polinomial taylor fmipa ipb.pdf

1

Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

Pertemuan 3 : Hampiran polinomial

(P3) Hampiran Polinomial

• Pengantar• Hampiran Polinomial

Menggunakan DeretMaclaurin dan DeretTaylor

• Metode evaluasi fungsipolinom

Rujukan:1.Buku 1: appendix2.Buku 2: bab 4

2



Pengantar• Dalam matematika, banyak fungsi yang tidak

dapat dievaluasi secara eksak, meskipun dalamberbagai bidang aplikasi, biasanya fungsi-fungsi ini diperlakukan seolah-olah sebagaisuatu besaran yang diketahui nilainya.

• Beberapa fungsi tersebut antara lain : √x, ex,log(x), fungsi-fungsi trigonometri, serta fungsi-fungsi yang sering digunakan dalam bidangfisika serta berbagai disiplin ilmu lainnya.

3



• Untuk mengevaluasi fungsi-fungsi seperti itudigunakan metode hampiran (aproksimasi) fungsimenggunakan fungsi polinomial atau fungsirasional.

• Metode hampiran menggunakan fungsi rasionalumumnya memberikan hasil yang lebih efisiendibandingkan dengan hampiran menggunakanfungsi polinomial.

• Namun demikian, dalam beberapa hal hampiranfungsi polinomial lebih disukai karena konsepteorinya lebih mudah untuk dipahami.

4



Hampiran Polinomial MenggunakanDeret MacLaurin dan Deret Taylor• Secara manual kita dapat melakukan perhitungan

menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Kadang juga melibatkanoperasi pembandingan dua bilangan a dan b.

• Andaikan operasi yang dapat kita lakukanhanyalah penjumlahan, pengurangan danperkalian, maka untuk menghitung suatu fungsif(x) dapat dilakukan menggunakan pendekatanfungsi polinomial derajat n.

5



Bagaimana hal ini dapat dilakukan untukfungsi-fungsi:

• Andaikan ingin dihitung nilai fungsi f(x) = ex disekitar x = 0, maka akan dicari suatu polinomialp(x) yang nilainya ‘cukup dekat dengan’ ex.

• Dimulai dengan suatu polinomial linear

• Agar keduanya ‘cukup dekat’, maka diambilp(0) = f(0)p’(0) = f’(0)

6



7



• Berikutnya, digunakan polinomial kuadratik

• agar keduanya ‘cukup dekat’, maka diambil

• yang menghasilkan:

8



9



• dst, digunakan polinomial derajat n

• yang mensyaratkan:

• sehingga menghasilkan:

Apa yang terjadi bila diinginkan evaluasifungsi pada titik yang jauh dari x = 0?

10



Formula Hampiran Taylor• Andaikan f(x) adalah suatu fungsi yang dapat

diturunkan beberapa kali pada x di sekitar a, maka akan dicari suatu polinomial derajat nyang dapat digunakan untuk menghampiri f(x)dengan syarat :

11



• Dari sini diperoleh bentuk umum fungsipolinomial tersebut sebagai berikut :

maka:

untuk x sedemikian dekat ke a.

12



• Tentukan hampiran polinomial Taylor bagi f(x) = sin (x) pada x di sekitar 0.

Contoh :

• Andaikaningindihampiridenganpolinomialderajat 9, maka dapatdilakukansbb:

13



Gambarnya nampak seperti berikut :

14



• Tentukan hampiran polinomialTaylor bagi f(x) = log (x) pada x disekitar 1.

Contoh :

• Andaikan ingin dihampiri denganpolinomial derajat n, maka diperoleh:

15



Gambarnya nampak seperti berikut :

16



Teorema Taylor :• Andaikan f adalah suatu fungsi yang kontinyu pada

[a, b] serta dapat dideferensialkan n+1 kali, makauntuk setiap x dalam (a, b) terdapat c = c(x) yang terletak antara x0 dan x sedemikian sehingga

17



Kesalahan (Error) pada Hampiran Taylor

• Bila suatu fungsi f(x) dihampiri dengansuatu polinomial derajat n pada x di sekitara, maka terdapat kesalahan sebesar :

Ingat TDK I

18



• Pandang suatu kasus n = 0, maka polinomialTaylor adalah suatu fungsi konstan

• Dalam hal ini, besarnya kesalahan yang terjadiadalah

(ini adalah teorema nilai antara)Untuk cx terletak antara a dan x.

19



• Sebagai contoh, perhatikan hampiranpolinomial fungsi: f(x) = ex di sekitar x = 0,

• Bentuk kesalahannya adalah:

Untuk cx terletak antara 0 dan x.

20



• Untuk maka dan

• yang merupakan suku terakhir darisehingga

21



• Misalnya, ingin dicari pendekatan bagi bilangan e, berarti diambil nilai x = 1. Dari ekspresi sebelumnya, diperoleh :

• Dalam hal ini, terdapat kesalahan sebesar

• Untuk memberi batas kesalahan

22



• Untuk mendapatkan nilai akurasi sampai 10-5, maka n perlu dipilih sedemikian besarsehingga berlaku :

• Dalam hal ini, n ≥ 8. Oleh karena :

23



Beberapa formula untuk fungsi standar :

untuk cx terletak antara 0 dan x.

24



Mengevaluasi fungsi polinomial• Andaikan diinginkan untuk mengevaluasi fungsi

polinomial berikut pada beberapa bilangan x :

• Salah satu cara yang dilakukan adalah denganmembuat algoritme sederhana sebagai berikut :

25



• Pertanyaannya : apakah algoritme tsb efisien ? Berapa banyaknya operasi yang dilakukan ? Apakah ada yang lebih baik ?

26



• Algoritme tersebut dapat diperbaiki dengan caramenghitung xj secara rekursif sebagai berikut :

• Dengan demikian, untuk menghitung{x2, x3, … xn} hanya diperlukan n-1 perkalian.

• Dengan cara ini, algoritme di atas menjadi :

27



Biaya operasi menjadi sebesar :

28



• Cara lain :

• Secara umum :

• Yang hanya memerlukan n buah perkalian. • Algoritmenya adalah sebagai berikut :

29



Teorema Horner :• Andaikan P(x) adalah suatu polinomial derajat n dan

x= c adalah suatu bilangan yang digunakan untukmengevaluasi P(c). Pasang bn = an, serta hitung

utk

• Lebih lanjut, jika :

• maka

30



Algoritmenya:

31



32



polinomial taylor fmipa ipb.pdf

Documents