukan dan ),( yxf x ),( yxf y

2. Menentukan nilai-nilai x dan y di mana 0),( =yxf x dan 0),( =yxf y

untuk mendapatkan nilai kritisnya.

3. Menentukan , , dan ),( yxf xx ),( yxf xy ),( yxf yy

4. Menentukan dan pada

titik kritis.

),(),().,(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −= ),( yxf xx

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

42

Contoh 2.9

Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh:

yxyxyxf 22),( 224 −−+=

Tentukan nilai ekstrem relatif dari f !

Penyelesaian:

Tururan parsial pertama fungsi f adalah:

xxyxf x 28),( 3 −=

22),( −= yyxf y

Dari persamaan didapat 028),( 3 =−= xxyxf x 21−=x , 0=x dan 2

1=x

Dari persamaan 022),( =−−= yyxf y didapat 1=y

Diperoleh titik-titik kritis fungsi f yaitu )1,0(),1,( 21− dan )1,( 2

1 .

Kemudian menentukan turunan parsial kedua dari f, yaitu;

224),( 2 −= xyxf xx

2),( =yxf yy

0),( =yxf xy

kemudian dihitung:

04)1,( 21 >=−xxf

0802.4)1,()1,()1,()1,( 212

21

21

21 >=−=−−−−=− xyyyxx fffH .

Karena 0)1,( 21 >−H , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di

titik )1,( 21− .

02)1,0( <−=xxf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

43

0402).2()1,0()1,0()1,0()1,0( 2 <−=−−=−= xyyyxx fffH

Karena , maka menurut Teorema 2.7 f tidak mencapai minimum

relatif di titik .

0)1,0( <H

)1,0(

04)1,( 21 >=xxf

0802.4)1,()1,()1,()1,( 212

21

21

21 >=−=−= xyyyxx fffH

Karena 0)1,( 21 >H , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di

titik )1,( 21 .

Jadi dapat disimpulkan bahwa f mencapai nilai minimum relatif di titik )1,( 21−

dan titik )1,( 21 dengan nilai minimum relatif adalah 8

9− .

Contoh 2.10

Tentukan nilai ekstrem relatif untuk fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

12),( 22 +−+= xyxyxf

Penyelesaian:

Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah

22),( −= xyxf x

yyxf y 2),( =

dengan menyelesaikan 0),( =yxf x dan 0),( =yxf y , maka akan didapat x = 1

dan y = 0.

Kemudian turunan parsial kedua adalah

02),( >=yxf xx

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

44

2),( =yxf yy

0),( =yxf xy

pada titik (1,0) dipunyai . Karena dan ,

maka dengan menggunakan Teorema 2.7 mempunyai nilai minimum

relatif dengan nilai minimum relatif sama dengan nol.

0402.2 2 >=−=H 0),( >yxf xx 0>H

),( yxf

Contoh 2.11

Tentukan nilai maksimum dan minimum relatif dari fungsi

20123),( 33 +−−+= yxyxyxf

Penyelesaian :

Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah

33),( 3 −= xyxf x

123),( 2 −= yyxf y

0),( =yxf x untuk 1±=x

0),( =yxf y untuk 2±=y

Selanjutnya didapat empat titik kritis dari , yaitu: ),( yxf

(1,2), (-1,2), (1,-2) dan (-1,-2)

Kemudian turunan parsial kedua adalah

xyxf xx 6),( =

yyxf yy 6),( =

0),( =yxf xy

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

45

Kemudian,

Pada titik (1,2)

06),( >=yxf xx dan , yang berarti bahwa titik (1,2)

merupakan titik minimum relatif dari .

0720)2(6).1(6 2 >=−=H

),( yxf

Pada titik (-1,2)

06),( <−=yxf xx dan , yang berarti bahwa

tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (-1,2).

0720)2(6).1(6 2 <−=−−=H

),( yxf

Pada titik (1,-2)

06),( >=yxf xx dan yang berarti bahwa

tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (1,-2).

0720)2(6).1(6 2 <−=−−=H

),( yxf

Pada titik (-1,-2)

06),( <−=yxf xx dan yang berarti bahwa titik 0720)2(6).1(6 2 >=−−−=H

(-1,-2) merupakan titik maksimum relatif dari . ),( yxf

Pada fungsi dengan satu variabel, biasanya fungsi yang ingin dicari nilai

maksimum atau minimum terdefinisi pada interval tertutup [a,b] sehingga fungsi

tersebut terdefinisi pada himpunan terbatas ℜ . Kemudian terdapat suatu teorema

yang menjamin tentang adanya nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan satu

variabel yang kontinu pada interval tertutup [a,b].

Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel, teorema berikut, yang

sangat sukar dibuktikan namun secara intuisi jelas, akan membantu dalam

menentukan nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan dua variabel.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

46

Teorema 2.8 Teorema Nilai Ekstrem

Jika fungsi f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas pada , maka f

mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada titik-titik di dalam

.

Jika fungsi kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas ),( yxf ℜ ,

maka teorema di atas menjamin adanya nilai maksimum dan minimum mutlak

fungsi pada . Ekstrem mutlak ini dapat terjadi pada batas ℜ atau

dalam pedalaman , namun jika ekstrem mutlak yang terjadi pada titik

pedalaman, maka hal itu terjadi pada suatu titik kritis.

),( yxf ℜ

1ℜ

Teorema 2.9

Jika fungsi mempunyai ekstrem mutlak pada suatu titik di pedalaman

domainnya, maka ekstrem itu terjadi pada suatu titik kritis.

),( yxf

Bukti:

Jika fungsi mempunyai ekstrem mutlak pada titik dalam pedalaman

domain f, maka merupakan nilai terbesar atau terkecil dalam pedalaman

dmain f. Dengan demikian, ini dapat berarti bahwa nilai terbesar atau terkecil dari

f berada di sekitar titik . Atau dengan kata lain terdapat suatu kitaran yang

berpusat di titik yang menjadikan adalah suatu nilai terbesar atau

terkecil dalam kitaran tersebut. Jadi mempunyai ekstrem relatif. Jika

turunan-turunan parsial ada pada titik , maka dan

),( yxf ),( ba

),( baf

),( ba

),( ba ),( baf

),( yxf

),( yxf ),( ba 0),( =yxf x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

47

0),( =yxf y . Menurut Teorema 2.8 maka titik merupakan titik kritis dari

. ■

),( ba

),( yxf

Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem

mutlak dari fungsi yang kontinu pada himpunan terbatas : ),( yxf ℜ

1. Menentukan titik-titik kritis dari yang terletak di dalam . ),( yxf ℜ

2. Menentukan semua titik perbatasan.

3. Menghitung nilai pada titik-titik perbatasan dan titik-titik kritis,

nilai terbesar akan menjadi nilai maksimum mutlak dan nilai terkcil akan

menjadi nilai minimum mutlak.

),( yxf

Contoh 2.12

Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak fungsi yang didefinisikan oleh

7363),( +−−= yxxyyxf

Pada daerah segitiga tertutup ℜ dengan koordinat-koordinat (0,0), (3,0) dan (0,5)

Penyelesaian:

Daerah ℜ tampak pada gambar di bawah ini

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

48

x

y

(0,0) (3,0)

(0,5)

Gambar 2. 12 Domain fungsi 7363),( +−−= yxxyyxf

Turunan parsial pertama 7363),( +−−= yxxyyxf

63),( −= yyxf x

33),( −= xyxf y

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan 063),( =−= yyxf x

033),( =−= xyxf y kemudian didapat x = 1 dan y = 2.

Kemudian ditentukan lokasi titik-titik pada batas ℜ di mana ekstrem mutlak

terjadi. Batas-batas ℜ terdari dari tiga buah ruas garis, yaitu:

Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (3,0)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

49

Pada ruas garis ini dipunyai y = 0 dan dapat diubah menjadi fungsi

dengan satu variabel dalam x, yaitu

),( yxf

76)0,()( +−== xxfxu dengan . 30 ≤≤ x

Fungsi 76)( +−= xxu tidak mempunyai titik kritis karena 06)( ≠−=′ xu untuk

semua x.

Jadi nilai ekstrem 76)( +−= xxu terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara

titik (0,0) dan titik (3,0).

Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (0,5)

Pada ruas garis ini dipunyai x = 0 dan dapat diubah menjadi fungsi

dengan satu variabel dalam y, yaitu

),( yxf

73),0()( +−== yyfyv dengan . 50 ≤≤ y

Fungsi 73)( +−= yyv tidak mempunyai titik kritis karena 03)( ≠−=′ xv untuk

semua y.

Jadi nilai ekstrem 73)( +−= yyv terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara

titik (0,0) dan titik (0,5).

Ruas garis di antara titik (3,0) dan titik (0,5)

Persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan titik (0,5) adalah 535 +−= xy

dengan 30 ≤≤ x . Kemudian fungsi diubah menjadi fungsi dengan satu

variabel dalam x, yaitu:

),( yxf

( ) ( ) ( ) 7536535,)( 35

35

35 ++−−−+−=+−= xxxxxxfxw

8145 2 −+−= xx , dengan 30 ≤≤ x

Kemudian turunan pertama dari adalah )(xw

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

50

1410)( +−=′ xxw

Persamaan 01410)( =+−=′ xxw akan menghasilkan sebuah titik kritis yaitu

57=x . Nilai ekstrem terjadi pada titik kritis )(xw 5

7=x atau titik-titik ujung,

yaitu x = 0 dan x = 3.

Dengan memasukan 57=x ke dalam persamaan 53

5 +−= xy , maka akan di dapat

38=y . Titik ( )3

857 , merupakan titik kritis dari 53

5 +−= xy .

Kemudian mendaftar semua nilai pada titik kritis dan pada titik-titik batas

di mana ekstrem mutlak terjadi.

),( yxf

),( yx ),( yxf

(0,0)

(3,0)

(0.5)

( )38

57 ,

(1,2)

7

-11

-8

89

1

Dari tabel tampak bahwa nilai maksimum mutlak adalah 7 dan terjadi pada titik

(0,0) dan nilai minimum mtlak adalah -11 dan terjadi pada titik (3,0). Gambar

berikut merupakan daerah domain 7363),( +−−= yxxyyxf dan nilai kritisnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

51

x

y

(0,0) (3,0)

(0,5)

(1,2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

38,

57

Gambar 2. 13 Domain fungsi 7363),( +−−= yxxyyxf beserta nilai kritisnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

BAB III

TEOREMA TAYLOR

Salah satu awal penerapan kalkulus adalah perhitungan nilai- nilai fungsi

seperti sin x, ln x, dan e .Ide ini muncul untuk mendekati fungsi yang diketahui

dengan suatu polinomial sedemikian rupa sehingga kesalahan dalam menentukan

hasilnya cukup kecil atau masih dalam suatu batas toleransi tertentu.

x

A. Deret Pangkat

Di dalam perkuliahan sudah dikenal dan dipelajari deret dengan suku –

suku konstan. Dalam penulisan ini akan diperhatikan sebuah deret yang suku –

sukunya berkaitan dengan variabel. Deret seperti ini merupakan dasar penting

dalam banyak cabang matematika.

Jika merupakan konstanta – konstanta dan x adalah suatu

variabel maka deret :

,....,,, 3210 aaaa

∑∞

=

+++++=0

2210

n

nn

nn xaxaxaaxa LL (3.1)

disebut deret pangkat dalam x.

Andaikan akan bermaksud mendekati fungsi f dengan polinomial

=)(xρ nn xaxaxaxaa +++++ L3

32

210 (3.2)

pada suatu interval yang berpusat di 0=x . Karena )(xρ memiliki )1( +n

koefisien, maka merupakan syarat pada polinom ini. Dianggap bahwa n )1( +n

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

53

turunan yang pertama dari f ada di 0=x dan dipilih )1( +n syarat sebagai

berikut :

)0()0(,),0()0(),0()0(),0()0( )(""' nn' ρfρfρfρf ==== L (3.3)

Persyaratan ini menuntut bahwa nilai )(xρ dan n turunan pertamanya

bersesuaian dengan nilai serta n turunan pertamanya di . Diharapkan

bahwa dan

)(xf 0=x

)(xf )(xρ hasilnya akan cukup dekat dalam suatu interval yang

berpusat di 0=x .

Karena diketahui =)(xρ nn xaxaxaxaa +++++ L3

32

210

maka . 12321

' 32)( −++++= nn xnaxaxaax Lρ

Sehingga jika diteruskan diperoleh :

, 232

" )1(2.32)( −−+++= nn xannxaax Lρ

,)2)(1(2.3)( 33

"' −−−++= nn xannnax Lρ

M

. nnn anannnx !)2)(1()()( =−−= Lρ

pada diperoleh 0=x

,)0( 0a=ρ

,

,

)0( 1' a=ρ

2)0( 2" a=ρ

,2.3)0( 3"' a=ρ

M

.!)0()(n

n an=ρ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

54

Jadi menurut persamaan (3.3) didapat

.!)0(,,!3)0(,!2)0(,)0(,)0( )(3

'''2

"1

'0 n

n anfafafafaf ===== L

Sehingga diperoleh

),0(0 fa =

),0('1 fa =

!2

)0("

2fa = ,

,!3

)0('''3

fa =

M

.!

)0()(

nfa

n

n=

Jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.2), maka akan diperoleh

suatu polinom Maclaurin untuk fungsi f.

Definisi 3.1

Jika fungsi f berturunan n kali 0=x , maka polinomial Maclaurin ke-n untuk f

didefinisikan sebagai

=)(xnρn

n

xn

fxfxfxff!

)0(!3

)0(!2

)0()0()0()(

3"'

2"

' +++++ L (3.4)

Polinom tersebut bersifat bahwa nilainya dan nilai – nilai n turunan pertamanya

bersesuaian dengan nilai f (x) dan n turunan pertamanya pada . 0=x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

55

Contoh 3.1

Tentukan polinomial Maclaurin untuk ! xe

Penyelesaian:

Andaikan = , maka )(xf xe

xn exfxfxfxf ===== )()()()( )('""' L dan

.1)0()0()0()0()0( )("'"' ====== nfffff L

Jadi didapat polinomial Maclaurin ke-n untuk adalah xe

.!

1!3

1!2

11)( 32 nn x

nxxxx +++++= Lρ

Contoh 3.2

Tentukan polinom Maclaurin untuk sin x !

Penyelesaian:

Andaikan maka , xxf sin)( = xxf cos)(' = .cos)(''',sin)(" xxfxxf −=−=

Sehingga . 1)0(,0)0(,1)0(',0)0( "'" −==== ffff

Karena , maka pola 0,1,0,-1 akan berulang – ulang jika

berturut – turut menurunkan lagi di

)(sin)()4( xfxxf ==

0=x . Oleh karena itu akan diperoleh

polinomial Maclaurin untuk sin x adalah

xxx =+= 0)(1ρ ,

,00)(2 xxx =++=ρ

,!3!3

00)(33

3xxxxx −=−++=ρ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

56

,!3

0!3

00)(33

4xxxxx −=+−++=ρ

,!5!3!5

0!3

00)(5353

5xxxxxxx +−=++−++=ρ

,!5!3

0!5

0!3

00)(5353

6xxxxxxx +−=+++−++=ρ

M

Jadi polinomial Maclaurin ke-n untuk sin x adalah

)!12()1(

!7!5!3)()(

12753

2212 +−++−+−==

+

++ nxxxxxxx

nn

nn Lρρ .

Jika berminat pada pendekatan polinom untuk pada suatu interval

dengan pusat

)(xf

ax = , maka idenya adalah memilih polinomial )(xρ pada

ax = sehingga nilai – nilai )(xρ dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan

nilai – nilai dan n turunan pertamanya pada )(xf ax = . Perhitungan paling

sederhana bila pendekatan polinomial dinyatakan dalam bentuk :

(3.5) nn axcaxcaxcaxccxρ )()()()()( 3

32

210 −++−+−+−+= L

,)()(3)(2)( 12321

' −−++−+−+= nn axncaxcaxccx Lρ

,)()1()(2.32)( 232

" −−−++−+= nn axcnnaxccx Lρ

,)()2)(1(2.3)( 33

''' −−−−++= nn axcnnncx Lρ

M

.!)2)(1()()(nn

n cncnnnx =−−= Lρ

untuk ax = diperoleh

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

57

0)( ca =ρ ,

,

,

)( 1' ca =ρ

!22)( 22'' cca ==ρ

,!32.3)( 33''' cca ==ρ

M

.!)3)(2)(1()()(nn

n cncnnnna =−−−= Lρ

Jadi, bila diinginkan nilai dari )(xρ dan n turunan pertamanya bersesuaian

dengan nilai – nilai dan n turunan pertamanya pada )(xf ax = , akan diperoleh :

),(0 afc =

),('1 afc =

,!2

)(''2

afc =

!3

)('''3

afc = ,

M

.!

)()(

nafc

n

n =

Selanjutnya jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.5) akan

diperoleh polinomial yang disebut polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar

ax = .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

58

Definisi 3.2

Jika fungsi f berturunan n kali pada ax = , maka polinomial Taylor ke – n

disekitar ax = didefinisikan sebagai :

L+−+−+−+= 3'"

2"

' )(!3

)()(!2

)())(()()( axafaxafaxafafxρn

nn

axn

af )(!

)()(

−+ (3.6)

Contoh 3.3

Tentukan Polinom Taylor )(4 xρ untuk disekitar xe 1=x .

Penyelesaian:

Andaikan diperoleh xexf =)( xexfxfxfxf ==== )()()()( )4("'"'

dan . efffff ===== )1()1()1()1()1( )4("'"'

Jadi polinomial Taylor ke – 4 untuk disekitar xe 1=x adalah

4)4(

3"'

2"

'4 )1(

!4)1()1(

!3)1()1(

!2)1()1)(1()1()( −+−+−+−+= xfxfxfxffxρ

4324 )1(

!4)1(

!3)1(

!2)1()( −+−+−+−+= xexexexeexρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−+−+= 432

4 )1(!4

1)1(!3

1)1(!2

1)1(1)( xxxxexρ .

Contoh 3.4

Tentukan polinomial Taylor )(4 xρ untuk sin x disekitar .2π

=x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

59

Penyelesaian:

Andaikan maka diperoleh xxf sin)( =

.sin)(,cos)(,sin)(,cos)( )4("'"' xxfxxfxxfxxf =−=−== dan

.12

,02

,12

,02

)4("'"' =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππππ ffff

Jadi polinomial Taylor ke -4 untuk sin x disekitar 2π

=x adalah

3"'

2"'

4 22!31

22!21

222)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππππππρ xfxfxffx

4

)4(

22!41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ππ xf

=42

2!41

2!211 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

ππ xx .

Kadang – kadang dalam mempermudah penyajian untuk menyatakan

rumus definisi polinomial Taylor dengan menggunakan notasi sigma. Untuk

melakukan hal ini digunakan notasi untuk menyatakan turunan tingkat k

dari f pada

)()( af k

ax = dan membuat penyajian tambahan bahwa menyatakan

Hal ini akan memungkinkan untuk menulis polinomial dalam bentuk :

)()0( af

).(af

nn

kkn

k

axn

afaxafaxafafaxk

af )(!

)()(!2

)())(()()(!

)( )(2

"'

)(

0

−++−+−+=−∑=

L

Karena nilai dari f dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai

polinomial Taylor dan n turunan pertama pada ax = akan menjadi lebih baik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

60

dalam mendekati , sekurang – kurangnya dalam suatu interval yang

berpusat di

)(xf

ax = .

B. Deret Taylor

Sebelum memulai pembahasan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu

dan dua variabel terlebih dahulu diberikan definisi tentang deret Taylor.

Definisi 3.3

Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada ax = , maka didefinisikan

deret Taylor untuk f disekitar ax = adalah

L+−+−+=−∑=

2"

')(

0

)(!2

)())(()()(!

)( axafaxafafaxk

af kkn

k

L+−+ nn

axn

af )(!

)()(

(3.7)

Definisi 3.4

Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada 0=x , maka didefinisikan

deret Taylor untuk f disekitar 0=x adalah

LL ++++++=∑=

nn

kkn

k

xn

fxfxfxffxk

f!

)0(!3

)0(!2

)0()0()0(!

)0( )(3

"'2

"'

)(

0

(3.8)

Contoh 3.5

Polinom Maclaurin ke – n untuk adalah xe

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

61

.!

1!3

1!2

11!

32

0

nkn

k

xn

xxxkx

+++++=∑=

L

Jadi deret Maclaurin ke – n untuk adalah xe

.!

1!3

1!2

11!

32

0

LL ++++++=∑=

nkn

k

xn

xxxkx

Contoh 3.6

Tentukan deret Taylor di sekitar 1=x untuk x

x 1=

Penyelesaian:

Andaikan x

xf 1)( = sehingga

5)4(

4"'

3"' 2.3.4)(,2.3)(,2)(,1)(

xxf

xxf

xxf

xxf =−==−= ,

!4)1(,!3)1(,!2)1(,1)1( )4("'"' =−==−= ffff

Subtitusikan kedalam (3.7) dengan 1=a akan diperoleh hasil :

L+−−−+−−=−−∑∞

=

32

1

)1()1()1(1)1()1( xxxx kk

k

Selanjutnya akan dianalisa kesalahan hasil bila suatu fungsi f didekati

dengan polinomial Taylor atau Maclaurin. Jika suatu fungsi f didekati oleh

polinomial Taylor ke – n yaitu nρ , maka kesalahan pada suatu titik x adalah

selisih ).()( xxf nρ− Selisih ini biasanya disebut sisa ke – n dan ditulis dengan

).()()( xxfxR nn ρ−=

C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

62

Berikut diberikan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.

Teorema 3.1 Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel

Jika fungsi berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam suatu interval

yang memuat titik a dan

)(xf

nn

n axn

afaxafaxafafx )(!

)()(!2

)())(()()()(

2"

' −++−+−+= Lρ

adalah polinomial Taylor ke – n untuk f disekitar .ax =

Maka untuk setiap x dalam interval, ada sekurang – kurangnya satu titik c antara

a dan x sedemikian hingga

1)1(

)()!1(

)()()()( ++

−+

=−= nn

nn axn

cfxxfxR ρ . (3.9)

Bukti :

Menurut hipotesis, f berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam interval yang

memuat titik a . Pilih suatu titik b dalam interval ini dan kita anggap

Andaikan

.ab >

)(xnρ adalah polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar ax = dan

didefinisikan

)()()( xxfxH nρ−= (3.10)

(3.11) 1)()( +−= naxxG

Karena f ( x ) dan )(xnρ bernilai sama dan n turunan pertama juga sama di ax = ,

maka

(3.12) 0)()()()( )("' ===== aHaHaHaH nL

1)()( +−= naxxG

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

63

(3.13) naxnxG )(1)(' −+=

(3.14) 0)()()()( )("' ===== aGaGaGaG nL

)(xG dan n turunan pertamanya tak nol bila ax ≠ .

Secara langsung dapat diperiksa bahwa fungsi H dan G memenuhi hipotesis dari

teorema Perluasan Nilai Tengah pada interval [ ]ba, , sehingga ada titik dalam

interval sedemikian sehingga

1c

( ba, )

)()(

)()()()(

1'

1'

cGcH

aGbGaHbH

=−− (3.15)

atau dari (3.12) dan (3.14) didapat

)()(

)()(

1'

1'

cGcH

bGbH

= (3.16)

Jika digunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah untuk 'H dan atas

interval , maka dapat diturunkan bahwa ada suatu titik dengan

sedemikian hingga

'G

[ 1,ca ] 2c

bcca <<< 12

)()(

)()()()(

2

2

1

1

cGcH

aGcGaHcH

′′′′

=′−′′−′

atau dari (3.12) dan (3.14) didapat

)()(

)()(

2

2

1

1

cGcH

cGcH

′′′′

=′′

yang bila dikombinasikan dengan (3.16) akan menghasilkan

)()(

)()(

2

2

cGcH

bGbH

′′′′

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

64

Sekarang jelaslah bahwa bila diteruskan dengan cara ini dan dengan

menggunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah dengan menurunkan berturut –

turut H dan G, akhirnya diperoleh hubungan dalam bentuk

)()(

)()(

1)1(

1)1(

++

++

=n

nn

n

cGcH

bGbH

(3.17)

di mana . bca n << +1

Akan tetapi adalah polinomial berderajat n sehingga turunan tingkat

adalah nol .

)(xρn

)1( +n

Jadi dari (3.10) didapat

. (3.18) )()( 1)1(

1)1(

++

++ = n

nn

n cfcH

Juga dari (3.11) , turunan tingkat )1( +n dari G(x) adalah konstan

sehingga )!1( +n

(3.19) )!1()( 1)1( +=+

+ ncG nn

Dengan subtitusi (3.18) dan (3.19) ke dalam (3.17) diperoleh

)!1(

)()()( 1

)1(

+= +

+

ncf

bGbH n

n

.

Dengan memisalkan dan dengan menggunakan (3.10) dan (3.11)

berlakulah bahwa

1+= ncc

1)1(

)()!1(

)()()( ++

−+

=− nn

n abn

cfbρbf

Dan ini adalah tepat (3.9) dalam Teorema Taylor dengan pengecualian bahwa

variabel disini bukan x . Jadi untuk menyelesaikannya perlu mengganti b dengan

x.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

65

1)1(

)()!1(

)()()()( ++

−+

=ρ−= nn

nn axn

cfxxfxR

Jika (3.9) ditulis kembali sebagai )()()( xRxxf nn += ρ maka didapat hasil

berikut yang disebut rumus Taylor dengan sisa :

nn

axn

afaxafaxafafxf )(!

)()(!2

)())(()()()(

2"

' −++−+−+= L

1)1(

)()!1(

)( ++

−+

+ nn

axn

cf (3.20)

dimana c diantara a dan x .

D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel

Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel merupakan perluasan

dari Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.

Teorema 3.2 Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel

Jika f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel yang mempunyai turunan parsial

hingga pangkat ke- (n + 1) yang kontinu pada suatu kitaran yang berpusat pada

titik ( a,b) dan Polinomial Taylor ke-n untuk f disekitar titik (a,b) adalah :

⎜⎝⎛ +

∂∂

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

−+∂∂

−+= 22)(

!21),()()(),(),(

xaxbafbyaxbafyx

yxnρ

⎜⎝⎛ +

∂∂

−+⎟⎟⎠

⎞∂∂

−+∂∂∂

−−x

axn

bafy

byyx

byax )(!

1...),()())((2 2

22

),,()( bafy

byn

⎟⎟⎠

⎞∂∂

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

66

maka untuk setiap (x.y) dalam kitaran, ada sekurang – kurangnya satu titik

sedemikian hingga )( 1,1 ba

).,()()(),(),(),( 11

1

bafy

byx

axyxyxfyxRn

nn ⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞∂∂

−+∂∂

−=−=+

ρ

Bukti :

Diketahui f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel x dan y yang terdefinisi

Pada himpunan tertutup dan terbatas dan turunan parsial kontinu dalam

suatu kitaran yang berpusat pada titik ( a,b).

)1( +nf

Jika variabel t dikenalkan dengan bantuan relasi

ktbyhtax +=+= ,

dimana h dan k adalah konstanta, akan dihasilkan fungsi dari variabel tunggal t

yaitu ),(),()( ktbhtafyxftF ++==

Dengan bantuan definisi turunan parsial diperoleh

dtdyyxf

dtdxyxftF yx ),(),()(' +=

= ).,(),( yxkfyxhf yx +

⎢⎣

⎡⎢⎣

⎡⎥⎦⎤++⎥⎦

⎤+=dtdy

dtdyyxf

dtdxyxf

dtdx

dtdyyxf

dtdxyxftF yyxyyyxx ),(),(),(),()(''

] [ ][ kyxkfyxhfhyxkfyxhf yyxyyxxx ),(),(),(),( +++=

= ),(),(),(),( 22 yxfkyxhkfyxhkfyxfh yyxyyxxx +++

= . ),(),(2),( 22 yxfkyxhkfyxfh yyyxxx ++

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

67

⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤++=

dtdx

dtydyxf

dtdy

dtdxyxf

dtxdyxftF yyxxyxxxx 2

2

2

2"' ),(),(2),()( +

⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤++=

dtdy

dtydyxf

dtdy

dtdxyxf

dtxdyxf yyyxyyxxy 2

2

2

2

),(),(2),(

= ][ +++ hyxfkyxhkfyxfh yyxxyxxxx ),(),(2),( 22

][ kyxfkyxhkfyxfh yyyxyyxxy ),(),(2),( 22 ++

= +++ ),(),(2),( 223 yxhfkyxkfhyxfh yyxxyxxxx

),(),(2),( 322 yxfkyxfhkyxkfh yyyxyyxxy ++

= ).,(),(3),(3),( 3223 yxfkyxfhkyxkfhyxfh yyyxyyxxyxxx +++

. . .

Turunan fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu :

,),()('yfk

xfhyxf

yk

xhtF

∂∂

+∂∂

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

,2),()(" 2

22

2

2

22

2

yfk

yxfhk

xfhyxf

yk

xhtF

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

,33),()( 3

33

2

32

2

32

3

33

3"'

yfk

yxfhk

yxfkh

xfhyxf

yk

xhtF

∂∂

+∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

. . .

),,()()( yxfy

kx

htFn

n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

,11

111

1 n

nn

n

nnn

nn

nnn

n

nn

yfk

yxfhkC

yxfkhC

xfh

∂∂

+∂∂∂

++∂∂

∂+

∂∂

≡−

−−−

− L

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

68

),()(1

)1( yxfy

kx

htFn

n+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

.1

11

11

1

11

11

11

+

++

++

++

+

++

∂∂

+∂∂∂

++∂∂

∂+

∂∂

≡ n

nn

n

nnn

n

nnn

n

nn

yfk

yxhkC

yxfkhC

xfh L

Dapat digunakan rumus Maclaurin untuk fungsi F(t) dan menghasilkan

1)1()(

3"'

2"

'

)!1()(

!)0(

!3)0(

!2)0()0()0()( +

+

+++++++= n

nn

n

tn

tFtn

FtFtFtFFtF θL

(3.21)

dimana .10 <<θ

Ambil t = 1, maka diperoleh :

)!1()(

!)0(

!3)0(

!2)0()0()0()1(

)1()("'"'

++++++=+

nF

nFFFFFF

nn

L (3.22)

tetapi ).,()1( kbhafF ++=

Jika t = 1 maka ax = dan by = sehingga diperoleh

),()0( bafF =

),()0(' bafy

kx

hF ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

),(),(2),()0( 22"' bafkbahkfbafhF yyxyxx ++=

).,(),(22

2

22

2

2

22 baf

yk

xhbaf

yk

yxhk

xh ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂∂

+∂∂

=

),,(),(3),(3),()0( 3223"' bafkbafhkbakfhbafhF yyyxyyxxyxxx +++=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

69

),,(

),(33

3

3

33

2

32

2

32

3

33

bafy

kx

h

bafy

kyx

hkyx

khx

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

M

).,()(1

)1( kbhafy

kx

hFn

n θθθ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=+

+

Dari (3.22) diperoleh

⎟⎟⎠

⎞∂∂

+∂∂∂

+⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+=++ 2

22

2

2

22 2

!21),(),(),(

yk

yxhk

xhbaf

yk

xhbafkbhaf

),()!1(

1),(!

11

kbhafy

kx

hn

bafy

kx

hn

nn

θθ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+++

L

(3.23)

dimana .10 <<θ

Persamaan (3.23) merupakan fungsi ),(),(),( yxRyxyxf nn += ρ di sekitar titik

(a,b) dengan mengganti hax += , kby += dan haa θ+=1 , kbb θ+=1 di

mana ),( kbha θθ ++ dalam suatu kitaran yang berpusat pada titik (a,b) dan

.10 <<θ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

BAB IV

PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR

UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI

A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0)( =′′ cf

Misalkan adalah fungsi satu variabel yang mempunyai turunan

pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik kritis c, dan

kontinu di c dengan , maka dapat diuraikan menjadi

deret Taylor dengan sisa di sekitar titik

)(xf

)()1( xf n+ 0)()1( ≠+ cf n )(xf

cx = , yaitu :

)()!1(

)()( 1(1

θhcfnhcfhcf n

n

++

=−+ ++

untuk suatu biangan θ dengan 10 << θ . Berdasarkan sifat kekontinuan, maka

tanda sama dengan tanda . )()1( θhcf n ++ )()1( cf n+

Apabilai n gasal maka:

a. mencapai maksimum di c jika )(xf 0)()1( <+ cf n

b. mencapai minimum di c jika )(xf 0)()1( >+ cf n

Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.

Contoh 4.1

Periksa apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem atau tidak. 32)( xxf =

Penyelesaian:

Turunan-turunan fungsi di titik kritis 32)( xxf = 0=x adalah:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

71

26)( xxf =′

0)0( =′f

xxf 12)( =′′

0)0( =′′f

Karena , maka selanjutnya memeriksa turunan ketiga dari fungsi

di titik kritis

0)0( =′′f

32)( xxf = 0=x , dan didapat

12)( =′′′ xf

012)0( ≠=′′′f

Kemudian digunakan rumus Taylor dengan sisa di sekitar , yaitu: )(3 xR 0=x

)0()!12(

)0()0( )12(12

θhfhfhf ++

=−+ ++

atau )(!3

)0()(3

θhfhfhf ′′′=− di mana

di dalam interval . θh )( δ,δ−

Karena n genap dan maka tanda dari 0)()( =cf n )(!3

)0()(3

θhfhfhf ′′′=−

berubah, yaitu:

• Jika maka untuk setiap 0<h hx = di dalam interval berlaku )0( δ,−

0)0()( <− fhf .

• Jika maka untuk setiap 0>h hx = di dalam interval berlaku )0( ,δ

0)0()( >− fhf .

Karena tanda dari )(!3

)0()(3

θhfhfhf ′′′=− berubah-ubah, maka bukan

merupakan nilai ekstrem. Jadi fungsi tidak memiliki nilai ekstrem.

)0(f

32)( xxf =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

72

Contoh 4.2

Periksa apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem atau tidak. 4)( xxf =

Penyelesaian:

Turunan-turunan fungsi di titik kritis 4)( xxf = 0=x adalah:

34)( xxf =′

0)0( =′f

212)( xxf =′′

0)0( =′′f

xxf 24)( =′′′

0)0( =′′′f

24)()4( =xf

024)0()4( ≠=f

Karena diperoleh 0)0()()( =′′′=′′=′ fcfcf dan , maka digunakan

rumus Taylor dengan sisa di sekitar

0)0()4( ≠f

)(4 xR 0=x , yaitu:

)0()!13(

)0()0( )13(13

θhfhfhf ++

=−+ ++

)(!4

)0()( )4(4

θhfhfhf =− di mana di dalam interval θh ),( δδ− .

Tanda dari akan sama dengan tanda dari . Karena

, maka untuk setiap

)0()( fhf − )()4( θhf

0)()4( >θhf hx = di dalam interval berlaku

. Jadi fungsi memiliki nilai ekstrem minimum.

),( δδ−

0)0()( >− fhf 4)( xxf =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

73

B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus 0),( =baH

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai

maksimum atau minimum dari fungsi dengan menggunakan uji turunan

kedua. Namun apabila nilai , maka belum

dapat disimpulkan tentang nilai ekstrem fungsi .

),( yxf

0),(),().,( 2 =−= bafbafbafH xxyyxx

),( yxf

Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai

order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka

),( yxf

),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ +

untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ dan

),()!1(

1),(1

1 yxfy

kx

hn

yxRn

n

+

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+= .

Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa

apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari

),(1 θkbθhaRn +++ tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk

mengadakan penyelidikan pada keadaan ),(1 θkbθhaRn +++ untuk . 1>n

Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan 1=n , yaitu untuk:

[ ] ),(2!2

1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++

dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini

tanda dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada

pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).

yyxyxx fff dan,

),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR

),(2 yxR

Jika , maka : ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

74

i. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx

ii. Jika dan 0),( >baH 0),( <baf xx terjadi maksimum di (a,b)

iii. Jika 0),( <baH tidak terjadi ekstrem di (a,b)

iv. Jika 0),( =baH belum ada keputusan, mungkin terjadi atau

mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).

Contoh 4.3

Tunjukkan bahwa fungsi mempunyai nilai minimum pada

titik (0,0) di mana .

4224),( yyxxyxf +−=

02 =− xyyyxx fff

Penyelesaian :

Langkah pertama, mencari titik stasioner dari fungsi .

Titik stasioner fungsi di atas didapat dengan menyelesaikan persamaan-persamaan

dan dan diperoleh titik

(0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian turunan-turunan parsial dari fungsi

di titik stasioner (0,0) adalah :

4224),( yyxxyxf +−=

024),( 23 =−= xyxyxf x 042),( 32 =+−= yyxyxf y

4224),( yyxxyxf +−=

23 24),( xyxyxf x −= , 0)0,0( =xf

32 42),( yyxyxf y +−= , 0)0,0( =yf

22 212),( yxyxf xx −= , 0)0,0( =xxf

22 122),( yxyxf yy +−= , 0)0,0( =yyf

xyyxf xy 4),( −= , 0)0,0( =xyf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

75

Kemudian digunakan turunan ketiga dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga

untuk menentukan jenis ekstrem fungsi , yaitu : 4224),( yyxxyxf +−=

xyxf xxx 24),( =

yyxf yyy 24),( =

yyxf xxy 4),( −=

xyxf xyy 4),( −=

32

22

2

22 )0,0(2

!21)0,0()0,0(),( Rf

yk

yxhk

xhf

yk

xhfkhf +⎥

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=−

di mana

10,),(3361

3

33

2

32

2

32

3

33

3 <<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= θθkθhfy

kyx

hkyx

khx

hR

),(3361)0,0(),( 3

33

2

32

2

32

3

33 θkθhf

yk

yxhk

yxkh

xhfkhf ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=−

( ))24()4(3)4(3)24(61 3223 θkkθhhkθkkhθhh +−+−+=

)24121224(61 422224 θkkθhkθhθh +−−=

222224 )(4 khkhhθ +−=

0)(4 222224 >+− khkhhθ , untuk setiap (h, k) di dalam kitaran titik (0,0).

Ini berarti bahwa bernilai positif untuk setiap (h, k) di dalam

kitaran titik (0,0). Jadi mempunyai nilai minimum pada titik (0,0) dengan

nilai minimumnya adalah nol.

)0,0(),( fkhf −

),( yxf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

76

Contoh 4.4

Tunjukkan bahwa fungsi tidak mempunyai nilai ekstrem pada

(0,0) di mana .

44),( yxyxf −=

0. 2 =− xyyyxx fff

Penyelesaian:

Seperti langkah pada contoh sebelumnya, titik stasioner fungsi

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan dan

dan diperoleh titik (0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian

turunan-turunan parsial fungsi pada titik stasioner (0,0) adalah:

44),( yxyxf −=

04),( 3 == xyxf x

04),( 3 =−= yyxf y

44),( yxyxf −=

34),( xyxf x = , 0)0,0( =xf

34),( yyxf y −= , 0)0,0( =yf

212),( xyxf xx = , 0)0,0( =xxf

212),( yyxf yy −= , 0)0,0( =yyf

0),( =yxf xy , 0)0,0( =xyf

dan akan diperoleh . Kemudian digunakan turunan parsial ketiga

dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga untuk menentukan ada tidaknya nilai

ekstrem dari fungsi , yaitu:

0. 2 =− xyyyxx fff

44),( yxyxf −=

xyxf xxx 24),( =

0),( =yxf xxy

0),( =yxf xyy

yyxf yyy 24),( −=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

77

32

22

2

2

22 )0,0(2

21)0,0()0,0(),( Rf

yk

yxhk

xhf

yk

xhfkhf +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=−

di mana

10,),(3361

3

33

2

32

2

32

3

33

3 <<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= θθkθhfy

kyx

hkyx

khx

hR

),(3361)0,0(),( 3

33

2

32

2

32

3

33 θkθhf

yk

yxhk

yxkh

xhfkhf ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=−

( ))24()0(3)0(3)24(61 3223 θkkhkkhθhh −+++=

( ) ( ) ( )( )22224444 44242461 khkhθkhθθkθh +−=−=−=

Nilai akan lebih besar atau lebih kecil dari tergantung dari h dan k

yang diberikan. Karena memberikan tanda yang berbeda untuk setiap yang

diberikan, maka bukan merupakan nilai ekstrem dan titik stasioner (0,0)

bukan merupakan titik ekstrem.

),( khf )0,0(f

),( kh

)0,0(f

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

BAB V

PENUTUP

Teorema Taylor dapat digunakan dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk

fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel mempunyai turunan

pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan

kontinu di c dengan maka dapat diuraikan menjadi deret Taylor

dengan sisa di sekitar titik

)(xf

)()1( xf n+

0)()1( ≠+ cf n )(xf

cx = , yaitu:

)()!1(

)()( 1(1

θhcfnhcfhcf n

n

++

=−+ ++

untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ .

Berdasarkan sifat kekontinuan, maka tanda akan sama dengan tanda

.

)(1( θhcf n ++

)(1( cf n+

Apabilai n gasal maka:

a. mencapai maksimum di c jika )(xf 0)()1( <+ cf n

b. mencapai minimum di c jika )(xf 0)()1( >+ cf n

Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.

Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai order

pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka

),( yxf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

79

),(),(),( 1 θkbθhaRbafkbhaf n ++=−++ +

untuk suatu bilangan θ dengan 10 << θ dan

),()!1(

1),(1

1 yxfy

kx

hn

yxRn

n

+

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+= .

Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa

apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari ),(1 θkbθhaRn +++

tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan

pada keadaan ),(1 θkbθhaRn +++ untuk . 1>n

Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan 1=n , yaitu untuk:

[ ] ),(2!2

1),( 222 θkbθhafkhkffhθkbθhaR yyxyxx ++++=++

dengan tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda

dari ditentukan oleh tanda dari , karena pada pembahasan

ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b).

yyxyxx fff dan,

),(2 θkbθhaR ++ ),(2 baR

),(2 yxR

Jika , maka : ),(),(),(),( 2 bafbafbafbaH xyyyxx −=

i. Jika dan terjadi minimum di (a,b) 0),( >baH 0),( >baf xx

ii. Jika dan 0),( >baH 0),( <baf xx terjadi maksimum di (a,b)

iii. Jika 0),( <baH tidak terjadi ekstrem di (a,b)

iv. Jika 0),( =baH belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin

tidak terjadi ekstrem di (a,b).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

80

DAFTAR PUSTAKA

N. Piskunov. 1969. Differential and Integral Calculus. Moscow : Mir Publishers. Dale Varberg, Edwin J. Purcell. 1997. Calculus. Mexico : Prentice Hall. Martono, K. 1987. Kalkulus. Bandung : Alva Gracia. Louis Lithold. 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : P.T. Bina Aksara. Tutoyo, A, M.Sc, Kalkulus I, II dan IV (disadur dari Calculus with Analytic

Geometri, Howard Anton). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI