kumpulan soal vektor lengkap
TRANSCRIPT
2TKJ2 - KELOMPOK 3
[ ]
OLEH :1. Ahmad Irsyadur Rozikin (03)2. Denny Eko Prasetyo (08)3. Farah Adillah (13)4. Luqman Chakim Saputra(18)5. M. Rafi Khabibi (23)6. Ranindita Nur Fadhilah (28)7. Satria Dwi Putra (33)8. Yoga Putra Pradhana (38)
2011
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
Soal Pilihan Ganda1. Diketahui vector a = 2t i - j + 3k , b = -t i + 2 j – 5k , dan c = 3t i + t j + k . Jika vector ( a
+ b) tegak lurus c maka nilai 2t = …
A. -2 atau 43
B. 2 atau 43
C. 2 atau - 43
D. 2 atau 2 E. -3 atau 2
2. Diketahui vector a = (x24) dan b = (340) , dan panjang proyeksi vector a pada b adalah 25
.
nilai 2x = …
A. -1 B. -2 C. -4 D. -6 E.-8
3. A=(-1,5,4); B=(2,-1,-2) dan C=(3,p,q). Jika titik-titik A , B dan C segaris, maka nilai-nilai p
dan q berturut-turut adalah ..
A. -3 dan -4 B. -1 dan -4 C. -3 dan 0 D. -1 dan 0 E. 3 dan 0
4. Pada persegi panjang OACB D adalah titik tengah OA dan P titik potong CD dengan
diagonal AB . Jika a - OA = dan b - OB , maka OP = …
A.13a +
23b B.
13a - 23b C.
−13
a - 23b D. -
13
a + 23
b E. - 23
a - 13
b
5. Diketahui persegi panjang OACB dan D titik tengah OA. CD memotong diagonal AP di P.
Jika OA - a , dan OB - b , maka OP = …
A.12
(a + b) B. 13
(a + b) C. 23
a + 12
b D. 13
a + 23
b E. 12
a + 23
b
6. ABCDEF adalah segienam beraturan dengan pusat O. Bila AB dan BC masing – masing
dinyatakan dengan u dan v , maka CD sama dengan …
A. u + v B. u - v C. 2v - u D. u - 2v E. v - u
7. Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segitiga tersebut .
Jika u - AB dan v = AC , maka ruas garis berarah ME dapat dinyatakan dalam u dan v
sebagai …
A.16
u +16
v B. - 16
u + 16
v C. 16
u - 16
v
D.16
u - 12
v E. - 16
u + 12
v
8. Diketahui |a|=√6 ,( a− b)(a+b)=0 dan a . ( a− b )=3.
Besar sudut antara vektor a dan b adalah ...
a.π6
b. π4
c. π3
d. π2
e. 2π3
9. Panjang proyeksi ortogonal vektor a=−i √3+ pj+k , pada
vektor b=i √3+2 j+ pk adalah 23
. Nilai p=…
a. 3 b. 2 c. 13
d. -2 e. -3
10. Diketahui vektor y=( 3−47 ) dan vektor x=( a−21 ). Jika panjang proyeksi vektor
x pada y adalah 199
, maka a=…
a. 4 b. 2 c. 1 d. -1 e. -4
11. Diketahui titik A (6,4,7 ) B (2,−4,3 )dan P(−1,4,2). Titik R terletak pada garis AB sehingga
AR : AB=3 : 1 , Panjang vektor PR adalah ...
a. 2√7 b. 2√11 c. 2√14 d. 4√11 e. 4√14
12. Diketahui |a|=√2 , |b|=√9 , |a+b|=√5.
Besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah..
a. 45 ° b. 90 ° c. 120 ° d. 135 ° e. 150 °
13. Vektor z adalah proyeksi vektor x=(−√3 ,3,1) pada vektor y=(√3 ,2,3).Panjang vektor z=…
a.12
b. 1 c. 32
d. 2 e. 52
14. Diketahui panjang proyeksi vektor a=( 2−24 ) pada vektor
b=( 4−2p ) adalah 85√5 . Nilai p=…
a. 2√7 b. 2√11 c. 2√14 d. 4√11 e. 4√14
15. Diketahui vektor a=2 t i− j+3 k , b=−t i+2 j−5 k, dan c=3 t i+t j+3 k.
Jika vektor ( a+ b ) tegak lurus c maka nila2 t=..i
a. −2atau 43
b. 2atau43
c. 2atau−43
d. 2atau2
e. −3atau 2
16. Diketahui vektor a=[x24] dan b=[340], dan panjang proyeksi vektor a pada b adalah 25.
Nilai 2 x=…
a. -1 b. -2 c. -4 d. -6 e. -8
17. Titik A (3 ,2 ,−1 ) ,B (1 ,−2 ,1 )danC (7 , p=1 ,−5) segaris. Nilai p=…
a. 13 b. 11 c. 5 d. -11 e. -13
18. Jika a=[−112 ] , b=[ 1−11 ] , c=[ 2−1−3] , d=[−11−3]Maka vektor-vektor yang saling tegak lurus adalah
a. a dan b b. a dan d c. b dan c d. b dan d
19. Diketahui titik -titik A (2 ,−3 ,4 ) ,B (4 ,−4 ,3 ) danC(3 ,−5 ,5).
Kosinus sudut antara AB dan AC adalah ...
a.16
b. 12
c. 14
√6 d. 13√6 e.
56
20. Besar sudut antara vektor a=2 i− j+3kdan b=i+3 j−2k adalah...
a.18π b.
14
π c. 13π d.
12π e.
23π
21. Diketahui |a|=√3 , |b|=1 , dan |a−b|=1.
Panjang vektor |a+b|=…
a. √7 b. √10 c. √14 d. √11 e. √14
22. Diketahui segitiga PQR dengan P (0, 1, 4), Q (2, –3, 2), dan R (–1, 0, 2).
Besar sudut PRQ = ….
a. 120° b. 90° c. 60° d. 45° e. 30°
23. Jika vektor a= (123), b = ( 54−1) dan c = ( 4−11 ). Maka vektor a + 2b – 3c sama dengan…
A.( 611−8)B.( 713−8) C.(−113−2) D.(−113−2)E. ( −6−128 )
24. Jika ab =[136] maka 4 AB adalah …
A. [436 ] B. [ 41224] C. [ 1126 ] D. [ 1324] E. [ 4126 ]25. Titik A (3, 2, –1) , B (1, –2, 1) dan C (7, p – 1, –5) segaris untuk nilai p = …
A. 13 B. 11 C. 5 D. –11 E. -13
26. Diketahui Δ ABC dengan A(4, –1, 2), B(1, 3, –1), dan C(1, 4, 6). Koordinat titik berat Δ ABC
adalah …
A. (2, 2, 2) B. (–3, 6, 3) C. (–1, 3, 2) D. (–1, 3, 3) E. (–3, 6, 6)
27. Titik R adalah terletak di antara titik P(2, 7, 8) dan Q(–1, 1, –1) yang membagi garis PQ di
dalam perbandingan 2 : 1, maka koordinat R adalah …
A. (0 , 9 , 6) B. (0 , 3 , 2) C. (12
, 4 , 312
) D. (1 , 713
, 213
¿ E. (1 , 8 , 7)
28. Diketahui titik A(3, 1, –4), B(3, –4, 6) dan C(–1, 5, 4). Titik P membagi AB sehingga
AP : PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh …
A.(−43−6), B. (−436 ), C. (−4−72 ), D. ( 4−7−2) E. (−472 )
29. Diketahui titik P(5 , 3) dan Q(–1 , –3). Jika R terletak pada garis PQ dengan perbandingan
2 : 1, maka koordinat R ialah …
A. (1 , 1) B. (–1 , 1) C. (–1 , –1) D. (1 , –1) E. (1 , 2)
30. Diketahui segitiga ABC dengan A(1, 4, 6), B(1, 0, 2) dan C(2, –1, 5). Titik P terletak pada
perpanjangan AB sehingga AP : BP = 3 : 1. Panjang vektor yang diwakilkan oleh PC
adalah …
A. 3 B. √13 C. 3√3 D. √35 E. √43
31. Diketahui titik A (6, 4, 7) B (2, –4, 3) dan P (–1, 4, 2). Titik R terletak pada garis AB
sehingga AR : RB = 3 : 1 Panjang vektor PR adalah …
A. 2√7 B. 2√11 C. 2√14 D. 4√11 E. 4√14
32. Ditentukan koordinat titik-titik A(–2, 6, 5); B(2, 6, 9); C(5, 5, 7). AP : PB = 3 : 1. P pada AB.
Ditanyakan:
a. Tentukan koordinat P
b. Vektor yang diwakili PC
c. Panjang proyeksi PC pada AB
33. Diketahui titik A (–3 , –2 , –1) dan B(0 , –5 , 0). OA wakil dari a dan OB wakil dari b,
maka ……
A. a + b =(−3−7−1)
B. a . b = 10
C. kosinus sudut antara a dan b adalah 17√14
D. titik C pada AB sehingga AC : CB = 4 : –1
34. Diketahui segitiga PQR dengan P (0, 1, 4), Q (2, –3, 2), dan R (–1, 0, 2).
Besar sudut PRQ= ...
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45° E. 30°
35. Diketahui a + b= i - j + 4k dan | a + b| =√14. Hasil dari a . b= …
A. 4 B. 2 C. 1 D. 12
E. 0
36. Titik-titik A(1 , 3 , 5) , B(4 , –1 , 2) dan C(6 , 3 , 4) ada-lah titik-titik sudut segitiga ABC .
AB wakil dari vektor u dan BC wakil dari vektor v. u . v = …
A. –16 B. –8 C. –4 D. 4 E. 16
37. Diketahui |a |, | b| dan | a – b|} berturut-turut adalah 4,6 dan 2√19. Nilai | a+ b| = …
A. 4√19 B. √19 C. 4√7 D. 2√7 E. √7
38. Diketahui |a| = 6, (a − b)(a + b)= 0 dan a . (a − b )= 3 . Besar sudut antara vektor a dan b
adalah …
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
E. 2π3
39. Jika a = [−112 ] b = [ 1−11 ] c= [ 2−1−3] d= [−11−3]Maka vekor-vektor yang saling tegak lurus adalah
…
A. a dan b B. adanb C. b dan c D. b dan d
40. Diketahui titik-titik A(2, –3, 4) , B(4, –4, 3) dan C(3, –5, 5). Kosinus sudut antara AB dan
AC adalah…
A. 16
B. 12
C. 14√ 6 D.
13√ 6 E.
56
41. Diketahui a = ( 2−13 ) dan b = ( 12−p)Jika sudut antara vektor a dan vektor b adalah 13π
nilai p adalah …
A. −211
atau 34 B. 211
atau –34 C. −211
atau 2
D. −3411
atau –2 E. –3411
atau 2
42. Diketahui A (3 , 2 , – 1) , B (2 , 1 , 0) dan C (–1 , 2 , 3). Kosinus sudut antara garis AB dan
AC adalah …
A. −16
√ 6 B. −13
√ 6 C. 14√ 6 D.
13√ 6 E.
12√ 6
43. Diketahui | a | = √2, | b | = √9, | a + b | = √5. Besar sudut antara vektor a dan vektor b
adalah …
A. 45° B. 90° C. 120° D. 135° E. 150°
44. Kosinus sudut antara dua vektor a = –i + j dan b = i – 2j + 2k adalah …
A. √ 2 B. . 12√ 2 C.
13√ 3 D.
−12
√ 2 E.
−13
√ 3
45. Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u
dan v . Besar sudut antara u dan v adalah …
A. 0 B. 14
π C. 12
π D. 34
π E. π
46. Besar sudut antara vektor a = 2i – j + 3k dan b = i + 3j – 2k adalah …
A. 18
π B. 14
π C. 13
π D. 12
π E. 23
π
47. Diketahui titik-titik A(2, –1, 4), B(4, 1, 3) dan C(2, 0,5). Kosinus sudut antara AB dan AC
adalah …
A. 16
B. 16√2 C.
13
D. 13√ 2 E.
12√ 2
48. Jika vektor a =(−31−2) , b = (−24x ) adalah saling tegak lurus. Nilai x adalah....
A. 5 B. 1 C. 0 D. 1 E. 5
49. Jika vektor a =( 2−51 ) , b= ( x−24 ) adalah saling tegak lurus. Nilai x adalah....
A. –7 B. –6 C. –5 D. –3 E. 0
50. Diketahui a=6 i+4 j−2 k dan b=4 i−rj+k . Kedua vektor saling tegak lurus, nilai r adalah
A. –5 B. –3 C. 5 D. 5,5 E. 6,5
51. Jika vektor-vektor a=2 i−5 j− k dan b=x i−2 j−4k saling tegak lurus, maka x =...
A. 1 B. 7 C. -7 D. 612
E. 312
52. Vektor z adalah proyeksi vektor x = (√3 ,3 ,1) pada vektor y = ( √3 ,2,3). Panjang vektor z
= ....
A.12
B. 1 C.32
D. 2 E. 52
53. C adalah proyeksi a pada b . jika a = (2 1¿ dan b = 3 4¿, maka c = ...
A.15(3 4) B.
25(3 4) C.
425
(3 4) D. 225
(3 4) E. 125
(3 4)
54. Diketahui : u =( 1−23 )dan v = ( 23−1) . proyeksi 2u + 3v pada v adalah....
A.12
B. 12√2 C.
114
√14 D. 2√14 E. 72√14
55. Diketahui : u =( 3−11 )dan v = ( 2p−2) . Proyeksi skalar ortogonal vektor u pada arah vektor v
sama dengan setengah panjang vektor v, maka nilai p =......
A. –4 atau –2 B. –4 atau 2 C. 4 atau –2 D. 8 atau –1 E. –8 atau 1
56. Diketahui vektor: y =( 3−47 )dan x = ( a−21 ) . Jika proyeksi vektor x pada yadalah
199
maka
a = ......
A. 4 B. 2 C. 1 D. –1 E. –4
57. Panjang proyeksi ortogonal vektor a=i √3+ pj−kpada vektor b=i √3+2 j−pk adalah 23
, nilai p = ......
A. 3 B. 2 C.13
D. –2 E. –3
58. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0, 0); B (2, 2, 0), dan C (0, 2, 2). Proyeksi ortogonal
AB pada AC adalah...
A. j+ k B. i+ j C.−i+ j D. i+ j−12k E.
−12
i− j
59. Diketahui vektor satuan u=0.8 i+a j . Jika vektor v=b i+ j tegak lurus maka ab = ..
A.−1820
B.−1520
C.−1220
D. −920
E. −820
60. Diketahui vektor-vektor a=x i+ y j+5 k , b=−i+2 j+ (3x+2 ) kdan
c=−2 y i− j+7 k . Jika a dan c masing – masing lurus pada b , maka −147 a−c = ....
A. −2 i−21 j+35 k B.−8 i−20 j−28 k C.2 i+5 j−7 k
D. −2 i−5 j−7 k. E. 2 i−112
j+7 k
61. Diketahui : u =( 2−13 )dan v = ( 2−13 ) . Proyeksi vektor u pada vektor v adalah .....
A.114
(12i + 6j + 3k) B.114
(12i – 6j + 3k) C. 17
(4i + 2j – k)
D.17
(4i – 2j + k) E. 17
(4i + 2j + k)
62. Diketahui panjang proyeksi vektor a =( 2−24 ) pada vektor b =( 4−2p ) adalah 85√5 .
Nilai p = ....
A. 25 B. 5√3 C. 5 D.√5 E. 15
63. Diketahui a=3 i+ j−5 k dan b=−i+2 j−2k proyeksi vektor a dan b adalah ....
A. −i−2 j−2 k B. −i−2 j+2 k C.−i+2 j−2 k
D. i+2 j−2 k E. i+2 j+2 k
64. Diketahui panjang proyeksi vektor a =( 2−24 ) pada vektor b =( 4−2p ) adalah 85√5 .
Nilai p = ....
A. 25 B. 5√3 C. 5 D.√5 E. 15
65. Diketahui : u =( 2−13 )dan v = ( 2−13 ) . Proyeksi vektor u pada vektor v adalah .....
A.114
(12i + 6j + 3k) B.114
(12i – 6j + 3k) C. 17
(4i + 2j – k)
D.17
(4i – 2j + k) E. 17
(4i + 2j + k)
66. Diketahui vektor – vektor a= (1, 3, 3); b (3, 2, 1), dan c (1, -5, 0). Sudut antara vektor
( a+b )dan a+ c adalah ......
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120°
67. Jika p , q , r dan s berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS
dengan PQ sejajar SR, maka s = ......
A. − p+q+r B. − p− q+r C. p− q+r D. p− q− r E. p+q+r
68. Diketahui vektor-vektor a=3 i−2 j , b=−i+4 j dan r=7 i−8 j . Jika r=k a+m b , maka k
+ m = .......
A. 3 B.2 C.1 D. −1. E. −2
69. Diketahui titik P (1, -2, 5); Q (2, -4, 4), dan R (-1, 2, 7). Maka PQ = ......
A. 3 QR B..23QR C.
13QR D.
−13
QR E. −3 QR
70. Vektor PQ = (2, 0, 1) dan PR = (1, 1, 2). Jika PS=12PQ Maka RS = ......
A.(0 ,−1 ,−32) B.(−1 ,0 ,
32) C. (
23,1 ,1) D. (
12,0 ,1) E.
(1 ,−1 ,1)
71. Diketahui vektor a=4 i−5 j+5 k . Dan titik P (2,-1,3). Jika panjang PQ sama dengan
panjang adan PQ berlawanan arah dengan a , maka koordinat Q adalah ....
A. (2 ,−4 ,0) B.(−2 ,4 ,0) C.(6 ,−6,6) D. (−6,6 ,−6). E. (−6,0 ,0)
72. Diketahui titik P (32
, 52
, 1); Q (1, 0, 0), dan R (2, 5, a) terletak pada satu garis lurus,
maka a = ....
A. 0 B.12
C.1 D. 2 E. −52
73. Diketahui A = (–1, 5, 4) ; B = (2, –1, –2) dan C = (3,p,q). Jika titik-titik A, B dan C segaris ,
maka nilai-nilai p dan q berturut-turut adalah…
A. -3 dan -4 B. -1 dan -4 C. -3 dan 0 D. -1 dan 0 E. 3 dan 0
74. Jika a=3 i−2 j+k , b=2 i+3 j−k dan c=5 i+3 k . Maka vektor proyeksi a pada (b+ c)
adalah ......
A.6217
(7 i+2 j+2k ) B.1762
(7 i+2 j+2k ) C. 6217
(3 i−2 j+ k )
D. 1762
(3 i−2 j+2 k) E. (7 i+3 j+2 k )
75. Diketahui |a|=√6 , ( a−b ) ( a++b )=0dan a (a−b )=3.
Besar sudut antara a dan b adalah .....
A. π6
B.π4
C.π3
D. π2
E. 23π
Soal Uraian
76. Dua motor menarik sebuah kapal. Masing-masing menggunakan gaya 6000N dan sudut
antara 2 tali penarik adalah 60 °. Berapa gaya resultante pada kapal ?
77. Sebuah perahu yang bergerak 5km/jam menyebrangi sungai yang arusnya mengalir
dengan kecepatan 3km/jam. Kearah mana perahu digerakkan agar mencapai tempat di
seberang titik permulaannya?
78. Diketahui titik A melalui (6,8,10 ) dan B melalui (−4,4,10 ). Tentukan AB dan sudut antara
OA dan AB jika O adalah pusat sumbu koordinat.
79. Vektor x dengan panjang √5 membentuk sudut lancip dengan vektor y=(6,8). Jika
vektor x diproyeksikan ke vektor y panjang proyeksinya 2, maka tentukan vektor x
tersebut.
80. Diketahui A (2 ,−4 ,3 ) ,B (12 ,−9 ,−17 ) titikC (x , y , z) pada AB sehingga
AC=15
AB. Tentukann koordinat C (x , y , z).
81. Diketahui dua vektoa=4 i+3 j+5 k r dan b=3 i−4 j+ pk. Jika besar sudut antara vektor
a dan vektor b sama dengan π3
, carilah nilai p yang positif.
82. Diketahui dua vektor p adalah vektor satuan di bidang. Vektor p ortogonal tegak lurus
terhadap vektor q=( 6−8). Tentukan vektor p.
83. Diketahui dua vektor a=( 13−2) dan vektor b=( 4−24 ). Tentukan besar sudut antara vektor
a dengan vektor b.
84. Jika a=( x+ y ) i+(2x− y) j+3k dan b=5 i+4 j+3 k serta berlaku hubungan a=b. Maka
hitunglah nilai x dan y!
85. Misalkan koordinat titik P (2 ,3 ,−1 ) ,Q (7 ,−2 ,9 ). Titik R membagi ruas garis PQ dengan
perbandingan 1 :4. Carilah koordinat titik R.
86. Buktikan bahwa sudut yang menghadap busur setengah lingkaran adalah sudut siku-
siku. Bukti : perhatikan gambar berikut :
B
A C
87. Diketahui vektor :
w
A = (−123 ) ; b =( 2−1−2) dan c = (−1−23 )
Tentukan x jika : a) x = a + b ; b) x + a = c !
88. Ditentukan titik-titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1). Tentukanlah dalam bentuk komponen
vektor yang diwakili oleh PR apabila R adalah titik pada PR = 13
PQ dan
berapa koordinat R ?
89. Diketahui dua titik P(-1,4,3) dan titik Q(2,1,-3) . Tentukan vector PQ = OQ - OP !
90. P = ( 4−2) , maka |p| = √42+¿(−2)2 = √20 = 2√5 , bagaimana jika diuraikan ?
91. Hitunglah perkalian scalar antara : a = 2i + 3j + 5k dan b = i + j + k !
92. Diketahui vector-vektor sebagai berikut :
a = (124) ; b = (540)tentukan hasil kali scalar dua vector tersebut !
93. Diketahui vektor p = 2i + 4j + 3k dan q = i + 5j - 2k. Tentukan pxq !
94. Andaikan sebuah benda yang beratnya (W) adalah 304 N diangkat dengan rantai seperti
pada gambar.
a b Jika panjang a = b = 2,5 m. dan panjang benda L = 2 m.
Tentukan gaya yang terjadi pada rantai a atau b!
95. Sebutkan empat buah besaran skalar !
96. Sebutkan empat buah besaran vektor !
97. Buktikan bahwa jika a, b dan c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga dan α adalah
sudut yang berhadapan dengan sisi dengan panjang a, maka a2 = b2 + c2 - 2bc cos ∝ !
98. Tunjukkan bahwa vektor yang melalui titik-titik (2,2,3) dan (4,3,2) sejajar dengan vektor-
vektor yang melalui titik (5,3,-2) dan (9,5,-4) !
99. Diketahui titik A (2,3,4) dan titik B (9,-11,18). Tentukan koordinat titik P, jika titik P
membagi AB didalam dengan perbandingan 5:2
100. Tentukan komponen vector AB jika titik A(2,4,3) dan B(1,-5,2) kemudian tulislah
vector AB dalam satuan i , j dan k!
101. Diketahui dua buah vector yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : a = 3i
+ j + 2k dan b = i − 2 j − 4k , tentukan :
a) Panjang vector a atau |a|
b) Vektor satuan b
c) Panjang proyeksi a pada b
d) Vektor proyeksi b pada a
e) Perkalian titik antara dua vektor a dan b ( a . b )
f) Perkalian titik antara dua vektor a dan b ( a . b )
102. Diketahui titik A (-1,1,2) dan B (-2,-1,1)
a) Hitunglah |a| dan |b|
b) Hitung besar sudut AOB
c) Tunjukkan bahwa ΔAOB sama sisi
103. Nyatakan vektor AB pada gambar dalam bentuk komponen (matriks) !
3 ------------ A
1 -------------------------- B 2 4