daftar isi - ahmadefancenter.files.wordpress.com · output sum= pn i=1 xi: step 1 set sum=0. ......

Daftar Isi

Contents ii

Daftar Tabel iii

Daftar Gambar iv

1 Konsep Dasar 1

1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Representasi bilangan dalam komputer . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Software Komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 10

2.1 Metoda Biseksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Metoda Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Metoda Posisi Palsu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 18

i

DAFTAR ISI ii

3.1 Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Konsep Masalah dalam Aproksimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Fungsi-Fungsi Aproksimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.1 Interpolasi dan Polinomial Lagrange . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.2 Difrensi Terpisah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.3 Interpolasi Splin Kubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 52

4.1 Metoda Titik Tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Metoda Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 64

5.1 Teori Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Beberapa Metoda Numeris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.1 Metoda Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.2 Metoda Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.3 Metoda Multistep Linier (MML) . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Daftar Tabel

3.1 Difrensi terpisah langkah maju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Difrensi terpisah langkah mundur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Data f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Data hasil eksekusi program iterasi Newton . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Data hasil eksekusi program metoda Runge-Kutta . . . . . . . . . . 79

iii

Daftar Gambar

1.1 Approksimasi oleh p1(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Approksimasi oleh p2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Diagram aproksimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Interpolasi polinomial Lagrange p2(x) terhadap f(x) . . . . . . . . . 26

3.3 Approksimasi NFDD p4(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Approksimasi spline kubik S3(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Aturan Trapesium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Aturan Simpson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7 Konstruksi automobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Diagram kekonvekan untuk D ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Metoda Euler dalam grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Metoda Runge-Kutta order 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

iv

BAB 1

Konsep Dasar

1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus

Pengembangan metoda numerik tidak terlepas dari pengembangan beberapa

definisi dan teorema dalam mata kuliah kalkulus yang berkenaan dengan fungsi

polinomial f(x). Oleh karena itu dibawah ini akan diingatkan kembali beberapa

definisi dan teorema tersebut.

Teorema 1.1.1 (Nilai Tengah) Jika f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval

[a, b], dan didefinisikan m = Infa≤x≤b f(x) dan M = Supa≤x≤b f(x) maka ada

sebarang ξ pada interval [m,M ], sehingga paling sedikit satu titik ζ di dalam interval

[a, b] akan memenuhi f(ξ) = ζ

Teorema 1.1.2 (Nilai Rata-Rata) Jika f(x) adalah fungsi kontinyu pada inter-

val [a, b] dan terdefrensialkan pada interval (a, b), maka paling sedikit ada satu titik

ξ dalam (a, b) yang memenuhi f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a)

Teorema 1.1.3 (Integral Nilai Rata-Rata) Jika w(x) adalah fungsi tak negatif

1

BAB 1. KONSEP DASAR 2

dan terintegralkan pada interval [a, b], dan misal f(x) kontinyu pada [a, b] maka

∫ b

a

w(x)f(x)dx = f(ξ)

∫ b

a

w(x)dx

untuk semua ξ ∈ [a, b]

Teorema 1.1.4 (Teorema Taylor) Jika f(x) mempunyai n+1 turunan kontinyu

pada interval [a, b] untuk beberapa n ≥ 0 dan bila x, x0 ∈ [a, b] maka

f(x) ≈ pn(x) + Rn+1(x) (1.1)

pn(x) = f(x0) +(x− x0)

1!f ′(x0) + · · ·+ (x− x0)

n

n!f (n)(x0) (1.2)

Rn+1(x) =1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t)dt (1.3)

=(x− x0)

n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ) (1.4)

untuk ξ antara x0 dan x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

f(x)

p1(x)

Gambar 1.1: Approksimasi oleh p1(x)

Deret Taylor ini nantinya akan menjadi konsep dasar pengembangan metoda nu-

meris. Beberapa metoda aproksimasi adalah merupakan hasil ekspansi dan pe-


menggalan dari deret ini. Sehingga deret ini sendiri juga merupakan model aproksi-

masi terhadap suatu fungsi f(x) sebagaimana digambarkan dalam contoh berikut

ini.

Contoh 1.1.1 Diketahui f(x) = ln x, tentukan fungsi aproksimasi linear p1(x) dan

kuadratik p2(x) pada x0 = 1, dan gunakan p1(x), p2(x) untuk menghitung ln 1.5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

f(x)

p2(x)

Gambar 1.2: Approksimasi oleh p2(x)

Penyelesaian 1.1.1 f(x) = ln x maka f(x0) = ln 1 = 0, f ′(x) = 1x

maka f ′(x0) =

1. Dengan menggunakan teori Taylor kita dapatkan

p1(x) = ln 1 + (x− 1).1 = x− 1

p2(x) = ln 1 + (x− 1).1 +1

2(x− 1)2.− 1 = (x− 1)− 1

2(x− 1)2

Dengan demikian ln 1.5 dapat ditentukan dengan cara

ln 1.5 = p1(1.5) = 1.5− 1 = 0.5

ln 1.5 = p2(1.5) = (1.5− 1)− 1

2(1.5− 1)2 = 0.375

Secara grafis aproksimasi dari p1(x) dan p2(x) terhadap f(x) = ln x dapat ditun-

jukkan dalam Gambar 1.2 dan 1.2.


1.2 Representasi bilangan dalam komputer

Komputer dapat melakukan operasi pada bilangan dengan mudah, misal 2 +

2 = 4, 6 : 2 = 3, dengan pasti komputer dapat menjawab dengan benar. Namun

demikian bila komputer mengoperasikan (√

3)2 maka operasi ini tidak dilakukan

dengan cara(3

12

)2= 3 akan tetapi dengan cara melakukan pengakaran bilangan

tiga dua kali kemudian keduanya dikalikan. Dapat dipahami bahwa untuk√

3 =

1.7320508 . . . mempunyai jumlah desimal (digit) yang tidak terbatas sehingga nilai

tersebut hanya merupakan nilai pendekatan.

Dalam hal melakukan pendekatan ini komputer melakukan pemotongan (Chop-

ping) atau pembulatan (Rounding) dan selanjutnya dimungkinkan muncul bebe-

rapa kesalahan yang secara umum dikenal dengan nama kesalahan pembulatan

(Rounding error) dan kesalahan pemotongan (Chopping error).

Selanjutnya untuk merepresentasikan bilangan real, komputer pada umumnya meng-

gunakan sistem ”floating-point” dengan basis bilangan 2 (biner), 8(octal) dan

16(hexadecimal). Sedangkan format penyimpanannya dalam memori komputer

digambarkan sebagai berikut :

x = σ · (·a1a2 . . . at)β · βe, (1.5)

dimana

• a1 6= 0, dan 0 ≤ ai ≤ β − 1, a1 kemudian disebut titik radik.

• σ adalah tanda dengan nilai σ = +1 atau −1, dan β adalah basis.

• e adalah bilangan bulat dengan L ≤ e ≤ U , dimana L, U masing-masing nilai

terkecil dan terbesar.

• (·a1a2 . . . at)β adalah mantisa.

Bila bilangan real x dinyatakan dalam

x = σ · (·a1a2 . . . atat+1 . . . )β · βe, (1.6)


maka representasi pemotongan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk floating

point fl(x) sebagai berikut

fl(x) = σ · (·a1a2 . . . at)β · βe (1.7)

Sedangkan representasi pembulatan dapat ditampilkan sebagai

fl(x) =

{σ · (·a1a2 . . . at)β · βe; 0 ≤ at+1 < β

2

σ · [(·a1a2 . . . at)β + (·0 . . . 01)β] · βe; β2≤ at+1 < β

Dalam hal ini fl(x) 6= x, oleh karena itu kesalahan dapat dimunculkan dalam

bentuk ε = x− fl(x), dan kesalahan relatifnya

x− fl(x)

x= εR

dengan demikian

fl(x) = (1− εR)x (1.8)

Jika simbol-simbol operasi mesin komputer dinyatakan dalam ⊕,ª,⊗ dan ® maka

operasi jumlah, kurang, kali dan bagi untuk x dan y dalam komputer dinyatakan

sebagai berikut:

x⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))

xª y = fl(fl(x)− fl(y))

x⊗ y = fl(fl(x)× fl(y))

x® y = fl(fl(x)÷ fl(y)).

Dengan demikian komputer melakukan floating point terhadap masing-masing kom-

ponen bilangan sebelum dan sesudah melakukan operasi. Hal ini bertujuan untuk

meminimalkan kesalahan yang dihasilkannya.

Secara umum formulasi nilai kesalahannya dari perhitungan aproksimasi terhadap

xA (niali eksak) oleh xT (nilai aproksimasi), dapat dinyatakan sebagai

E(xA) = xT − xA (1.9)


dan kesalahan relatifnya adalah

Rel(xA) =xT − xA

xT

(1.10)

1.3 Algoritma

Teorema 1.3.1 (Algoritma) Algoritma adalah suatu prosedur yang menggam-

barkan urut-urutan rapi dan logis dengan tujuan memudahkan pengimplementasian

suatu masalah. Selanjutnya, sebagai prosedur logis algoritma harus dapat dengan

mudah diinterpretasikan dalam fungsi-fungsi khusus pada komputer prog-ramming.

Dua simbol yang digunakan dalam algoritma adalah Period (·) dan menunjukan

akhir prosedur, dan titik koma (;) memisahkan tugas dalam beberapa langkah.

Teknik loop (pengulangan) dalam algoritma dapat dinyatakan dengan ’kontrol

penyanggah’

For i = 1, 2, . . . , n

Set xi = ai + i · hataupun ’kontrol bersyarat’

While i < N do Steps 3− 6

if . . . then, if . . . then . . . else

Misal suatu algoritma untuk menghitung

N∑i=1

xi = x1 + x2 + · · ·+ xN ,

dapat diuraikan adalah sebagai berikut

INPUT N, x1, x2, . . . , xn.

OUTPUT SUM=∑N

i=1 xi.

Step 1 Set SUM=0.


Step 2 For i = 1, 2, 3, . . . , N do

set SUM = SUM + xi.

Step 3 OUTPUT (SUM);

STOP.

1.4 Software Komputer

Banyak software programming, baik compiler ataupun semi compiler, yang

dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik, diantaranya adalah

1. Fortran (LINPACK, EISPACK, LAPACK, BLAS, NAG)

2. Matlab yang library-nya berdasarkan EISPACK dan LINPACK + beberapa

Matlab Toolbox

3. Maple, Pascal, Fortran , Turbo C+ dan Turbo Basic, dll.


Latihan Tutorial 1

1. Fungsi aproksimasi sebagian besar didasari oleh pengembangan deret Tay-

lor sebutkan teorema Taylor ini. Bila diketahui f(x) = sin x terapkan

deret Taylor ini untuk menentukan fungsi aproksimasi kuadratik terhadap

f pada x = 0. Kemudian tentukan nilai aproksimasi dari sin 5. Disadari

bahwa dalam menghitung nilai sin 5 anda akan mendapatkan kesalahan nu-

meris sebutkan penyebab kesalahan itu. Selanjutnya untuk mengantisipasi

kesalahan ini diperlukan format penyimpanan yang baik dalam memori kom-

puter, tentukan format tersebut. Dan bila diberikan nilai eksak xA dan

nilai aproksimasi xT , formulasikan kesalahan E(xA) serta relatif kesalahan

Rel(xA).

2. Tentukan konversi dari masing-masing bilangan dibawah ini kedalam bentuk

desimal biasa.

(a) (1010101.101)2

(b) (2A3.FF )16

(c) (.101010101 . . . )2

3. Tentukan fungsi aproksimasi p1(x), p2(x) dan p3(x) dari fungsi dibawah ini

pada x0 = 1.

(a) f(x) = ln x + x

(b) g(x) = x2 + 4x + 2

dan tentukan nilai dari ln 3, melalui fungsi aproksimasi f(x).

4. Gunakan deret Taylor untuk menemukan rumusan dari ex, sin x, cos x, e−x2

dan 11−x

pada x0 = 0

5. Lakukan pembulatan dan pemotongan terhadap bilangan dibawah ini sampai

empat desimal dibelakang koma.


(a) 0.35745397

(b) 4.8975978

(c) −1.098904045

(d) 0.09874329873

dan tentukan nilai kesalahan dan kesalahan relatifnya.

6. Gunakan metoda biseksi untuk menyelesaikan persmaan dibawah ini pada

interval yang diberikan

(a)√

x− cos x = 0 pada interval [0, 1]

(b) x3 − 7x2 + 14x− 6 = 0 pada interval [1, 1.32]

(c) 2x cos x− (x + 1)2 = 0 pada interval [−3,−2]

dengan toleransi ε = 1e− 2

BAB 2

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

Definition 2.0.1 (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pen-

dekatan dengan menggunakan teknik-teknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) untuk

mecari penyelesaian hampiran suatu masalah tertentu. Selanjutnya teknik-teknik

yang digunakan itu mempunyai potensi membuat suatu nilai kesalahan yang dieval-

uasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil.

Untuk mengawali penjelasan teknik-teknik aproksimasi ini, dalam bab ini akan

dimulai dengan pembahasan aproksimasi terhadap suatu titik melalui penyelesaian

persamaan fungsi polinomial.

f := a1xn + a2x

n−1 + a3xn−2 + · · ·+ an = 0

2.1 Metoda Biseksi

Definition 2.1.1 (Prosedur Biseksi) Misal f adalah fungsi kontinyu terdefi-nisi

pada interval [a, b], dimana f(a) berbeda tanda dengan f(b). Dengan teori ”nilai

10

BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 11

tengah” maka ada p ∈ (a, b) dengan f(p) = 0 dengan asumsi akar dalam interval

(a, b) adalah tungal. Selanjutnya untuk melakukan perhitungan yang akurat kita set

a1 = a dan b1 = b dan tentukan p1 lewat

p1 =1

2(a1 + b1)

Jika f(p1) = 0, maka p = p1. Jika tidak, f(p1) akan mempunyai tanda yang sama

dengan f(a1) atau f(b1). Jika f(p1) dan f(a1) mempunyai tanda yang sama maka

p ∈ (p1, b1) jika tidak maka p ∈ (a1, p1). Selanjutnya set a2 dan b2 yang baru dan

tentukan p2 melalui perhitungan yang sama dengan p1, dan lakukan pengulangan

sampai tingkat akurasi tertentu.

Untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat

harus dikonfirmasikan dengan nilai kesalahan ε (selanjuntya kita sebut toleransi)

dimana toleransi dalam hal ini dapat dipilih

|pn − pn−1| < e

|pn − pn−1||pn| < e, pn 6= 0

|f(pn)| < e

Algoritma Metoda Biseksi

INPUT batas interval a, b, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)

OUTPUT nilai aproksimasi p

Step 1 Set i=1;

FA = f(a)

Step 2 While i ≤ N do Steps 3-6

Step 3 Set p = a + (b− a)/2;

FP = f(p)

Step 4 IF FP = 0, atau (b− a)/2 < ε

OUTPUT(p)

STOP


Step 5 Set i = i + 1.

Step 6 If FA · FP > 0 then a = p, FA = FP ;

else Set b = p.

Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)

STOP.

2.2 Metoda Newton-Raphson

Jika f ∈ C2[a, b], dan x ∈ [a, b] adalah nilai aproksimasi terhadap p sehingga

f ′(x) 6= 0 dan |x − p| sangat kecil, maka polynomial Taylor dapat dikembangkan

untuk x sebagai:

f(x) = f(x) + (x− x)f ′(x) +(x− x)2

2!f ′′(ξ(x)) + . . .

f(x) = f(x) + (x− x)f ′(x) +(x− x)2

2f ′′(ξ(x)); ξ(x) ∈ (x, x). (2.1)

Jika f(p) = 0 maka untuk x = p persamaan (5.1) menjadi

0 = f(x) + (p− x)f ′(x) +(p− x)2

2f ′′(ξ(p))

Telah diasumsikan |x − p| sangat kecil, maka suku ketiga dapatlah diabaikan se-

hingga

0 = f(x) + (p− x)f ′(x).

Formulasikan untuk p didapat

p ≈ x− f(x)

f ′(x).

Dengan menggati x = pn−1 maka formulasi Newton-Raphson dapat diturunkan

untuk menggeneralisasi suatu deret {pn} melalui

pn = pn−1 − f(pn−1)f ′(pn−1)

, for n ≥ 1. (2.2)


Sama halnya dengan metoda biseksi, untuk menghentikan pengulangan penghitun-

gan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonfirmasikan dengan nilai kesalahan

ε yang telah ditentukan sehingga

|pn − pn−1| < e

|pn − pn−1||pn| < e pn 6= 0

|f(pn)| < e

Algoritma Metoda Newton-Raphson

INPUT nilai awal p0, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)


Step 1 Set i=1;


Step 3 Set p = p0 − f(p0)/f′(p0);

Step 4 IF |p− p0| < ε

OUTPUT(p)

STOP.


Step 6 Set p0 = p (Perbaharui p0)


STOP.

Metoda Newton ini lebih baik dibandingkan metoda Biseksi, namun demikian

proses menentukan f ′(x) kadangkala merupakan proses yang lebih susah diban-

dingkan dengan operasi artmatikanya. Untuk menghindari hal tersebut dikem-

bangkan metoda berikut. Ingat definisi turunan

f ′(pn−1) = limx→pn−1

f(x)− f(pn−1)

x− pn−1

.

Misal x = pn−2 maka

f ′(pn−1) ≈ f(pn−2)− f(pn−1)

pn−2 − pn−1

=f(pn−1)− f(pn−2)

pn−1 − pn−2

.


Substitusikan rumusan ini kedalam rumusan Newton diperoleh rumus:

pn = pn−1 − f(pn−1)(pn−1−pn−2)f(pn−1)−f(pn−2)

. (2.3)

Rumus ini kemudian disebut Metoda Secant

Algoritma Metoda Secant

INPUT nilai awal p0, p1, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)


Step 1 Set i=2;

q0 = f(p0).

q1 = f(p1).


Step 3 Set p = p1 − q1(p1 − p0)/(q1 − q0). (hitung pi)


OUTPUT(p)

STOP.


Step 6 Set p0 = p1; (Perbaharui p0, q0, p1, q1)

q0 = q1;

p1 = p;

q1 = f(p).


STOP.

2.3 Metoda Posisi Palsu

Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda secant. Dalam

penyelesaian f(x) = 0, ditentukan suatu interval [p0, p1] dimana f kontinyu pada

interval ini, dan f(p0).f(p1) < 0 (berlawanan tanda). Prosedur selanjutnya dapat

dilihat dalam algoritma berikut ini.


Algoritma Metoda Posisi Palsu

INPUT nilai awal p0, p1, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)


Step 1 Set i=2;

q0 = f(p0).

q1 = f(p1).


Step 3 Set p = p1 − q1(p1 − p0)/(q1 − q0). (hitung pi)


OUTPUT(p)

STOP.


q = f(p)

Step 6 IF q · q1 < 0 maka p0 = p1, q0 = q1

Step 7 p1 = p1, q1 = q


STOP.


Latihan Tutorial 2

1. Gunakan algoritma biseksi untuk menentukan anilai aproksimasi pada√

3

dan 3√

25

2. Suatu model yang dipakai untuk mengadakan aproksimasi terhadap suatu

masalah adalah metoda numeris, sebutkan definisi formal metoda ini. Selan-

jutnya implikasi dari penggunaan metoda ini, komputer programming meru-

pakan hal yang sangat penting. Untuk mempermudah menginterpretasikan

suatu metoda menjadi suatu programming dibutuhkan algoritma, jelaskan

apa yang disebut dengan algoritma.

Salah satu algoritma yang digunakan untuk menginterpretasikan proses kalku-

lasi metoda numeris adalah metoda Newton-Raphson dengan rumusan

pn = pn−1 − f(pn−1)

f ′(pn−1), untuk n ≥ 1

Metoda ini adalah metoda yang cukup terkenal, namun proses menentukan

f ′(x) kadangkala merupakan proses yang lebih sulit dibandingkan dengan

operasi artmatiknya. Untuk menghindari hal tersebut ditawarkan metoda

lain yaitu Metode Secant dengan rumus

pn = pn−1 − f(pn−1)(pn−1 − pn−2)

f(pn−1)− f(pn−2)untuk n ≥ 1.

Uraikan bagaimana metoda Newton dikembangkan sehingga menjadi meto-

da Secant ini. Kemudian bila kalkulasi iteratif diterapkan terhadap metoda

ini, maka kalkulasi berulang (looping) akan terus dilakukan, jelaskan apa

yang harus dilakukan untuk menghentikan kalkulasi tersebut.

3. f(x) = −x3 − cos x dan p0 = −1, gunakan metoda Newton Raphson untuk

menentukan p2

4. Gunakan algoritma Newton untuk menentukan masing-masing soal dibawah

ini dengan tingkat ketelitian (toleransi) e = 1e− 5


(a) ex + 2−x + 2 cos x− 6 = 0 untuk [1,2]

(b) ln(x− 1) + cos(x− 1) = 0 untuk [1.3,2]

(c) 2x cos 2x− (x− 2)2 = 0 untuk [2,3]

5. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda secant

6. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda posisi palsu

BAB 3

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

3.1 Norm

Definisi 3.1.1 (Norm vektor) Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi

terhadap setiap x ∈ IRN yang disimbolkan dengan ||x|| sedemikian hingga memenuhi

sifat-sifat dibawah ini

1. ||x|| > 0 untuk x 6= 0, atau ||x|| = 0, untuk x = 0

2. ||αx|| = α||x||

3. ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||

Contoh

||x||1 =n∑

i=1

|xi|

||x||2 =

( n∑i=1

|xi|2) 1

2

, (Norm Euclid)

18

BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 19

||x||p =

( n∑i=1

|xi|p) 1

p

||x||∞ = max1≤i≤n

|xi|

Definisi 3.1.2 (Norm matrik) Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi

terhadap setiap x ∈ IRN×N yang disimbolkan dengan ||A|| sedemikian hingga memenuhi

sifat-sifat dibawah ini

1. ||A|| > 0 untuk A 6= 0, atau ||A|| = 0, untuk A = 0

2. ||αA|| = α||A||

3. ||A + B|| ≤ ||A||+ ||B||

4. ||AB|| ≤ ||A||||B||

Contoh

||A||F =

( n∑i=1

n∑j=1

|aij|2) 1

2

(Norm Frobenius)

||A||v = maxx 6=0

||Ax|v||x||v

Definisi 3.1.3 (Ruang Linier (RL)) Himpunan F dikatakan suatu ruang lini-er

bila operasi penjumlahan dan perkalian terdefinisi didalamnya sehingga f · g ∈ F

dan αf + βg ∈ F untuk ∀f, g ∈ F .

Definisi 3.1.4 (Ruang Linier Norm (RLN)) F dikatakan ruang linier norm

bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga

1. ||f || > 0 untuk f 6= 0, atau ||f || = 0, untuk f = 0


2. ||αf || = α||f ||

3. ||f + g|| ≤ ||f ||+ ||g||

untuk semua f, g ∈ F

3.2 Konsep Masalah dalam Aproksimasi

Misal f ∈ F dan f /∈ P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah

menentukan p∗ ∈ P sedemikian hingga

||f − p∗|| ≤ ||f − p||, ∀p ∈ P

kemudian p∗ dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f . Hal ini dapat digam-

barkan dalam diagram Venn berikut ini

pp*

P

Ff

Gambar 3.1: Diagram aproksimasi

Beberapa fungsi aproksimasi p(x) untuk menghampiri fungsi f(x) dalam F =

C[a, b] adalah sebagai berikut

• P = {p : p(x) = a1 + a2x + · · ·+ anxn−1}

• P = {p : p(x) =∑n

r=1 arφr, ar ∈ <, φr ∈ C[a, b]}


• P = {p : p(x) =Pn

0 arxrPn0 brxr }

• P = {p : p(x) =∑n

r=1 αreλrx}.

Sedangkan dalam F = IRN adalah P = {p : p(x) =∑n

r=1 arφr, ar ∈ IRN , φrIRN}

Teorema 3.2.1 (Teorema Weirstrass) Misal f terdefinisi dan terdifrensialkan

pada interval [a, b] maka terdapat polinomial p(x) yang juga terdefinisi dan ter-

difrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai ε > 0 berlaku

||f(x)− p(x)|| < ε,

dan ∀x ∈ [a, b]

Contoh

F = C[a, b] dan f ∈ F , tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN

||f ||p =

( ∫ b

a

|f(x)|pdx

) 1p

; 1 ≤ p ≤ ∞||f ||∞ = max

a≤x≤b|f(x)|

3.3 Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b

Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1;

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2;

a31x1 + a32x2 + · · ·+ a3nxn = b3; (3.1)...

annx1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.

Bila A merupakan matrik yang memuat koefisien variabel x1, x2, . . . , xn maka sis-

tem linier itu dapat direduksi sistem Ax = b. Ada banyak metoda yang dapat


digunakan dalam menyelesaikan sistem ini. Diantaranya metoda langsung dan

metoda iteratif. Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan soft-

ware komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan terus

dikembangkan.

Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem Ax =

b dapat diselesaikan melalui

A−1Ax = A−1b

x = A−1b

Teknik ini dipandang tidak efisien dan efektif, bahkan dimungkinkan suatu sistem

tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan,

yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik A.

Metoda iteratif menguraikan matrik A ini kedalam unsur matrik yang lebih seder-

hana dan mudah dihitung oleh komputer. Misal A=D-L-U, dimana D adalah

matrik diagonal, L adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah diag-

onal utama dan U adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas diagonal

utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut

(D− L−U)x = b (3.2)

Dx− (L + U)x = b

Dx = (L + U)x + b

x = D−1(L + U)x + D−1b

x = D−1(L + U)x + D−1b.

Misal J = D−1(L + U) maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai

xj+1 = Jxj + D−1b. (3.3)

Metoda ini disebut metoda Jacobi.

Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi, ditetap-

kanlah suatu koefisien redaman ω ∈ < sebagai faktor akselerasi terhadap metoda


ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini

xj+1 =[(1− ω)I + ωJ

]xj + ωD−1b. (3.4)

Metoda ini disebut metoda Jacobi teredam (damped Jacobi).

Bentuk lain dari penyederhanaan (3.2) adalah sebagai berikut

(D− L)x−Ux = b

(D− L)x = Ux + b

x = (D− L)−1Ux + (D− L)−1b

Misal G = (D− L)−1U maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai

xj+1 = Gxj + (D− L)−1b (3.5)

Metoda ini disebut metoda Gauss-Seidel.

Metoda-metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam hal

ini x0, kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untuk x1, x2, . . .

sehingga diperoleh deret {xi}ni=0. Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak

x. Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi se-

hingga dinamakan model solusi iteratif. Untuk menghentikan proses pengulangan

ini, hasilnya harus dikonfirmasikan dengan toleransi ε yang dalam hal ini dapat

ditentukan dari nilai dibawah ini

ε = ||b− Ax||1ε = ||b− Ax||2ε = ||b− Ax||∞


3.4 Fungsi-Fungsi Aproksimasi

3.4.1 Interpolasi dan Polinomial Lagrange

Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpo-

lasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangaku-

ratan melakukan suatu aproksimasi. Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan

aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu. Dengan demikian interpolasi

yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu. Oleh karena itu diperlukan

eksplorasi terhadap polinomial lainnya, polinomial Lagrange misalnya.

Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa titik

terhubung, sehingga interpolasinya berdasarkan titik-titik yang telah ditentukan

terlebih dahulu pada fungsi itu. Semakin dekat jarak penentuan titik yang satu

dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya. Dengan kata lain tingkat

akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik-titik (grid) pada fungsi tadi.

Teorema 3.4.1 (Polinomial Langrange ke-n) Jika x0, x1, x2, . . . adalah bilan-

gan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada titik-titik ini, maka ada

dengan tungggal suatu polinomial p(x) berderajad paling besar n yang memenuhi

sifat-sifat berikut

f(x) = p(x)

dimana

pk(x) = f(x0)Ln,0(x) + · · ·+ f(xn)Ln,n(x) =n∑

k=0

f(xk)Ln,k(x)

dan

Ln,k(x) =n∏

i=0i6=k

(x− xi)

(xk − xi)

untuk k=0,1,2,. . . , n


Dalam hal ini Ln,k(x) dapat ditulis dngan Lk(x) bila dianggap rancu dengan

pengertian derajad n. Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut:

Ln,k(xi) =

{0 jika i 6= k

1 jika i = k

Contoh 1 Gunakan titik-titik x0 = 2, x1 = 2.5 dan x2 = 4 untuk menentukan

interpolasi polinomial kedua terhadap f(x) = 1/x.

Solusi 1

L0(x) =(x− 2.5)(x− 4)

(2− 2.5)(2− 4)= (x− 6.5)x + 10

L1(x) =(x− 2)(x− 4)

(2.5− 2)(2.5− 4)=

(−4x + 24)x− 32

3

L2(x) =(x− 2)(x− 2.5)

(4− 2)(4− 2.5)=

(x− 4.5)x + 5

3

jika f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25, maka didapat

p2(x) =2∑

k=0

f(xk)Lk(x)

= 0.5((x− 6.5)x + 10) + 0.4(−4x + 24)x− 32

3+ 0.25

(x− 4.5)x + 5

3= (0.05x− 0.425)x + 1.15

Interpolasi oleh p2(x) terhadap f(x) dapat digambarkan dibawah ini

3.4.2 Difrensi Terpisah

Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan mengek-

spresikan bentuk pn(x) dalam

pn(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)(x− x1) + . . .

+an(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1) (3.6)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

f(x)

p2(x)

Gambar 3.2: Interpolasi polinomial Lagrange p2(x) terhadap f(x)

dimana a0, a1, . . . , an adalah konstanta.

Selanjutnya bila kita tentukan x = x0 maka persamaan (3.6) menjadi

pn(x0) = a0 = f(x0) ≈ f [x0], (3.7)

dan x = x1 maka

pn(x1) = a0 + a1(x1 − x0) = f(x1),

pn(x1) = f(x0) + a1(x1 − x0) = f(x1),

sehingga

a1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

≈ f [x0, x1], (3.8)

dengan demikian dapat dikatakan

f [xi, xi+1] =f [xi+1]− f [xi]

xi+1 − xi

(3.9)

dan

f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2]− f [xi, xi+1]

xi+2 − xi

(3.10)

sehingga difrensi terpisah ke k

f [xi, xi+1, . . . , xi+k] =f [xi+1, xi+2, . . . , xi+k]− f [xi, xi+1, . . . , xi+(k−1)]

xi+k − xi

. (3.11)


Dan terakhir persamaan (3.6) menjadi

pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1) + . . .

+f [x0, x1, . . . , xn](x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1) (3.12)

Selanjuntya untuk

x = x0 + sh

x = xi + (s− i)h atau h =x− xi

s− i, i = 0, 1, 2, . . . , n

maka

pn(x) = pn(x0 + sh)

= f [x0] + shf [x0, x1] + s(s− 1)h2f [x0, x1, x2] + · · ·+ s(s− 1) . . .

(s− (n− 1))hnf [x0, x1, . . . , xn] (3.13)

=n∑

k=0

s(s− 1) . . . (s− k + 1)hkf [x0, x1, . . . , xk] (3.14)

Bukti

Pada suku kedua dari persamaan (3.13) h dapat diganti dengan h = x−x0

s, pada

suku ketiga h2 dapat diganti dengan h · h =

(x−x0

s

)(x−x1

s−1

)begitu juga suku

keempat, kelima dan seterusnya.

Sekarang kita nyatakan (3.14) dalam ekspresi

pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑

k=0

(s

k

)k!hkf [x0, x1, . . . , xk]

dimana (s

k

)=

s(s− 1) . . . (s− k + 1)

k!


Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut

4f(xn) = f(xn+1)− f(xn)

f [x0, x1] =f(x1)− f(xn)

x1 − x0

=1

h4 f(x0)

f [x0, x1, x2] =f [x1, x2]− f [x0, x1]

x2 − x0

=1

2h[1

h4 f(x2)− 1

h4 f(x0)]

=1

2h24 f(x0)

sehingga

f [x0, . . . , xk] =1

k!hk4k f(x0) (3.15)

x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III

x0 f [x0]

f [x0, x1]

x1 f [x1] f [x0, x1, x2] = f [x1,x2]−f [x0,x1]x2−x0

f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3] =f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]

x3−x0



x4−x1



x5−x2


f [x4, x5]

x5 f [x5]

Tabel 3.1: Difrensi terpisah langkah maju.


Substitusikan ini kedalam persamaan

pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑

k=0

(s

k

)k!hkf [x0, x1, . . . , xk]

maka diperoleh bentuk

pn(x) = pn(x0 + sh) =∑n

k=0

(s

k

)4k f(x0).

Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton (NFDD). Untuk

mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju seba-

gaimana tabel 3.1.

Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu xn, xn−1, xn−2, . . . , x0, maka pn(x) dapat

dinyatakan dalam

pn(x) = a0 + a1(x− xn) + a2(x− xn)(x− xn−1) + . . .

+an(x− xn)(x− xn−1) . . . (x− x1) (3.16)

dimana a0, a1, . . . , an adalah konstanta.

Misal kita tentukan x = xn maka persamaan (3.16) menjadi

pn(xn) = a0 = f(xn) ≈ f [xn], (3.17)

dan untuk x = xn−1 maka

pn(xn−1) = a0 + a1(xn−1 − xn) = f(xn−1),

pn(xn−1) = f(xn) + a1(xn−1 − xn) = f(xn−1),

sehingga

a1 =f(xn−1)− f(xn)

xn−1 − xn

=f(xn)− f(xn−1)

xn − xn−1

≈ f [xn, xn−1]. (3.18)


Dengan demikian persamaan (3.16) menjadi

pn(x) = f [xn] + f [xn, xn−1](x− xn) + f [xn, xn−1, xn−2](x− xn)(x− xn−1) + . . .

+f [xn, xn−1, . . . , x0](x− xn)(x− xn−1) . . . (x− x1) (3.19)

Selanjutnya untuk

x = xn + sh

x = xn−i + (s + i)h atau h =x− xn−i

s + i, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1

maka

pn(x) = pn(xn + sh)

= f [xn] + shf [xn, xn−1] + s(s + 1)h2f [xn, xn−1, xn−2] + · · ·+ s(s + 1) . . .

(s + (n− 1))hnf [xn, xn−1, . . . , x0] (3.20)

=n∑

k=0

s(s + 1) . . . (s + k − 1)hkf [xn, xn−1, . . . , x0]

Bukti

Pada suku kedua dari persamaan (3.16) h dapat diganti dengan h = xn−xn−1

s, pada

suku ketiga h2 dapat diganti dengan h ·h =

(xn−xn−1

s

)(x−xn−2

s+1

)begitu juga suku

keempat, kelima dan seterusnya.

Sehingga kita memiliki ekspresi

pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑

k=0

(−1)k

(−s

k

)k!hkf [xn, xn−1, . . . , x0]

dimana (s

k

)= (−1)k s(s− 1) . . . (s− k + 1)

k!

Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur

5f(xn) = f(xn)− f(xn−1); n ≥ 1

5kf(xn) = 5(5k−1f(xn)); k ≥ 2


maka

x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III

x0 f [x0]

f [x1, x0]



x0−x3



x1−x4



x2−x5


f [x5, x4]

x5 f [x5]

Tabel 3.2: Difrensi terpisah langkah mundur.

f [xn, xn−1] =f(xn)− f(xn−1)

xn − xn−1

=1

h5 f(xn)

f [xn, xn−1, xn−2] =f [xn, xn−1]− f [xn−1, xn−2]

xn − xn−2

=1

2h252 f(xn)

dan akhirnya

f [xn, xn−1, . . . , x0] =1

k!hk5k f(xn) (3.21)

Substitusikan ini kedalam persamaan

pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑

k=0

(−1)k

(−s

k

)k!hkf [xn, xn−1, . . . , x0]


maka diperoleh bentuk

pn(x) = pn(x0 + sh) =∑n

k=0(−1)k

(−s

k

)5k f(xn).

Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton (NBDD).

Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur yang

disajikan dalam Tabel 3.2.

Contoh 2 Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi

x f(x)

1.0 0.7651977

1.3 0.6200860

1.6 0.4554022

1.9 0.2818186

2.2 0.1103623

Tabel 3.3: Data f(x)

terpisal langkah maju p4 terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi dari

f(1.5).

Solusi 2 Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel

berikut ini

Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut

p4(x) = 0.7651977− 0.4837057(x− 1.0)− 0.1087339(x− 1.0)(x− 1.3) + 0.0658784

.(x− 1.0)(x− 1.3)(x− 1.6) + 0.0018251(x− 1.0)(x− 1.3)(x− 1.6)(x− 1.9)


i xi f [xi] FDD I FDD II FDD III FDD IV

0 1.0 0.7651977

-0.4837057

1 1.3 0.6200860 -0.1087339

-0.5489460 0.0658784

2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251

-0.5786120 0.0680685

3 1.9 0.2818186 0.0118183

-0.5715210

4 2.2 0.1103623

Selanjutnya dapat ditentukan

f(1.5) ≈ p4(1.5) = 0.5118200

Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p4(x) menginterpolasi data f(x)

0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p4(x)

Gambar 3.3: Approksimasi NFDD p4(x)

3.4.3 Interpolasi Splin Kubik

Definisi 3.4.1 Fungsi f terdefinisi pada interval [a, b] dan diberikan himpunan

titik x0, x1, . . . , xn dimana a = x0 < x1 < · · · < xn = b, maka interpolasi splin


kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini

1. S(x) adalah fungsi polinomial kubik, dinotasikan dengan Sj(x), yang terdefin-

isi pada subinterval [xj, xj+1] untuk masing-masing j = 0, 1, . . . , n− 1;

2. S(xj) = f(xj) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n;

3. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n− 2;

4. S ′j+1(xj+1) = S ′j(xj+1) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n− 2;

5. S ′′j+1(xj+1) = S ′′j (xj+1) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n− 2;

6. dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi

(a) S ′′(x0) = S ′′(xn) = 0 (sarat batas bebas atau alami);

(b) S ′(x0) = f ′(x0) dan S ′(xn) = f ′(xn) (sarat batas terikat);

Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin

Alami, dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin

Terikat.

Splin Kubik Alami

Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial

kubik

Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)

3; j = 0, 1, . . . , n− 1 (3.22)

Untuk x = xj, maka

Sj(xj) = aj = f(xj) (3.23)

dan untuk x = xj+1 maka

aj+1 = Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) = aj + bj(xj+1− xj) + cj(xj+1− xj)2 + dj(xj+1− xj)

3


j = 0, 1, . . . , n− 2. Bila hj = xj+1 − xj

aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh

3j ; j = 0, 1, . . . , n− 1 (3.24)

Sekarang didefinisikan bn = S ′n(x) dan turunan pertama (3.22) adalah

S ′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2

sehingga

bj+1 = S ′j+1(xj+1) = S ′j(xj+1), (lihat poin5 . pada definisi)

= bj + 2cjhj + 3djh2j ; j = 0, 1, . . . , n− 1. (3.25)

Sekarang permisalkan c = S′′n(x)2

, dan turunan kedua dari (3.22) adalah

S ′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

sehingga

cj+1 = cj + 3djhj

dj =(cj+1 − cj)

3hj

(3.26)

Substitusikan persamaan ini ke (3.24)dan (3.25) didapat

aj+1 = aj + bjhj + cjh2j +

(cj+1 − cj)h3j

3hj

;

= aj + bjhj +h2

j

3(2cj + cj+1) (3.27)

dan

bj+1 = bj + 2cjhj + 3(cj+1 − cj)h

2j

3hj

;

= bj + hj(cj + cj+1) (3.28)

Ekspresikan persamaan (3.27) dalam bj dan kemudian reduksi indeknya satu kali

bj =1

hj

(aj+1 − aj)− hj

3(2cj + cj+1). (3.29)

bj−1 =1

hj−1

(aj − aj−1)− hj−1

3(2cj−1 + cj). (3.30)


Reduksi juga indek dari persamaan (3.28) satu kali

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (3.31)

Substitusikan (3.29) dan (3.30) ke (3.31)

1

hj

(aj+1 − aj)− hj

3(2cj + cj+1) =

1

hj−1

(aj − aj−1)− hj−1

3(2cj−1 + cj)

+hj−1

3(2cj−1 + cj).

Kelompokkan seluruh variabel c keruas kiri

hj−1

3(2cj−1 + cj)− hj−1(cj−1 + cj)− hj

3(2cj + cj+1) = − 1

hj

(aj+1 − aj)

+1

hj−1

(aj − aj−1)

−hj−1(2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj) + hj(2cj + cj+1) =3

hj

(aj+1 − aj)

− 3

hj−1

(aj − aj−1)

Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koefisien c

hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3

hj

(aj+1 − aj)− 3

hj−1

(aj − aj−1), (3.32)

dimana j = 1, 2, . . . , n− 1.

Splin kubik alami memenuhi kondisi S ′′(x0) = S ′′(xn) = 0, dengan demikian


masing-masing j dapat diformulasikan sebagai berikut

j = 0 → c0 = 0;

j = 1 → h0c0 + 2(h0 + h1)c1 + h1c2 =3

h1

(a2 − a1)− 3

h0

(a1 − a0);

j = 2 → h1c1 + 2(h1 + h2)c2 + h2c3 =3

h2

(a3 − a2)− 3

h1

(a2 − a1); ;

...

j = n− 1 → hn−2cn−2 + 2(hn−2 + hn−1)cn−1 + hn−1cn =3

hn−1

(an − an−1)

− 3

hn−2

(an−1 − an−2);

j = n → cn = 0.

Persamaan ini terdiri dari n persamaan dan n variable cj yang akan dicari, dengan

kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu

sistem linier Ax = b, dimana

A =

1 0 0 0

h0 2(h0 + h1) h1

0 h1 2(h1 + h2) h2

0

hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 0 0 1

dan

b =

03h1

(a2 − a1)− 3h0

(a1 − a0)3h2

(a3 − a2)− 3h1

(a2 − a1)...

3hn−1

(an − an−1)− 3hn−2

(an−1 − an−2)

0

, x =

c0

c1

c2

...

cn−1

cn

Matrik A adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan

diagonak utama (strictly diagonally dominant), diluar itu nilainya nol. Hal ini


membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x. Dengan menggunakan metoda it-

eratif, sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah.

Algoritma splin kubik alami

INPUT n; x0, x1, . . . , xn; a0 = f(x0), . . . , an = f(xn).

OUTPUT aj, bj, cj, dj, untuk j = 1, 2, . . . , n− 1(Catatan : Sj(xj) =

aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)

3 untuk xj ≤ x ≤ xj+1.)

Step 1 for i = 0, 1, . . . , n− 1 dan Set hi = xi+1 − xi.

Step 2 for i = 1, . . . , n− 1 dan Set

αi =3

hi

(ai+1 − ai)− 3

hi−1

(ai − ai−1)

Step 3 Set l0 = 1(Langkah 3,4,5 dan sebagian dari 6 adalah algoritma

untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal Ax = b)

µ0 = 0;

z0 = 0.

Step 4 for i = 1, 2, . . . , n− 1

set li = 2(xi+1 − xi−1)− hi−1µi−1;

µi = hi/li;

zi = (αi − hi−1zi−1)/li.

Step 5 Set ln = 1;

zn = 0;

cn = 0.

Step 6 for j = n− 1, n− 2, . . . , 0

set cj = zj − µjcj+1;

bj = (aj+1 − aj)/hj − hj(cj+1 + 2cj)/3;

dj = (cj+1 − cj)/(3hj).

Step 7 OUTPUT(aj, bj, cj, dj, untuk j = 1, 2, . . . , n− 1);

STOP.


Contoh 3 Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini

xj aj = f(xj)

0 0

1 1

2 3

3 2

Solusi 3 Polinomial kubik dalam hal ini adalah

Sj(xj) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)

3,

dimana j = 1, . . . , n − 1. Karena n = 3 maka j = 1, 2, dengan asumsi j = 0 →c0 = 0 dan j = 3 → c3 = 0 sehingga

A =

1 0 0 0

h0 2(h0 + h1) h1 0

0 h1 2(h1 + h2) h2

0 0 0 1

dan

b =

03h1

(a2 − a1)− 3h0

(a1 − a0)3h2

(a3 − a2)− 3h1

(a2 − a1)

0

, x =

c0

c1

c2

c3

Dengan memasukkan nilai hj dan aj dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai

berikut

A =

1 0 0 0

1 4 1 0

0 1 4 1

0 0 0 1


dan

b =

0

3

−9

0

Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut

x =

c0

c1

c2

c3

=

0

1.40

−2.60

0

Sedang bj dan dj dapat dihitung dengan menggunakan rumus (3.29) dan (3.26).

Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut

xj aj bj cj dj

0 0 0.53333 0 0.46667

1 1 1.93333 1.40 -13.33333

2 3 0.73333 -2.60 0.86667

3 2 − 0 −

Grafik dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data ’*’.

3.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas

Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai In-

tegrasi Numeris dibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral

dimana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau

fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan. Suatu metoda yang cukup

dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur. Metoda ini menggunakan rumus

jumlah∑n

i=0 aif(xi) untuk menghitung nilai approksimasi terhadap∫ b

af(x)dx.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4

5

S3(x)

Gambar 3.4: Approksimasi spline kubik S3(x)

Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan pengem-

bangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap merupakan

fungsi approksimasi yang terbaik p∗. Prosedur penurunannya diawali dengan

menentukan himpunan titik-titik berbeda x0, . . . , xn dari interval [a, b], selanjutnya

mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemenggalannya dalam

interval [a, b].

Pn(x) =n∑

i=0

f(xi)Li(x)

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

n∑i=0

f(xi)Li(x)dx +

∫ b

a

n∏i=0

(x− xi)fn+1(ξ(x))

(n + 1)!dx

=n∑

i=0

aif(xi) +1

(n + 1)!

∫ b

a

n∏i=0

(x− xi)fn+1(ξ(x))dx,

dimana ξ(x) ∈ [a, b] untuk setiap x dan

ai =

∫ b

a

Li(x)dx untuk setiap i = 0, 1, 2, . . . , n.

Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah

∫ b

a

f(x)dx ≈n∑

i=0

aif(xi),


dengan kesalahan

E(f) =1

(n + 1)!

∫ b

a

n∏i=0

(x− xi)f(n+1)(ξ(x))dx.

Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk men-

gatasi permasalahan yang lebih komplek. Bila kita cermati formulasi kesalahan-

nya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret Taylor

yang belum diekpansi, sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor yang belum

terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksimasinya hanya

berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel. Metoda lain yang dipandang

lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson. Aturan ini dikembangkan

dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua pada himpunan

titik-titik sampel. Misal kita notasikan x0 = a, x1 = b, h = b − a dan polinomial

Lagrange linier

P1(x) =(x− x1)

(x0 − x1)f(x0) +

(x− x0)

(x1 − x0)f(x1).

maka

∫ b

a

f(x)dx =

∫ x1

x0

[(x− x1)

(x0 − x1)f(x0) +

(x− x0)

(x1 − x0)f(x1)

]dx

+1

2

∫ x1

x0

f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx. (3.33)

Jika (x − x0)(x − x1) tidak berubah tanda dalam interval [x0, x1] maka teorema

nilai ”weighted mean” untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya

sehingga diperoleh

∫ x1

x0

f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx = f ′′(ξ)∫ x1

x0

(x− x0)(x− x1)dx

= f ′′(ξ)[x3

3− (x1 + x0)

2x2 + x0x1x

]x1

x0

= −h3

6f ′′(ξ).


Sebagai konsukwensinya (3.33) akan menjadi

∫ b

a

f(x)dx =

[(x− x1)

2

2(x0 − x1)f(x0) +

(x− x0)2

2(x1 − x0)f(x1)

]x1

x0

− h3

12f ′′(ξ)

=x1 − x0

2[f(x0) + f(x1)]− h3

12f ′′(ξ).

Dengan demikian untuk h = x1 − x0 kita mendapatkan rumus berikut ini

Aturan Trapesium

∫ b

af(x)dx = h

2[f(x0) + f(x1)]− h3

12f ′′(ξ) (3.34)

Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi positif,

maka∫ b

af(x)dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium sebagaimana

digambarkan dalam Gambar 3.5.

f

P_1

a=x_0 b=x_1

y

x

Gambar 3.5: Aturan Trapesium.

Bila kita perhatikan rumus diatas, dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trapesium

itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan kedu-

anya adalah sama dengan nol (sebarang polinomial berorder satu atau kurang),

karena suku kesalahan trapesium ini meliputi f ′′. Dengan kata lain aturan Trape-

sium dikatakan berorder satu, dan suku kesalahan pemenggalannya adalah suatu

fungsi O(h2). Dari sisi ini kita dapat mengatakan bahwa aturan Trapesium juga

tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang sangat komplek


memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan aturan

lainnya. Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson.

Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua dalam

batas [a, b] dengan beberapa titik x0 = a, x2 = b dan x1 = a + h, untuk h = (b−a)2

,

lihat Gambar 3.6. Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam

P2(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

Sehingga

∫ b

a

f(x)dx =

[(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

]dx

+

∫ x1

x0

(x− x0)(x− x1)(x− x2)

6f (3)(ξ(x))dx.

f

P_1

a=x_0 b=x_2

y

xx_1

Gambar 3.6: Aturan Simpson.

Sebagaimana aturan Trapesium, penentuan orde aturan Simpson juga dapat dil-

ihat dari suku kesalahannya. Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada suku


kesalahan O(h4) yaitu hanya meliputi f (3) sehingga aturan Simpson yang ditu-

runkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua. Versi yang lebih baik dari

aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi polino-

mial Taylor ketiga f terhadap x1. Misalkan masing-masing x ∈ [a, b] ada bilangan

ξ(x) ∈ (x0, x1) maka ekspansi Taylor

f(x) = f(x1) + f ′(x1)(x− x1) +f ′′(x1)

2(x− x1)

2 +f ′′′(x1)

6(x− x1)

3

+f (4)(ξ(x))

24(x− x1)

4

dan∫ x2

x0

f(x)dx =

[f(x1)(x− x1) +

f ′(x1)

2(x− x1)

2

+f ′′(x1)

6(x− x1)

3 +f ′′′(x1)

24(x− x1)

4

]x2

x0

+1

24

∫ x1

x0

f (4)(ξ(x))(x− x1)4dx (3.35)

Karena (x − x1)4 tidak pernah bernilai negatif pada interval [x0, x1], maka teori

nilai ”Weighted Mean” untuk integral akan menjadi

1

24

∫ x1

x0

f (4)(ξ(x))(x− x1)4dx =

f (4)(ξ1)

24

∫ x2

x0

(x− x1)4dx

=f (4)(ξ1)

120(x− x1)

5

∣∣∣∣x2

x0

untuk sebarang ξ1 ∈ (x0, x2).

Sementara kita tahu bahwa h = x2 − x1 = x1 − x0, sehingga

(x2 − x1)2 − (x0 − x1)

2 = (x2 − x1)4 − (x0 − x1)

4 = 0

(x2 − x1)3 − (x0 − x1)

3 = 2h3 dan (x2 − x1)5 − (x0 − x1)

5 = 2h5

Sebagai konsukwensinya persamaan (3.35) dapat ditulis sebagai∫ x2

x0

f(x)dx = 2hf(x1) +h3

3f ′′(x1) +

h5

60f (4)(ξ1) (3.36)


Disisi lain kita memiliki ekspresi

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h +1

2f ′′(x0)h

2 +1

6f ′′′(x0)h

3 +1

24f (4)(ξ1)h

4

f(x0 − h) = f(x0) + f ′(x0)h− 1

2f ′′(x0)h

2 +1

6f ′′′(x0)h

3 − 1

24f (4)(ξ−1)h

4

dimana x0 − h < ξ−1 < x0 < ξ1 < x0 + h. Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi

Taylor ini

f(x0 + h) + f(x0 − h) = 2f(x0) + f ′′(x0)h2 +

1

24[f (4)(ξ1+) + f (4)(ξ−1+)]h4

Sederhanakan untuk f ′′(x0) didapat

f ′′(x0) =1

h2[f(x0 − h)− 2f(x0) + f(x0 + h)]− h2

24[f (4)(ξ1)

+f (4)(ξ−1+)]. (3.37)

Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk f (4) ∈ C[x0 − h, x0 + h] maka

f (4)(ξ) =1

2[f (4)(ξ1+) + f (4)(ξ−1+)].

Dengan demikian kita dapat menulis (3.37) sebagai

f ′′(x0) =1

h2[f(x0 − h)− 2f(x0) + f(x0 + h)]− h2

12f (4)(ξ), (3.38)

untuk sebarang ξ ∈ (x0 − h, x0 + h). Pada akhirnya (3.36) dapat ditulis dengan

mengganti f ′′(x0) dengan persamaan (3.38) adalah

∫ x2

x0

f(x)dx = 2hf(x1) +h3

3

{1

h2[f(x0)− 2f(x1) + f(x2)]

−h2

12[f (4)(ξ2)

}+

h5

60f (4)(ξ1)

=h3

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]− h5

12

[1

3f (4)(ξ2)− 1

5f (4)(ξ1)

]

Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi ξ1 dan ξ2 dengan ξ ∈(x0, x2) sehingga aturan Simpson secara umum adalah


Aturan Simpson

∫ x2

x0f(x)dx = h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]− h5

90f (4)(ξ) (3.39)

Secara definitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer keaku-

ratan suatu teknik approksimasi. Semakin tinggi order itu berarti semakin luas

ekspansi suku kesalahannya, akibatnya kesalahan pemenggalan semakin kecil. Se-

bagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires definisi derajad keakuratan dapat

dijelaskan sebagai berikut:

Definisi 3.5.1 (Derajad keakuratan atau presesi) Derajad keakuratan atau

presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesar n sedemikian

hingga formula itu eksak untuk xk, dimana k = 1, 2, . . . , n (1997 : 89).

Dengan definisi (5.1.1) ini ditambah kenyataan besarnya order pada masing-masing

aturan, maka aturan Trapesium dan Simpson masing-masing mempunyai derajad

presesi satu dan tiga. Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simpson akan

lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium. Artinya aturan Simpson

dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai integral untuk

jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut.


Latihan Tutorial 3

1. Buktikan bahwa ||f || = maxa≤x≤b|f(x)| merupakan norm pada C[a, b].

2. Jika A ∈ IRN×N ,A = AT dan A definit positif matrik, yakni xTAx > 0

untuk seberang vektor x, maka buktikan bahwa ||x||A = (xTAx)12 merupakan

norm pada IRN

3. Mana diantara berikut ini merupakan norm.

(a) dalam IR2, ||x|| = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.(b) dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akx

k−1|.

4. Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f ∈ C[a, b]. Selanjutnya

tunjukkan bahwa untuk ||g||p =

{∫ b

aw(x)|g(x)|pdx

} 1p

dimana 1 ≤ p ≤ ∞,

dan diberikan ε > 0, maka ∃N = N(ε) dan polinomial pN(x) sedemikian

hingga

||f − pN || ≤ K1p ε,

untuk sebarang konstanta K > 0

5. Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu, dua dan tiga untuk

menentukan nilai aproksimasi dari masing-masing dibawah ini

(a) tentukan nilai dari f(8.4) bila diketahui f(8.1) = 16.94410, f(8.3) =

17.56492, f(8.6) = 18.50515 dan f(8.7) = 18.82091.

(b) tentukan nilai dari f(0.25) bila diketahui f(0.1) = −0.62049958, f(0.2) =

−0.28398668, f(0.3) = 0.00660095 dan f(0.4) = 0.24842440.

(c) tentukan nilai daricos 0.750 bila diketahui cos 0.698 = 0.7661, cos 0.733 =

0.7432, cos 0.768 = 0.7193 dan cos 0.803 = 0.6946.

6. Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut


(a) f(x) = e2x cos 3x, x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.6

(b) f(x) = sin ln x, x0 = 2.0, x1 = 2.4, x2 = 2.6

(c) f(x) = cos x + sin x, x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 1.0

(d) f(x) = e2x cos 3x, x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.6

7. Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

f(x) 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554

(a) nilai dari f(0.05) dengan menggunakan NFDD

(b) nilai dari f(0.65) dengan menggunakan NBDD

8. Polinomial berderajad empat p(x) memenuhi sifat 44p(0) = 24,43p(0) = 6,

dan 42p(0) = 0 dimana 4p(x) = p(x + 1)− p(x). Hitung 42p(10).

9. Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi ter-

hadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasi p. Selanjutnya akurasi in-

terpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p, secara matematis ditulis

dengan ||f−p|| (dibaca : norm(f-p)). Sebutkan definisi norm ini, baik vek-

tor ataupun matrik. Kemudian dengan pemahaman akan norm ini sebutkan

apa sebenarnya inti permasalahan (konsep masalah) dalam aproksimasi

itu. Jika kita memilih fungsi aproksimasi p tentunya kita pilih fungsi yang

terbaik. Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang dapat digu-

nakan untuk menginterpolasi fungsi f itu, sebutkan nama-nama fungsi

aproksimasi tersebut. Salah satu fungsi aproksimasi yang fleksibel adalah

splin kubik. Dengan data dibawah ini tentukan fungsi aproksimasi splin

kubik untuk menginterpolasi data f(xj) dimana xj = 0, 1, 2.

10. Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi-fungsi berikut ini


xj aj = f(xj)

0 1

1 9

2 2

(a) f(x) = x ln x; dan tentukan f(8.4) dan f ′(8.4)

(b) f(x) = sin(ex − 2); dan tentukan f(0.9) dan f ′(0.9)

(c) f(x) = x cos x− 2x2 + 3x− 1; dan tentukan f(0.25) dan f ′(0.25)

11. Splin kubik alami S pada interval [0, 2] didefinisikan sebagai

S(x) =

{S0(x) = 1 + 2x− x3 jika 0 ≤ x < 1,

S1(x) = a + b(x− 1) + c(x− 1)2 + d(x− 1)3 jika 1 ≤ x < 2,

tentukan nilai dari a, b, c, dan d.

12. Berikut ini disajikan konstruksi automobile, gunakan splin kubik untuk meng-

interplosi permukaan atas automobile tersebut.

x_0 x_1x_2

x_3 x_4

x_5

...

x_n

Gambar 3.7: Konstruksi automobile


13. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan dan jarak tertentu pada saat ter-

tentu t, sebagaimana digambarkan dalam tabel berikut. Selanjutnya

Waktu (jam) 0 3 5 8 13

Jarak (km) 0 225 383 623 993

Kecepatan 75 77 80 74 72

(a) gunakan splin kubik untuk mempridiksikan jarak yang ditempuh mobil

dan kecepatan pada saat mobile melaju selama 10 jam.

(b) Tentukan kecepatan maksimum dari laju mobil tersebut.

BAB 4

Metoda Numeris untuk Sistem

Nonlinier

Suatu tekanan p dibutuhkan untuk menancapkan suatu plat sirkuler dengan radius

r kedalam permukaan keras yang mempunyai panjang D. Plat itu akan ditancap-

kan sejauh d (dengan D > d) dibawah permukaan. Tekanan itu bervariasi tergan-

tung besarnya radius dari plat sirkuler tadi, semakin besar radius plat semakin

besar pula tekanan yang dibutuhkan, sehingga hubungan antara tekanan p dengan

radius plat r dapat disajikan sebagai

p = k1ek2r + k3r,

dimana k1, k2 dan k3 adalah konstanta yang tergantung pada kedalaman plat itu

ditancapkan d dan konsistensi dari permukaan.

Selanjutnya untuk menentukan radius minimal plat yang masih memungkinkan plat

dapat menahan beban besar akibat dari tekanan dan permukaan keras tadi, pada

gambar tiga plat sirkuler dengan radius, dan tekanan yang berbeda ditancapkan

bersama dengan kedalaman yang sama. Peristiwa ini menghasilkan persamaan tiga

52

BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 53

m 3

r r r1 23

mm1

2

sistem non linier

m1 = k1ek2r1 + k3r1

m2 = k1ek2r1 + k3r1

m3 = k1ek2r1 + k3r1.

Untuk menentukan k1, k2 dan k3, metoda numeris merupakan alternatif yang baik.

Sistem persamaan non linier dapat disajikan dalam bentuk

f1(x1, x2, . . . , xn) = 0

f2(x1, x2, . . . , xn) = 0

f3(x1, x2, . . . , xn) = 0 (4.1)...

fn(x1, x2, . . . , xn) = 0

Alternatif lain kita dapat menulis sistem itu dalam fungsi F, yang memetakan Rn

terhadap Rn.

F(x1, x2, dots, xn) =(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn)

)T

F(x) = 0 (4.2)

Definisi 4.0.1 Suatu fungsi f yang memetakan D ⊂ Rn kedalam R dikatakan

kontinyu pada x0 bila

limx→x0

f(x) = f(x0).


Selanjutnya untuk f yang kontinyu pada himpunan domain D dan kontinyu pula

disetiap elemen D maka dapat ditulis f ∈ C(D).

Definisi 4.0.2 Suatu fungsi F yang memetakan D ⊂ Rn kedalam Rn dengan ben-

tuk

F = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))T

maka

limx→x0

F(x) = L = (L1, L2, . . . , Ln)T

jika dan hanya jika limx→x0 fi(x) = Li untuk masing-masing i. Selanjutnya fungsi

F akan kontinyu pada x0 ∈ D bila limx→x0 F(x) ada, dan limx→x0 F(x) = F(x0)

dan bila F kontinyu dalam domain D maka F akan kontinyu pada setiap x ∈ D.

dengan simbol yang sama dengan teorema (4.0.2) dalam hal ini ditulis sebagai

F ∈ C(D)

Teorema 4.0.1 Jika f adalah fungsi yang memetakan D ⊂ Rn kedalam R dan

x0 ∈ D, maka jika ditemukan suatu konstanta δ > 0 dan K > 0 dengan ketentuan

∣∣∣∣∂f(x)

∂xj

∣∣∣∣ ≤ K, untuk j = 1, 2, . . . , n

dan

||x− x0|| < δ, x ∈ D

maka f adalah kontinyu pada x0.

4.1 Metoda Titik Tetap

Definisi 4.1.1 Suatu fungsi G yang memetakan D ⊂ Rn kedalam Rn mempunyai

titik tetap pada p ∈ D jika G(p)=p.


Teorema 4.1.1 Jika D =

{(x1, x2, . . . , xn)T |ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, . . . , n

}, dan

G adalah fungsi kontinyu yang memetakan D ⊂ Rn kedalam R dengan sifat G(x) ∈D untuk sebarang x ∈ D, maka G mempunyai titik tetap pada D. Selanjutnya bila

G kontinyu pada turunan partialnya dan ditemukan konstanta K < 1 dengan

∣∣∣∣∂gi(x)

∂xj

∣∣∣∣ ≤K

n, untuk sebarangx ∈ D,

untuk masing-masing j = 1, 2, . . . , n dan masing-masing komponen gi. Maka

sederetan bilangan {x[k]}∞k=0 yang didefinisikan sebagai

x[k] = G(x[k−1]), untuk masing −masing k ≥ 1

akan konvergen terhadap titik tetap tunggal p ∈ D dan

||x[k] − p||∞ ≤ Kk

1−K||x(1) − x(0)||∞. (4.3)

Contoh 4.1.1 Buktikan bahwa sistem non linier berikut ini mempunyai titik tetap

tunggal pada D ={(x1, x2, x3)

T | − 1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3}.

3x1 − cos(x2x3)− 1

2= 0

x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin x3 + 1.06 = 0

e−x1x2 + 20x3 +10π − 3

3= 0.

Penyelesaian 4.1.1 Selesaikan persamaan diatas untuk xi maka

x1 =1

3cos(x2x3) +

1

6,

x2 =1

9

√x2

1 + sin x3 + 1.06− 0.1,

x3 = − 1

20e−x1x2 − 10π − 3

60.


dengan demikian untuk G : Rn → Rn didefinisikan G(x) = (g1x), g2x), g3x))T

dimana

g1(x1, x2, x3) =1

3cos(x2x3) +

1

6,

g2(x1, x2, x3) =1

9

√x2

1 + sin x3 + 1.06− 0.1,

g3(x1, x2, x3) = − 1

20e−x1x2 − 10π − 3

60.

Untuk x = (x1, x2, x3)T ∈ D maka

|g1(x1, x2, x3)| ≤ 1

3|cos(x2x3)|+ 1

6≤ 0.50,

|g2(x1, x2, x3)| =1

9

√x2

1 + sin x3 + 1.06− 0.1,

=1

9

√1 + sin 1 + 1.06− 0.1 < 0.09,

|g3(x1, x2, x3)| ≤ | − 1

20e−x1x2|+ 10π − 3

60.

=1

20e +

10π − 3

60< 0.61,

sehingga −1 ≤ gi(x1, x2, x3) ≤ 1, untuk i = 1, 2, 3, dengan demikian G(x) ∈ D

untuk sebarang x ∈ D.

Slanjutnya kita tentukan∣∣∣∣∂gi

∂xj

∣∣∣∣ ≤K

n, untuk sebarangx ∈ D,

Dalam hal ini ∣∣∣∣∂g1

∂x1

∣∣∣∣ = 0

∣∣∣∣∂g1

∂x2

∣∣∣∣ ≤ 1

3|x3|| sin x2x3| ≤ 1

3sin 1 < 0.281

∣∣∣∣∂g1

∂x3

∣∣∣∣ ≤ 1

3|x2|| sin x2x3| ≤ 1

3sin 1 < 0.281

∣∣∣∣∂g2

∂x1

∣∣∣∣ = 0


∣∣∣∣∂g2

∂x2

∣∣∣∣ =|x1|

9√

x21 + sin x3 + 1.06

<1

9√

0.218< 0.119

∣∣∣∣∂g2

∂x3

∣∣∣∣ =| cos x3|

18√

x21 + sin x3 + 1.06

<1

18√

0.218< 0.119

∣∣∣∣∂g3

∂x1

∣∣∣∣ = 0

∣∣∣∣∂g3

∂x2

∣∣∣∣ =|x2|20

e−x1x2 ≤ 1

20e < 0.14

∣∣∣∣∂g3

∂x3

∣∣∣∣ =|x1|20

e−x1x2 ≤ 1

20e < 0.14.

Karena g1, g2, g3 terbatas dalam D maka dengan teorema (4.0.1) gi kontinyu pada

D, dengan demikian G kontinyu pada D. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa∣∣∣∣∂gi(x)

∂xj

∣∣∣∣ ≤ 0.281, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3.

Dan akhirnya G mempunyai titik tetap tunggal.

k x[k]1 x

[k]2 x

[k]3 en = ||x[k]

1 − x[k−1]1 ||∞

0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000

1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.423

2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 9.4× 10−3

3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2.3× 10−4

4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1.2× 10−5

5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3.1× 10−7

Kemudian untuk menentukan aproksimasi dari titik tetap p itu, kita pilih x[0] =

(0.1, 0.1,−0.1)T , dan kalkulasi berikutnya mengikuti proses iterasi berikut

x[k]1 =

1

3cos(x

[k−1]2 x

[k−1]3 ) +

1

6,

x[k]2 =

1

9

√(x

[k−1]1 )2 + sin x

[k−1]3 + 1.06− 0.1,

x[k]3 = − 1

20e−x

[k−1]1 x

[k−1]2 − 10π − 3

60.


Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel di atas. Kemudian, untuk memper-

cepat konvergensi proses iterasi dapat dilakukan dengan cara

x[k]1 =

1

3cos(x

[k−1]2 x

[k−1]3 ) +

1

6,

x[k]2 =

1

9

√(x

[k]1 )2 + sin x

[k−1]3 + 1.06− 0.1,

x[k]3 = − 1

20e−x

[k]1 x

[k]2 − 10π − 3

60.

dengan hasil sebagai berikut

k x[k]1 x

[k]2 x

[k]3 en = ||x[k]

1 − x[k−1]1 ||∞

0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000

1 0.49998333 0.02222979 -0.52304613 0.423

2 0.49997747 0.00002815 -0.52359807 9.4× 10−2

3 0.50000000 0.00000004 -0.52359877 2.3× 10−5

4 0.50000000 0.00000000 -0.52359877 1.2× 10−8

4.2 Metoda Newton

Metoda Newton untuk menentukan akar persamaan polinomial dapat ditulis

sebagai

pn = pn−1 − f(pn−1)

f ′(pn−1), untuk n ≥ 1.

Bila pn = g(pn−1) maka metoda ini dapat disajikan dalam

g(pn−1) = pn−1 − f(pn−1)

f ′(pn−1), untuk n ≥ 1.

atau

g(x) = x− f(x)

f ′(x).


g(x) = x− φ(x)f(x) untuk φ = 1/f ′(x).

Dan dapat juga ditulis dalam

G(x) = x−A(x)−1F(x),

dimana A(x) adalah matrix nonsingular (n× n). Salah satu pilihan terbaik untuk

matrik ini adalah matrik Jacobian, yaitu

J(x) =

∂f1(x)∂x1

∂f1(x)∂x2

. . . ∂f1(x)∂xn

∂f2(x)∂x1

∂f2(x)∂x2

. . . ∂f2(x)∂xn

......

...∂fn(x)

∂x1

∂fn(x)∂x2

. . . ∂fn(x)∂xn

sehingga

G(x) = x− J(x)−1F(x).

Selanjutnya iterasi functional yang diawali dengan pemilihan x[0] sebagai nilai awal,

dapat disajikan dalam bentuk

x[k] = G(x[k−1])

= x[k−1] − J(x[k−1])−1F(x[k−1]) (4.4)

adalah merupakan formulasi Newton untuk solusi sistem nonlinier.

Teorema 4.2.1 Misal p adalah solusi dari G(x) = x dimana G = (g1, g2, . . . , gn)T

memetakan memetakan Rn kedalam Rn. Jika ditemukan δ > 0 dengan sifat

1. ∂gi

∂xjkontinyu pada Nδ = {x| ||x− p|| < δ},

2. ∂2gi(x)∂xj∂xk

juga kontinyu,∣∣∂2gi(x)∂xj∂xk

∣∣ ≤ M , untuk sebarang konstanta M dan se-

barang x ∈ Nδ,

3. ∂gi(p)∂xk

= 0, dimana i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n dan k = 1, 2, . . . , n


maka terdapat bilangan δ ≤ δ sedemikian hingga

x[k] = G(x[k−1])

konvergen terhadap titik tetap tunggal p untuk sebarang nilai awal x[0] sepanjang

||x− p|| < δ. Selanjutnya ||x[k] − p||∞ ≤ n2M2||x[k−1] − p||2∞, untuk setiap k ≥ 1

Contoh 4.2.1 Ulangi persoalan (4.1.1), gunakan metoda Newton untuk menen-

tukan aproksimasi terhadap p.

Penyelesaian 4.2.1 Sistem persamaan nonlinier itu adalah

3x1 − cos(x2x3)− 1

2= 0

x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin x3 + 1.06 = 0

e−x1x2 + 20x3 +10π − 3

3= 0.

sehingga

J(x) =

3 x3 sin x2x3 x2 sin x2x3

2x1 −162(x2 + 0.1) cos x3

−x2e−x1x2 −x1e

−x1x2 20

dan

J(x[k−1]) =

3 x[k−1]3 sin x

[k−1]2 x

[k−1]3 x

[k−1]2 sin x

[k−1]2 x

[k−1]3

2x[k−1]1 −162(x

[k−1]2 + 0.1) cos x

[k−1]3

−x[k−1]2 e−x

[k−1]1 x

[k−1]2 −x1e

−x[k−1]1 x

[k−1]2 20

.

Demikian juga

F(x[k−1]) =

3x[k−1]1 − cos(x

[k−1]2 x

[k−1]3 )− 1

2

(x[k−1]1 )2 − 81(x

[k−1]2 + 0.1)2 + sin x

[k−1]3 + 1.06

e−x[k−1]1 x

[k−1]2 + 20x

[k−1]3 + 10π−3

3.

.

Selanjutnya lakukan kalkulasi dengan prosedur iterasi newton dengan memilih nilai

awal x = (0.1, 0.1,−0.1)T akan diperoleh hasil dalam tabel dibawah ini.


k x[k]1 x

[k]2 x

[k]3 en = ||x[k]

1 − x[k−1]1 ||∞

0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000

1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.423

2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 9.4× 10−3

3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2.3× 10−4

4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1.2× 10−5

5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3.1× 10−7

Tabel 4.1: Data hasil eksekusi program iterasi Newton


Latihan Tutorial 4

1. Persamaan nonlinier berikut ini mempunyai dua solusi.

−x1(x1 + 1) + 2x2 = 18

(x1 − 1)2 + (x2 − 6)2 = 25

• Berikan pendekatan grafik terhadap sistem itu.

• Tentukan solusi dengan toleransi 1e− 5 dalam l∞ norm

2. Metoda Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier disajikan

dalam rumus berikut

x[k] = x[k−1] − J(x[k−1])−1F(x[k−1])

Terapkan teknik ini kedalam sistem persamaan berikut untuk menghitung

x[1] {gunakan x[0] = (0.1, 0.1, −0.1)T}.

3x1 − cos(x2x3)− 1

2= 0

x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin x3 + 1.06 = 0

e−x1x2 + 20x3 +10π − 3

3= 0

3. Sistem nonlinier berikut:

x21 − 10x1 + x2

2 + 8 = 0

x1x22 + x1 − 10x2 + 8 = 0

dapat ditransformasikan dalam titik tetap

x1 = g1(x1, x2) =x2

1 + x22 + 8

10

x2 = g2(x1, x2) =x1x

22 + x1 + 8

10


• Gunakan teorema yang tertera dalam buku ini untuk menunjukkan bahwa

G = (g1, g2)t : D ∈ R2 → R2 mempunyai titik tetap unik dalam

D = (x1, x2)t|0 ≤ x1, x2 ≤ 1.5

• Terapkan iterasi fungsional untuk menentukan solusi hampiran dari sis-

tem tersebut.

• Apakah metoda Seidel dapat mempercepat tingkat konvergensinya.

4. Gunakan metoda Newton untuk menentukan solusi hampiran dari persamaan

nonlinier berikut ini.

x21 + x2 − 37 = 0

x1 − x22 − 5 = 0

x1 + x2 + x3 − 3 = 0

x21 + 2x2

2 − x2 − 2x3 = 0

x21 − 8x2

2 + 10x3 = 0

x21

7x2x3

− 1 = 0

{gunakan x[0] = (0.1, 0.1, 0)T}

BAB 5

Metoda Numeris Untuk Masalah

Nilai Awal

Gerak harmonis pendulum (bandul), sebagaimana digambarkan dibawah ini, me-

nunjukkan masalah nilai awal dengan PD order 2.

d2θ

dt2+

g

Lsin θ = 0

θ(t0) = θ0, θ′(t0) = θ′0

Dapat juga ditulis sebagai d2θdt2

+ gLθ = 0, bila θ sangat kecil sekali.

θ

L

Dalam hal ini L adalah panjang tali pendulum, g gravitasi bumi dan θ sudut

antara pendulum dengan posisi setimbang. Selanjutnya solusi analitik terhadap

64

BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 65

persamaan difrensial ini tidak efektif dilakukan, mengingat persamaan itu tidak

linier. Dengan demikian metoda numeris sangat dibutuhkan.

Persamaan difrensial biasa order pertama dapat disajikan dalam bentuk berikut

dy

dx= f(x, y) atau y′ = f(x, y). (5.1)

Solusi dari persamaan ini adalah y(x) yang memenuhi persamaan y′(x) = f(, y(x))

di semua titik pada interval domain [a, b]. Selanjutnya persamaan (5.1) dikatakan

merupakan masalah nilai awal bila solusi itu memenuhi nilai awal y(a) = y0, se-

hingga persamaan itu dapat digambarkan sebagai

y′ = f(x, y), a ≤ x ≤ b

y(a) = y0.

Kemudian bila persamaan ini terdiri dari lebih dari satu persamaan yang sa-ling

terkait maka dikatagorikan sebagai sistem persamaan difrensial. Sistem persamaan

difrensial order pertama disajikan sebagai berikut.

y′1 = f1(t, y1, y2, . . . , yn)

y′2 = f2(t, y1, y2, . . . , yn)...

y′n = fn(t, y1, y2, . . . , yn).

Atau dalam bentuk umum dapat disajikan sebagai

y′i = fi(t, y1, y2, . . . , yn) i = 1, 2, . . . , n dan a ≤ t ≤ b. (5.2)

dengan nilai awal y1(a) = α1, y1(a) = α2, . . . , y1(a) = αn.

Metoda numeris pada umumnya diterapkan dalam menyelesaikan sistem persamaan

difrensial order satu ini. Sehingga bila fenomena yang dihadapi adalah sistem

persamaan difrensial order n maka haruslah ditransformasikan terlebih dahulu

kedalam sistem persamaan difrensial order satu.


Contoh 5.0.2 Transformasikan sistem persamaan difrensial dibawah ini dalam

sistem persamaan difrensial order satu.

u′′′ + u′′v′ = xv

v′ + v +u

1 + x= cos x

dimana u(0) = −1, u′(0) = 1, u′′(0) = 1, v(0) = 1

Penyelesaian 5.0.2 Misal y1 = u, y2 = u′, y3 = u′′ dan y4 = v, maka

y′1 = u′ = y2,

y′2 = u′′ = y3,

y′3 = u′′′ = xy4 − y3(cos x− y4 − y1

1 + x),

y′4 = v′ = cos x− y4 − y1

1 + x.

Nilai awal seakarang adalah y1(0) = −1, y2(0) = 1, y3(0) = 1, y4(0) = 1.

5.1 Teori Dasar

Sebelum menyelesaikan suatu model persamaan difrensial terlebih dahulu harus

diselidiki apakah persamaan itu mempunyai solusi (existence) atau tidak dan bila

solusi itu ada apakah solusi itu tunggal (uniqueness) atau trivial. Pertanyaan ini

merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat betapa kom-

pleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak dapat disele-

saikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif.

Definisi 5.1.1 (Sarat Lipschitz) Suatu fungsi f(t, y) dikatakan memenuhi sarat

Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D ∈ R2 jika ada konstanta L > 0

sedemikian hingga

||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2||


untuk sebarang (t, y1), (t, y2) ∈ D. Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kons-

tanta Lipschitz.

Definisi 5.1.2 (Konvek) Suatu himpunan D ∈ R2 dikatakn konvek bila untuk se-

barang (t, y1), (t, y2) ∈ D maka titik ((1−λ)t1+λt2, (1−λ)y1+λy2) juga merupakan

elemen dari D untuk λ ∈ [0, 1].

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut

Konvek Tidak Konvek

(t , y )1 1

(t , y )

2 2

1 1

2 2(t , y )

(t , y )

Gambar 5.1: Diagram kekonvekan untuk D ∈ R2

Teorema 5.1.1 Andaikata f(t, y) terdefinisi dalam himpunan konvek D ∈ R2 dan

ada konstanta L > 0 dimana∣∣∣∣∣∣∣∣df

dy(t, y)

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ L, untuk semua (t, y) ∈ D, (5.3)

maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz.

Teorema 5.1.2 Misal D = {(t, y)|a ≤ t ≤ b,−∞ ≤ y ≤ ∞} dan f(t, y) adalah

fungsi kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel

y maka masalah nilai awal

y′(t) = f(t, y), a ≤ t ≤ b y(a) = α

mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a ≤ t ≤ b.


Contoh 5.1.1 y′ = 1 + t sin(ty), 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0. Tentukan apakah

persamaan ini mempunyai solusi tunggal.

Penyelesaian 5.1.1 f(t, y) = 1+ t sin(ty), kemudian terapkan teorema nilai rata-

rata pada buku ”Analisa Numerik I” yaitu untuk sebarang y1 < y2, maka ada

bilangan ξ ∈ (y1, y2) sedmikian hingga

f(t, y2)− f(t, y1)

y2 − y1

=∂

∂yf(t, ξ) = t2 cos(tξ).

Kemudian

f(t, y2)− f(t, y1) = (y2 − y1)t2 cos(tξ)

||f(t, y2)− f(t, y1)|| = ||(y2 − y1)t2 cos(tξ)||

≤ ||y2 − y1|| ||t2 cos(tξ)||≤ ||y2 − y1|| || max

0≤t≤2t2 cos(tξ)||

= 4||y2 − y1||.

Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu ||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1− y2||,dimana konstanta Lipschitznya adalah L = 4, berarti persamaan itu mempunyai

solusi tunggal.

5.2 Beberapa Metoda Numeris

Ada beberapa metoda numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan

masalah nilai awal. Metoda-metoda ini dikembangkan dan dikaji berdasarkan


ekspansi deret Taylor.

f(x) ≈ pn(x) + Rn+1(x) (5.4)

pn(x) = f(x0) +(x− x0)

1!f ′(x0) + · · ·+ (x− x0)

n

n!f (n)(x0) (5.5)

Rn+1(x) =1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t)dt (5.6)

=(x− x0)

n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ) (5.7)

untuk ξ antara x0 dan x.

Selanjutnya kita mulai dengan masalah

y′ = f(x, y), a ≤ x ≤ b, y(a) = y0 (5.8)

Solusi numeris terhadap masalah ini diperoleh dengan membagi doain itu [a, b]

kedalam grid yakni

xi = a + ih; i = 0, 1, . . . , n; h = (b− a)/n.

Dengan demikian x0 = a, dan xn = b, sedangkan h disebut besarnya grid (stepsize).

Solusi numerisnya adalah himpunan dari nilai grid

y0 = y(x0 = a), y1, y2, . . . , yn (5.9)

Nilai-nilai ini dihitung secara berurutan kemudian hasilnya dipakai sebagai aproksi-

masi terhadap solusi eksak y(x) sedemikian hingga

yn ≈ y(xn), n = 0, 1, 2, . . . , n.

5.2.1 Metoda Euler

Deret Taylor secara umum adalah

f(x) ≈ f(x0) +(x− x0)

1!f ′(x0) +

(x− x0)2

2!f (2)(x0) + . . . .


Bila x = x1 maka

y(x1) = y(x0) +(x1 − x0)

1!y′(x0) +

(x1 − x0)2

2!y′′(x0) + . . . ,

sedangkan x1 − x0 = h sehingga secara berurutan disetiap grid dirumuskan

y(xn+1) = y(xn) +(xn+1 − xn)

1!y′(xn) +

(xn+1 − xn)2

2!y′′(xn) + . . .

y(xn+1) = y(xn) +h

1!y′(xn) +

h2

2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + . . .

Formulasi Euler memandang bahwa suku-suku setelah suku kedua dapat dipenggal

(truncation) mengingat h2

2!, h3

3!, . . . , hn

n!akan mendekati nol, sebagai gantinya kita

hitung

y(xn+1) = y(xn) +h

1!y′(xn)

yn+1 = yn + hf(xn, yn) (5.10)

secara berulang. Rumus ini kemudian disebut dengan Metoda Euler.

Definisi 5.2.1 (Kesalahan global) Kesalahan global didefinisikan sebagai en :=

y(xn)− yn

Definisi 5.2.2 (Konvergen) Suatu metoda dikatakan konvergen bila

max0≤i≤n

||y(xi)− yi|| → 0 untuk h → 0

Definisi 5.2.3 (Kesalahan Pemenggalan Lokal) Kesalahan pemenggalan lokal

adalah kesalahan yang ditimbulkan oleh perumusan suatu metoda dalam bentuk

ln := y(xn+k)− yn+k.

Definisi 5.2.4 (Order) Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln := O(hp+1).

Definisi 5.2.5 (Konsisten) Suatu metoda dikatakan konsisten bila ordernya min-

imal satu.


Dapat dibuktikan bahwa metoda Euler adalah berorder satu, hal ini dapat ditelusuri

dengan menentukan kesalahan pemenggalan lokal dari metoda tersebut, dengan

memperluas rumusan Taylor

xn = x0 + nh

xn+1 = x0 + (n + 1)h

yn+1 ≈ y(xn+1) (5.11)

y(xn+1) = y(xn) +h

1!y′(xn) +

h2

2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + . . . (5.12)

y(xn−1) = y(xn)− h

1!y′(xn) +

h2

2!y′′(xn)− h3

3!y′′′(xn) + . . . (5.13)

(5.14)

Sehingga kesalahan pemenggalan lokal adalah

ln := y(xn+1)− yn+1 = (y(xn) +h

1!y′(xn) +

h2

2!y′′(xn) + . . . )− y(xn)− hy′(xn)

ln :=h2

2!y′(xn) + . . .

ln := O(h1+1).

Kemudian suatu metoda harus teruji keakurasiannya dengan meneliti apakah ke-

salahan yang ditimbulkan dalam perhitungan semakin mengecil pada setiap it-

erasi (konvergen) artinya untuk h → 0 maka kesalahan global en dari Euler harus

mendekati 0. Selanjutnya bila suatu metoda memiliki sifat ini dikatakan bahwa

metoda itu memenuhi prinsip dasar (principal property) yang harus dipenuhi.

Teorema 5.2.1 Disebarang titik grid xn dalam [a, b] kesalahan global dari metoda

Euler memenuhi sifat

||en|| ≤ hM2

2L(e(b−a)L − 1), (5.15)

dimana L adalah konstanta Lipschitz dan

||y′′(x)|| ≤ M2, a ≤ x ≤ b.


Proof. Solusi numeris metoda Euler

yn+1 = yn + hf(xn, yn),

dan ekpansi Taylor

y(xn+1) = y(xn) +h

1!y′(xn) +

h2

2!y′′(ηn), xn ≤ ηn ≤ xn+1.

Suku terakhir dari deret ini merupakan ekspresi dari kesalahan pemenggalan lokal.

Kurangkan kedua rumus itu dan gunakan terorema sarat Lipschitz diperoleh

||en+1|| ≤ ||en||(1 + hL) +h2

2M2

Selanjutnya gunakan fakta bahwa ||e0|| = 0, ||e1|| ≤ h2

2M2 dan ||e2|| ≤ (1 +

hL)h2

2M2, sehingga

||en|| ≤ h2

2M2(1 + (1 + hL) + · · ·+ (1 + hL)n−1).

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri, didapat

||en|| ≤ h2

2M2

(1 + hL)n − 1

(1 + hL)− 1

=h2

2M2

(1 + hL)n − 1

hL

=h

2LM2((1 + hL)n − 1)

Kita memahami bahwa untuk h, L > 0 berlaku

(1 + hL)n ≤ enhL

sedang xn = x0 + (n)h atau h = xn−x0

nsehingga

enhL = e(xn−x0)L ≤ e(b−a)L

sehingga

||en|| ≤ h

2LM2(e

(b−a)L − 1)

Jelas disini

limh→0

||en|| = 0.

Dengan demikian dikatakan bahwa metoda Euler adalah konvergen. 2


Contoh 5.2.1 Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaan difrensial

berikut {dydt

= f(t, y) = y − t 0 ≤ t ≤ 1

y(0) = 0.5

Penyelesaian 5.2.1 Solusi analitik dari persamaan ini adalah y(t) = t+1−0.5et.

Selanjutnya dengan menetapkan h = 0.1 dapat dihitung solusi numeris sebagai

berikut.

n = 0 → t0 = 0 dan y0 = 0.5;

y1 = y0 + hf(x0, y0) = 0.5 + 0.1f(0, 0.5) = 0.5500

n = 1 → t1 = 0 + 1 ∗ 0.1 dan y1 = 0.5500;

y2 = y1 + hf(x1, y1) = 0.5500 + 0.1f(0.1, 0.5500) = 0.5950,

dan seterusnya. Lakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh tabel berikut

ini

tn yn y(tn) en

0.0 0.5000 0.5000 0.0000

0.1 0.5500 0.5474 0.0026

0.2 0.5950 0.5893 0.0057

0.3 0.6345 0.6251 0.0094

0.4 0.6679 0.6541 0.0138

0.5 0.6947 0.6756 0.0191

0.6 0.7142 0.6889 0.0253

0.7 0.7256 0.6931 0.0325

0.8 0.7282 0.6872 0.0410

0.9 0.7210 0.6702 0.0508

1.0 0.7031 0.6409 0.0622


Dalam visualisasi grafis kedua solusi itu dapat dibandingkan sebagai berikut

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

__ : Solusi numeris y_n

oo : Solusi analitik y(x)

Gambar 5.2: Metoda Euler dalam grafik

5.2.2 Metoda Runge-Kutta

Metoda Euler adalah metoda yang cukup lama dikenal, namun demikian keakura-

sian metoda ini masih perlu dipertimbangkan untuk kategori persoalan yang sedekit

lebih komplek. Metoda ini hanya bekerja dengan baik pada awal-awal interval

domain selanjutnya diujung akhir interval domain biasanya me-ngalami osilasi

yang cukup besar (perhatikan gambar 5.2). Untuk meningkatkan keakurasian

metoda ini diperlukan proses bertahap dengan mengasumsikan suatu estimasi awal

yn+1, kemudian tentukan nilai dari turunan di ujung grid xn de-ngan menghitung

f(xn+1, yn+1). Selanjutnya selesaikan langkah berikutnya dengan menggunakan ru-

mus rata-rata dua gradien, yang diberikan berikut ini

yn+1 = yn + hf(xn, yn)

yn+1 = yn +h

2(f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1))

Teknik seperti ini lebih akurat daripada metoda Euler.


Metoda Runge Kutta mengadobsi teknik diatas dengan representasi sebagai berikut

k1 = f(xn, yn)

k2 = f(xn + c2h, yn + ha21k1)

yn+1 = yn + h(k1 + k2).

Selanjutnya secara umum dapat disajikan dalam bentuk

k1 = f(xn, yn)

ki = f(xn + cih, yn + h

i−1∑j

aijkj), i = 1, 2, . . . , m

yn+1 = yn + h

m∑i=1

biki. (5.16)

Dengan istilah lain metoda ini terkenal dengan nama metoda Ekpslisit Runge

Kutta, dan dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel berikut

0

c2 a21

c3 a31 a32

......

.... . .

cm am1 am2 . . . amm−1

b1 b2 . . . bm−1 bm

dimana ci =∑m

j=1 aij dan∑m

i=1 bi = 1. Dengan kata lain dapatlah disajikan dalam

bentuk

c A

bT


0

1 112

12

Sebagai contoh metoda Runge-Kutta dua tahap adalah

Dengan demikian dapatlah diuraikan

k1 = f(x0, y0)

k2 = f(x0 + h, y0 + hk1)

yn+1 = yn +1

2h(k1 + k2). (5.17)

Kondisi dari Order Runge-Kutta

Order dari metoda Runge-Kutta ditunjukkan dengan jumlah tahap dari metoda

tersebut. Contoh diatas adalah metoda Runge-Kutta dua tahap, berarti order dari

metoda itu adalah 2. Selanjutnya setiap order metode ini menunjukkan kondisi

yang berbeda dari hubungan antara elemen matrik A, vektor c dan b.

Teorema 5.2.2 Metoda Runge-Kutta dua tahap yang sekaligus berorder 2 mem-

punyai sifat sebagai berikut:

a21 = c2

b1 + b2 = 1

b2c2 =1

2

Proof. Persamaan difrensial adalah

y′ = f(x, y), y(x0) = y0.


Gunakan aturan Chain yakni untuk turunan partial

y′′ = fx + fyy′ = fx + fyf (5.18)

y′′′ = fxx + 2fxyf + fyyf2 + fy(fx + fyf) (5.19)

f(x + m, y + n) = f(x, y) + (m∂

∂x+ n

∂

∂y)f

+1

2(m

∂

∂x+ n

∂

∂y)2f + . . . (5.20)

Sekarang ingat ekspansi Taylor

y(xn+1) = y(xn) +h

1!y′(xn) +

h2

2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + . . .

y(x1) = y(x0) + hy′(x0) +h2

2y′′(x0) +

h3

6y′′′(x0) + . . . (5.21)

Perluas k1 dan k2

k2 = f(x0 + c2h, y0 + ha21f)

= f(x0, y0) + h(c2fx + a21ffy)(x0, y0)

h2

2(c2

2fxx + 2c2a21ffxy + a221f

2fyy)(x0, y0) + . . .

Kemudian substitusikan k1 dan k2 kedalam (5.17) dengan mempertimbangkan nilai

awal y(x0) = y0.

y1 = y0 + h(b1 + b2)f(x0, y0) + h2b2(c2fx + a21ffy)(x0, y0)

+h3

2b2(c

22fxx + 2c2a21ffxy + a2

21f2fyy)(x0, y0) + . . .

y1 ≈ y(x0) + h(b1 + b2)y′(x0) + h2b2(c2fx + a21ffy)(x0, y0)

+h3

2b2(c

22fxx + 2c2a21ffxy + a2

21f2fyy)(x0, y0) + . . . (5.22)

Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln := O(hp+1). Dengan demikian untuk

order 2 dalam metoda ini, selisih persamaan (5.21) dan (5.22) atau kesalahan

pemenggalan lokal l0 = y(x1)− y1 = O(h2+1), lihat definisi (5.2.3). Artinya suku-

suku dari l0 sebelum O(h2+1) harus dinolkan. Untuk memenuhi ini maka tidak ada


jalan lain pada persamaan (5.22) harus mempunyai sifat

a21 = c2

b1 + b2 = 1

b2c2 =1

22

Sifat kekonvergenan dari metoda ini dapat dianalisa dengan membuktikan teorema

berikut ini.

Teorema 5.2.3 Disebarang titik grid xn dalam [a, b] kesalahan global dari metoda

Runge-Kutta berorder p memenuhi sifat

||en|| ≤ hpMp+1

CL(e(b−a)L − 1), (5.23)

dimana L adalah konstanta Lipschitz.

Buktikan dengan cara yang tidak jauh berbeda dengan pembuktian kekonvergenan

pada metoda Euler, dan bila benar maka

limh→0

||en|| = 0,

sehingga metoda Runge-Kutta adalah metoda yang konvergen.

Contoh 5.2.2 Gunakan metoda Runge-Kutta order 2 untuk menyelesaikan per-

samaan yang tertera dalam contoh (5.1.1)

Penyelesaian 5.2.2 Dengan memanfaatkan rumus yang diberikan pada (5.17) di-

dapat tabel solusi numeris sebagai berikut.


tn yn y(tn) en

0.0 0.5000 0.5000 0.0000

0.1 0.5475 0.5474 0.0001

0.2 0.5895 0.5893 0.0002

0.3 0.6254 0.6251 0.0003

0.4 0.6546 0.6541 0.0005

0.5 0.6763 0.6756 0.0007

0.6 0.6898 0.6889 0.0009

0.7 0.6942 0.6931 0.0011

0.8 0.6886 0.6872 0.0014

0.9 0.6719 0.6702 0.0017

1.0 0.6429 0.6409 0.0020

Tabel 5.1: Data hasil eksekusi program metoda Runge-Kutta

Dalam grafik dapat digambarkan sebagai berikut

Bila kita bandingkan dengan gambar 5.2 maka metoda Runge-Kutta jelas mem-

berikan perbedaan yang segnifikan. Solusi dari metoda ini, yn, menginterpolasi

y(xn) dengan akurat diseluruh interval domain. Berbeda dengan metoda Euler

yang akurasinya hanya ditunjukkan pada awal interval domain. Dengan demikian

interpolasi oleh hasil metoda ini tidak mengalami osilasi.

5.2.3 Metoda Multistep Linier (MML)

Metoda ini berada dalam satu kelas dengan metoda Runge-Kutta. Dalam arti

tingkat keakurasiannya sama-sama berada diatas level metoda Euler. Sedangkan

perbandingan dengan metoda Runge-Kutta sendiri tidak dapat dibandingkan, hal

ini tergantung kepada kompleknya persoalan.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

__ : Solusi numeris

oo : Solusi analitik

Gambar 5.3: Metoda Runge-Kutta order 2

Secara umum metoda multistep didefinisikan sebagai berikut

k∑i=0

αiyn+i = hk∑

i=0

βifn+i. (5.24)

Bila βk = 0 maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika tidak dise-

but implisit. Selanjutnya metoda ini dapat dispesifikasikan kedalam dua bentuk

polinomial, yang dinotasikan dengan ρ dan σ.

ρ(s) = αksk + αk−1s

k−1 + · · ·+ α0 (ruas kiri)

dan

σ(s) = βksk + βk−1s

k−1 + · · ·+ β0 (ruas kanan)

Dengan demikian untuk metoda Euler, dapatlah disajikan dalam bentuk (ρ, σ) ≡(s− 1, 1), yang kemudian disebut metoda satu step.


Kondisi dari Order MML

Definisi 5.2.6 (Kesalahan pemenggalan lokal) Kesalahan pemenggalan lokal

untuk MML didefinisikan sebagai berikut

ln =k∑

i=0

αiy(xn+i)− h

k∑i=0

βif(xn+i, y(xn+i))

=k∑

i=0

αiy(xn+i)− h

k∑i=0

βiy′(xn+i). (5.25)

Rumus ini tidak berbeda dengan denifisi (5.2.3), dengan demikian sesuai dengan

konsep ekspansi Taylor dapatlah ditulis

y(xn+i) = y(xn) + ih

1!y′(xn) +

(ih)2

2!y′′(xn) +

(ih)3

3!y′′′(xn) + . . .

y′(xn+i) = y′(xn) + ih

1!y′′(xn) +

(ih)2

2!y′′′(xn) +

(ih)3

3!y′′′′(xn) + . . .

maka

ln =k∑

i=0

αi

(y(xn) + i

h

1!y′(xn) +

(ih)2

2!y′′(xn) +

(ih)3

3!y′′′(xn) + . . .

)

−h

k∑i=0

βi

(y′(xn) + i

h

1!y′′(xn) +

(ih)2

2!y′′′(xn) +

(ih)3

3!y′′′′(xn) + . . .

)

Kelompokkan semua suku yang mempunyai order h yang sama sehingga diperoleh

ln = C0y(xn) + C1hy′(xn) + C2h2

2!y′′(xn) + . . .


dimana

C0 = αk + αk−1 + · · ·+ α0,

C1 =k∑

i=0

iαi −k∑

i=0

βi,

C2 =k∑

i=0

i2αi − 2k∑

i=0

iβi,

...

Cq =k∑

i=0

iqαi − q

k∑i=0

iq−1βi, q = 2, 3, . . . , p, p + 1, . . . , s.

Kemudian suatu metoda dikatakan berorder p bila

C0 = C1 = · · · = Cp = 0, sedang Cp+1 6= 0

Contoh 5.2.3 Buktikan bahwa MML berikut ini konsisten dalam order 3.

yn+2 + 4yn+1 − 5yn = h(4fn+1 + 2fn)

Penyelesaian 5.2.3 Gunakan sifat-sifat (5.11),(5.12) dan (5.13) sehingga didapat

ln = yn+2 + 4yn+1 − 5yn − 4hfn+1 + 2hfn

≈ y(xn+2) + 4y(xn+1)− 5y(xn)− 4hy′(xn+1)− 2hy′(xn)

Sederhanakan kedalam y(xn+1)

ln =

(y(xn+1) +

h

1!y′(xn+1) +

h2

2!y′′(xn+1) +

h3

3!y′′′(xn+1) +

h4

4!y′′′′(xn+1) + . . .

)

+4y(xn+1)− 5

(y(xn+1)− h

1!y′(xn+1) +

h2

2!y′′(xn+1)− h3

3!y′′′(xn+1)

+h4

4!y′′′′(xn+1) + . . .

)− 4hy′(xn+1)− 2h

(y′(xn+1)− h

1!y′′(xn+1) +

h2

2!y′′′(xn+1)

−h3

3!y′′′′(xn+1) + . . .

)


Dengan mengelompokkan suku-suku yang sama diperoleh

ln = 4h

4!y′′′′(xn+1) + . . .

=h

6y′′′′(xn+1) + · · · = O(h3+1)

Sehingga terbukti bahwa MML diatas adalah order 3.

Tidak dapat dipastikan bahwa bila suatu metoda konsisten akan secara otomatis

metoda itu konvergen. Oleh karena itu kita membutuhkan sarat lain yaitu nol-stabil

Definisi 5.2.7 (Nol-stabil) Suatu metoda dikatakan memiliki sifat nol-stabil atau

memenuhi kondisi akar bila akar dari ρ(s) = 0 memenuhi sifat |sn| ≤ 1. Bila semua

sn = 1 maka metoda itu dikatakan sangat stabil.

Teorema 5.2.4 Bila MML memenuhi sifat konsisten dan sekaligus nol-stabil maka

metoda itu dikatakan konvergen.

konsisten + nol-stabil ⇔ konvergen

Teorema 5.2.5 Order maksimum dari MML k-step adalah 2k untuk implisit dan

2k− 1 untuk eksplisit. Kemudian MML implisit k-step dengan order p yang mem-

punyai sifat nol-stabil akan memenuhi sifat p ≤ k +2 untuk k genap dan p ≤ k +1

untuk k ganjil, sedangkan MML eksplisit k-step memenuhi sifat p ≤ k.

Berikut ini beberapa contoh MML yang banyak dipakai

1. MML eksplisit

(a) yn+1 = yn + hfn, order 1, dan MML 1-step

(b) yn+2 = yn+1 + h2(3fn+1 − fn), order 2, dan MML 2-step

(c) yn+3 = yn+2 + h12

(23fn+2 − 16fn+1 + 5fn), order 3, dan MML 3-step


2. MML implisit

(a) yn+1 = yn + h2(fn+1 + fn), order 2, dan MML 1-step

(b) yn+2 = yn+1 + h12

(5fn+2 + 8fn+1 − fn), order 3, dan MML 2-step

(c) yn+3 = yn+2 + h24

(9fn+3 + 19fn+2 − 5fn+1 + fn), order 4, dan MML

3-step

Contoh 5.2.4 Buktikan bahwa beberapa contoh MML eksplisit maupun implisit

diatas memenuhi sifat konsistensi dan nol stabil.

5.3 Kesimpulan

Ada beberapa kesimpulan yang dapat dirangkum dalam modul ini, diantaranya

adalah:

• Bentuk umum sistem PDB order pertama adalah

y′i = fi(t, y1, y2, . . . , yn) i = 1, 2, . . . , n dan a ≤ t ≤ b. (5.26)

dengan nilai awal y1(a) = α1, y1(a) = α2, . . . , y1(a) = αn.

• Misal D = {(t, y)|a ≤ t ≤ b,−∞ ≤ y ≤ ∞} dan f(t, y) adalah fungsi

kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel

y, yaitu

||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2||untuk sebarang (t, y1), (t, y2) ∈ D dan konstanta L > 0, maka

y′(t) = f(t, y), a ≤ t ≤ b y(a) = α

mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a ≤ t ≤ b.

• Beberapa metoda numeris yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDB

dengan masalah nilai awal adalah


1. Metoda Euler

y(xn+1) = y(xn) +h

1!y′(xn)

yn+1 = yn + hf(xn, yn) (5.27)

2. Metoda Runge-Kutta

k1 = f(xn, yn)

ki = f(xn + cih, yn + h

i−1∑j

aijkj), i = 1, 2, . . . ,m

yn+1 = yn + h

m∑i=1

biki. (5.28)

3. Metoda Multistep

k∑i=0

αiyn+i = h

k∑i=0

βifn+i. (5.29)

Bila βk = 0 maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika

tidak disebut implisit.


Latihan Tutorial 5

1. Suatu sistem PD yang disajikan dalam persamaan berikut

z′′ + 2w′ = y + ew,

z′ + sin y′ + w = 1 + t2,

w′ + y cos t− z′′ = 0,

dengan nilai awal z(0) = 1, z′(0) = 1, y(0) = 1, w(0) = −20, dapat disele-

saikan dengan mudah dalam numerik bila ditransformasikan terlebih dahulu

kedalam sistem PD order satu, laku-kan transformasi itu. Kemudian un-

tuk meyakinkan sistem itu dapat mempunyai solusi tunggal terlebih dahulu

harus dicek dengan teorema Lipschitz. Sebagai gambaran periksa mana

diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz:

(a) f(t, y) = y cos t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1

(b) f(t, y) = 1 + t sin y, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0

(c) f(t, y) = 2ty + t2e2, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0

(d) f(t, y) = 4t3y1+t4

, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1

dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing-masing soal ini.

2. Perhatikan PDB y′ = −y2 dan y′ =√|y|. Buktikan bahwa kedua PDB itu

tidak memenuhi syarat Lipschitz pada selang interval 0 ≤ x ≤ 1,−∞ ≤ y ≤∞, dan pada sebarang nilai awal y(0) = y0 tunjukkan bahwa persamaan

pertama tidak mempunyai solusi pada 0 ≤ x ≤ 1. Kemudian Buktikan

bahwa persamaan kedua tidak mempunyai solusi tunggal untuk y(0) = 0.

3. Ada beberapa metoda yang dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem PD

diatas diantaranya dengan metoda yang sederhana dari Euler yn+1 = yn +

hf(t, y). Sebagai metoda teknik Euler ini harus memenuhi sifat prinsip kekon-

vergenan, sekarang tunjukkan apakah metoda ini merupakan metoda yang

konvergen (gunakan teorema Lipschitz). Kemudian terapkan metoda ini

dalam sistem persamaan order pertama soal no. 1 untuk menghitung y1.


4. Berikan penjelasan lengkap bagaimana metoda Runge-Kutta diformulasikan.

Dan Buktikan bahwa metoda Runge-Kutta dua tahap (Runge-Kutta order

2) mempunyai sifat sebagai berikut:

a21 = c2

b1 + b2 = 1

b2c2 =1

2

5. Perbincangan kekonvergenan dapat ditempuh dengan memahami teorema

konsistensi dan nol-stabil. Sebutkan bunyi kedua teorema tadi dan telusuri

apakah metoda MML dibawah ini konsisten atau nol-stabil.

yn+3 +3

2yn+2 − 3yn+1 +

1

2yn = 3hf(tn+2, yn+2)

Sebenarnya dengan rumus∑k

i=0 αiyn+i = h∑k

i=0 βifn+i kita dapat menen-

tukan sendiri koefisien dari metoda ini terlepas dari metoda yang diperoleh

itu konvergen atau tidak. Coba gunakan α2 = 1 dan β2 = 0, dan tentukan

MML eksplisit step 3 ini, kemudian beri komentar tentang kekonverge-

nanya.

Daftar Pustaka

[1] R. L. Burden and J. D. Faires. Numerical Analysis. Brooks/Cole Publishing

Company, 1997.

[2] N. J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM Books,

Philadelphia, 1996.

[3] J. Penny and G. Lindfield. Numerical Methods Using Matlab. Ellis Horwood

Limited, 1995.

[4] M.J.D. Powell. Approximation Theory and Methods. Cambridge University

Press, 1981.

[5] G. Strang. Linear Algebra and its Applications. Academic Press, 1988.

[6] R. S. Varga. Matrix Iterative Analysis. Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs,

New Jersey, 1962.

88

daftar isi - ahmadefancenter.files.wordpress.com · output sum= pn i=1 xi: step 1 set sum=0. ......

Documents