4. Sebaran Peluang Kontinyu

EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

Isi

1. Sebaran normal/Gauss2. Luas daerah di bawah kurva normal3. Hampiran normal untuk sebaran binomial4. Sebaran Gamma, Eksponensial, dan Chi-

kuadrat5. Sebaran Weibull

4.1 Sebaran Normal/Gauss

Pendahuluan Sebaran normal adalah sebaran paling

penting dalam Statistika. 1733, DeMoivre mengembangkan ekspresi

matematika untuk kurva normal. Gauss (1777-1855) menurunkan persamaan

normal ketika mempelajari kesalahan darieksperimen berulang.

Sebaran normal n(x; , ) dari peubah acakX bergantung pada mean dan variansi .

Konsep SEBARAN NORMAL. Fungsi kerapatan (peluang) dari peubah acak normal X,

dengan mean dan variansi 2, adalah

dimana =3.14159 dan e=2.71828 ( )

2

21

21,;

=

x

exn

%----------------------------------------------------%Fig.4.1: Gaussian Curve n(x,mu,sigma)% mean=0.0 and sigma=1%----------------------------------------------------mu=0.0;sigma=1.0x=-10:0.1:10;g=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^2/sigma^2);figure(1); plot(x,g);

%------------------------------------------------------%Fig.4.2: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1=-2.0, mu2=2.0 and sigma=1%------------------------------------------------------mu1=-2;mu2=4;sigma=1.0x=-10:0.1:10;g1=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu1).^2/sigma^2);g2=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu2).^2/sigma^2);figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g2,'b:');

-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0 .0 5

0 .1

0 .1 5

0 .2

0 .2 5

0 .3

0 .3 5

0 .4

1 2

1

2= 1

-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0 .0 5

0 .1

0 .1 5

0 .2

0 .2 5

0 .3

0 .3 5

0 .4

Kurva normal dng berbagai dan

%------------------------------------------------------%Fig.4.3: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1=mu2=0.0 and sigma1

1

2>

1

1

Sifat-sifat kurva normal1. Modus, yaitu titik dalam sumbu mendatar dimana

kurva mencapai maksimum adalah x = 2. Kurva simetrik terhadap mean 3. Kurva memiliki titik infleksi pada x = , yaitu

telungkup (concave) kebawah saat -

Bukti adalah mean

Integral pertama adalah dikalikan dng luas daerah dibawah kurvanormal (=1), dng demikian hasilnya adalah

Integral kedua adalah integral terhadap fungsi ganjil, hasilnya akansama dengan nol.

Dengan demikian: E(X) =

( ) dxxeXE x

=2

21

21

Dng membuat z=(x-)/ dan dx = dz, maka akan kita peroleh

( ) ( )

+=

+=

dzzedze

dzezXE

zz

z

22

2

22

2

221

21

Bukti 2 adalah variansi

Integrasi perbagian dng u=z dan dv= z exp(-z2/2), sehinggadu=dz dan v=-exp(-z2/2) , diperoleh

( )[ ] ( ) dxexXE x

=2

21

22

21

Dng membuat z=(x-)/ => (x-)2=z22 dan dx = dz, maka

( )[ ]

= dzezXEz22

22

2

2

( )[ ]( ) 22

222

2

10

2

22

=+=

+=

dzezeXE

zz

Luas daerah di bawahkurva normal

Integrasi fs sebaran dan Nilai Peluang Setiap kurva dari sebaran peluang kontinyu atau fungsi kerapatan dibuat

sedemikian hingga daerah dibawah kurva yang dibatasi dua ordinatnya, x=x1 dan x=x2, sama dengan nilai peluang dari peubah acak X antarax=x1 dan x=x2. Dng demikian, untuk gambar 4.5 dibawah:

( ) ( ) dxedxxnxXxP xx

xx

x

==

Luas ditentukan oleh dan 2 Gambar 4.6 menunjukkan, untuk selang x1 dan x2 yang

sama, luas daerah dibawah kurva bisa berlainan. Nilainyabergantung juga pada dan 2.

1 x1 x2x

2Gambar 4.6

Transformasi peubah acak Untuk beberapa keperluan, perlu dilakukan tabulasi nilai peluang

sebaran normal dalam selang tertentu. Ini tidak mungkin dilakukanuntuk semua kombinasi dan 2.

Untunglah kita bisa melakukan transformasi sebarang observasi normal ke sebaran baku yang memiliki mean nol dan variansi satul.

Tranformasi yang dipakai: Z=(X-)/ Jika X memiliki nilai batas x1 dan x2, maka luas daerah antar batas tsb

akan sama dengan luas dibawah kurva normal baku yang memiliki batasz1=(x1-)/ dan z2=(x2-)/. Akibatnya:

( )

( ) ( )21

2

2

21

21

2

1

2

1

22

1

1,0;

21

21

zZzPdzzn

dzedxexXxP

z

z

z

z

zx

x

x

Sebaran Normal Baku Def. 4.1. Sebaran dari peubah acak normal dengan

mean nol dan variansi 1 disebut sebagai sebarannormal baku

x1 x2x

0z1 z2z

Z = (X- )/ =1

Dalam buku teks, sebaran normal baku diberikanpada Tabel IV di lampiran.

z- n(z;0,1)dz

Contoh 4.1 Soal: Diberikan suatu sebaran normal dengan =50 dan=10, tentukan peluang X bernilai antara 45 dan 62 Jawab: nilai z yang terkait dengan x1=45 dan x2= 62 adalah

z1 = (45-50)/10 = -0.5z2 = (62-50)/10 = 1.2

Dengan demikianP(45

Sebaran normal baku dan T. Chebysev T. Chebysev mengatakan bahwa peluang suatu peubah

acak berada dalam 2 simpangan baku, sedikitnya . Untuk sebaran normal baku, z untuk x1=-2 danx2=+2 dapat dihitung sbb

z1 = [(-2)-]/ = -2, danz2 = [(+2)-]/ = 2, dan

Dengan demikian,P(-2

Contoh 4.2 Soal: Sejenis batere tertentu rata-rata akan habis listriknya

dalam 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5 tahun. Jika waktuhidup batere tersebar normal, tentukan peluang bahwa suatubatere tertentu akan habis listriknya dalam 2.3 tahun!

Jawab: Peluang yang dimaksud dilukiskan pada gambar 4.9. Untuk menentukan P(X

Contoh 4.3 Soal: Sebuah pabrik memproduksi bola lampu yng memiliki waktu

hidup tersebar normal dengan mean 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Tentukan peluang suatu bola lampu produksi pabrik tsb terletakantara 778 dan 834 jam.

Jawab: Sebaran spt dilukiskan pada Gb.4.10. nilai z untuk x1=778 danx2=834 adalah

z1 = (778-800)/40 = -0.55z2 = (834-800)/40 = 0.85

Dengan demikianP(778

Contoh 4.4 Soal: Suatu jenis komponen akan direject jika berada

diluar persyaratan 1.50d. Hasil pengukuran tersebarnormal dengan mean 1.50 dan simpangan baku 0.2. Tentukan nilai d sehingga spesifikasi ini meliput 95% pengukuran.

Jawab: Dalam soal ini akan ditentukan nilai z sehinggaprosentase terpenuhi, lalu kembalikan menjadi x denganrumus x=z+. Dari Tabel IV diperolah

0.95 = P(-1.96

Contoh 4.5 Soal: Suatu mesin pembuat resistor dengan sebaran

normal. Mean dari resistor 40 ohm dan simpanganbakunya 2 ohm. Akurasi bisa berapapun, tentukanprosentase resistor yang melebihi 43 ohm

Jawab: Prosentasi ditentukan dengan mengalikan frekuensidengan 100%. Kita akan menghitung nilai peluangdisebelah kanan 43 pd gambar 4.12. Ini bisa dilihat padaTabel IV setelah dihitung z-nya, yaitu

z = (43-40)/2 = 1.5Dengan demikian

P(X>43) = P(Z>1.5) = 1-P(Z

Contoh 4.6 Soal: Tentukan prosentase dari resistor spt pada soal sebelumnya yang

melebihi 43 ohm jika resistansi diukur pada nilai ohm terdekat. Jawab: Soal ini sedikit berbeda dari sebelumnya, nilai 43 ohm di-

assign untuk semua resistor yng terletak dalam selang 42.5 43.5. Jadi, kita menghitung nilai aproksimasi sebaran diskrit deng sebarannormal yang kontinyu. Dari gambar 4.13 dpt dihitung

z = (43.5 - 40)/2 =1.75jadi P(X>43.5) = P(Z>1.75) = 1 P(Z

4.3 Hampiran sebaran binomial dengan sebaran normal

Hampiran sebaran Nilai b(x;n,p) telah ditabulasi untuk n kecil. Jika

tdk ada di tabel, kita harus menghitung sendiri. Inibisa dilakukan secara hampiran.

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa sebaranPoisson dapat dipakai sebagai hampiran sebaranbinomial jika n besar dan p mendekati 1. Kedua-duanya sebaran diskrit.

Akan diperlihatkan bahwa sebaran normal dapatmenjadi hampiran yang cukup teliti untuk sebaranbinomial, jika n besar dan p mendekati .

Teorema Teorema 4.1 Jika X suatu peubah acak binomial

dengan mean =np dan variansi 2=npq, makabatas dari sebaran

ketika n adalah sebaran normal n(z;0,1)npq

npXZ =

Contoh Tinjau sebaran binomial b(x;15,0.4). Untuk x=4, kita dapatkan b(4;15,0.4)=0.1268 Nilai tsb didekati dng kurva dibawah kurva normal dng

batas antara x1=3.5 sampai dengan x2=4.5 z1=(3.5-6)/1.9 = -1.316

z2=(4.5-6)/1.9 = -0.789Jika X peubah acak binomial dan Z peubah acak normal, maka

P(X=4) = b(4;5, 0.4)~ P(-1.316

Contoh Pendekatan ini sangat berguna untuk menghitung jumlah binomial

untuk n besar. Andaikan kita akan menghitung peluang X bernilaiantara 7 dan 9 (inklusif) dari soal sebelumnya, maka

P(7 X 9) = 97 b(x;15,0.4)= 90 b(x;15,0.4) - 60 b(x;15,0.4)= 0.9662 0.6098 = 0.03564

Dengan pendekatan normal, kita akan hitung luas daerah dibawahkurva normal dengan batas antara x1=6.5 sampai dengan x2=9.5. Nilaiz1, z2 ybs adalah

z1 = (6.5-6)/1.9 = 0.263; z2= (9.5-6)/1.9 =1.842P(7 X 9) ~ P(0.263 Z 1.842)

= P(Z

Latihan No: 2, 3 No: 15, 16

4.4 Sebaran Gamma, Eksponensial, dan Chi-kuadrat

Fungsi Gamma Teorema 4.2 Fungsi gamma didefinisikan sebagai

dimana >0.( ) =

0

1 dxex x

substitusi dengan u=x-1 dan dv=e-xdx, kemudian integrasi parsial, akan menghasilkan

() = -e-xx-1|0 + 0e-x(-1)x-2 dx= (-1) 0e-xx-2 dx

Kita peroleh rumus rekursi() = (-1)(-1) = (-1) (-2)(-2) = dst.

Untuk =n bulat positif, maka: (n) = (n-1)(n-2) (1). Perdefinisi (1) = 0e-xdx =1. Dengan demikian, maka

(n) = (n-1)! Salah satu sifat fungsi gamma yang penting adalah (1/2) =

Sebaran Gamma SEBARAN GAMMA. Peubah acak kontinyu X memiliki sebaran

gamma dengan parameter dan , jika fungsi kerapatannya diberikanoleh

dimana >0 dan >0.

( ) ( )lainnya

xexxfx

,0

0,1 1

=>=

Grafik sebaran gamma. Jika =1, sebaran menjadi eksponensial.

f(x)

1 2 3 4 5 6 7

0.5

1

x

=1, =1

=2, =1=4, =1

Sebaran eksponensial SEBARAN EKSPONENSIAL. Peubah acak kontinyu X

akan memiliki sebaran eksponensial dengan parameter jikafungsi kerapatannya diberikan oleh

dimana >0.

( )lainnya

xexfx

,0

0,1

=>=

Sebaran eksponensial memiliki banyak aplikasi dalamstatistik, khususnya menyangkut teori keandalan (reliability) dan teori antrian ( queueing theory).

Contoh 4.10 Soal: Suatu sistem mengandung komponen tertentu yang waktu

kegagalannya (dalam tahun) diberikan oleh peubah acak T yang memiliki sebaran eksponensial dengan parameter =5. Jika 5 dari komponen ini dipasang pada berbagai sistem, berapapeluang 2 diantaranya tetap berfungsi setelah 8 tahun?

Jawab: Peluang suatu komponen tetap berfungsi setelah 8 tahundiberikan oleh

P(T>8) = (1/5)8 e-t/5 dt= e-8/5 ~0.2

Andaikan X menyatakan jumlah komponen yang masihberfungsi stlh 8 tahun. Maka dengan sebaran binomial

P(X 2) = 25 b(x;5,0.2) = 1- 01 b(x;5,0.2)=1-0.7373 = 0.2627

Sebaran Chi-kuadrat Kasus khusus kedua untuk sebaran gamma diperoleh ketika

=v/2, dan =2. Sebaran yang dihasilkan disebut sebaranchi-kuadrat dengan derajat bebas v.

SEBARAN CHI-KUADRAT. Peubah acak kontinyu X memiliki sebaran peluang chi-kuadrat, dengan derajat bebas v, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh

dimana v bilangan bulat positif.

( )

lainnya

xexv

xfxv

v

,0

0,

22

1 2122

=

>

=

Sebaran Chi-kuadrat adalah salah satu perangkat pentingdalam bidang pengujian hipotesis.

Mean dan variansi TEOREMA 4.2 Mean dan variansi dari sebaran

gamma adalah = dan 2 = 2

COROLLARY 1. Mean dan variansi dari sebaraneksponensial adalah

= dan 2=2

COROLLARY 2. Mean dan variansi dari sebaranchi-kuadrat adalah

=v dan 2=2v

4.5 Sebaran Weibull

Pengantar Teknologi modern memungkinkan dibuatnya

sistem/perangkat yang operasi maupun keselamatannyatergantung dari berbagai komponen.

Contoh: sekering dpt terbakar, kolom beton dapat roboh, atau pengindera panas dapat gagal.

Komponen yang sama dalam pengaruh lingkungan samadapat mengalami kegagalan dlm waktu berbeda dan takteramalkan.

Waktu kegagalan atau waktu hidup komponen diukur darisaat mula tertentu sampai gagal dinyatakan dengan peubahacak T dan fungsi rapat peluang f(T). Salah satu yang terpenting dalam permasalahan keandalan adalah sebaranWeibull.

Sebaran Weibull SEBARAN WEIBULL. Peubah acak kontinyu T disebut memiliki

sebaran Weibull dengan parameter dan , jika fungsi kerapatanpeluangnya diberikan oleh

dimana >0 dan >0.

( )lainnyatettf t

,00,1

=>=

f(t)

0.5 1.0 1.5t

=1

=2 =3

Sebaran Weibull (=1)

Mean dan variansi Terlihat kurva berbeda-beda untuk parameter yang

berlainan, khususnya . Jika =1, sebaran Weibullmenjadi sebaran eksponensial.

Untuk >1, kurva mendekati bentuk lonceng danmirip kurva normal, tapi punya skewness.

TEOREMA 4.3 Mean dan variansi dari sebaranWeibull adalah:

= -1/(1+1/)2 = -2/{(1+2/) [(1+1/)]2 }

Aplikasi Untuk menerapkan sebaran Weibull dalam teori keandalan,

definisikan keandalan dari produk sebagai peluang bahwaproduk ini berfungsi secara benar untuk sedikitnya dalamwaktu tertentu dalam kondisi percobaan tertentu pula.

Jadi, jika R(t) keandalan komponen pada saat t, makaR(t) = P(T>t) = 1 f(t) dt

= 1-F(t)dimana F(t) adalah sebaran kumulatif dari T.

Peluang bersyarat bahwa suatu komponen akan gagaldalam selang T=t sampai T= t + t, diberikan komponenini tahan sampai t, adalah

[F(t+t) F(t)] / R(t)

Lanjutan Laju kegagalan adalah

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )tF

tftRtf

tRtF

tRttFttFtZ

t

=

==+=

1

'1lim0

Karena R(t) = 1-F(t) dan R(t) = -F(t), kita dapat menuliskanpersamaan diferensial berikut

Z(t) = -R(t)/R(t) = -d[ln R(t)]/dtdan kemudian dengan memecahkan

ln[R(t)] = - Z(t) dt , atauR(t) = exp(-Z(t)dt) + c

dimana c menyatakan asumsi awal R(0) =1 atau F(0) = 1-R(0) =0. Terlihat bahwa pengetahuan fungsi kerapatan f(t) atau laju

kegagalan Z(t) saling menentukan.

Contoh 4.11 Soal: Tunjukkan bahwa fungsi laju kegagalan diberikan oleh

Z(t) = t-1 , t>0jika dan hanya jika sebaran waktu ke kegagalan adalah sebaranWeibull dengan fungsi kerapatan

f(t) = t-1 exp(-t), t>0 Jawab: asumsikan bahwa Z(t) = t-1, t>0. Maka kita dapat

menuliskanf(t) = Z(t) R(t), dimanaR(t) = exp(-Z(t)dt) = exp(-t-1dt) = exp(t +c)

dari kondisi R(0) = 1, kita temukan c=0. MakaR(t) = exp(-t) danf(t) = t-1 exp(-t), t>0

Lanjutan Dengan mengasumsikan

f(t) = t-1 exp(-t), t>0maka Z(t) ditentukan dengan menuliskan

Z(t) = f(t)/R(t)dimana

R(t) = 1-F(t) = 1-0t x-1 exp(-x)dx,= 1+0t d(exp(-x))= exp (-t)

MakaZ(t) = t-1 exp(-t)/exp(-t)

= t-1 , t>0 Dlm contoh ini, laju kegagalan menurun thd waktu jika 1, dan konstan jika =1. Dari sudut pandang =1 sebaran Weibull menjadi eksponensial,

asumsi kegagalan konstan sering diacu sebagai asumsi eksponensial.

Selesai

4. Sebaran Peluang KontinyuIsi4.1 Sebaran Normal/GaussPendahuluanKonsepKurva normal dng berbagai dan Sifat-sifat kurva normalBukti adalah meanBukti 2 adalah variansiLuas daerah di bawah kurva normalIntegrasi fs sebaran dan Nilai PeluangLuas ditentukan oleh dan 2Transformasi peubah acakSebaran Normal BakuContoh 4.1Sebaran normal baku dan T. ChebysevContoh 4.2Contoh 4.3Contoh 4.4Contoh 4.5Contoh 4.64.3 Hampiran sebaran binomial dengan sebaran normalHampiran sebaranTeoremaContohContoh Latihan4.4 Sebaran Gamma, Eksponensial, dan Chi-kuadratFungsi GammaSebaran GammaSebaran eksponensialContoh 4.10Sebaran Chi-kuadratMean dan variansi4.5 Sebaran WeibullPengantarSebaran WeibullMean dan variansiAplikasiLanjutan Contoh 4.11Lanjutan Selesai