1

I. PENDAHULUAN

1.2 Latar Belakang dan Masalah

Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis

aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun 1800.

Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas disebut aljabar klasikal,

sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas (hingga sekarang) disebut

aljabar modern atau aljabar abstrak (struktur aljabar).

Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol yang dimaksud

selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalnya bilangan bulat,

bilangan real, atau bilangan kompleks. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah

menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu permasalahan

polinom dan untuk memecahkan suatu persoalan tentang beberapa problema

ilmiah, teknik, dan ilmu pengetahuan sosial .

(Wahyudin , 1989)

Rubik’s Cube merupakan sebuah alat permainan yang berbentuk kubus besar yang

tersusun dari 27 kubus kecil dengan masing-masing sisinya memiliki warna yang

berbeda yaitu merah, kuning, hijau, putih, biru dan oranye. Cara memainkan alat

2

ini adalah dengan cara kita diharuskan menyusun sedemikian rupa sehingga setiap

sisi dari kubus besar terdiri dari kubus kecil dengan warna sisi yang sama.

Rubik’s Cube ditemukan oleh pemahat dan arsitek dari Hongaria bernama

Profesor Erno Rubik, dan dalam perkembangannya Rubik’s Cube terus mengalami

perubahan dan penyempurnaan. Douglas Hofstadter adalah orang yang pertama

kali mengenalkan Rubik’s Cube dalam aljabar abstrak pada bulan Maret tahun

1981. Kemudian penjabaran tentang Rubik’s Cube mulai banyak ditemui dalam

beberapa buku, seperti Inside Rubik’s Cube and Beyond karangan Christoph

Bandelow.

(Darmawan, 2010)

Pada penelitian ini akan dibahas tentang konstruksi Rubik’s Cube ke dalam

bentuk grup.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuktikan bahwa himpunan sebarang

gerakan M pada Rubik’s Cube dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk grup.

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memahami sifat-sifat grup dan aksi grup.

2. Mengenalkan Rubik’s Cube dan hubungannya dalam dunia Aljabar Abstrak.

3. Memberikan motivasi bagi pembaca dan peneliti untuk mengkaji lebih dalam

permasalahan yang berhubungan dengan struktur aljabar.

3

II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup dan subgrup yang

akan digunakan dalam hasil dan pembahasan.

2.1 Grup

Sebelum definisi grup disajikan, di bawah ini diberikan definisi operasi biner ∗ .

Definisi 2.1.1 Operasi Biner

Operasi biner ∗ pada suatu himpunan S adalah suatu aturan yang memasangkan

setiap pasangan terurut (𝑎,𝑏) dengan 𝑎,𝑏 ∈ S.

(Fraleigh, 1975)

Dari definisi di atas dapat diperoleh hal-hal berikut:

1. Suatu operasi biner ∗ pada S harus terdefinisikan untuk setiap pasangan

terurut (𝑎,𝑏) dengan 𝑎,𝑏 ∈ S.

2. Suatu operaasi biner ∗ pada S harus memasangkan setiap pasangan terurut

(𝑎,𝑏), 𝑎,𝑏 ∈ S dengan elemen yang juga berada di S, artinya S tertutup

terhadap operasi biner ∗.

3. Suatu operasi biner ∗ harus terdefinisi dengan tunggal (well-defined).

4

Contoh-contoh:

1. Operasi penjumlahan biasa (+) pada himpunan bilangan real adalah operasi

biner.

2. Misalkan R* = .

Penjumlahan biasa (+) bukan operasi biner pada R*, sebab 2 + (-2) = 0 bukan

elemen R*.

Setelah definisi operasi biner diberikan, selanjutnya diberikan definisi sifat-sifat

operasi biner sebagai berikut:

Definisi 2.1.2 Operasi Biner Komutatif

Operasi biner ∗ pada S dikatakan komutatif jika

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎

untuk semua 𝑎,𝑏 ∈ S.

(Fraleigh, 1975)

Definisi 2.1.3 Operasi Biner Asosiatif

Operasi biner ∗ pada S dikatakan asosiatif jika dan hanya jika

( 𝑎 ∗ 𝑏)∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐).

untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ S.

(Fraleigh, 1975)

5

Setelah definisi dan sifat-sifat operasi biner diberikan, berikut ini disajikan

definisi grup beserta dengan sifat-sifatnya.

Definisi 2.1.4 Grup

Suatu grup ⟨𝐺,∗⟩ adalah himpunan 𝐺 yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ pada

𝐺 yang memenuhi aksioma berikut:

1. Asosiatif, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku:

( 𝑎 ∗ 𝑏)∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐).

2. Terdapat elemen identitas e untuk operasi ∗ pada 𝐺 yaitu ∃ 𝑒 ∈ 𝐺

sedemikian sehingga berlaku

𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝐺.

3. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺 mempunyai invers 𝑎’, yaitu terdapat 𝑎’ ∈ 𝐺

sedemikian sehingga

𝑎 ∗ 𝑎’ = 𝑎’ ∗ 𝑎 = 𝑒.

(Herstein, 1975)

Definisi 2.1.5 Grup Komutatif (Abelian)

Grup ⟨𝐺,∗⟩ merupakan grup komutatif (abelian) jika,

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.

(Dumit & Forte, 2004)

6

Definisi 2.1.6

Misalkan himpunan G = { 𝑔1., 𝑔2, … , 𝑔n} merupakan grup terhingga dengan

𝑔1 = 1, diperoleh tabel grup dengan operasi perkalian terhadap himpunan G

merupakan suatu matriks Mnxn dengan i dan j adalah indeks pada elemen grup

𝑔i𝑔j.

(Dumit & Forte, 2004)

Teorema 2.1.7

Jika ⟨𝐺,∗⟩ grup, maka berlaku :

1. (∀ 𝑎 ∈ 𝐺) (𝑎-1)-1 = 𝑎

2. (𝑎 ∗ 𝑏)-1

= 𝑏-1 ∗ 𝑎-1

(Herstein, 1975).

Teorema 2.1.8

Jika ⟨𝐺,∗⟩ adalah sebuah grup , maka berlaku :

(i) 𝑐 ∈ 𝐺 dan c∗c = c → c = 𝑒.

(ii) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎∗ 𝑐 ⇒ 𝑏= 𝑐 dan 𝑏∗ 𝑎= 𝑐∗ 𝑎 ⇒ 𝑏= 𝑐

(kanselasi kiri dan kanan).

(iii) (∀ 𝑎 ∈ 𝐺) (𝑎-1)-1 = 𝑎.

(iv) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , maka persamaan 𝑎 x = 𝑏 dan y 𝑎 = b memiliki

penyelesaian yang unik pada G , yaitu x = 𝑎-1 𝑏 dan y = b 𝑎-1.

(Hungerford, 1974)

7

Bukti :

Jika 𝑒’ adalah elemen identitas sedemikian sehingga 𝑒 = 𝑒 𝑒’ = 𝑒’. Diperoleh,

(i) cc = c ⇒ c-1 (c c) = c-1 c

⇔ (c-1 c) c = c-1 c

⇔ 𝑒 𝑐 = 𝑒

⇔ 𝑐 = 𝑒

Dengan cara yang sama, juga diperoleh pembuktian terhadap aksioma (ii) ,

(iii) dan (iv). ∎

Definisi 2.1.9 Subgrup

Diberikan grup ⟨𝐺,∗⟩ dan himpunan 𝑆 ⊂ 𝐺

Gambar 1. 𝑆 subgrup 𝐺 (𝑆 ⊂ 𝐺)

Himpunan S disebut subgrup jika untuk operasi biner yang sama pada G yaitu ∗,

S juga merupakan grup. Jadi S subgrup dalam ⟨𝐺,∗⟩, jika:

1. Tertutup, (∀ 𝘴1, 𝘴2 ∈ 𝑆) (𝘴1 ∗ 𝘴2) ∈ 𝑆

2. Asosiatif, (∀ 𝘴1, 𝘴2, 𝘴3 ∈ 𝑆) (𝘴1 ∗ 𝘴2) ∗ 𝘴3 = 𝘴1∗ (𝘴1 ∗ 𝘴2)

3. Terdapat elemen netral, (∃ 𝑒 ∈ 𝑆) (∀𝘴 ∈ 𝑆) sehingga 𝑒∗𝘴 = 𝘴∗𝑒 = 𝘴

4. Mempunyai elemen invers, (∀𝘴 ∈ 𝑆) (∃ 𝘴-1 ∈ 𝑆) sehingga 𝘴∗ 𝘴-1= 𝘴-1 ∗ 𝘴= 𝑒.

(Fraleigh, 1975).

S G

8

Proposition 2.1.10

Suatu himpunan bagian H dari grup G merupakan subgrup jika dan hanya jika,

(1) H ≠ 0,

(2) Untuk semua x, y ∈ H , x y -1 ∈ H.

(Lang, 2002)

2.2 Aksi Grup

Definisi 2.2.1 Aksi Grup

Sebuah aksi grup (kanan) dari grup (𝐺, ∗) pada himpunan tak kosong 𝐴

merupakan sebuah pemetaan 𝐴 x 𝐺 → 𝐴

(ini berarti, bila 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑔 ∈ 𝐺, maka elemen lain dari 𝐴 dapat diperoleh dari

𝑎∗𝑔) dan memenuhi dua sifat yaitu:

1. (𝑎∗𝑔1) ∗𝑔2 = 𝑎∗ (𝑔1∗𝑔2) untuk setiap 𝑔1,𝑔2 ∈ 𝐺, dan 𝑎 ∈ 𝐴.

2. 𝑎∗𝑒 = 𝑎, dengan 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑒 adalah elemen identitas dari 𝐺.

Berdasarkan pada syarat pertama, 𝑎.𝑔1 ∈ 𝐴 sehingga (𝑎.𝑔1).𝑔2 masih merupakan

anggota 𝐴. Di lain pihak, 𝑔1.𝑔2 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎. (𝑔1.𝑔2) juga merupakan anggota 𝐴.

(Herstein, 1975)

9

Contoh 2.2.2

Grup (𝑍, +) beraksi terhadap himpunan bilangan real 𝑅 dengan 𝑎.𝑔 =𝑔+𝑎, untuk

setiap 𝑔 ∈ 𝑍 dan 𝑎 ∈ 𝑅.

Akan ditunjukkan aksi grup (𝑍, +) terhadap himpunan 𝑅 bernilai valid jika

memenuhi dua sifat yaitu:

1. (𝑎.𝑔1).𝑔2 = 𝑎.(𝑔1. 𝑔2), ∀ 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝑍 dan 𝑎 ∈ 𝑅.

2. 𝑎 . 0 = 𝑎, dimana 0 adalah elemen identitas dari Z.

Bukti :

1. Diberikan sebarang 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝑍 dan 𝑎 ∈ 𝑅.

(𝑎.𝑔1).𝑔2 = (𝑎.𝑔1)+ 𝑔2

= (𝑎+𝑔1)+ 𝑔2

= 𝑎+ (𝑔1+ 𝑔2)

= 𝑎. (𝑔1+ 𝑔2)

= 𝑎.(𝑔1. 𝑔2) , ∀ 𝑔 ∈ 𝑍 dan 𝑎 ∈ 𝑅.

Terbukti bahwa (𝑎.𝑔1).𝑔2 = 𝑎. (𝑔1.𝑔2) , ∀ 𝑎∈𝑅 dan 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝑍.

2. Untuk sebarang 𝑎 ∈ 𝑅 dan 0 ∈ 𝑍, berlaku 𝑎.0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 .

Jadi terbukti bahwa aksi grup (𝑍, +) terhadap himpunan 𝑅 bernilai valid. ∎

10

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di semester ganjil tahun ajaran 2009/2010 di Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA)

Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Mengumpulkan bahan-bahan berupa buku-buku dan jurnal yang berhubungan

dengan penelitian ini.

2. Mempelajari teori grup, subgrup dan aksi grup.

3. Mengkonstruksikan himpunan sebarang gerakan M pada Rubik’s Cube ke

dalam bentuk grup dengan terlebih dahulu mendefinisikan operasi binernya.

11

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas tentang bagian-bagian dalam Rubik’s Cube beserta

notasinya, konstruksi Rubik’s Cube ke dalam bentuk grup dan aksi grup pada

Rubik’s Cube.

4. 1 Notasi Balok Pada Rubik’s Cube

Rubik’s Cube adalah sebuah permainan yang tersusun dari 27 kubus kecil, yang

mana biasa disebut “kubus”. Rubik’s Cube memiliki tiga elemen atau bagian

utama, yaitu center (kubus pusat), edge (kubus runcing), dan corner piece (kubus

sudut). Kubus-kubus yang berada dipojok disebut kubus sudut. Setiap kubus sudut

memiliki 3 bagian dan terdapat 8 kubus sudut. Kubus dengan 2 bagian disebut

kubus runcing dan terdapat 12 kubus runcing. Terakhir, kubus dengan satu bagian

disebut kubus pusat dan terdapat 6 kubus pusat.

Kubus Pusat

Kubus Runcing

Kubus Sudut

Gambar 2. Bagian Rubik’s Cube

12

Notasi balok dalam Rubik’s Cube dapat diartikan sebagai berbagai gerakan atau

putaran yang harus dilakukan untuk menyelesaikan Rubik’s Cube. Kumpulan dari

notasi-notasi balok dapat menjadi algoritma. Dalam metode penyelesaian Rubik’s

Cube secara umum, terdapat empat jenis notasi gerakan yaitu notasi tunggal,

notasi ganda, notasi iris dan notasi rotasi. Berikut ini akan dijelaskan notasi-notasi

tersebut.

1 . Notasi Tunggal

F (Front) = sisi depan kubus diputar searah jarum jam.

F'(Front inverse) = sisi depan kubus diputar berlawanan searah jarum jam.

B (Back) = sisi belakang kubus diputar searah jarum jam.

B'(Back inverse) = sisi belakang kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

R (Right) = sisi kanan kubus diputar searah jarum jam.

R'(Right inverse) = sisi kanan kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

L (Left ) = sisi kiri kubus diputar searah jarum jam.

L (Left inverse) = sisi kiri kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

U(Up) = sisi atas kubus diputar searah jarum jam.

U’(Up inverse) = sisi atas kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

D (Down) = sisi bawah kubus diputar searah jarum jam.

D'(Down inverse) = sisi bawah kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

2. Notasi Ganda

f = sisi depan dan tengah kubus diputar searah jarum jam.

f’ = sisi depan dan tengah kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

b = sisi belakang dan tengah diputar searah jarum jam.

13

b' = sisi belakang dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam.

r = sisi kanan dan tengah diputar searah jarum jam.

r' = sisi kanan dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam.

1 = sisi kiri dan tengah diputar searah jarum jam.

l' = sisi kiri dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam.

u = sisi atas dan tengah diputar searah jarum jam.

u' = sisi atas dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam.

d = sisi bawah dan tengah diputar searah jarum jam.

d' = sisi bawah dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam.

3. Notasi Iris

M (Middle) = sisi tengah vertikal diputar searah jarum jam.

M’ (Middle inverse) = sisi tengah vertikal diputar berlawanan arah jarum jam.

E (Equator) = sisi tengah horizontal diputar searah jarum jam.

E’ (Equator inverse) = sisi tengah horizontal diputar berlawanan arah jarum jam.

S (Slice) = sisi tengah iris diputar searah jarum jam.

S’ (Slice inverse) = sisi tengah iris diputar berlawanan arah jarum jam.

4. Notasi Rotasi

x (x axis) = Rubik’s Cube diputar ke atas dengan berpatokan pada

sumbu x.

x'(x axis inverse) = Rubik’s Cube diputar ke bawah dengan berpatokan pada

sumbu x

y (y axis) = Rubik’s Cube diputar ke kiri dengan berpatokan pada

sumbu y.

14

y’(y axis inverse) = Rubik’s Cube diputar ke kanan dengan berpatokan pada

sumbu y.

z (z axis) = Rubik’s Cube diputar searah jarum jam dengan

berpatokan pada sumbu z.

z’ (z axis inverse) = Rubik’s Cube diputar berlawanan arah jarum jam dengan

berpatokan pada sumbu z.

Berikut ini diberikan contoh pergerakan Rubik’s Cube dengan menggunakan

notasi tunggal :

F – U – R – U’

Maka gerakan yang dimaksud adalah sisi depan kubus diputar searah jarum jam -

sisi atas kubus diputar searah jarum jam - sisi kanan kubus diputar searah jarum

jam - sisi atas kubus diputar berlawanan arah jarum jam.

Berikut ini adalah contoh posisi kubus dari hasil sebarang gerakan M pada

Rubik’s Cube

Gambar 3. Contoh Posisi Rubik’s Cube.

15

4.2 Konstruksi Rubik’s Cube Ke dalam Bentuk Grup.

Semua gerakan yang mungkin dilakukan terhadap Rubik’s Cube dapat dibuat

ke dalam suatu himpunan 𝐺.

Contoh 4.2.1 :

Dilakukan suatu gerakan F-U-R-f terhadap Rubik’s Cube, maka gerakan yang

dimaksud adalah sisi depan Rubik’s Cube diputar searah jarum jam diikuti dengan

memutar sisi atas searah jarum jam lalu sisi kanan diputar searah jarum jam

kemudian sisi depan dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam.

Dua gerakan akan dianggap sama jika gerakan tersebut menghasilkan konfigurasi

yang sama.

Contoh 4.2.2 :

Perputaran 180° searah jarum jam sama dengan perputaran 180° berlawanan arah

jarum jam.

Contoh 4.2.3 :

Misalkan G adalah himpunan semua gerakan yang dilakukan terhadap Rubik’s

Cube. Misalkan M1 , M2 ∈ 𝐺, operasi biner ∗ pada himpunan G dapat

didefinisikan sebagai, jika M1 dan M2 adalah dua gerakan, maka M1 ∗ M2

merupakan gerakan yang lain dimana dilakukan gerakan M1 terlebih dahulu lalu

dilakukan gerakan M2.

16

Setelah menghimpun semua gerakan yang mungkin dilakukan pada Rubik’s Cube

ke dalam suatu himpunan G dan mendefinisikan operasi biner pada G ,

selanjutnya dibuktikan (G, ∗) merupakan grup.

untuk membuktikan (G, ∗) merupakan grup, harus ditunjukkan memenuhi 4

aksioma berikut:

(i). Tertutup

(∀M1 , M2 ∈ 𝐺) M1 * M2 ∈ 𝐺.

Bukti:

Misalkan dilakukan gerakan M1 dan M2 pada Rubik’s cube, dengan

M1 = F-U-F dan M2 = f-U . Karena M1 ∗ M2 adalah gerakan dimana

dilakukan gerakan M1 terlebih dahulu lalu dilakukan gerakan M2 , maka

dapat dituliskan,

M1 ∗ M2 = F-U-F-f-U

Dengan kata lain M1 ∗ M2 juga merupakan gerakan pada Rubik’s Cube ,

sehingga M1 ∗ M2 juga merupakan elemen G . Jadi terbukti bahwa operasi ∗

tertutup.

(ii). Asosiatif.

(∀ M1 , M2 , M3 ∈ 𝐺 ) (M1 ∗ M2) ∗ M3 = M1 ∗ (M2 ∗ M3).

Bukti :

Misalkan M1 , M2 dan M3 masing-masing adalah suatu gerakan yang

dilakukan terhadap Rubik’s Cube , dengan

M1 = B – M

M2 = u – E

M3 = F – R – x .

17

Karena operasi ∗ pada G tertutup, maka M1 ∗ M2 juga merupakan gerakan

pada Rubik’s Cube , yaitu

M1 ∗ M2 = B – M – u – E .

Selanjutnya , (M1 ∗ M2) ∗ M3 juga merupakan gerakan pada Rubik’s Cube,

yaitu

(M1 ∗ M2) ∗ M3 = B – M – u – E – F – R – X .

Di sisi lain, M2 ∗ M3 juga merupakan gerakan pada Rubik’s Cube , yaitu

M2 ∗ M3 = u – E – F – R – X .

Kemudian M1 ∗ (M2 ∗ M3) juga merupakan gerakan pada Rubik’s Cube ,

yaitu

M1 ∗ (M2 ∗ M3) = B – M – u – E – F – R – X .

Karena (M1 ∗ M2) ∗ M3 dan M1 ∗ (M2 ∗ M3) menghasilkan konfigurasi

gerakan yang sama, maka:

(M1 ∗ M2) ∗ M3 = M1 ∗ (M2 ∗ M3) , ∀ M1 , M2 , M3 ∈ 𝐺

(iii) (∃ 𝑒 ∈ G ) (∀ M ∈ G ) sehingga 𝑒 ∗ M = M ∗ 𝑒 = M .

Bukti:

Misalkan e merupakan gerakan kosong (tidak bergerak) yang dilakukan

terhadap Rubik’s Cube, maka M ∗ e berarti bahwa dilakukan gerakan M

terlebih dahulu lalu tidak melakukan gerakan apapun. Dan e ∗ M berarti

bahwa tidak melakukan gerakan apapun terhadap Rubik’s Cube terlebih

dahulu lalu melakukan gerakan M.

Dapat dituliskan M ∗ e = e ∗ M = M , ∀ M ∈ 𝐺.

Sehingga terbukti bahwa terdapat elemen identitas e pada G.

18

(iv) (∀ M ∈ 𝐺 ) (∃ M’ ∈ 𝐺) sehingga M ∗ M’ = M’ ∗ M = e .

Bukti:

Misalkan M merupakan suatu gerakan yang dilakukan pada Rubik’s Cube

dan M’ merupakan kebalikan atau invers dari gerakan M. Sehingga M ∗ M’

adalah dilakukan gerakan M kemudian dikembalikan kembali gerakan

tersebut, dengan kata lain sama halnya dengan tidak melakukan gerakan.

Gerakan M’ ∗ M , adalah dilakukan terlebih dahulu gerakan kebalikan dari

M lalu dilakukan gerakan M tersebut. Hasilnya adalah sama dengan tidak

melakukan gerakan karena posisi Rubik’s Cube tidak berubah.

Karena aksioma (i) , (ii) , (iii) dan (iv) terpenuhi, maka terbukti bahwa (G, ∗ )

merupakan grup.

4.3 Aksi Grup Pada Rubik's Cube

Misalkan K merupakan himpunan sebarang konfigurasi dari Rubik’s cube ,

dimana konfigurasi pada Rubik’s cube diartikan sebagai susunan kubus yang

terjadi dalam Rubik’s cube. Jika Rubik’s Cube berada dalam konfigurasi C ∈ K,

kemudian dilakukan gerakan M ∈ 𝐺 , maka Rubik’s Cube akan berada pada

sebuah konfigurasi baru. Sehingga konfigurasi ini dinyatakan sebagai

C ∗M ∈ K.

Dapat dituliskan,

K x G → K

19

Misalkan M1 , M2 ∈ 𝐺 , aksi grup (G, ∗) pada himpunan K bernilai valid jika

memenuhi dua sifat yaitu:

1. (C ∗M1) ∗M2 = C∗ (M1∗M2) , ∀ C ∈ K.

2. C ∗ 𝑒 = C, dengan C ∈ K dan 𝑒 adalah elemen identitas dari 𝐺.

Bukti:

1. Akan dibuktikan bahwa (C∗M1) ∗M2 =.

Misalkan Rubrik’s Cube bermula pada konfigurasi C. Jika dilakukan gerakan

M1, maka konfigurasinya menjadi C∗M1.

Kemudian dilakukan gerakan M2, maka konfigurasinya berubah menjadi

(C∗M1) ∗M2 . Karena M1∗M2 ∈ 𝐺, maka (C∗M1) ∗M2 menghasilkan konfigurasi

yang sama pada C∗ (M1∗M2). Dalam Rubrik’s Cube, dua gerakan dianggap

sama jika gerakan tersebut menghasilkan konfigurasi yang sama.

Dengan kata lain, terbukti bahwa

(C∗M1) ∗ M2 = C∗ (M1∗M2)

Untuk setiap konfigurasi C ∈ K dan M1, M2 ∈ 𝐺. ■

2. Akan dibuktikan bahwa C∗e = C

Jika 𝑒 adalah elemen identitas dari 𝐺, dimana 𝑒 merupakan gerakan kosong

(tidak menggerakkan apa-apa) pada Rubrik’s Cube, maka C∗𝑒 = C karena

konfigurasi pada Rubik’s Cube tidak berubah sama sekali.

Jadi terbukti bahwa aksi grup pada Rubik’s Cube bernilai valid. ■

20

Contoh 4.3.1

𝐺 beraksi terhadap himpunan K = { C1 ,C2} dari Rubik’s Cube yang memiliki

kubus sudut yang berbeda. Kemudian jika C1 dan C2 adalah konfigurasi dari

Rubik’s Cube dengan kubus sudut yang berbeda, maka gerakan M ∈ 𝐺

menyebabkan kubus sudut tersebut menjadi dua kubus sudut berbeda C11 dan C2

1

dapat dituliskan,

(C1 ∗ C2) ∗M = (C11 ∗ C2

1 ) , M ∈ G.

Dengan C∗e = c, e merupakan elemen identitas dari c ∈ K.

Contoh 4.3.2

G adalah suatu grup yang beroperasi pada Rubik’s Cube, dimana G merupakan

semua gerakan yang dilakukan pada Rubik’s cube dan G beraksi pada himpunan

G (beraksi pada dirinya sendiri) dengan 𝑎∗𝑔 = 𝑔-1∗ 𝑎∗𝑔 , untuk setiap 𝑔 ∈ G dan

𝑎 ∈ G.

Akan dibuktikan bahwa G beraksi pada G dengan memenuhi dua syarat yaitu:

1. (𝑎∗𝑔1) ∗𝑔2 = 𝑎∗ (𝑔1∗ 𝑔2) , ∀ 𝑔1 , 𝑔2∈ G dan 𝑎 ∈ G.

2. 𝑔∗e = 𝑔 ,dengan e adalah elemen identitas dari G dan 𝑔 ∈ G.

Bukti :

1. Akan dibuktikan bahwa (𝑎∗𝑔1) ∗𝑔2 = 𝑎∗ (𝑔1∗ 𝑔2) , ∀ 𝑔1, 𝑔2 ∈ G dan 𝑎 ∈G.

(𝑎∗𝑔1) ∗𝑔2 = (𝑔1-1∗ 𝑎∗ 𝑔1) ∗ 𝑔2

= 𝑔2-1∗ ( 𝑔1-1∗ 𝑎∗ 𝑔1) ∗ 𝑔2

= (𝑔2-1∗ 𝑔1-1)∗ 𝑎∗( 𝑔1∗ 𝑔2)

21

= (𝑔1∗ 𝑔2)-1∗ 𝑎∗( 𝑔1∗ 𝑔2)

= 𝑎∗(𝑔1∗𝑔2) , ∀ 𝑔 ∈ G dan 𝑎 ∈ G. ■

2. Akan dibuktikan bahwa 𝑔∗e = 𝑔, ∀ 𝑔 ∈ G.

G adalah suatu operasi terhadap Rubik’s Cube, dimana elemen-elemennya

merupakan semua gerakan yang dilakukan terhadap Rubik’s Cube. Dan 𝑔

merupakan elemen dari G. Jika e adalah elemen identitas dari 𝑔, dimana e

dianggap sebagai gerakan kosong atau tidak menggerakkan Rubik’s Cube

sama sekali, maka 𝑔.e = 𝑔 karena konfigurasi Rubik’s Cube tidak

berubah.

Jadi terbukti bahwa grup G beraksi terhadap dirinya sendiri dengan

𝑎. 𝑔 = 𝑔-1. 𝑎. 𝑔 , untuk setiap 𝑔 ∈ G dan 𝑎 ∈ G. ■

22

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Pergerakan pada setiap kubus dalam Rubik’s Cube merupakan operasi biner ∗

terhadap himpunan sebarang gerakan G. Himpunan G merupakan grup karena

bersifat tertutup terhadap operasi ∗ , bersifat asosiatif , memiliki elemen

identitas dan memiliki invers untuk setiap gerakan M dalam himpunan G.

Dengan menotasikan Rubik’s Cube ke dalam bentuk notasi tunggal, notasi

ganda, notasi iris dan notasi rotasi dapat mempermudah dalam

mengkonstruksikan Rubik’s Cube ke dalam bentuk grup. Untuk setiap

gerakan M1 dan M2 elemen G, aksi grup ( G, ∗) pada himpunan sebarang

konfigurasi K dalam Rubik’s Cube bernilai valid karena memenuhi dua sifat

aksi grup.

5.2 Saran

Penelitian mengenai konstruksi Rubik’s Cube ke dalam bentuk grup ini masih

dapat diteruskan ke dalam bentuk struktur aljabar lainnya, misalnya dengan

mengkonstruksikan ke dalam bentuk ring dan homomorfisme, atau ke dalam

bentuk Cyclic Group.

23

DAFTAR PUSTAKA

Darmawan, Ardi. 2010. Jago Main Rubik Dari Nol. Wahyu Media Plus

Multimedia, Jakarta.

Dummit, DS. Forte, RM. 2004. Abstract Algebra, Third Edition. John Wiley &

Sons, Inc. New York.

Fraleigh, J.B. 1975. A First Course in Abstract Algebra, Second Edition. Addison-

Wesley Publishing Company, Inc., California.

Herstein, I.N. 1975. Topics in Algebra. John Wiley & Sons, Inc. New York.

Hungerford, T.W. 1974. Algebra. Springer-Verlag New York, Inc. New York.

Lang, Serge. 2002. Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition.

Springer-Verlag New York, Inc. New York.

Wahyudin. 1989. Aljabar Modern. Tarsito, Bandung.