• DANDY RAMADITYA (34996)• FANNY ARDHY PRATAMA (35018)• MUHAMMAD ABDULLAH (35099)• AWANG FAIZAL (35145)• RIDWAN WICAKSONO (35189)• ADITYA SAPTA NUGRAHA (35217)

DERET TAYLOR

sekilas…• Deret taylor menjadi konsep dasar dalam

pengembangan metode numerik.• Beberapa metode aproksimasi merupakan

pemenggalan dari deret ini.• Deret Taylor merupakan model aproksimasi

terhadap suatu fungsi f(x).• Deret Taylor menyediakan sarana untuk

memprediksi nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunanya pada titik lain.

Maclaurin (Power) SeriesDeret Maclaurin adalah penaksiran

polinom derajad tak hingga

Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi

sebenarnya, bukan penaksiran lagi!

!)0(

!2)0('')0(')0()(

)(

2

n

xf

xfxffxf

nn

Deret TAYLORDari awal kita selalu memulai perkiraan

pada nilai x=0;Sesungguhnya, kita bisa membuat deret

polinom yang berasal dari titik manapun, x=x0 ;

<Ini disebut Taylor Series>

Jadi, Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0;

Misal fungsi f(z) analitik pada | z - z0 | < R0 . Maka untuk setiap titik z pada lingkaran itu, f(z) dapat dinyatakan sebagai :

Jika fungsi f(z) diganti dengan f(x) dan x=a berada pada interval x, maka

Rumusan di atas disebut deret Taylor

Rumusan di tadi dapat dimodifikasi menjadi :

Tn (x) disebut Polinom Taylor orde ke-n dan Rn(x) disebut remainder

Rumus-rumus umum…

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

...)(!)(

....)(!2)(''

)(!1)('

)()( 2 nn

axnaf

axaf

axaf

afxf

n

n

in

iiii Rn

xxf

xxf

xxfxfxf

!

)(!2

)(!1

)()()(2

1

ii xxx 1

Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga;

Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.

Ini sama dengan konsep polynomial approximations

Truncated Taylor Series

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

Contoh soal 1 <Deret Taylor>Bentuklah Deret Taylor untuk :

Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1

CONTOH SOAL…

1),ln()( 0 xxxf

Contoh soal 1

0)1ln()()ln()( 0 xfxxf

11

1)(

1)( 0 xfx

xf

11

1)(

1)(

202 xf

xxf

11

0)(

1)(

)1()!1(1

)1()!1()(

)1()!1()(

nn

nn

n

nn

nn

xf

x

nxf

21

2)(

2)(

303 xf

xxf

Menggunakan rumus umum =>

Contoh soal 1

!

)1()1()!1(

!3

)1(!2

!2

)1()1(0)ln(

1

32

n

xn

xxxx

nn

n

x

xxxx

nn )1()1(

3

)1(

2

)1()1()ln(

1

32

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

Contoh soal 2 <Deret Taylor>

Cari deret taylor dari f(x) = 1/x pada a=2?

Apakah deret tersebut konvergen pada 1/x?

Contoh soal 2

Deret Taylornya…

Contoh soal 2

Deret tersebut berupa deret geometris:a= ½r=-(x-2)/2

Konvergen saat| x-2 | < 2Jumlah = a/(1+r)

Contoh soal 2

Contoh soal 3 <Deret Taylor>

Cari deret Taylor dari f(x)=ex saat x=0

Kita tentukan rumus umum utuk : f(n) (a) Kita dapatkan bahwa f(n) (x) = ex

untuk

=> n =0,1,2,3 …maka:

f(n) (0) = e0 = 1

Contoh soal 3

Maka deret Taylor untuk f(x) = ex untuk x=0

Contoh soal 3

Contoh soal 4 <Deret Taylor>

Cari deret Taylor dari f(x) = sin x untuk x= 0

Contoh soal 4

Contoh soal 4

Contoh soal 5 <Deret Taylor>

Cari deret taylor dari f(x)=x3-10x2+6 saat x=3

Contoh soal 5

Deret taylor ini akan berakhir setelah n=3 . Hal ini akan selalu terjadi ketika kita menemukan deret taylor polinomial. Penyelesaian untuk deret taylor ini :

Contoh soal 5

Contoh soal 6 <Deret Taylor>

Cari deret taylor dari f(x)=cos(x) saat x=0

Contoh soal 6

Setelah itu kita masukkan yang telah kita dapatkan ke dalam deret taylor…

Contoh soal 6

Lalu kita keluarkan nilai nol dan kita urutkan kembali, dan didapat :

Setelah renumbering, dapat kita buat perumusan deret taylornya sbb :

Contoh soal 6

Jazakumullah…