kalkulus 1 - · pdf file2hadi sutrisno/p.matematika/stkip pgri bangkalan bab i pendahuluan...
TRANSCRIPT
1
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
HADI SUTRISNO
Pendidikan Matematika
STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1
2
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
BAB I
PENDAHULUAN
A. Sistem Bilangan Real
Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami
bahasan tentang sistem bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada
sistem bilangan real dan sifat-sifatnya.
Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1,
2, 3, 4, ... Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N.
Jadi,
N = {1, 2, 3, 4, …}
Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan dengan
nol, maka diperoleh bilangan cacah, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, … Himpunan
semua bilangan cacah biasa disimbolkan dengan C. Jadi,
C = { 0, 1, 2, 3, 4, …}
Jika di dalam himpunan semua bilangan cacah kita tambahkan
semua negatifnya, maka diperoleh bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1, 0,
1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z.
Jadi,
Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
Selanjutnya himpunan bilangan yang lebih besar adalah bilangan
rasional. Bilangan Rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat
ditulis b
a dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Himpunan semua
bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi,
0,,, bZbZab
aQ
Lawan dari bilangan rasional adalah bilangan irrasional. Bilangan
irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dengan b
a.
3
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Himpunan semua bilangan irrasional biasa dinotasikan dengan I.
Bilangan irrasional antara lain .,5,3,2 edan
Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatif dan nol
disebut bilangan real. Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan
R. Hubungan kelima himpunan N, C, Z, Q, dan R dapat dinyatakan
dengan N ⊂ C ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
B. Operasi Bilangan
Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x
dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian
x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi
penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut:
1. Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.
2. Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z.
3. Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz.
4. Elemen-elemen identitas:
Elemen identitas penjumlahan adalah 0 sebab x + 0 = x.
Elemen identitas perkalian adalah 1 sebab x.1 = x.
5. Invers (kebalikan):
Setiap bilangan real x mempunyai invers penjumlahan yaitu –x
yang memenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang
tidak nol mempunyai invers perkalian yaitu x
1 yang memenuhi
11
. x
x .
C. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan
relasi <, >, ≤ atau ≥. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua
bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya
4
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
merupakan interval atau gabungan interval- interval. Mengenai interval
dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih
besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = { a < x < b }.
2. Interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih
besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi
[a,b] = { a ≤ x ≤ b }.
Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.
Penulisan Interval Penulisan Himpunan Garis bilangan
(a , b) { x | a < x < b }
[a , b] { x | a x b }
(a , b] { x | a < x b }
[a , b) { x | a x < b }
(- , b) { x | x < b }
(- , b] { x | x b }
(a , ) { x | a < x }
[a , ) { x | a x }
(- , ) { x | x R }
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2.
Jawab
2x – 7 < 4x – 2
– 7 + 2 < 4x – 2x
– 5 < 2x
− 5
2< 𝑥
HP = { x | x > −5
2 }
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
5
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – x – 6 < 0.
Jawab
x2 – x – 6 < 0
x2 – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 V x = - 2
HP = { x | - 2 < x < 3 }
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2𝑥−5
𝑥−2 ≤ 1
Jawab
2𝑥 − 5
𝑥 − 2≤ 1
2𝑥 − 5
𝑥 − 2 − 1 ≤ 0
2𝑥 − 5
𝑥 − 2 –
𝑥 − 2
𝑥 − 2≤ 0
2𝑥 − 5 − (𝑥 − 2)
𝑥 − 2 ≤ 0
𝑥 − 3
𝑥 − 2 ≤ 0
𝑥 − 3
𝑥 − 2= 0
𝑥 − 3 = 0 𝑉 𝑥 − 2 ≠ 0
𝑥 = 3 𝑉 𝑥 ≠ 2
HP = { x | 2 < x < 3 }
D. Nilai Mutlak
Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus.
Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam
6
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan
nilai mutlak.
1. Definisi nilai mutlak
Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan dengan
|x| x , jika x ≥ 0
- x , jika x < 0
2. Sifat-sifat nilai mutlak
a. |a.b| = |a|.|b|
b. 𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏
c. |a + b| |a| + |b|
d. |a - b| |a| - |b|
3. Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat
digunakan teorema berikut:
a. |x| < a –a < x < a
b. |x| > a x < –a atau x > a.
Contoh 1 c.
Tentukan penyelesaian |x| < 3
Jawab
Nilai x yang memenuhi –3 < x < 3 merupakan penyelesaian
pertidaksamaan |x| < 3. Jadi, HP = { x | -3 < x < 3 }
Contoh 2
Tentukan penyelesaian |x - 2| < 3
7
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Jawab
|x - 2| < 3 –3 < x - 2 < 3
–3 + 2 < x < 3 + 2
–1 < x < 5
Jadi, HP = { x | -1 < x < 5 }
Contoh 3
Tentukan penyelesaian |3x - 5| 1
Jawab
|3x - 5| 1 3x – 5 ≤ –1 V 3x – 5 ≥ 1
3x ≤ 4 V 3x ≥ 6
x ≤ 4
2 V x ≥ 2
Jadi, HP = { x | x ≤ 4
2 V x ≥ 2}
SOAL
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan
gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan.
1. 4x – 7 < 3x – 5
2. 6x – 10 ≥ 5x – 16
3. x2 + x – 12 < 0
4. 2x2 + 7x – 15 ≥ 0
5. 𝑥−2
𝑥+4 < 2
6. 2𝑥−1
𝑥−3 ≥ 1
7. |3x + 4| < 8
8. |2 – 4x| 10
9. |4x +2| 10
10. 2 +5
𝑥 > 1
8
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
BAB II
FUNGSI
A. Definisi Fungsi
Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan
yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Perhatikan diagram panah berikut:
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain
(daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang
mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil).
Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan
kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang
atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya
domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan
real.
Contoh 1
Relasi manakah yang merupakan fungsi dari diagram panah berikut?
1
2
3
2
4
6
8
A B
9
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
a. c.
b. d.
Jawab
C dan D
Contoh 2
Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 1
𝑥−3 !
Jawab
Df = { x | x R, x 3 }
Rf = { x | x R }
Contoh 3
Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥 !
10
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Jawab
Df = { x | x 9 }
Rf = { x | x 0 }
B. Fungsi Komposisi
Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g
ditulis g o f, didefinisikan sebagai (g o f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x Dg.
Contoh 1
Jika f(x) = 2x3 dan g(x) = x + 3, tentukan (g o f)(x)!
Jawab
(g o f)(x) = g [f (x)] = f(x) + 3 = 2x3 + 3
Contoh 2
Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x2 + 2x + 5, tentukan (h o g)(x)!
Jawab
(h o g)(x) = h[g(x)] = [g(x)]2 + 2[g(x)] + 5
= (2x + 4)2 + 2(2x + 4) + 5
= 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5
= 4x2 + 20x + 29
Contoh 3
Jika g(x) = x2 - x + 3 dan (f o g)(x) = 3x2 - 3x + 4, tentukan f(x)!
Jawab
g(x) = x2 – x + 3
(f o g) (x) = 3x2 – 3x + 4
f(g(x)) = 3(x2 – x + 3) – 5
f(g(x)) = 3[g(x)] – 5
f (x) = 3x – 5
Adapun sifat-sifat fungsi komposisi sebagai berikut:
1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif.
11
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif
[f o (g o h)](x) = [(f o g) o h](x)
3. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi
identitas, yaitu I(x) = x sehingga
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
C. Fungsi Invers
Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan
daerah hasil Rf. Fungsi invers ( fungsi balikan ) f adalah f –1 jika dan
hanya jika
(f –1o f)(x) = x untuk setiap x di dalam Df dan (f –1o f)(x) = x untuk setiap x
di dalam Rf.
Contoh 1
Tentukan invers dari fungsi y = f(x) = 5x – 7
Jawab
y = 5x – 7 5x = y + 7
𝑥 = 𝑦+7
5
𝑥 = 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 + 7
5
Jadi, fungsi invers dari y = 5x – 7 adalah 𝑦 = 𝑥+7
5
Contoh 2
Tentukan invers dari fungsi 𝑦 = 3𝑥+4
2𝑥−1
Jawab
𝑦 = 3𝑥 + 4
2𝑥 − 1 𝑦 2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 4
2𝑥𝑦 − 𝑦 = 3𝑥 + 4
2𝑥𝑦 − 3𝑥 = 𝑦 + 4
12
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
𝑥(2𝑦 − 3) = 𝑦 + 4
𝑥 =𝑦 + 4
2𝑦 − 3
Jadi, fungsi invers dari 𝑦 = 3𝑥+4
2𝑥−1 adalah 𝑦 =
𝑥+4
2𝑥−3
Contoh 3
Tentukan invers dari fungsi 𝑦 = 3𝑥2 + 4
Jawab
𝑦 = 3𝑥2 + 4
3x2 = y – 4
𝑥2 = 𝑦 − 4
3
𝑥 = 𝑦 − 4
3
Jadi, fungsi invers dari 𝑦 = 3𝑥2 + 4 adalah 𝑦 = 𝑥−4
3
Soal
1. Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 3
𝑥2−2𝑥−3 !
2. Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 1
𝑥−4 !
3. Tentukan domain dan range dari fungsi 𝑓 𝑥 = 1
𝑥2 !
4. Tentukan f o g(x) dan g o f (x) dari fungsi f(x) = 3 – 4x dan g(x) = 2x3 +
2 !
5. Jika f (x) = 2x2 + 7 dan f o g (x) = 3(3 – 2x), tentukanlah g(x) !
6. Jika g(x) = 2 (x – 1) dan g o f (x) = 2x (x – 5), tentukanlah f(x) !
7. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut
13
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
a. f(x) = 2 – x2
b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
c. 𝑓 𝑥 =2
3𝑥−2
d. 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 − 6
14
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
BAB III
LIMIT FUNGSI
A. Definisi Limit
Definisi yang tepat tentang limit pertama kali diperkenalkan oleh
Cauchy. Cauchy adalah seorang mahaguru di Ecole Polytechnique,
Sarbone, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya
sangat cemerlang sehingga semua buku ajar moderen mengikuti
penjelasan kalkulus yang terperinci oleh Cauchy.
Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel
pada suatu bilangan real. Notasi limit adalah
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
dijabarkan sebagai "limit fungsi f(x) pada saat x mendekati a sama
dengan L". Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri
dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real
dari sebelah kiri yang dinotasikan lim𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 .
Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari
sebelah kanan yang dinotasikan lim𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 .
B. Limit Fungsi Aljabar
Beberapa cara dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:
1. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung
Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan
cara substitusi langsung seperti contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan limit fungsi lim𝑥→−4(𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6)
15
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Jawab
lim𝑥→−4(𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6) = −4 3 + 4 −4 2 − 4 − 6
= - 64 + 64 – 4 – 6
= - 10
Contoh 2
Tentukan limit fungsi lim𝑥→0𝑥3+1
𝑥+1
Jawab
lim𝑥→0𝑥3+1
𝑥+1=
03+1
0+1
= 1
1= 1
2. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu
Jika dengan cara substitusi langsung pada lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
diperoleh bentuk 0
0 (bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran terlebih
dahulu terhadap f(x) dan g(x). Kemudian, sederhanakan ke bentuk
paling sederhana.
Contoh 1
Tentukan limit fungsi lim𝑥→2𝑥2−4
𝑥−2
Jawab
lim𝑥→2𝑥2−4
𝑥−2= lim𝑥→2
𝑥+2 (𝑥−2)
𝑥−2
= lim𝑥→2(𝑥 + 2)
= 2 + 2
= 4
16
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Contoh 2
Tentukan limit fungsi lim𝑥→−3𝑥+3
𝑥+3
Jawab
lim𝑥→−3𝑥+3
𝑥+3 = lim𝑥→−3
𝑥+3 𝑥+3
𝑥+3
= lim𝑥→−3 𝑥 + 3
= −3 + 3
= 0
= 0
Contoh 3
Tentukan limit fungsi lim𝑥→03𝑥2+3
2𝑥2−8𝑥
Jawab
lim𝑥→03𝑥2+3
2𝑥2−8𝑥= lim𝑥→0
3𝑥(𝑥+1)
2𝑥(𝑥−4)
= lim𝑥→03(𝑥+1)
2(𝑥−4)
= 3(0+1)
2(0−4)
=3
−8
=−3
8
3. Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan
Jika pada lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) diperoleh bentuk tak tentu
0
0 untuk x = a
dan sulit untuk memfaktorkan f(x) dan g(x), lakukan perkalian dengan
faktor sekawan dari g(x) atau f(x). Agar lebih jelas, pelajari contoh
berikut.
17
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Contoh 1
Tentukan limit fungsi lim𝑥→03− 9−9𝑥
3𝑥
Jawab
lim𝑥→03− 9−9𝑥
3𝑥= lim𝑥→0
3− 9−9𝑥
3𝑥.
3+ 9−9𝑥
3+ 9−9𝑥
= lim𝑥→09−(9−9𝑥)
3𝑥 (3+ 9−9𝑥)
= lim𝑥→09𝑥
3𝑥 (3+ 9−9𝑥)
= lim𝑥→03
(3+ 9−9𝑥)
= 3
3+ 9−9.0
= 3
3+ 9
= 3
3+3
=1
2
Contoh 2
Tentukan limit fungsi lim𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1
2𝑥−1− 𝑥
Jawab
lim𝑥→1 3𝑥−1− 𝑥+1
2𝑥−1− 𝑥= lim𝑥→1
3𝑥−1− 𝑥+1
2𝑥−1− 𝑥 .
3𝑥−1 + 𝑥+1
3𝑥−1 + 𝑥+1 .
2𝑥−1 + 𝑥
2𝑥−1 + 𝑥
= lim𝑥→12𝑥−2
𝑥−1 .
2𝑥−1 + 𝑥
3𝑥−1 + 𝑥+1
= lim𝑥→12(𝑥−1)
𝑥−1 .
2𝑥−1 + 𝑥
3𝑥−1 + 𝑥+1
= lim𝑥→12 2𝑥−1 + 𝑥
3𝑥−1 + 𝑥+1
= 2 2.1−1 + 1
3.1−1 + 1+1 =
2 2−1 + 1
3−1 + 2 =
2.2
2 2 =
2
2
18
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
C. Limit Tak Hingga
Lambang (dibaca: tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai
bilangan yang semakin besar. Jadi, bukan merupakan lambang
bilangan dan tidak dapat dioperasikan secara aljabar sehingga tidak
benar – = 0 atau
= 1.
Beberapa cara menyelesaikan limit tak hingga antara lain dengan
membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan sekawan.
1. Menentukan Limit dengan Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Contoh 1
Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞6𝑥 + 1
2𝑥 + 10
Jawab
lim𝑥→∞6𝑥+1
2𝑥+10= lim𝑥→∞
6𝑥 + 1
𝑥2𝑥 + 10
𝑥
= lim𝑥→∞
6 + 1
𝑥
2 + 10
𝑥
= 6 +
1
∞
2 + 10
∞
= 6 + 0
2 + 0
= 3
Contoh 2
Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞8𝑥 + 100
3𝑥2−5𝑥 + 10
Jawab
19
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
lim𝑥→∞8𝑥 + 100
3𝑥2−5𝑥 + 10= lim𝑥→∞
8𝑥 + 100
𝑥2
3𝑥2−5𝑥 + 10
𝑥2
= lim𝑥→∞
8
𝑥+
100
𝑥2
3 −5
𝑥 +
10
𝑥2
=
8
∞+
100
∞ 2
3 −5
∞ +
10
∞ 2
= 0 + 0
3 − 0 + 0
= 0
3 = 0
Contoh 3
Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞𝑥
𝑥2− 𝑥−1
Jawab
lim𝑥→∞𝑥
𝑥2− 𝑥−1= lim𝑥→∞
𝑥
𝑥2
𝑥2− 𝑥−1
𝑥2
= lim𝑥→∞
𝑥
𝑥
1 − 1
𝑥−
1
𝑥2
= lim𝑥→∞1
1 − 1
𝑥−
1
𝑥2
= 1
1 − 1
∞−
1
∞ 2
= 1
1 − 0− 0
= 1
1 = 1
20
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
2. Menentukan Limit dengan Mengalikan dengan Sekawan
Contoh 1
Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞( 𝑥 + 1 − 𝑥)
Jawab
lim𝑥→∞( 𝑥 + 1 − 𝑥) = lim𝑥→∞ 𝑥 + 1 − 𝑥 . 𝑥+1+ 𝑥
𝑥+1+ 𝑥
= lim𝑥→∞ ( 𝑥+1)2 –( 𝑥)2
𝑥+1+ 𝑥
= lim𝑥→∞1
𝑥+1+ 𝑥
= lim𝑥→∞
1
𝑥
𝑥+1
𝑥+
𝑥
𝑥
= lim𝑥→∞
1
𝑥
1+1
𝑥+ 1
=
1
∞
1+1
∞+ 1
= 0
1+0+ 1 =
0
2 = 0
Contoh 2
Tentukan limit fungsi lim𝑥→∞( 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 1)
Jawab
lim𝑥→∞( 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 1) =
lim𝑥→∞( 𝑥2 − 1 − 𝑥2 + 1).( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)
( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)
= lim𝑥→∞ 𝑥2−1
2− 𝑥2+1
2
( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)
21
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
= lim𝑥→∞ 𝑥2−1 − 𝑥2+1
( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)
= lim𝑥→∞𝑥2−1−𝑥2−1
( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)
= lim𝑥→∞−2
( 𝑥2−1+ 𝑥2+1)
= lim𝑥→∞
−2
𝑥2
𝑥2
𝑥2−1
𝑥2+ 𝑥2
𝑥2+1
𝑥2
= lim𝑥→∞
−2
𝑥
1−1
𝑥2+ 1+1
𝑥2
= −2
∞
1−1
∞ 2+ 1+1
∞ 2
= 0
1−0+ 1+0 =
0
1+1 = 0
D. Limit Fungsi Trigonometri
Pada Subbab sebelumnya telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali ini
akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini dengan
mempelajari sifat berikut.
1. lim𝑥→0 sin 𝑥 = sin 0 = 0
2. lim𝑥→𝜋 cos 𝑥 = cos 𝜋 = −1
3. lim𝑡→0sin 𝑡
𝑡= 1
4. lim𝑡→0𝑡
sin 𝑡= 1
5. lim𝑡→0tan 𝑡
𝑡= 1
6. lim𝑡→0𝑡
tan 𝑡= 1
22
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri, pelajari
cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut. Dalam beberapa hal,
cara menghitung limit fungsi trigonometri sama dengan cara menghitung
limit fungsi aljabar. Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab
sebelumnya berlaku juga untuk limit fungsi trigonometri.
Contoh 1
Tentukan limit fungsi lim𝑥→02𝑥
sin 2𝑥
Jawab
lim𝑥→02𝑥
sin 2𝑥= 1
Contoh 2
Tentukan limit fungsi lim𝑥→05𝑥−sin 𝑥
𝑥
Jawab
lim𝑥→05𝑥−sin 𝑥
𝑥= lim𝑥→0
5𝑥
𝑥− lim𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= lim𝑥→0 5 − lim𝑥→0sin 𝑥
𝑥
= 5 – 1 = 4
Contoh 3
Tentukan limit fungsi lim𝑥→0sin 3𝑥
tan 2𝑥
Jawab
lim𝑥→0sin 3𝑥
tan 2𝑥= lim𝑥→0
sin 3𝑥
tan 2𝑥.
2𝑥
3𝑥.
3
2
= lim𝑥→02𝑥
tan 2𝑥.
sin 3𝑥
3𝑥.
3
2
= 3
2 . lim
𝑥→0
2𝑥
tan 2𝑥.
sin 3𝑥
3𝑥
= 3
2 .1 .1 =
3
2
23
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
Soal
Tentukan limit fungsi berikut
1. lim𝑥→1𝑥−1
𝑥−1
2. lim𝑥→22− 𝑥+2
𝑥−2
3. lim𝑥→∞𝑥
𝑥2−2𝑥−1
4. lim𝑥→∞ 3𝑥2−2𝑥+1
𝑥+100
5. lim𝑥→∞ 4𝑥+2 2
4𝑥2+9
6. lim𝑥→∞ 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1
7. lim𝑥→03𝑥
sin 5𝑥
8. lim𝑥→𝜋
4
2(sin 𝑥−cos 𝑥)
1−sin 2𝑥
24
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
BAB IV
TURUNAN (DIFERENSIAL)
A. Definisi Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi f’ yang nilainya pada sebarang
bilangan c adalah 𝑓 ′ 𝑥 = lim→0 𝑓 𝑐+ − 𝑓(𝑐)
jika limitnya ada. Notasi
turunan menggunakan f’ atau 𝑑𝑦
𝑑𝑥.
B. Teorema-Teorema Turunan
1. 𝑦 = 𝑘 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 dengan k konstanta
2. 𝑦 = 𝑥 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1
3. 𝑦 = 𝑥𝑛 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1 dengan n bilangan rasional
4. 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑎. 𝑛𝑥𝑛−1 dengan n bilangan rasional
5. 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 + ′ 𝑥
6. 𝑦 = 𝑢. 𝑣 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑢′ . 𝑣 + 𝑣′ . 𝑢
7. 𝑦 = 𝑢
𝑣 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑢 ′ .𝑣−𝑣′ .𝑢
𝑣2
8. 𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦′ = cos 𝑥
9. 𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥
10. 𝑦 = tg 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥
11. 𝑦 = cotg 𝑥 → 𝑦′ = −cosec2 𝑥
12. 𝑦 = sin (𝑥) → 𝑦′ = cos 𝑥 . ′ (𝑥)
13. 𝑦 = cos (𝑥) → 𝑦′ = −sin 𝑥 . ′(𝑥)
14. 𝑦 = tg (𝑥) → 𝑦′ = sec2 𝑥 . ′(𝑥)
15. 𝑦 = cotg (𝑥) → 𝑦′ = −cosec2 𝑥 . ′(𝑥)
16. 𝑦 = ln 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)
17. 𝑦 = 𝑒𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑓 𝑥 . 𝑓 ′ (𝑥)
25
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
18. 𝑦 = arc sin 𝑥 → 𝑦′ =1
1−𝑥2
19. 𝑦 = arc tg 𝑥 → 𝑦′ =1
1+𝑥2
C. Turunan Tingkat Dua dan Turunan Tingkat Tiga
𝑦 → 𝑦′ → 𝑦′′ → 𝑦′′′
Atau
𝑦 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥 →
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 →
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
Contoh 1
𝑦 = cos 𝑥 , tentukan 8y’’’ + 4y’’ + 2y’ + y
Jawab
𝑦 = cos 𝑥
𝑦′ = − sin 𝑥
𝑦′′ = − cos 𝑥
𝑦′′′ = − − sin 𝑥 = sin 𝑥
8y’’’ + 4y’’ + 2y’ + y = 8 sin x + 4 (-cos x) + 2 (-sin x) + cos x
= 8 sin x - 4 cos x - 2 sin x + cos x
= 6 sin x - 3 cos x
SOAL
Tentukan turunan fungsi berikut
1. 𝑦 = 3 2𝑥 − 3𝑥
2. 𝑦 = 𝑥
9+
9
𝑥
3. 𝑦 = 𝑥4 𝑥 − 5
4. 𝑦 = 2 + 3𝑥2 9
5. 𝑦 = 5 + 2𝑥 3 + 2𝑥 + 1
26
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
6. 𝑦 = tg 𝑥3 − 5𝑥
7. 𝑦 = 𝑥2 sin 𝑥
8. 𝑦 = 4𝑥3 cos −6𝑥
9. 𝑦 =𝑥3
4𝑥+1
10. 𝑦 =𝑥3
𝑥2+5
27
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
BAB V
APLIKASI TURUNAN
A. Persamaan Garis Singgung
Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva
y = f(x) di titik A [a, f(a)] adalah m. Persamaan garis lurus yang melalui
titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah
y – y1 = m(x – x1)
Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A [a, f(a)] pada
kurva adalah
y – f(a) = f '(a)(x – a)
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4)
Jawab
f(x) = x2 f ’ (x) = 2x
m = f ’ (-2) = 2(-2) = -4
persamaan garis singgungnya adalah
y – f(a) = f '(a)(x – a)
y – 4 = f '(-2)(x – (-2))
y – 4 = (-4)(x + 2)
y – 4 = -4x - 8
y = -4x – 8 + 4
y = -4x – 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -4x – 4
B. Nilai Ekstrem atau Nilai Puncak
Fungsi f dengan domain D yang memuat titik a dikatakan bahwa
1. f(a) adalah nilai maksimum fungsi f jika f(a) > f(x) untuk semua x dalam
D syarat nilai maksimum adalah f’(a) = 0 dan f’’(a) < 0
28
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
2. f(a) adalah nilai minimum fungsi f jika f(a) < f(x) untuk semua x dalam
D syarat nilai minimum adalah f’(a) = 0 dan f’’(a) > 0
Contoh 1
Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva y = 2x2 - x
Jawab
y = 2x2 – x
y’ = 4x – 1
4x – 1 = 0
𝑥 = 1
4 y = 2x2 – x
y = 2 1
4 2 -
1
4
y = 2
16 -
1
4 =
1
8 -
1
4 = - -
1
8
y’ = 4x – 1
y’’ = 4 (y’’ > 0) nilai minimum
Jadi, titik puncak adalah 1
4, −
1
8 dan merupakan titik maksimum
SOAL
1. Tentukan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut
a. f(x) = x2 – 3x – 7 di x = 4
b. f(x) = 1 − 1
2𝑥2 di titik (2,–1)
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 3x yang sejajar garis
y = x.
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x + 5 yang tegak
lurus y = –2x + 3.
4. Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva f(x) = x3 – 6x2 + 9x
5. Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume
8.000 cm3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang
digunakan seminimal mungkin.
29
Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
6. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan
tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.
7. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi x unit
barang jenis A sebesar 2x3 – 4.000x2 + 6.000.000x rupiah per hari. Jika
barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi
agar biaya produksi per unitnya minimum.