deret taylor & mac laurin
DESCRIPTION
MakalahTRANSCRIPT
KALKULUS
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN
Pendidikan Matematika 2010-G
ANGGOTA : 1.Moch.Diyan.S (105448) 2.Moch. Hasanudin (105485) 3. Maratus Sa’adah (105765) 4. Moch. Sholeh (105774) 5. Laily R. (105777) 6. Riza Wardha R (105780) 7.Teguh Sukma M (105782) 8. Selly Puspitasari (105786)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
JOMBANG
2010
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN 1.1 DERET TAYLOR
Dalam kalkulus seringkali kita dihadapkan kepada suatu persamaan yang memuat berbagai macam fungsi Misalnya Sin x + + -2 = 0 Menyelesaikan persamaan diatas tidaklah mudah., salah satu cara ialah mengubah setiap fungsi itu menjadi suatu polinom dalam x. Mengubah suatu fungsi f(x) dalam bentuk polinom dalam x dapat dilakukan dengan memperderetkan fungsi itu menurut deret taylor ,yaitu kita gunakan teorema Role yang berbunyi : Jika f(x) kontinu dalam selang ,dan diferensiabel dalam selang
,dan jika F(a)=f(a+h)=0 ,maka paling sedikit dapat ditentukan suatu nilai t yang memenuhi 0<t<1 ,sehingga f’(a+th)=0 Perhatikan sekarang sebuah fungsi dengan persamaan y = f(x).Kita bentuk fungsi g(x) yang dapat disusun dari f(x) dengan cara sebagai berikut :
g(x)=f (a+h)- f(x) – f’ !3
"!2
32xha
xfxha
x
xf '" xnfn
xhan
1!1
1
afn
haf
haf
hafhaf n
n1
12
!1"
!2'
1
p
h
xha
Jika P bilangan positif sebarang ,maka ternyata bahwa g(a) = 0 dan g( a + h ) = 0 Menurut teorema Rolle , dapat di tentukan bilangan t antara 0 dan 1,sehingga g’(a+th ) = 0 .untuk memperoleh g’ (a + th ) = 0 . Untuk memperoleh g’ (a + th ) kita tentukan terlebih dahulu g’( x ),sebagai berikut :
g’ (x) = -f’ (x)- f’’(x) + f’(x) – f’’’(x) +
f’’(x) – (x) +
1
p
h
xha
h
p jika x kita ganti dengan a + th , maka kita peroleh nilai
g ‘(a + th) ,yaitu :
g’(a + th ) = -
af
n
haf
haf
hafhafxf n
nn 1
121
!1"
!2'
1
011
pt
f (a + h) = f(a) + f”(a)+…+
+ ns
jika
Deret diatas disebut deret taylor berderajat (n-1) dari fungsi f, dan Jika pada deret Taylor diatas dimisalkan x =a+h,kita peroleh deret Taylor berderajat (n-1) disekitar x = a.yaitu :
F(x) = f(a) + f’(a).(x-a)+
(x-a +…+
DERET MAC LAURIN
Apabila pada Deret Taylor di atas di ambil a = 0, maka di peroleh Deret Mac Laurin
berderajat ( n – 1 ) dari fungsi f, yaitu
f(x) = f (0) + 1
x . f ‘ (0) +
!2
2x f” (0) +
!3
3x f’’’ (0) + ........
)!1(
1
n
xn
f )1( n (0) + S n , jika S n = !n
xn f )(n ( tx ) adalah suku sisa langrange.
Jika f (x) suatu fungsi yang diferensiabel dan memenuhi : Lim S n = 0 , maka f (x) dapat di perderetkan menurut deret tak hingga Mac Laurin,
n Yaitu : Seringkali kita hanya memerlukan nilai pendekatan dari f (x) dengan cara mengambil beberapa suku pertama deret Mac Laurin. Nila ruas kanan kita ambil 4 suku, kita peroleh suatu polinom berderajat 3 dalam x sebagai pendekatan dari f (x). Contoh
F (x) = f(0) + 1
x f ‘ (0) +
!2
2x f ‘’(0) +
!3
3x
f ‘’’ (0) + ...........
0!1
1
!1'
11 1
11
thafpn
thaf
n
haf
hafhaft
h
p npnn
nn
p
Tentukana deret Mac Laurin fungsi f (x) = e x .
Untuk menentukan deret Mac Laurin suatu Fungsi f (x), kkita harus mencari lebih dulu
nilai-nilai f (0), f ‘ (0) , f ‘’(0) dan seterusnya. Karena f (x) = ,e x , maka . f ‘ (x) = e x , f
‘’ (x) = e x , ....... jadi f (0) = e 0 = 1 ,f ‘ (0) = 1 , f ‘’ (0) = 1 , .........
Deret Mac Laurin fungsi f(x) = e x ialah :
e x = 1 + 1
x+
!2
2x +
!3
3x +
!4
4x +
!5
5x + ...........
Harus ditunjukkan bahwa Lim S n = 0
n
jika kita gunakan suku sisa Langrange , kita peroleh
S n = !n
xn f tx
nn e
n
xtx
!)()( ( 0 < t < 1 )
Jika x > 0 maka e tx < e x dan S n < xn
en
x
!.
Jika x < 0 maka e tx < 1 dan nS < !n
xn
Jika x bernilai tetap, dapat di buktikan bahwa Lim 0!
n
xn
n dapat di tentukan Konstanta m , Sehingga untuk semua n > m
Berlaku jadin
x,
2
1
!
mnmmn
m
x
n
x
m
x
m
x
m
x
n
x
2
1.
!...
2.
1.
!!
Karena Lim mn
2
1 = 0 maka Lim sehingga
n
xn
,0!
Lim S n = 0 Untuk setiap Nilai x.
n Contoh : Tentukan deret mac laurin fungsi xxf cos)(
Jawab : xxf cos)( 1)0( f
n
xxf sin)(' 0)0(' f
xxf cos)('' 1)0('' f
xxf sin)(''' 0)0(''' f
xxf cos)()4( 1)0()4( f , da seterusnya.
Jadi .......!8!6!4!2
1cos)(8642
xxxx
xxf
Harus ditunjukkan bahwa 0:lim
nn
s .
ntx
n
xtxf
n
xs
nn
n
n2
1cos
!)(
:)( , jadi :
ntx
n
xs
n
n2
1cos
:
Karena 12
1cos
ntx , maka 0lim
n
ns untuk setiap nilai x.
Contoh :
Dengan deret mac laurin, dinyatakan xxf 3cosh)( 2 dalam sebuah polinom berderajat
4 dalam x. Jawab :
)(!4
)0('''!3
)0(''!2
)0('1
)0()( )4(432
xfx
fx
fx
fx
fxf
xxf 3cosh)( 2 1)0( f
xxf
xxf
xxf
xxxxf
6cosh646)(
6sinh108)('''
6cosh18)(''
6sinh33sinh3.3cosh2)('
)4(
648)0(
0)0('''
18)0(''
0)0('
)4(
f
f
f
f
Jadi 4242
2 2791)648(!4
)18(!2
13cosh xxxx
x .
Contoh : Diketahui ny cos 32cos2 xx .
Selesaikan persamaan 0dx
dy
Jawab : sinh2dx
dyxx 2sin22
Dengan deret maclaurin kita nyatakan sin 2x dan sin 2x dal;am suatu polinom dalam x.
0....!7
16
!3
116....
!11
)2(
!7
)2(
!3
)2(2
....!7
)2(
!5
)2(
!3
)2(2
....!7
)2(
!5
)2(
!3
)2(22sin2sinh
53
1173
753
753
xx
xxx
xxxx
xxxxxx
Jadi x = 0
Contoh :
Jika i suatu bilangan yang memenuhi 12 i , maka tunjukkan bahwa
ixeix cos xsin (rumus euler). Bukti : Akan kita tunjukkak bahwa deret mac laurin ruas kiri sama dengan deret mac laurin ruas kanan.
Karena makaxxxx
e ,!4!3!21
1432
xix
ixixxi
xxxx
xixxixxixxix
xixixixixixiixeix
sincos
)!5!3
()!8!6!4!2
1(
!8!7!6!5!4!3!21
!7!6!5!4!3!211
538642
8765432
776655443322
Contoh: Dengan menentukan dereta mac laurin dari pembilang dan penyebut,
tentukan
2
23
0 cos1
31lim
x
ex x
x
Jawab :
Karena makaxxx
xe x ,!4!3!2
1432
,!4
81
!3
27
!2
931
4323
xxxxe x
Sedangkan cos jadixxx
x ,!6!4!2
1642
cos !6!4!2
11284
2 xxxx
kita peroleh
2
23
0 cos1
31lim
x
ex x
x
!6!4!2
!4
81
!3
27
!2
9
lim1284
2432
0 xxx
xxx
x
2
81
!2
1
!2
9
!6!4!2
!4
81
!3
27
!2
9
lim
2
12844
24324
0
xxxx
xxxx
x