deret taylor and mac laurin
DESCRIPTION
Presentasi MediaTRANSCRIPT
KALKULUSDERET TAYLOR DAN MAC LAURIN
Oleh :
1.Moch.Diyan.S (105448)
2.Moch. Hasanudin (105485)
3. Maratus Sa’adah (105765)
4. Moch. Sholeh (105774)
5. Laily R. (105777)
6. Riza Wardha R (105780)
7.Teguh Sukma M (105782)
8. Selly Puspitasari (105786)
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN DERET TAYLOR
Dalam kalkulus seringkali kita dihadapkan kepada suatu persamaan yang memuat berbagai macam fungsi
Misalnya Sin x + + - 2 = 0Menyelesaikan persamaan diatas tidaklah mudah., salah satu cara ialah mengubah setiap fungsi itu menjadi suatu polinom dalam x. Mengubah suatu fungsi f(x) dalam bentuk polinom dalam x dapat dilakukan dengan memperderetkan fungsi itu menurut deret taylor ,yaitu kita gunakan teorema Role yang berbunyi :Jika f(x) kontinu dalam selang ,dan diferensiabel dalam selang ,dan jikaF(a)=f(a+h)=0 ,maka paling sedikit dapat ditentukan suatu nilai t yang memenuhi 0<t<1 ,sehingga f’(a+th)=0
PERHATIKAN SEKARANG SEBUAH FUNGSI DENGAN PERSAMAAN Y = F(X).KITA BENTUK FUNGSI G(X) YANG DAPAT DISUSUN DARI F(X) DENGAN CARA SEBAGAI BERIKUT :
g(x)= f (a+h)- f(x) – f’ ( ) ( ) ( ) ( )!3
"!2
32 xhaxf
xhax
−+−−+−
( ) −xf '" ( ) ( ) ( )xnfn
xha n
1!1
1
−−−+−⋅⋅⋅
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
−
−⋅⋅⋅−−−−+− −−
afn
haf
haf
hafhaf n
n1
12
!1"
!2'
1
p
h
xha
−+×
JIKA P BILANGAN POSITIF SEBARANG ,MAKA TERNYATA BAHWA G(A) = 0 DAN G(A + H ) = 0MENURUT TEOREMA ROLLE , DAPAT DI TENTUKAN BILANGAN T ANTARA 0 DAN 1,SEHINGGA G’(A+TH ) = 0 .UNTUK MEMPEROLEH G’ (A + TH ) = 0 . UNTUK MEMPEROLEH G’ (A + TH ) KITA TENTUKAN TERLEBIH DAHULU G’( X ),SEBAGAI BERIKUT :
g’ (x) = - f’ (x) - f’’(x) + f’(x) – f’’’(x) +
f’’(x) – (x) +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
−⋅⋅⋅−−−−+− −−
− afn
haf
haf
hafhafxf n
nn 1
121
!1"
!2'
1
1−
−+
−
p
h
xha
h
p
jika x kita ganti dengan a + th , maka kita peroleh nilai g ‘(a + th) ,yaitu :
g’(a + th ) = -
( ) 01 1 =− −pt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) 0
!1
1
!1'
11 1
11 =
+⋅
−−−
−−⋅⋅⋅−−−+−
−−
−− thaf
pn
thaf
n
haf
hafhaft
h
p npnn
nn
p
f (a + h) = f(a) + f”(a)+…+
ns+
jika
Deret diatas disebut deret taylor berderajat (n-1) dari fungsi f, dan
Jika pada deret Taylor diatas dimisalkan x =a+h,kita peroleh deret Taylor berderajat (n-1) disekitar x = a.yaitu :F(x) = f(a) + f’(a).(x-a)+
DERET MAC LAURIN Apabila pada Deret Taylor di atas di ambil a = 0, maka di peroleh Deret Mac Laurin berderajat ( n – 1 ) dari fungsi f, yaitu
f(x) = f (0) + 1x . f ‘ (0) +
!2
2x f” (0) + !33x
f’’’ (0) + ........ )!1(
1
−
−
n
x n
f)1( −n
(0) + Sn
, jika Sn
!n
x nf )(n ( tx ) ( tx ) adalah suku sisa langrange.
Jika f (x) suatu fungsi yang diferensiabel dan memenuhi :
Lim Sn
=
= 0 , maka f (x) dapat di perderetkan menurut deret tak hingga Mac Laurin, n ∞
F (x) = f(0) + f ‘ (0) + f ‘’(0) +
f ‘’’ (0) + ...........1
x
!2
2x
!3
3x
(x-a +…+
Seringkali kita hanya memerlukan nilai pendekatan dari f (x) dengan cara mengambil beberapa suku pertama deret Mac Laurin. Nila ruas kanan kita ambil 4 suku, kita peroleh suatu polinom berderajat 3 dalam x sebagai pendekatan dari f (x).
Contoh Tentukan deret Mac Laurin fungsi f (x) = e x
Untuk menentukan deret Mac Laurin suatu Fungsi f (x), kkita harus mencari lebih dulu nilai-nilai f (0), f ‘ (0) , f ‘’(0) dan seterusnya. Karena f (x) = ,ex
, maka . f ‘ (x) = e , f ‘’ (x) = ex x, ....... jadi f (0) = e
x
= 1 ,f ‘ (0) = 1 , f ‘’ (0) = 1 , .........
Deret Mac Laurin fungsi f(x) = ex ialah : e = 1 + 1
x
!2
2x
!3
3x
!4
4x!5
5x+ ...........++ + +
Harus ditunjukkan bahwa Lim Sn= 0 n ∞
jika kita gunakan suku sisa Langrange , kita peroleh
Sn!n
x n
ftx
nn e
n
xtx
!)()( == ( 0 < t < 1 )
Jika x > 0 maka etx< e x dan Sn xn
en
x
!<
Jika x < 0 maka e tx < 1 dan nS!n
xn
<
Jika x bernilai tetap, dapat di buktikan bahwa Lim 0!
=n
xn
n ∞dapat di tentukan Konstanta m , Sehingga untuk semua n > m
Berlaku jadin
x,2
1
!<
mnmmn
m
x
n
x
m
x
m
x
m
x
n
x −
<
++=
2
1.!
...2
.1
.!!
Karena Lim mn−
2
1 = 0 maka Lim sehinggan
xn
,0!
=
Lim Sn = 0 Untuk setiap Nilai x.
n ∞
n ∞
Contoh :Tentukan deret mac laurin fungsi xxf cos)( =Jawab : xxf cos)( = 1)0( =f
xxf sin)(' −= 0)0(' =f
xxf cos)('' −= 1)0('' −=f
xxf sin)(''' = 0)0(''' =f
1)0()4( =fxxf cos)()4( = , dan seterusnya.
Jadi .......!8!6!4!2
1cos)(8642
−+−+−== xxxxxxf
Harus ditunjukkan bahwa 0:lim =∞→ n
ns
+=−= πntx
n
xtxf
n
xs
nn
n
n 2
1cos!
)(:
)( jadi :
+= πntx
n
xs
n
n 2
1cos: Karena 1
2
1cos ≤
+ πntx
maka 0lim =∞→ n
ns untuk setiap nilai x.
CONTOH :DENGAN DERET MAC LAURIN, DINYATAKAN DALAM SEBUAH POLINOM BERDERAJAT 4 DALAM X.JAWAB :
xxf 3cosh)( 2=
)(!4
)0('''!3
)0(''!2
)0('1
)0()( )4(432
xfx
fx
fx
fx
fxf +++=
xxf 3cosh)( 2= 1)0( =f
xxf
xxf
xxf
xxxxf
6cosh646)(
6sinh108)('''
6cosh18)(''
6sinh33sinh3.3cosh2)('
)4( ==
===
648)0(
0)0('''
18)0(''
0)0('
)4( ====
f
f
f
f
Jadi42
422 2791)648(
!4)18(
!213cosh xx
xxx ++=++=
Contoh :Diketahui
ny cos= 32cos2 −+ xx
Selesaikan persamaan 0=dx
dy
Jawab : sinh2=dx
dyxx 2sin22 −
Dengan deret maclaurin kita nyatakan sin 2x dan sin 2x dal;am suatu polinom dalam x.
0....!7
16
!3
116....
!11
)2(
!7
)2(
!3
)2(2
....!7
)2(
!5
)2(
!3
)2(2
....!7
)2(
!5
)2(
!3
)2(22sin2sinh
53
1173
753
753
=
++=
+++
=
+−+−
−++++=−
xx
xxx
xxxx
xxxxxx
Jadi x = 0
CONTOH : JIKA SUATU BILANGAN YANG MEMENUHI , MAKA TUNJUKKAN BAHWA (RUMUS EULER).BUKTI :AKAN KITA TUNJUKKAK BAHWA DERET MAC LAURIN RUAS KIRI SAMA DENGAN DERET MAC LAURIN RUAS KANAN.
12 −=iixeix += cos xsin
i
Karena makaxxxx
e ,!4!3!21
1432
⋅⋅⋅+++++=∧
xix
ixixxi
xxxx
xixxixxixxix
xixixixixixiixeix
sincos
)!5!3
()!8!6!4!2
1(
!8!7!6!5!4!3!21
!7!6!5!4!3!211
538642
8765432
776655443322
+=
⋅⋅⋅−+−+⋅⋅⋅−+−+−=
⋅⋅⋅++−−++−−+=
⋅⋅⋅++++++++=
CONTOH: DENGAN MENENTUKAN DERETA MAC LAURIN DARI PEMBILANG DAN PENYEBUT, TENTUKAN ( )
2
23
0 cos1
31lim
x
ex x
x −−+
→
Jawab :
Karena makaxxx
xe x ,!4!3!2
1432
⋅⋅⋅+++++= ,!4
81
!3
27
!2
931
4323 ⋅⋅⋅+++++= xxx
xe x
Sedangkan cos jadixxx
x ,!6!4!2
1642
⋅⋅⋅++++=
cos ⋅⋅⋅++++=!6!4!2
11284
2 xxxx
kita peroleh ( ) =−
−+→ 2
23
0 cos1
31lim
x
ex x
x
=⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅−−−−
→
!6!4!2
!4
81
!3
27
!2
9
lim1284
2432
0 xxx
xxx
x
2
81
!2
1
!2
9
!6!4!2
!4
81
!3
27
!2
9
lim
2
12844
24324
0−=
−
=
⋅⋅⋅+++−
⋅⋅⋅+++
→ xxxx
xxxx
x