1

PROBABILITAS STATISTIK

Jalan Random dan Distribusi Binomial Sebagai tinjauan awal kita perhatikan seseorang yang berjalan ngalor-ngidul (random walk) tanpa tujuan.

Jejak orang tersebut dapat berupa gambar di bawah ini:

Contoh jalan random

Jalan Random Satu Dimensi Untuk penyederhanaan masalah, tinjau jalan random hanya satu dimensi dan jarak tiap langkah (= l) dianggap sama.

Anggap orang tersebut mulai melangkah di bawah lampu dan bergerak ke kanan atau ke kiri secara random.

2

Stop press!! Sebelum kita lanjutkan ke diskusi jalan random ngalor-ngidul kita lihat dulu apa relevansinya ke Fisika. Berikut contoh kasus:

a) Magnetisme: Sebuah atom memiliki spin ½ dan momen magnetik µ; sesuai dengan kaidah mekanika kuantum spin dapat “up” atau “down”. Jika kedua kemungkinan ini sama berapa momen magnetik total untuk N atom?

b) Difusi molekul dalam gas: suatu molekul dapat bergerak dalam tiga dimensi dengan jarak rata-rata l pada tumbukan antar molekul. Berapa jauh molekul ini setelah N tumbukan?

c) Problem intensitas oleh N sumber tidak koheren

3

Ok, sekarang kembali ke masalah jalan random satu dimensi:

Setelah N langkah, posisi orang pada:

x = ml (referen x = 0 pada lampu)

dengan m merupakan bilangan bulat yang terletak diantara:

- N ≤ m≤ N

Sekarang kita hitung kemungkinan PN(m) untuk menemukan partikel (orang!!) dalam posisi x = ml setelah langkah ke N:

maka

N = n1 + n2

sedangkan pergeseran:

m = n1 - n2

selanjutnya

m = n1 – (N - n1) = 2 n1– N

4

Sekarang tinjau:

p kemungkinan melangkah ke kanan

q = 1 – p kemungkinan melangkah ke kiri

Jadi kemungkinan pada suatu kejadian n1 step melangkah ke kanan dan n2 step melangkah ke kiri:

Namun ada sejumlah cara berbeda pada N langkah:

5

(Kemungkinan pada langkah total N terdapat n1 langkah ke kanan dan n2 langkah ke kiri)

Dari diskusi sebelumnya jelas terlihat bahwa kemungkinan partikel

PN(m) ditemukan pada posisi m setelah langkah ke N adalah WN(n1).

Dengan perkataan lain:

PN(m) = WN(n1)

Gunakan m = n1 - n2 dan N = n1 + n2, maka

n1 = ½(N + m), n2 = ½(N - m)

6

1.3. Harga rata-rata

Salah satu sifat yang dapat mewakili perilaku populasi adalah

harga rata-rata

Dalam dunia sehari-hari nilai ini selalu dirujuk, misalnya:

• indeks harga saham • usia harapan hidup manusia • IP kalian • uang jajan • dan jutaan contoh lainnya.

Tinjau u merupakan sebuah variabel yang dapat mempunyai M nilai:

u1, u2, . . . , uM

dengan masing-masing kemungkinan:

7

P(u1), P(u2), . . . , P(uM)

Harga rata-rata (mean atau average) dapat dinyatakan:

≡

atau secara simbolik:

≡

Lebih umum kalau f(u) merupakan fungsi u, maka harga rata-rata:

≡

(Untuk mereka yang kurang familiar dengan statistika dasar harap membaca buku seperti karangan Anto Dayan dll.)

8

Harga rata-rata merupakan sebuah karakteristik penting distribusi probabilitas P(u).

Contoh.: nilai rata-rata mahasiswa, ISG, income rata-rata etc.

Namun demikian simpangan dari harga rata-rata juga menunjukkan karakteristik sampel.

Ambil suatu besaran

∆u ≡ u-

yang merupakan deviasi besaran u sekitar rata-rata u.

Kalau deviasi ini kita rata-ratakan, didapat:

9

= - = 0

deviasi rata-rata adalah nol. Jadi besaran ini tidak punya banyak manfaat.

Sekarang kita tinjau besaran lain yang mampu menunjukkan simpangan dari rata-rata tetapi tidak berharga nol.

Kita definisikan:

Besaran ini disebut “momen kedua di sekitar rata-rata” atau “dispersi rata-rata”. Besaran ini bernilai positif atau nol.

Bukti sederhana:

Hal lain dapat didefinisikan “momen ke-n dari u pada sekitar harga rata-ratanya”, namun jarang digunakan.

Secara sederhana karakteristik sample (distribusi probabilitas) dapat diwakili (meskipun tidak lengkap) oleh harga rata-rata dan nilai simpangannya.

Simpangan baku (deviasi standar):

∆*n =

10

1.4. Perhitungan harga rata-rata pada problem jalan random

Kembali ke jalan random, probabilitas dalam langkah total N membuat n1 langkah ke kanan (yakni N – n1= n2 ke kiri) adalah:

Kalau dinormalisasikan:

Maka

karena

Yang tentu saja sudah dapat diduga sebelumnya.

Sekarang kita lihat apa arti bilangan rata-rata step ke kanan?

Kita lihat dari definisi asal:

Kalau tidak ada faktor n1 maka akan terjadi binomial seperti sebelumnya.

Lihat dari pandangan matematika murni:

11

Sehingga sumasi menjadi:

Secara fisis hal ini telah jelas! Karena p merupakan kemungkinan melangkah ke kanan, maka jumlah rata-rata step ke kanan pada langkah total N adalah Np.

Sekarang kita hitung dispersi:

12

13

Kalau kita secara relatif:

Khususnya untuk p = q

Apa makna fisisnya?

dapat diartikan sebagai “kesalahan” terhadap rata-rata

pengambilan sampling dalam jumlah besar akan mengakibatkan kesalahan relatif mengecil.

14

Contoh kasus Fisika:

Sekarang kita hitung dispersi m:

Sehingga diperoleh:

dan

Ambil rata-rata, didapat:

Kondisi khusus p = q = ½

15

1.5. Distribusi probabilitas untuk N besar

Bila N sangat besar maka n1 juga besar sehingga perubahan W sangat kecil:

<< W(n1)

W dapat dipandang sebagai fungsi kontinu.

16

dengan

Pada daerah η sangat kecil ekspansi berubah menjadi:

Sekarang kita cari berapa nilai |B2|, dari

diperoleh:

Untuk n yang cukup besar

Dari hal tersebut:

17

jadi:

(Seperti yang sudah dapat diduga sebelumnya).

Diferensiasi lebih lanjut:

ini merupakan nilai B2

dengan menggunakan n1 = = Np , didapat:

Sekali lagi untuk N yang besar:

Akhirnya

18

Disebut distribusi Gaussian yang merupakan hal yang umum dan sering ditemui di alam.

1.6. Distribusi Gaussian

Kalau dalam nilai rata-rata dan dispersinya:

Dalam besaran jumlah langkah m:

karena n1 – Np = ½ [N + m – 2Np] = ½ [m – N(p – q)].

Disini m merupakan bilangan bulat yang dipisahkan oleh ∆m = 2

Hasil ini juga dapat dinyatakan dalam variabel pergeseran yang sesungguhnya:

x = ml

disini l merupakan panjang setiap langkah.

Kalau l cukup kecil dibandingkan panjang besaran fisika yang diamati, maka x dapat dipandang fungsi kontinu. (Secara matematik murni x merupakan fungsi diskrit dengan penambahan 2l).

19

Dari hal itu P(m) dapat dianggap sebagai fungsi kontinu dari x.

Dapat dicari probabilitas mendapatkan partikel antara x dan x+dx:

(Mengapa dibagi 2l? → karena pada jangkauan dx berisi dx/2l kemungkinan nilai m)

Besaran yang independen dari besar dx disebut “kerapatan kemungkinan” (probability density).

Seterusnya:

20

21

2. DESKRIPSI STATISTIK SISTEM PARTIKEL

BANYAK

• Formulasi statistik • Interaksi antara sistem makroskopis

2.1. Formulasi Statistik

Dalam menganalisis suatu sistem, kombinasikan:

ide tentang statistik

pengetahuan hukum-hukum mekanika partikel

22

Urutan langkah:

1. Spesifikasi keadaan sistem

2. Ensemble statistik

3. Postulat dasar

4. Perhitungan probabilitas

Supaya lebih jelas perhatikan untuk kasus sederhana pelemparan dadu:

1. Spesifikasi keadaan sistem

Memang dibutuhkan metode yang mendetail untuk menjelaskan hasil setiap eksperimen. Tetapi:

Apa sebenarnya yang ingin diketahui dalam proses pelemparan dadu?

Dalam kasus ini proses intermediate tidak banyak manfaatnya untuk diperhatikan.

2. Ensemble statistik

Fokus pada kondisi keseluruhan (ensemble) dari segala macam peristiwa individual yang mungkin

23

3. Postulat dasar

Pada kasus dadu

tidak ada preferensial antara satu muka dengan muka yang lain.

Dalam hal ini hukum-hukum Mekanika perlu dilihat.

4. Perhitungan probabilitas

Dari postulat dasar, perhitungan probabilitas dapat dilakukan

Contoh-contoh Formulasi Statistik pada Problem Mekanika

Sekarang kita masuki beberapa problem real di fisika.

1. Spesifikasi Keadaan Sistem

Sistem ini dapat terdiri dari elektron-elektron, atom-atom, atau molekul-molekul.

dapat dideskripsikan dengan kaidah mekanika kuantum

Sistem dapat dijelaskan

Ψ(q1, q2, q3, q4,…. qf) fungsi dari f koordinat (termasuk spin)

Bilangan f merupakan derajat kebebebasan sistem

24

Contoh 1:

Sistem yang terdiri dari partikel tunggal dengan posisi tetap tetapi memiliki spin ½ (yakni momentum angular intrinsik ½ )

Dalam deskripsi mekanika kuantum, keadaan partikel ini dispesifikasi oleh proyeksi spin pada sumbu tetap (misal z)

Keadaan kuantum

m = ½ m = -½

‘up’ ‘down’

Contoh 2:

Kalau ada N partikel pada posisi tetap.

Keadaan seluruh sistem dapat dinyatakan dengan bilangan kuantum m1, m2, m3,…. mN

(m bisa ½ atau -½ )

Contoh 3:

Suatu sistem yang terdiri dari harmonik osilator sederhana satu dimensi.

++++++++++++

25

Keadaan kuantum yang mungkin memiliki energi:

disini n = 0,1,2,3,4,….

Contoh 4:

Partikel tanpa spin dalam kotak

0 ≤ x≤ Lx

0 ≤ y≤ Ly

0 ≤ z≤ Lz

memenuhi persamaan Schrodinger

Fungsi gelombang yang memenuhi syarat batas:

Menghasilkan energi yang memenuhi

Keadaan partikel dapat dispesifikasi oleh tiga bilangan kuantum.

26

Bagaimana dari segi pandang Mekanika Klassik??

Kita mulai dengan contoh satu partikel dalam satu dimensi

→ sistem dapat dijelaskan secara komplit kalau diketahui

posisi dan momentumnya (q dan p).

(Ide ini tidak benar dipandang dari Mekanika Kuantum karena

adanya ketidakpastian Heisenberg)

Dapat digambarkan dalam ruang fasa sbb:

27

Misal skala q dapat dibagi-bagi menjadi skala terkecil δq, sedangkan skala p terkecil δp. Sehingga area terkecil dua dimensi:

δq δp = ho

Keadaan sistem dapat dijelaskan dengan koordinat ruang yang berada dalam interval q dan q + dq dan momentum antara p dan p+dp.

Hal ini dapat diperumum dengan f koordinat ruang q1, q2, q3, …. qf dan f momentum p1, p2, p3, …. pf

Cara perhitungan keadaan mikroskopik atau “microstate”:

Secara kuantum:

Hitung dengan suatu cara yang mudah semua keadaan kuantum yang mungkin, beri label r =1,2,3,.....

Keadaan sistem dapat dideskripsikan dengan melihat kondisi yang diinginkan (misal keadaan khusus r).

Bila dibutuhkan pendekataan mekanika klassik:

Situasi serupa terjadi

→ setelah ruang fasa dibagi-bagi dalam suatu unit kecil yang sama, kita dapat menghitung sel-sel tersebut dan memberi indeks dengan r =1,2,3,...

Keadaan sistem dapat dideskripsikan dengan menspesifikasi sel r yang mewakili titik-titik dalam sistem.

2. Ensemble statistik

Disini kita tidak berfokus pada satu sistem (atau partikel) terisolasi tetapi pada sejumlah besar sistem identik. Tujuan bahasan ini untuk meramalkan kemungkinan yang terjadi secara keseluruhan (ensemble).

28

Contoh:

Sistem terdiri dari tiga partikel berspin masing-masing ½

Momen magnetik:

+µ bila “up” ke sumbu z

-µ bila “down” thd ke sumbu z

Sistem mendapatkan medan magnet eksternal H ke arah sumbu z.

Keadaan seluruh sistem dapat dideskripsikan oleh tiga bilangan kuantum m1, m2, dan m3.

Partikel memiliki energi –µH untuk spin “up” dan +µH untuk spin “down” (Mengapa terbalik??).

29

Keadaan

Indeks r

Bilangan Kuantum

m1, m2, m3

Momen Magnetik Total

Energi Total

1 + + + 3µ –3µH 2

3

4

+ + –

+ – +

+ + –

µ

µ

µ

–µH

–µH

–µH 5

6

7

+ – –

– + –

– – +

–µ

–µ

–µ

µH

µH

µH 8 – – – –3µ 3µH

Biasanya pengetahuan parsial tentang sistem dapat diketahui.

Seperti misalnya energi total atau volume gas.

Sistem hanya boleh berada dalam keadaan yang sesuai dengan informasi ini.

Pada kasus di atas, seandainya ada informasi bahwa sistem memiliki energi –µH, maka keadaan yang mungkin adalah salah satu diantara:

(+ + –); (+ – +) atau (– + +)

Tentu saja kita tidak tahu keadaan mana yang sesungguhnya.

Keadaan yang mungkin ini disebut accessible state.

30

3. Postulat dasar

Dibutuhkan postulat dasar sekitar probabilitas relatif untuk menemukan sistem dalam keadaan yang dapat dijangkau (accessible state).

Biasanya digunakan postulat:

sistem terisolasi

tidak ada pertukaran energi

energi total terkonservasi

sistem dalam keadaan keseimbangan

time independent untuk parameter makroskopis

Postulat fundamental:

Suatu sistem terisolasi dalam keadaan keseimbangan memiliki peluang sama berada dalam accessible states.

Contoh kembali untuk E = –µH, maka sistem berpeluang sama berada dalam keadaan

(+ + –);

(+ – +) atau

(– + +)

Contoh lain: kasus osilator harmonis

Energi osilator berada pada jangkauan E dan E + δE.

31

Perhitungan jumlah keadaan pada gas ideal secara klassik:

Energi sistem:

U = U(r1, r2, r3,… rN) 0 untuk gas ideal

Jumlah keadaan Ω(E) pada energi antara E dan E + δE:

32

jumlah unit sel volume yang berada diantaranya:

dengan

Kalau sekarang digunakan:

diperoleh: χ(E) = E3N/2

Sehingga jumlah keadaan menjadi:

Ω(E) = B VN E3N/2

disini B merupakan konstanta.