deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah
DESCRIPTION
Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah. Yulvi zaika. Deret taylor untuk satu variable bebas. Deret Pangkat : a o + a 1 (x-h)+ a 2 (x-h) 2 + a 3 (x-h) 3 ………an(x-h) n …… Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN FUNGSI
DUA PERUBAHYulvi zaika
DERET TAYLOR UNTUK SATU VARIABLE BEBAS Deret Pangkat:
ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……
Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat
f(x)=ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……
Deret Taylor untuk delta (kenaikan) yang kecil f(x)=f(h) + f(b)’(x-h)+ f(h)’’ (x-h)2+ f(h)’’’ (x-h)3……… f(b)n(x-h)n …… 2! 3! n! Bila h=0 maka deret menjadi deret Maclaurin f(x)=f(0) + f(0)’(x)+ f(0)’’ (x)2+ f(0)’’’ (x)3……… f(0)n(x)n …… 2! 3! n! (354)
DERTER TAYLOR UNTUK DUA VARIABLE BEBAS Jika z=f(x,y); kenaikan terjadi arah x dan y maka
Z+z=(x+h, y+k); dimana h = keneikan arah x dan k = kenaikan arah y Untuk R
fx(x,y) = df(x,y)/dx dan fxx(x,y)=d2f(x,y)/dx2
Dari R ke Q maka (x+h) konstan : y berubah
(y+k)(2)
(1)
CONTINUE Untuk mendapatkan formulasi kenaikan pada y dari persamaan kenaikan terhadap x yaitu f(x+h,y) maka dapat dilakukan dengan menurunkan persamaannya.
Turunan ke dua terhadap y
Persamaan (2) menjadi
TEOREMA TAYLOR UNTUK 2 VARIABLE BEBAS Bila persamaan yang diambil hanya sampai turunan kedua maka akan menjadi
Jika z=f(x,y); h=dx dan k=dy maka teorema taylor dapat ditulis
Bila z dipindahkan ke kiri maka
Karena dx dan dy kenaikan yang kecil sehingga turunan berikutnya akan menjadi lebih kecil sehingga bias diabaikan, maka persamaannya akan menjadi
CONTINUE
Dapat digambarkan sbg berikut
CONTOH SOAL
Jari – jari kerucut meningkat dengan kecepatan perubahan sebesar 1.5 mm/s dan tingginya meningkat sebesar 6.0 mm/s. Tentukan peningkatan perubahan volumenya saat r= 12mm dan h=24mm
Solusi: V= ;
dr/dt=1.5mm/s dan dh/dt=6.0 mm/s maka
Tidak terjadi perubahan volume pada r=12mm dan h=24mm
PERUBAHAN VARIABEL Bila z=f(x,y) dimana x, y juga merupakan fungsi dari variable bebas u dan v. formulasi untuk dz/du dan dz/dv. Persamaan awal adalah:
Dengan membagi dengan du dan dv maka:
CONTOH Jika z= x2-y2 dan x=r cos dan y= r sin tentukan dz/d ; dz/dr; d2z/d2; d2z/dr2
Solusi:
FUNGSI INVERS Bila z=f(x,y) dan x dan y merupakan fungsi dari variable u dan v yang dinyatakan dalam fungsi u=g(x,y) dan v= h(x,y). Kita bias menentukan dx/du; dx/dv;dy/du; dy/dv serta dz/dx dan dz/dy
Contoh: Jika z=f(x,y) dan u=excosy dan v=e-x sin y tentukan dx/du dan dx/dv
(1) (2)
CONTINUE (1) (2) Jumlahkan
Menentukan dy (1) (2) Jumlahkan
RUMUSAN
Menentukan dx
Jika z=f(x,y) dan x=g(u,v); y=h(u.v) maka
Untuk menentukan du dan dv eliminasi dy
Kurangkan
Menentukan dy
Eliminasi dx
CONTINUE Dari jawaban di atas terlihat bahwa pembaginya sama sehingga bias dinyatakan dengan determinan yang disebut dengan Jacobian