KALKULUS

Kalkulus ialah matematik bagi pergerakan dan perubahan. Ketika berlakunya

pergerakan atau pertumbuhan, atau berlakunya daya yang berubah-ubah bagi

menghasilkan pecutan maka ketika itu kalkulus merupakan matematik yang tepat

untuk digunakan. Keadaan ini benar pada zaman permulaan subjek tersebut,

hinggalah sekarang.

Kalkulus mula dicipta untuk memenuhi keperluan matematik bagi ahli-ahli sains di

abad ketujuh belas. Kalkulus pembeza menangani masalah mengira kadar

perubahan. Ia membolehkan seseorang mentakrif kecerunan lengkung, mengira

halaju dan pecutan jasad yang bergerak, mendapat sudut tembakan meriam yang

akan memberikan julat yang terbesar, dan untuk meramal masa planet akan berada

paling dekat atau paling jauh di antara satu sama lain. Kalkulus kamiran menanagani

masalah menentukan fungsi daripada maklumat mengenai kadar perubahannya. Ia

membolahkan seseorang mengira kedudukan akan datang sesuatu jasad

berdasarkan kedudukan sekarang dan mendapat pengetahuan mengenai daya yang

bertindak ke atasnya, untuk mendapatkan luas rantau tak sekata dalam satah, untuk

mengukur panjang lengkuang, dan untuk menentukan keduduakan pusat jisim

pepejal sembarangan.

Sebelum perkembangan matematik mencapai kemuncaknya dengan penemuan

terbesar oleh Sir Isaac Newton (1642-1727) dan Baron Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716), ahli astronomi Johannes Kepler (1571-1630) telah mengambil masa

selama dua puluh tahuin menumpukan perhatian, menyimpan rekod, dan membuat

pengiraan untuk menemui ketiga-tiga hukum pergerakan planet yang sekarang ini

mengambil sempena namanya:

Setiap planet bergerak pada elips yang mempunyai satu focus di matahari

Jejari vektor dari matahri ke suatu planet merangkumi luas yang sama dalam

selang masa yang sama.

Kuasa dua tempoh putaran bagi planet mengelilingi matahari adalah

berkadaran dengan kuasa tiga min jarak dari matahari.

SEJARAH

Kalkulus yang digunakan pada hari ini merupakan himpunanan sumbangan daripada

ramai tokoh. Asal usulnya boleh dikesan sehingga kepada geometri greek Klasik,

tetapi sebahagian besar ciptaan ini adalah hasil usaha ahli-ahli sains kurun ketujuh

belas. Antaranya termasuklah Rene Descartes (1596-1650), Bonaventura cavalieri

(1598-1647), Piere de fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) dan james

Gregory (1638-1675). Usaha-usaha tersebut mencapai kemuncaknya dengan

ciptaan agung oleh Newton dan Leibniz. Mereka merupakan pelopornya. Penyelidikan tentang topik kalkulus telah dijalankan pada awal kurun ke-17. Sir Isaac

Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz telah menjalankan penyelidikan secara

berasingan dan telah memberi sumbangan terbesar dalam kajian tersebut.

Penyelidikan Sir Isaac Newton bermula apabila University of Cambridge ditutup pada

tahun 1665 yang menyebabkan beliau terpaksa pulang ke tempat asalnya iaitu

Lincolnshire.

Selama 18 bulan di sana, beliau telah mencipta ‘Method of Fluxions’, teori graviti dan

teori cahaya. Berikutan dengan penciptaan teori-teori tersebut, beliau telah menulis

sebuah buku yang berjudul ‘De Methodis Serierum et Fluxionum’ pada tahun 1671.

Namun, Sir Isaac Newton telah gagal untuk menerbitkan buku tersebut. Buku

tersebut tidak diterbitkan sehingga John Colson berjaya menerbitkannya dalam

versi Bahasa Inggeris pada tahun 1736. Walau bagaimanapun, buku hasil tulisan Sir

Isaac Newton tidak mempunyai simbol dan rumus.

Gottfried Wilhelm Leibniz telah memulakan penyelidikan beliau pada tahun 1673.

Beliau merupakan tokoh yang telah mencipta simbol pembezaan dan pengamiran.

Penerbitan pertamanya adalah pada tahun 1684 iaitu ‘Nova Methodus pro Maximis

et Minimis, itemque Tangentibus’ dalam ‘Acta Eruditorum’, sebuah surat khabar yang

diwujudkan pada tahun 1682 di Leipzig. Kemudian dua orang adik-beradik Bernoulli

iaitu Jacob dan Johann mengambil idea tersebut dan mengembangkannya. Sejak

kurun ke-17, penyelidikan tentang kalkulus telah mula berkembang dan mencapai

tahap seperti yang sedia ada sekarang.

PEMBEZAAN

Suatu operasi matematik yang dilakukan terhadap fungsi untuk menentukan kesan

perubahan terhadap nilai pembolehubah tak bersandar.

Menurut sejarah, ahli matematikYunani purba telah mengetahui tentang konsep

tangen terhadap bulatan dan beberapa lengkung mudah yang lain. Walau

bagaimanapun, sehingga kurun ke-17, tiada sebarang tatacara untuk persamaan

tangen terhadap graf pada sesuatu titik yang diberi. Bagi menyelesaikan masalah

tangen ini, Isaac Newton telah menggunakan kaedah yang dikemukakan oleh Pierre

de Fermat (1601-1665). Pendekatan ini telah membawa kepada takrifan pembezaan.

Fermat juga telah menemui tatacara untuk mendapatkan pembezaan fungsi

polinomial.

KAMIRAN

Proses songsangan bagi operasi pembezaan yang dikenali juga sebagai antiterbitan.

Kamiran juga ditakrifkan sebagai satu proses pengehad penjumlahan Riemann untuk

mendapatkan luas di bawah satu lengkung. Kedua-dua aspek takrifan ini

menghasilkan dua bentuk kamiran yang dinamai kamiran tak tentu dan kamiran

tentu.

Idea kamiran diransang oleh masalah untuk menghitung luas suatu rantau yang

terletak antara suatu fungsi yang mempunyai nilai positif dan paksi x. menurut

sejarah, pengiraan awal luas telah dilakukan oleh pakar matematik Yunani,

Archimedes sekitar tahun 287-212 S.M. Archimedes mengetahui cara mendapatkan

luas segi empat. Kemudian, ramai pakar matematik telah mengemukakan kaedah

pengiraan luas yang difikirkan sesuai. Walau bagaimanapun, sejarah kalkulus

bermula dengan penemuan Isaac Newton (1642-1727) pada tahun 1669 dengan

hasil kerjanya diterbitkan pada tahun 1711. Pada masa yang sama, seorang pakar

matematik lain bernama Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646-1716) telah menghasilkan

perkara yang sama di sekitar tahun 1673.

Kamiran telah diguna pakai sejak zaman Mesir purba lagi dimana Papirus Matematik

Moscow (Moscow Mathematical Papyrus) telah menunjukkan formula untuk

menyelesaikan masalah berkaitan piramid. Teknik pertama yang sistematik dan

tersusun dalam menyelesaikan masalah kamiran adalah kaedah penyusutan

oleh Eudoxus. Kaedah ini digunakan untuk mencari luas kawasan dengan

memecahkan kawasan itu kepada kawasan-kawasan kecil yang luasnya diketahui.

Kaedah ini juga boleh digunakan untuk mencari isipadu. Archimedes menggunakan

kaedah penyusutan untuk mengira nilai π, luas bulatan dan luas parabola. Kaedah

yang hampir sama telah dibina oleh ahli matematik Cina Liu Hui, juga untuk mencari

luas bulatan. Kaedah Liu Hui pula dikembangkan oleh pasangan ayah dan anak Zu

Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari isipadu sfera. Abad yang sama, ahli

matematik India Aryabhata menggunakan kaedah yang hampir sama untuk mencari

luas kiub.

Langkah seterusnya dalam perkembangan kamiran adalah di Iraq apabila ahli

matematik Islam abad ke-11, Ibn Al-Haitham (atau Alhazen di Eropah) merancang

satu masalah yang kini dikenali sebagai "masalah Al-Haitham" dalam buku fiziknya

"Kitab Al-Manazir" (Buku tentang Penglihatan). Masalah ini membawa kepada

persamaan darjah keempat (iaitu persamaan yang melibatkan kuasa 4 atau x4).

Semasa menyelesaikan permasalahan ini, beliau telah menggunakan kamiran untuk

mencari isipadu paraboloid. Menggunakan induksi matematik melalui pengiraan,

beliau telah mengasaskan kamiran untuk polinomial darjah keempat. Namun Ibn Al-

Haitham tidak mengambil berat akan polinomial dengan darjah lebih tinggi dari

4. Selain Ibn Al-Haitham, idea-ide tentang kamiran juga boleh ditemui dalam buku

astronomi Siddhanta Shiromani yang ditulis oleh ahli matematik India Bhaskara II

pada kurun ke-12.

Kemajuan seterusnya muncul pada kurun ke-16. Pada masa ini asas kalkulus moden

telah tercipta melalui pengiraan yang dibuat oleh Cavalieri dengan prinsip

Cavalieri dan kerja-kerja Fermat. Langkah untuk penciptaan kalkulus moden ini

semakin dikukuhkan oleh Barrow dan Torricelli pada awal kurun ke-17 apabila

kedua-duanya menyatakan terdapat hubungan antara pembezaan dan kamiran.

Pada masa yang hampir sama, ahli matematik Jepun juga banyak membuat

pengiraan kamiran, terutama Seki Kōwa.] Beliau membuat beberapa sumbangan

seperti mengaplikasikan kaedah penyusutan untuk mencari luas kawasan melalui

kamiran.

Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila kedua-dua

Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus (fundamental theorem of

calculus). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan. Perkaitan

ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada kamiran,

digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan

sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal

diselesaikan dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa

dengan tepat melalui kalkulus yang diberi nama infinitesimal calculus ini. Kerja-kerja

Newton dan Leibniz ini akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk

kamiran diambil secara langsung dari kerja Leibniz.

PEMBEZAAN

Pengertian pembezaan

Terbitan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut

terhadap pembolehubahnya. Proses menemukan terbitan dari suatu fungsi disebut

sebagai pembezaan.

Secara matematik, turunan fungsi ƒ(x) terhadap pemboleh ubah x adalah ƒ' yang

nilainya pada titik x ialah:

 ,

dengan syarat wujudnya limit tersebut. Jika ƒ' eksis pada titik x tertentu, kita

katakan bahawa ƒ dibezakan (mempunyai keturunan) pada x, dan jika ƒ' eksis di

setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Takrif:

Andaikan f suatu fungsi yang tertakrif diatas selang terbuka (a,b). Bagi x ahli kepada

(a,b), terbitan bagi f di x ditakrikan oleh had

f'(x)=had h->0 [[f(x+h)-f(x)]/h]

jika had ini wujud.

Contoh:Cari f'(x) bagi f(x)=1/x

Penyelesaian:

Dari takrif terbitan, f'(x)=had h->0 [[f(x+h)-f(x)]/h]. Oleh itu jika f(x)=1/x, maka f'(x) =

had h->0 [[1/(x+h)]-1/x]/h. Ini diikuti dengan

had h->0 [[x-(x+h)]/[hx(x+h)]] = had h->0 [[-h]/[hx(x+h)]]

= had h->0 [(-1)/[x(x+h)]] = -1/(x.x)

Takrif:

Katakan f suatu fungsi yang tertakrif didalam selang terbuka yang mengandungi titik

c. Fungsi f dikatakan bolehbeza di c jika dan hanya jika terbitan f'(c) wujud. Jika f

bolehbeza di setiap titik bagi set S, kita kata f bolehbeza atas S. Jika f bolehbeza di

semua titik didalam domainnya, kita kata f bolehbeza.

Teorem:Jika fungsi f bolehbeza di c, maka f selanjar di c.

Bukti:Jika f bolehbeza di c, maka f tertakrif didalam selang yang mengandungi c,

dan f'(c) wujud. Oleh itu,

f'(c)=had x->c [[f(x)-f(c)]/(x-c)]

Jadi, had x->c [f(x)-f(c)] = had x->c [[f(x)-f(c)]/(x-c)].(x-c)

=had x->c [[f(x)-f(c)]/(x-c)] . had x->c (x-c)

= f'(c) . 0 = 0

Oleh itu, had x->c f(x) = f(c), dan f selanjar di c.

Konsep Pembezaan

Katakanlah f fungsi selanjar bagi x dan (c.f(c) adalah suatu titik pada grafnya. Jika x berubah dari c ke c + h, pada graf yang sama pertambahannya ialah

∆ x= (c+h )−c=h ,

yang dikenali sebagai perubahan bagi x dan pertambahan yang sepadan bagi f ilah

∆ f=f (c+h )−f (c)

nisbah

∆ f∆ x

=f (c+h )−f (c )

h

dikenali sebagai nisbah Newton, yang mewakili kadar perubahan purata bagi fungsi f apabila x berubah dari c ke c + h.

Pertimbangkan keadaan seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah :

P(c, f(c)) dan Q(c+h)) merupakan titik pada graf f dengan h ≠ 0. PL adalah garisan tangen yang melalui titik P dan m adalah lerengnya. Lereng garis lurus PQ yang dilambangkan dengan mh ialah

mh=f (c+h )−f ( c )

(c+h)−c

=¿ f (c+h )−f (c )

h

Dapat diperlihatkan bahawa ketika h mendekati 0, titik Q akan bergerak menghampiri titik P dan garis lurus PQ akan berpusing dan bertepatan dengan garis lurus PL. Maka lerengnya mh akan menghampiri m, lereng bagi bagi garis tangent pada titik Pitu. Jika ditulis dalam bentuk had, maka

m=hadh→0

mh=hadh→0

f (c+h )−f (c)h

Misalnya, katalah fungsi f seperti yang ditakrifkan,

f ( x )=x2

Titik P(0,0) berada pada graf f . Katalah Q1(1,1), Q2( 12 ,( 12 )2), Q3( 13 , (13 )

2), Q4 ( 14 ,( 14 )2),

… pada graff adalah titik yang semakin mendekati titik P.

Lereng bagi PQ1= 1/1 =1

Lereng bagi PQ2= (1/2 )2 /(1/2)=1/2

Lereng bagi PQ3= (1/3 )3 /(1/3)=1/3

Lereng bagi PQ4= (1/4 )4 /(1/4)=1/4

Lereng bagi garis tangent di (0,0)=0

Jika digambarkan dalam jadual,

Jelaslah diperlihatkan apabila titik Q mendekati titik P, maka lereng bagi PQ mendekati lereng bagi garis tangent di tititk P.

Secara umum, diberikan takrif yang berikut

Takrif : Fungsi f dikatakan terbezakan pada titik x=c jika dan hanya jika

hadh→0

f (c+h )−f (c )h

wujud. Jika had ini wujud, ia dinamakan terbitan fungsi f pada titik x=c dan ditulis f’(c)

atauddxf (c), iaitu

f ' (c )= ddxf (c )=had

h→0

f (c+h )−f (c )h

Berdasarkan kepada lengkungannya, f ' (c ) dikatakan lereng untuk f pada titk x=c, dan garis lurus melalui titik (c,f(c) dengan lereng f(c) itu dikatakan garis tangent bagi graf f di titik(c,f(c). perhatikan bahawa garis lurus ini menyentuh graf f di titik (c,f(c)

PENGAMIRAN

Pengertian pengamiran

Kamiran adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua

konsep yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses

pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan(integration). Dengan

kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan.

Kamiran taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral

taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F.

kamirantertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah

angka, yang mana memberika luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x.

Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu

Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian,

namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih.

Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan

memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian

dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval

tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Kosep

dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval

tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan

nilai perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang

tepat.

Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah lengkung f(x),

antara dua titik a dan b.

Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak

yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir.

Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak

antara dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen

disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsif(x).

Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan

lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut.

Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan

jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan

yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil

limit Δx mendekati nol.

Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari “sum”).

Integral tertentu ditulis sebagai

dan dibaca “Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x.”

Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:

.

Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ‘ = 2x (di mana C adalah

konstanta),

.

Konsep pengkamiran

Kamiran ialah satu konsep penting dalam matematik yang, bersama

dengan pembezaan, membentuk antara operasi utama dalam kalkulus.

Diberi fungsi ƒsatu pemboleh ubah nyata x dan sela [a, b] garis nyata, kamiran

tentu

ditakrifkan secara tidak formal sebagai luas bertanda bersih kawasan di satah-

xy yang dibatasi dengan graf ƒ, paksi-x, dan garis menegak x = a dan x = b.

Istilah kamiran juga boleh merujuk kepada tanggapan antiterbitan,

fungsi F yang terbitannya ialah fungsi diberi ƒ. Dalam kes ini ia

dipanggil kamiran tak tentu, manakala kamiran yang dibincangkan dalam

rencana ini dipanggil kamiran tentu. Sesetengah penulis mengekalkan

perbezaan antara antiterbitan dan kamiran tak tentu.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara

berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil

kerja pada waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas

kalkulus, yang juga diterbitkan oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan

denganpembezaan, satu konsep yang diketahui umum ketika itu. Perkaitan itu

menyatakan bahawa jika f adalah satu fungsi selanjar dengan nilai nyata serta

had [a, b], maka apabila antiterbitan F untuk f diketahui, kamiran tentu f dalam

had yang diberikan adalah

Aplikasi

Purata Inventori Harian

Pemahaman tentang nilai purata telah digunakan dalam teori ekonomi untuk mengkaji purata inventori harian. Jika I(x) merupakan bilangan radio atau kasut atau apa jua yang dipunyai oleh sesebuah firma pada hari ke-x, maka

I purata=1b−a∫a

b

I ( x )dx

Digelar purata inventori harian bagi barangan tersebut untuk jangka masa a≤ x≤b .

Kos untuk ruang gudang simpanan barang-barang, utility, insuran, serta sekuriti

boleh menjadi sebahagian besar bagi perbelanjaan menjalankan bisnes, dan

inventori harian bagi firma berkenaan boleh memainkan peranan penting dalam

menentukan kos-kos ini.

Contoh :

Katakan seorang pemborong menerima penghantaran 1200 kotak coklat setiap 30

hari. Coklat tersebut dijual kepada peniaga runcit pada kadar mantap; x hari selepas

penghantaran sampai, inventori kotak-kotak yang masih ada dalam simpanan ialah

I ( x )=1200−40 x.

Purata inventori harian adalah,

I purata=1

30−0∫030

(1200−40 x )dx= 130

[1200 x−20 x2 ]030=600

Oleh itu, purata inventori harian adalah 600.

Mencari isipadu

Sekarang kita sudah boleh mengira luas bagi berbagai-bagai jenis rantau satah, kita

boleh perluaskan kaedah membentuk hasil tambah Riemann bagi mendapatkan isi

padu bongkah yang mempunyai keratin rentas rantau tersebut.

V=∫a

b

A ( x )dx

Contoh :

Suatu piramid 3 meter tinggi mempunyai tapak segi empat sama yang panjang

sisinya 3 meter. Keratin rentas pyramid tersebut, berserenjang kepada altitude x unit.

Cari isipadu piramid tersebut.

Lukiskan piramid dengan altitudnya pada paksi-x puncaknya di asalan. Kemudian

kita lakarkan keratan rentas tipikal. Oleh sebab keratan rentasnya ialah segi empat

sama yang panjang sisinya x unit, maka luasnya ( x )=x2 . isipadu piramid ialah

kamiran bagi A(x) daripada x=0 sehingga x=3 :

Isipadu = ∫0

3

A ( x )dx=∫0

3

x2dx=[ x33 ]0

3

=9

Isipadunya ialah 9 m3. Keputusannya bertepatan dengan nilai

V=13

(luas tapak ) (tinggi )=13

(9 ) (3 )=9

Objek jatuh

Satu objek digugurkan pada masa t = 0. Jika h (t) adalah ketinggian objek pada

masa t, a(t) pecutan dan v (t) halaju.  Hubungan antara a, v, dan h adalah

seperti berikut:

a(t) = dvdt

, v (t) = d hdt

Bagi objek yang jatuh, a(t) adalah malar dan bersamaan dengan

 g = -9,8 m / s.

Dengan menggabungkan persamaan pembeza di atas, kita dapat dengan mudah

simpulkan persamaan berikut

d 2h / dt 2 = g

kamirkan kedua-dua belah persamaan di atas untuk mendapatkan

dh / dt = g t + v0

kamirkan lagi sekali untuk mendapatkan

h (t) = (1 / 2) g t2 + v0 t + h0

Persamaan di atas menggambarkan ketinggian objek jatuh,

dari h0 ketinggianpermulaan pada halaju awal v0, sebagai fungsi masa.

ISU SEMASA

Penggunaan konsep kalkulus dalam pembinaan roller coaster.

 Pelbagai cabang matematik digunakan bagi memastikan pembinaan roller

coaster adalah selamat dan mengikut spesifikasi yang telah ditetapkan. Pertama

sekali terdapat penggunaan ilmu kalkulus dalam pembinaan roller coaster.

Pembinaan akan dimulakan dengan membuat cetakan biru (blue print), yang

dihasilkan berdasarkan pelbagai persamaan matematik terutamanya fungsi kubik

untuk  cerun keatas ataupun kebawah yang terkandung dalam trek roller coaster. Di

samping itu, adalah penting untuk mempunyai cetakan biru reka-bentuk roller

coaster yang akan dibina bagi memudahkan pekerja pembinaan mengenalpasti jenis

bahan serta kuantiti bahan, dari segi pecahan dan saiz. Dalam konteks ini ilmu

kalkulus sebenarnya diaplikasikan bagi menetukan persamaan yang tepat bagi

mewakili setiap segmen roller coaster.

           Proses menentukan persamaan setiap satu segmen roller coaster ini adalah

penting bagi menentukan setiap persamaan dapat dikaitkan kepada segmen

seterusnya  dengan tepat supaya keduanya bertemu dengan lancar. Konsep ini lebih

mudah difahami dengan menggunakan contoh. Apabila terdapat dua fungsi kubik

yang bersambung, kedua-duanya haruslah bersifat “continuous” dan boleh

dibezakan pada tempat pertemuan jika tidak para penumpang  akan mengalami

perubahan kecerunan yang tajam atau mengejut pada titik pertemuan di antara dua

fungsi kubik tadi dan ini juga boleh mengakibatkan kegelinciran gerabak roller

coaster. Iaitu suatu keadaan yang berbahaya kepada keselamatan penumpang. Ini

secara langsung menunjukkan kepentingan ilmu matematik iaitu kalkulus dalam 

pembinaan roller coaster bagi menjamin keselamatan para penumpangnya.

    Selain dari itu, tahukah anda apakah kaitan diantara ilmu geometri denganroller

coaster? Reka bentuk roller coaster mengaplikasikan teori geometri dari pelbagai

sudut. Antaranya adalah bagi proses “proper bracing”, muatan stuktur dan dalam

sebilangan kes nilai kecantikan reka bentuk. Apabila gerabak roller coaster sedang

bergerak pada kelajuan permulaan di bahagian lift hill, disebabkan oleh chain lift.

Bentuk bukit pertama dalam trek roller coasterselalunya berbentuk parabola ini

selaras dengan pergerakan projektil gerabak.  Lembah yang dihasilkan dalam

bulatan kebanyakkan didapati bulatan. Bentuk-bentuk vertical adalah berbentuk

clothoid dan seharusnya diselesaikan dengan menganggap setiap sesi mengandungi

parabola, hiperbola dan bulatan.

Penggunaan kad kredit

Bagaimana Syarikat Kad Kredit Gunakan Kalkulus?

Apabila bayaran minimum kad kredit perlu dikira, kalkulus adalah kaedah yang

digunakan. Syarikat kad kredit menggunakan jenis pembezaan kalkulus untuk

mengira jumlah ini. Terdapat beberapa pembolehubah yang masuk ke dalam

pengiraan kerana ia adalah dikira dengan jumlah wang yang disebabkan oleh masa

yang tertentu (biasanya tarikh akhir yang disenaraikan di rang undang-undang

itu). Tambah bahawa kadar faedah yang diberikan dan ia menjadi tugas yang

rumit. Dengan semua bahagian berubah, kadar faedah dan baki yang ada, pengiraan

akan dilakukan secara serentak untuk menyediakan pelanggan dengan baki

minimum yang tepat.

Pengiraan yang digunakan untuk menentukan bayaran minimum bermula dengan

menentukan faedah yang terakru sejak pembayaran terakhir, atau lebih

sebulan. Untuk mengira jumlah faedah, pengiraan berikut dilakukan:

Faedah terakru = Bermula kira-kira * (kadar faedah/12)

12 dalam pengiraan mewakili bilangan bulan dalam satu tahun. Jadi, jika anda

mempunyai baki awal 5400 dan kadar faedah sebanyak 9.75%, faedah terakru bagi

bulan itu akan menjadi $ 43,88. Setelah amaun itu dikira, maka kita dapat

mengetahui apa pembayaran minimum. Selepas menubuhkan kredit dan mendaftar

dengan syarikat kad kredit, bayaran bulanan minimum telah ditetapkan untuk apa

yang benar-benar telah dibayar pada kad setiap bulan sama ada yang anda gunakan

itu bulan atau tidak.Kebanyakan masa, jumlah ini agak kecil; $ 20 apa yang biasanya

ditetapkan.

Bayaran minimum yang pada penyata kad kredit adalah dikira seperti berikut:

= MAX (bulan bayaran minimum, faedah + bayaran bulanan minimum)

Ini bermakna bahawa jika faedah terakru ditambah dengan bayaran bulanan

minimum kurang bahawa bayaran bulanan minimum set, maka jumlah terbesar mesti

dibayar.Sebagai contoh, masalah di atas. Pembayaran minimum adalah $ 20 dan

kepentingan itu ialah $ 43,88; kedua-dua ditambah bersama-sama akan menjadi $

63,88.Berdasarkan masalah ini, pembayaran minimum akan menjadi $ 63,88 kerana

ia adalah jumlah yang lebih besar.

Kepentingan

Syarikat kad kredit menggunakan kalkulus untuk menetapkan bayaran minimum yang kena dibayar atas penyata kad kredit pada masa yang tepat kenyataan itu diproses dengan mengambil kira pembolehubah berbilang seperti perubahan kadar faedah dan baki yang berubah-ubah. Ahli biologi pula menggunakan kalkulus pembezaan untuk menentukan kadar pertumbuhan sebenar dalam bakteria apabila pembolehubah seperti suhu dan sumber makanan yang berbeza berubah. Penyelidikan ini dapat membantu meningkatkan kadar pertumbuhan bakteria yang perlu, atau mengurangkan kadar pertumbuhan bakteria berbahaya.

Seorang jurutera elektrik menggunakan pengamiran untuk menentukan panjang sebenar kabel kuasa yang diperlukan untuk menyambung dua pencawang yang jauh antara satu sama lain. Kerana kabel digantung daripada tiang, ia sentiasa melengkung.  Selain itu, arkitek menggunakan pengamiran untuk menentukan jumlah bahan yang diperlukan untuk membina sebuah kubah yang melengkung untuk arena sukan baru, serta mengira berat kubah itu dan menentukan jenis struktur sokongan yang diperlukan.

Jurutera penerbangan angkasa pula kerap menggunakan kalkulus apabila merancang misi yang panjang. Untuk memulakan siasatan penerokaan, mereka mesti mengambil kira halaju yang berbeza mengorbit Bumi dan planet yang disasarkan, serta pengaruh graviti yang lain seperti matahari dan bulan. Kalkulus membolehkan setiap pembolehubah-pembolehubah diambil kira dengan tepat.

Ahli statistik menggunakan kalkulus untuk menilai data kaji selidik untuk membantu membangunkan pelan perniagaan bagi syarikat-syarikat yang berlainan. Kerana satu kaji selidik melibatkan banyak soalan yang berbeza dengan pelbagai jawapan. Oleh itu, kalkulus membolehkan ramalan yang lebih tepat untuk tindakan yang sewajarnya.

Ahli Fizik menggunakan kalkulus untuk mencari pusat jisim kenderaan utiliti sukan untuk mereka bentuk ciri-ciri keselamatan yang sesuai yang perlu mematuhi spesifikasi pada permukaan jalan raya yang berbeza dan pada kelajuan yang berbeza.

Seorang penganalisis operasi penyelidikan akan menggunakan kalkulus apabila memerhatikan proses yang berbeza di perbadanan pembuatan. Dengan mengambil kira nilai pemboleh ubah yang berbeza, mereka boleh membantu syarikat

meningkatkan kecekapan operasi, meningkatkan pengeluaran, dan meningkatkan keuntungan.

Jelas sekali, pelbagai kerjaya kerap menggunakan kalkulus. Universiti, tentera, agensi-agensi kerajaan, syarikat penerbangan, hiburan studio, syarikat perisian, dan syarikat-syarikat pembinaan hanya beberapa majikan yang mencari individu yang mempunyai pengetahuan yang tinggi dalam kalkulus. Malah doktor dan peguam juga menggunakan kalkulus untuk membantu membina disiplin yang perlu bagi menyelesaikan masalah yang kompleks, seperti mendiagnosis pesakit atau merancang kes pendakwaan.

REFLEKSI

Oleh : Amira Hafiza Binti Mohamad

Assalamualaikum...

Pertamanya, saya ingin memanjatkan kesyukuran kepada Ilahi kerana

dengan izinNya, alhamdulillah saya dapat menyiapkan kerja kursus untuk matematik

II ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Setinggi-tinggi penghargaan saya ucapkan

kepada Tn. Hj. Wan Jusoh bin Wan Ahmad kerana telah banyak memberi panduan

untuk saya dan rakan melaksanakan kerja kursus ini.

Walaupun pada awalnya saya mengalami sedikit kesukaran untuk mencari

maklumat tentang apa yang dikehendaki oleh soalan, namun saya berjaya

mengatasi masalah tersebut. Masalah ini timbul kerana saya tidak begitu jelas

dengan kehendak soalan dan hasil dari perbincangan dengan rakan-rakan yang lain

akhirnya saya dapat memahami kehendak sebenar soalan.

Selain itu, saya juga terpaksa menggunakan banyak masa yang

diperuntukkan untuk memilih maklumat-maklumat yang kami perolehi. Hal ini kerana

pada awalnya kami menggunakan sumber internet, dan terdapat beberapa maklumat

yang bercanggah. Ini menyebabkan saya agak keliru dengan maklumat-maklumat

tersebut, tambahan lagi saya dan rakan saya sememangnya agak lemah dalam tajuk

kalkulus ini. Namun kemudiannya kami menggunakan alternatif lain dengan merujuk

pada buku-buku yang terdapat di pusat sumber IPG KSM. Setelah itu kami

membanding-bezakan maklumat-maklumat yang kami peroleh dari buku dan

internet. Kaedah ini lebih berkesan dan lebih tepat untuk kami memilih maklumat

yang benar.

Alhamdulilah setelah saya melaksanakan kerja kursus ini, saya telah belajar

banyak perkara tentang kebarangkalian. Saya dapat mengetahui tentang sejarah

kalkulus, aplikasi dan kepentingannya dalam kehidupan. Dan yang paling penting

ialah saya dapat memahami dengan lebih mendalam tentang tajuk ini kerana

sepanjang melaksanakan kerja kursus ini saya telah banyak meneliti memahami

konsep kalkulus. Saya berharap ilmu yang saya perolehi ini dapat saya manfaatkan

sewaktu peperiksaan nanti dan yang paling utama ialah sewaktu di sekolah apabila

saya bergelar guru nanti.

Sekali lagi saya ucapkan jutaan terima kasih kepada pensyarah-pensyarah

yang telah banyak membantu dalam tempoh saya menyiapkan kerja kursus ini. Tidak

lupa juga kepada rakan-rakan yang sanggup berkongsi maklumat dan saling

membantu. Terima kasih, budi kalian akan saya kenang.

Sekian.

REFLEKSI TUGASAN

Oleh : Amira Hafiza binti Mohamad

Assalamualaikum..

Syukur ke hadrat ilahi kerana dengan limpah kurnia-Nya dapat juga saya

menyiapkan kerja kursus ini dalam masa yang ditetapkan iaitu selama 6 minggu. Di

sini, saya ingin merakamkan sekalung penghargaan kepada Tuan Haji Wan Jusoh

bin Wan Ahmad selaku pensyarah Matematik II unit kami yang sentiasa memberikan

tunjuk ajar dan jalan kepada kami sepanjang proses kolaborasi yang dilakukan.

Tugasan kali ini lebih menitikberatkan berkenaan tajuk kalkulus iaitu

pembezaan dan pengamiran yang dipelajari dalam proses pengajaran dan

pembelajaran di dalam kelas. Bagi tugasan pertama, saya telah diminta untuk

mencari maklumat berkaitan konsep, pengertian, isu semasa, sejarah, kepentingan

dan aplikasi penggunaan kalkulus. Bagi tugasan kedua pula, saya telah diminta

untuk menjawab 20 soalan pembezaan dan 20 soalan pengamiran

Pelbagai buku rujukan yang telah saya gunakan bagi memudahkan kami

mencari maklumat yang tepat dan bersesuaian dengan kehendak soalan. Kalkulus

merupakan tajuk yang terlalu meluas. Saya terpaksa meluaskan skop pencarian

maklumat bagi mendapatkan info-info yang dikehendaki. Tugasan yang telah

mengkehendaki saya untuk mencari berkenaan sejarah, konsep dan pengertian

kebarangkalian secara tidak langsung telah meningkatkan pemahaman saya

berkenaan salasilah kalkulus serta tokoh-tokoh yang telah mencetuskan konsep

kalkulus.Kalkulus merupakan satu konsep yang sentiasa digunakan dalam

kehidupan seharian. Melalui tugasan ini, saya dapat mengetahui banyak bidang yang

mengaplikasikan konsep kalkulus.

Di samping itu, tugasan kedua telah membantu saya untuk menjawab soalan-

soalan berkaitan kalkulus mengikut langkah-langkah yang sebenar. Malah, saya juga

telah mengetahui tentang kaedah dan cara yang tepat untuk menjawab soalan dalam

usaha untuk mendapatkan markah penuh. Tugasan ini telah memberikan saya

tentang gambaran sebenar akan konsep-konsep soalan yang akan ditanya dalam

peperiksaan kelak.

Secara kesimpulannya, tugasan kali ini telah memberikan pelbagai manfaat

dan pengetahuan kepada saya berkenaan dengan tajuk kalkulus. Ini lebih

memudahkan saya untuk memahami dengan lebih mendalam berkenaan tajuk ini.

Sekian, terima kasih.

 

BIBLIOGRAFI

1) Buku

Ensiklopedia Matematik Jilid 6 (2005). Ampang, Selangor. Dewan

Bahasa dan Pustaka. Dawana Sdn.Bhd

Koh Hock Lye dan Kuan Kee Sin(1998) Kalkulus, pencetakan dewan

nahasa dan pustaka, lot 1037. Mukim Perindustrian PKNS, Ampang.

Wong Pek Wei(2005). Matematik Tambahan SPM. Shah Alam,

Selangor. Penerbit Fajar Bakti Sdn. Bhd

2) Internet

http://www.ehow.com/how-does_4696774_credit-card-companies-use-

calculus.html diakses pada 9 Ogos 2011

http://mathed.utm.my/duniamatematik/index.php/keluaran-lepas/april- 2011/675-tahukah-anda/924-pembinaan-roller-coaster diakses pada 13 Ogos 2011

thttp://theiptekbar.blogspot.com/2011_01_01_archive.html diakses

pada 17 Ogos 2011

http://www.fsas.upm.edu.my/~yhpeng/personal/e-buku/kalkulus/

bab2.pdf diakses pada 20 Ogos 2011