Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL

Indah Yanti

BAB 1 2

Definisi Dasar

Perhatikan fungsi

𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚: 𝐱 ⟼ 𝑓 𝐱

𝑛 = 𝑚 = 1 fungsi bernilai riil satu variabel

𝑛 = 1,𝑚 > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel

𝑛 > 1,𝑚 > 1 fungsi bernilai vektor multivarabel

© Indah Yanti 2012

Operasi Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚dengan 𝐴 ⊆ ℝ𝑛

Jumlahan 𝑓 + 𝑔 𝐱 = 𝑓1 𝐱 + 𝑔1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 + 𝑔𝑚 𝐱

Perkalian skalar

𝑐𝑓 𝐱 = 𝑐𝑓1 𝐱 ,⋯ , 𝑐𝑓𝑚 𝐱

Perkalian fungsi 𝑓 ∙ 𝑔 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ∙ 𝑔1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 ∙ 𝑔𝑚 𝐱

BAB 1 © Indah Yanti 2012 3

Catatan

Perhatikan bahwa dimensi domain dan kodomain dari dua fungsi yang dioperasikan harus sama.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 4

Cakram Buka

DEFINISI Untuk setiap 𝐱𝟎 ∈ ℝ𝑛 dan bilangan riil 𝑟 > 0, himpunan

𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛: 𝐱 − 𝐱𝟎 < 𝑟 disebut cakram buka atau bola buka dengan pusat 𝐱𝟎 dan jari – jari 𝑟. Dengan 𝐱 − 𝐱𝟎 menyatakan jarak euclidean antara 𝐱 dan 𝐱𝟎.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 5

Titik Dalam

DEFINISI

Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛. Titik 𝐱0 ∈ 𝐺 merupakan titik dalam jika terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ⊆ 𝐺.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 6

Titik Batas

DEFINISI

Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛. Titik 𝐱0 merupakan titik batas himpunan 𝐺 jika untuk setiap 𝑟 > 0 berlaku 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ∩ 𝐺 ≠ ∅ dan 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ∩ 𝐺𝑐 ≠ ∅.

Catatan

Titik batas himpunan 𝐺 tidak harus selalu ada di dalam 𝐺.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 7

Soal 1.

Misalkan 𝐺 = 𝑥1, 𝑥2 0 ≤ 𝑥1 < 1

a. Carilah semua titik dalam dari 𝐺

b. Carilah semua titik batas dari 𝐺

BAB 1 © Indah Yanti 2012 8

Titik Luar

DEFINISI

Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛. Titik 𝐱0 merupakan titik luar himpunan 𝐺 jika terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 tidak memuat titik 𝐺.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 9

Himpunan Buka

DEFINISI

Himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛disebut himpunan buka jika untuk setiap 𝐱𝟎 ∈ 𝐺 terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga cakram buka

𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ⊆ 𝐺.

Himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛disebut himpunan buka jika semua titik di 𝐺 adalah titik dalam 𝐺.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 10

Soal 2.

Tentukan apakah himpunan pada soal 1 merupakan himpunan buka atau himpunan tutup.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 11

Neighbourhood

DEFINISI

Misalkan 𝐱0 ∈ ℝ𝑛. Maka sebarang himpunan buka 𝐺 sedemikian sehingga 𝐱0 ∈ 𝐺 disebut neighbourhood dari titik 𝐱0.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 12

Closure

DEFINISI

Misal diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑛. Himpunan 𝐴 , himpunan yang mengandung semua titik 𝐴 dan titik batas dari 𝐴, disebut closure dari 𝐴.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 13

Soal 3.

Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan buka atau himpunan tutup 𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 < 4

𝐴 = 𝑥, 𝑦 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 ∈ ℝ2 0 ≤ 𝜃 <𝜋

4, 𝜃2 < 𝑟 < 𝜃

BAB 1 © Indah Yanti 2012 14

Limit

DEFINISI Pandang fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 dan 𝐛 ∈ ℝ𝑚. Dikatakan fungsi 𝑓 mempunyai limit b untuk x mendekati x0, dinotasikan

lim𝐱→𝐱0

𝑓 𝐱 = 𝐛

jika, diberikan sebarang neighbourhood 𝑁 dari b, terdapat neighbourhood 𝐺 dari 𝐱0 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ∈ 𝑁 untuk setiap 𝐱 ≠ 𝐱0 memenuhi 𝐱 ∈ 𝐺 ∩ 𝐴.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 15

Teorema 1A

Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 , dan berlaku

lim𝐱→𝐱0

𝑓 𝐱 = 𝐛1

lim𝐱→𝐱0

𝑓 𝐱 = 𝐛2

dimana 𝐛1, 𝐛2 ∈ ℝ𝑚. Maka 𝐛1 = 𝐛2.

Dengan kata lain jika limit ada maka keberadaannya tunggal.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 16

Teorema 1B Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 , maka untuk 𝐱 → 𝐱0 berlaku

a. Jika 𝑓 𝐱 → 𝐛, maka 𝑐𝑓 𝐱 → 𝑐𝐛 untuk setiap 𝑐 ∈ ℝ

b. Jika 𝑓 𝐱 → 𝐛1 dan 𝑔 𝐱 → 𝐛2, maka 𝑓 + 𝑔 𝐱 → 𝐛1 + 𝐛2

c. Jika 𝑓 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝐴, maka 𝑓 𝐱 → 𝐛 jika dan hanya jika 𝑓𝑖 𝐱 → 𝑏𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1,⋯ ,𝑚, dimana 𝐛 = 𝑏1, ⋯ , 𝑏𝑚

BAB 1 © Indah Yanti 2012 17

Teorema 1C

Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ dan 𝑔: 𝐴 → ℝ, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 . Maka untuk 𝐱 → 𝐱0 berlaku

a. Jika 𝑓 𝐱 → 𝑏1dan 𝑔 𝐱 → 𝑏2, maka

𝑓𝑔 𝐱 → 𝑏1𝑏2

b. Jika 𝑓 𝐱 → 𝑏 ≠ 0, maka 1𝑓 𝐱 → 1

𝑏

BAB 1 © Indah Yanti 2012 18

Kontinuitas

DEFINISI

Pandang fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Dikatakan fungsi 𝑓 kontinu di titik 𝐱0 ∈ 𝐴 jika

lim𝐱→𝐱0

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 .

Fungsi 𝑓 kontinu di 𝐴 jika 𝑓 kontinu di setiap 𝐱0 ∈ 𝐴. BAB 1 © Indah Yanti 2012 19

Teorema 1D

Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 . a. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0, maka 𝑐𝑓 juga kontinu di 𝐱0.

b. Jika 𝑓 dan g kontinu di 𝐱0, maka 𝑓 + 𝑔 juga kontinu di 𝐱0 .

c. Jika 𝑓 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝐴, maka 𝑓 kontinu di 𝐱0 jika dan hanya jika 𝑓1, ⋯ , 𝑓𝑚 kontinu di 𝐱0.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 20

Teorema 1E

Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana

𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 .

a. Jika 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝐱0, maka 𝑓𝑔 juga kontinu di

𝐱0.

b. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0 dan 𝑓 𝐱0 , maka 1 𝑓 juga

kontinu di 𝐱0.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 21

Teorema 1F

Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐵 → ℝ𝑝, dimana

𝐴 ⊆ ℝ𝑛 dan 𝐵 ⊆ ℝ𝑚. Misalkan 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵

sedemikian sehingga 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑝 terdefinisi dengan

baik. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0 ∈ 𝐴 dan 𝑔 kontinu di

𝐲0 = 𝑓 𝐱0 ∈ 𝐵, maka 𝑔 ∘ 𝑓 kontinu di 𝐱0.

BAB 1 © Indah Yanti 2012 22