dasar-dasar matematika
DESCRIPTION
Berisi Himpunan, relasi, fungsi, ajabar linear dan matriks dan vektorTRANSCRIPT
ARTIFICIAL INTELLIGENCE (AI)
Diajukan untuk memnuhi salah satu tugas mata kuliah Intelegensi Buatan
Disusun Oleh :
Neike Merlia Elsa
NIM : 207700434
Kelas : IFC/ VI
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2010
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahi robbil’alamin, puji dan syukur kepada Allah SWT yang telah
memberikan Rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penyusun mampu menyelesaikan catatan mata
kuliah Artificial Intelligence ini , sebagai salah satu syarat di dalam menempuh tugas mata kuliah
Intelegensi Buatan.
Didalam catatan ini tentu saja masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan, baik
dalam hal penyajian maupun substansinya. Untuk itu kepada para pembaca diharapkan saran dan
kritiknya guna penyempurnaan catatan ini.
Disamping itu, penyusun menyadari sepenuhnya bahwa penyelesaian tugas ini tidak
terlepas dari bantuan dan kebaikan semua pihak. Untuk itu, penyusun menghaturkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada orang –orang yang telah membantu dalam pembuatan catatan ini,
terutama kepada Dosen Mata Kuliah Intelegensi Buatan, Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom.,
yang telah memberikan ilmunya kepada kita semua.
Bandung, Juni 2010
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR……............................................................................................................ i
DAFTAR ISI …………………..................................................................................................... ii
BAB I Dasar-Dasar Matematika
A) Himpunan
B) Relasi
C) Fungsi
D) Aljabar Linear pada Matriks
E) Vektor
BAB II Artificial Intelligence
A) Sejarah Kecerdasan Dasar
B) Konsep dasar dan pengertian AI
C) Asumsi Dasar AI
D) Perbedaan antara Pemrograman AI dan konvensional
E) Bidang-Bidang Aplikasi AI
F) Kecerdasan Buatan Pada Aplikasi Komersial
BAB III Neural Network
A) Pengertian JST
B) Karakteristik Model Neural Network
C) Arsitektur JST
D) Proses Pembelajaran Jaringan
E) Pemanfaatan Neural Network di beberapa bidang
BAB IV NN Dan Klasifikasi Pola
A) Klasifikasi Pola
B) Arsitektur
C) Terpisahkan Secara Linear
BAB IV
DAFTAR PUSTAKA……............................................................................................................
BAB I
(PERTEMUAN KE-2)
DASAR-DASAR MATEMATIKA
A. HIMPUNAN
1) Pengertian Himpunan
Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam
kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa
Matematika Universitas Jember (UNEJ), kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok
belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya.
Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif,.
Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan
dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula
dengan kata himpunan dan koleksi.
Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Himpunan adalah
sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa
bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan
anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota
suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota
himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.. Gerorg Cantor dianggap
sebagai bapak teori himpunan.
2) Notasi Himpunan
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk
menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan
anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu
diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh
kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan
himpunan sebagai bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota
suatu himpunan digunakan lambang “∈” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan
anggota suatu himpunan digunakan lambing “∈” (baca: bukan anggota).
Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap
himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format
penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan
sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{} atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
3) Pendefinisian Himpunan
Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :
1. Enumerasi
Yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang
tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh:
A = {a,e,i,o,u}
B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
2. Simbol baku
Yaitu menyatakan sifat yang dimiliki anggotanga, dengan menggunakan simbol tertentu
yang telah disepakati
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh:
P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
R = { s | s2-1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})
4. Diagram Venn:
Yaitu menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan
sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.
Contoh :
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
4) Macam-Macam Himpunan
a. Himpunan Semesta
Pengertian :Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek
pembicaraan.
Notasi : S atau U.
Contoh :Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ , 3√5 ,… maka semesta
pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang
dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak.
Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas
bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan
kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan
bulat) sebagai semesta pembicaraan.
b. Himpunan Kosong
Pengertian : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Notasi : atau {}
Contoh :
E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
c. Himpunan Bagian
Pengertian :Diberikan himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan
bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen dari B.
Notasi : A B
Diagram Venn
Contoh :
A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka AB.
C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka C B, karena ada anggota dari
C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti
terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)
d. Himpunan yang Sama
Pengertian : A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan
bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.
Notasi : A = B A B dan B A
Contoh :
Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
e. Himpunan yang Ekivalen
Pengertian :Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya
jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh : Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab
A = B = 4
f. Himpunan Saling Lepas
Pengertian : Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika
keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn
Contoh : Jika A = { x | x Î P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
g. Himpunan Kuasa
Pengertian : Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A.
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh :
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan
kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
5) Operasi Himpunan
a. Gabungan (Union)
Pengertian :
Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AB
adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.
Notasi :
A B = { x x Î A atau x Î B }
Diagram Venn
Contoh :
A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A B = {a,b,c,d,e,f,1,2}
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
A = A
b. Irisan (Intersection)
Pengertian :
Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AB adalah
suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.
Notasi :
A B = { x x Î A dan x Î B }
Diagram Venn
Contoh :
A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AB = {c}
P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AB =
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}
Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
c. Komplemen
Pengertian :
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan“ Ac“adalah
himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di
A.
Notasi :
Ac = { x x Î U, x A }
Diagram venn
Contoh :
Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…}
maka Ac= {1,3,5,…}
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
jika A = { x | x/2 Î P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
d. Selisih (difference)
Notasi :
A – B = { x x Î A dan x B } = A B
Diagram Venn
Contoh :
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
dan B – A =
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Notasi :
A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Diagram Venn
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
6) Sifat-sifat operasi
Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AB = BA dan juga AB = BA
Asosiatif
Diberikan himpunan A, B dan C.
Maka berlaku (AB)C = A(BC) dan juga (AB)C= A(BC).
Idempoten
Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku AA=A dan juga AA=A
Identitas
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S.
Maka AS=A dan juga AS=A
Distributif
Diberikan himpunan A,B dan C.
Maka A(BC) = (AB)(AC) dan juga A(BC)=(AB)(AC)
Komplementer
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AAc = S dan AAc =
Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka ( A∪B)c = Ac Bc dan ( A B)c = Ac Bc
B. RELASI
Kata "relasi" sudah tidak asing lagi di dalam kehidupan sehari-hari. Kata relasi sudah
lazim digunakan di masyarakat, misalkan, 'relasi dagang' dan 'relasi kerja'.
1) Pengertian Relasi
Contoh, di dalam sebuah kantor terdapat orang-orang yang menjabat sebagai manajer,
direktur, dan karyawan. Misalkan Edu seorang manajer dan Agus seorang karyawan. Mereka
berdua bekerja di perusahaan yang sama. Sehingga dapat dikatakan Edu manajer dari Agus, dan
sebagainya. Kata 'manajer dari' menunjukkan adanya relasi antara Edu dan Agus. Dari contoh
tersebut dapat dipahami bahwa suatu relasi menghubungkan sesuatu dengan sesuatu yang lain.
Begitu pula dengan relasi dalam Matematika yang didefinisikan sebagai:
Relasi dari dua himpunan A dan B adalah hubungan antara dua himpunan A dan B yang
memasangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
2) Cara Menyatakan Relasi
Untuk menyatakan atau menunjukkan sebuah relasi dapat dilakukan dengan tiga cara,
yaitu:
a. Diagram Panah
Misal, himpunan M={1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan N={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Untuk menyatakan
relasi dari M ke N dengan hubungan "setengah dari" dapat dilihat pada gambar 1.1
b. Diagram Cartessius
Untuk menyatakan relasi yang sama pada butir a menggunakan diagram Cartessius dapat
dilihat pada gambar 1.2
Titik-titik tebal pada gambar 1.2 menyatakan adanya hubungan "setengah dari" antara M
dan N.
c. Himpunan Pasangan Berurutan
Himpunan pasangan berurutan yang menujukkan relasi seperti contoh pada a adalah
{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}
3) RELASI INVERS
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A
4) DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan
berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan
berurutan elemen R.
Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}
C. FUNGSI
1. Pengertian dan Notasi
a) Pengertian Fungsi
Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan
(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai
kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari,
seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari
matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan
"operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain),
namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah
A B
2
3
abc
fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang
menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam
hal ini kita dapat menulis f(5)=10.
Ciri Fungsi adalah :
Hanya terdapat satu unsur yang memetakan dari himpunan A ke B. Sehingga terdapat
pasangan terurut (a ,b) ∈ f.
Tidak terdapat dua atau lebih pasangan terurut berlainan yang mempunyai anggota pertama
yang sama.
b) Notasi fungsi,
f :A →B ditulis y = f (x) , dibaca “ y merupakan fungsi dari x ”.
c) Daerah Asal Fungsi
Daerah Asal Fungsi : ( Df = A = {x | x∈R} )
d) Daerah Hasil Fungsi
Daerah Hasil Fungsi : Rf = {y | y∈B.sehingga.y = f (x).untuk.satu.x ∈A}
2. Jenis-Jenis Fungsi
a) Fungsi ke Dalam atau into
Fungsi f :A→B dan f (A) Î B disebut Fungsi ke Dalam atau into
Contoh :
b) Fungsi injektif
AB
235
abcd
AB
abc
1
2
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk
sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2).
Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
Contoh : : A→ B into satu-satu dan a1,a2 ∈ A dengan a1 ≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2).
c) Fungsi surjektif atau onto
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang
b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.
Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
Contoh :
d) Fungsi bijektif
AB
23
ab
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam
kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A
yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan
surjektif.
Contoh :
3. Komposisi Fungsi
a) Jika fungsi f dan g memenuhi Rf ∩ Dg ≠ 0maka terdapat fungsi dari himpunan bagian Df
ke himpunan bagian Rg yang dinamakan komposisi dari g ke f.
b) Notasi : h(x) = (g o f )(x) = g(f (x))
c) Sifat
Tidak Komutatif atau f o g ≠ g o f
Asosiatif (f o g)o h = f o (g o h)
Terdapat unsur identitas I(x) = x →(f o I) = (I o f ) = f
(f o f −1 )= (f −1 o f )= I
(f o g)−1 = g−1 o f −1
[( f o g)o g−1](x) = [g−1 o (g o f )](x) = f (x)
Jika k = f o g → k o g−1(x) = f (x)
Jika h = g o f → g−1 o h(x) = f (x)
D. MATRIKS
1) Pengertian Matriks, Ordo Matriks, dan Notasi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang dapat dirujuk melalui
indeknya, yang menyatakan posisinya dalam representasi umum yang digunakan, yaitu sebuah
tabel persegipanjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan
kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks,
perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam
menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya
variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan
didekomposisikan.
Untuk batasnya adalah :
() [ ] ‖‖Notasi Matriks :
A = (aij ) , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j
Berikut ini adalah contoh penulisan di dalam sebuah matriks :
Ordo matriks atau ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis
horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat sdalam matriks tersebut. Jadi,
suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo m x n.
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan dengan mengoperasikan
komponen matriks pada letak yang sama, atau dilambangkan dengan :
atau dalam representasi dekoratfinya
2) Operasi matriks
a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran
sama ).
Jika A = (aij ) dan B = (b ij ) , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah
suatu matriks C = (cij ) , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j.
Contoh :
A =(1 23 3 )
dan B = (2 12 4 )
maka
A + B = (1 23 3 )
+ (2 12 4 )
= (1+2 2+13+2 3+4 )
= (3 35 7 )
b. Perkalian skalar terhadap matriks
Jika suatu scalar ( bilangan ) dan A = (aij ) maka matriks A = (aij )
Contoh :
A =(1 23 3 )
maka 2A = (2 . 1 2. 22 . 3 2. 3 )
= (2 46 6 )
c. Perkalian Matriks
Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB
BA.
Syarat Perkalian Matriks :
Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.
Definisi :
Misal A = (aij ) berukuran ( m x n ) dan B = (b ij ) berukuran ( n x p ) . Maka
perkalian AB adalah suatu matriks C = (cij ) berukuran ( m x p)
di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ….. + ain bnj untuk setiap I = 1,2,,,,,,m dan j = 1,2,
….,p
Contoh :
A = (1 2 3 ) dan B = (201 )
maka
AB = (1 .2+2 .0+3 .1 ) = (5)
A (1x3) dan B (3x1) maka C ( 1x1)
3) Transpose dari suatu Matriks
Misal A = (aij ) berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran
(nxm) maka AT =(a ji ) . Beberapa Sifat matriks transpose :
(i) ( A + B ) T = AT + BT
(ii) (AT ) T = A
(iii) ( AT ) = (A)T
(iv) ( AB ) T = BT AT
Catatan :
Bila Matriks A = (aij ) adalah suatu matriks kompleks, Maka Transpose Hermitian ( Conjugate
Transpose) yaitu AH = (aij
− )T
= (a ji
¿ ) , jika z = x – yi maka z
−
= x + yi
Contoh :
A = (3−i 1−i
i 3 ) maka AH =
(3+i 1+i−i 3 )
4) Sifat-sifat aljabar matriks
a. A+B=B+A
b. A+(B+C)=(A+B)+C
c. A(BC)=(AB)C
d. A(B+C)=AB+AC
e. (A+B)C=AC+BC
f. c(A+B)=cA+cB
g. (a+b)C=aC+bC
h. a(bC)=(ab)C
i. a(BC)=(aB)C
5) Jenis-Jenis Matriks
Jenis-jenis matriks :Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain:
1. Matriks Nol
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol.
Misalnya,
[0 00 0 ] ,[0 0 0
0 0 00 0 0 ]
2. Matriks Baris
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu
baris, misalnya
[ 1 7 ] , [ 5 −3 2 6 ]3. Matriks kolom
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari
satu kolom. Misalnya,
[ 2−5] ,[357 ]
4. Matriks persegi dan matriks kuadrat
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat, jika jumlah baris
pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya.
Misalnya,
[2 −34 1 ] ,[ 3 7 −5
6 −3 1−1 8 −2 ]
Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal
sekunder. Perhatikan matriks berikut.
[a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]
Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah
a11, a22 dan a33 (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah).
Sebaliknya, komponenkomponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan
arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini a11, a22, a33.
5. Matriks segitiga
Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen elemen yang ada di
bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika
elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai
matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya
bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.
Misalnya,
[−5 −1 20 4 30 0 4 ]
[ 7 0 0
5 1 0−4 −2 3 ]
Matriks segitiga bawah Matriks segitiga atas
6. Matriks Diagonal
Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen
yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain
elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol.
Misalnya,
[−1 00 4 ] [−4 0 0
0 2 00 0 1 ]
7. Matriks Skalar
Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang
terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,
[9 00 9 ] [5 0 0
0 5 00 0 5 ]
8. Matriks Identitas dan materiks satuan
Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak
pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga
matriks identitas disebut juga matriks satuan.
Misalnya,
[1 00 1 ] [1 0 0
0 1 00 0 1 ]
E. VEKTOR
1) Pengertian Vektor (spasial)
Keterangan :
A merupakan titik tangkap vektor B merupakan ujung vektor AB menyatakan panjang/nilai
vektor Anak panah meyatakan arah vektor
Sebuah vektor dari A ke B.
Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan
arah. Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai dan arah, misalnya
perpindahan, kecepatan, gaya, momentum dll. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda
panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan
arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.[1] Vektor sering ditandai
sebagai
Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang
bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.
2) Opereasi Vektor
1. Kesamaan vektor
Vektor A dikatakan sama dengan vektor B, jika besar dan arahnya sama, tetapi
titik tangkap dan garis kerjanya tidak harus sama.
2. Penjumlahan vector
Jika dua buah vektor atau lebih searah, maka resultan vektornya dijumlahkan.
A
B
B= 6
A = 8 RAB = 14
Jika dua buah vektor atau lebih berlawanan arah, maka resultan vektornya
dikurangkan.
Jika dua buah vektor atau lebih saling tegak lurus, maka resultan vektornya
dijumlahkan dengan aturan phytagoras.
Jika dua buah vektor atau lebih saling membentuk sudut tertentu (θ≠90o), maka
resultan vektornya dijumlahkan dengan aturan.
a. Jajaran Genjang (aturan cosinus).
b. Segitiga (aturan sinus).
Aturan metode segitiga adalah dengan cara menggeser salah satu vektor ke ujung
vektor lainnya, kemudian menarik titik tangkap resultan vektornya.
c. Sumbu koordinat
Aturan sumbu koordinat adalah dengan cara menguraikan vektor-vektor terhadap
sumbu koordinat x dan y.
Contoh Soal1 :
A = 8
B= 6 RAB= 2
10100
366422
BAR
A = 8
B= 6 R = 10
Bθ
cos222 ABBAR
AB
α R
βγ
A
B α
sinsinsin
BAR
x
y
F
αRx = F cos α
Ry = F sin αCatatan :
Setelah semua vektor diproyeksikan terhadap sumbu x dan y, maka cari resultan vektor terhadap sumbu x dan y.
Gunakan aturan phytagoras untuk menentukan resultan vektor akhir
Tentukan resultan vektor pada gambar di bawah dengan menggunakan metode
jajaran genjang dan metode sumbu koordinat ?
Jawaban : 5 N
3. Perkalian Vektor
Ada tiga macam perkalian dalam vektor, yaitu :
Perkalian titik (dot product)
syarat-syarat perkalian titik :
- A . B = B . A
- A.(B+C) = A.B + A.C
- i . i = j . j = k . k = 1
- i . j = j . k = k . i = 0
- Jika A . B = 0, maka A dan B saling tegak lurus
Perkalian silang (cross product)
syarat-syarat perkalian titik :
- A x B = -B x A
- Ax(B+C) = AxB + AxC
- i x i = j x j = k x k = 0
- i . j = k ; j . k = i ; k . i = j
- Jika A x B = 0, maka A dan B saling sejajar
x
y
30
4 N3 N
60
A
B
αcos. ABBA
Perkalian tensor (dyadic)
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
Himpunan :
http://www.pppgkes.com/downloads/Diktat%20Kuliah%20M1,2,3.pdf
http://erfanmath.wordpress.com/2008/07/11/himpunan/
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29
http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan
www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/2008-2009/Himpunan.ppt
Fungsi :
http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29
http://oke.or.id/wp-content/uploads/2009/02/Fungsi_Oke_.pdf
Relasi :
http://edukasih.blogspot.com/2009/02/relasi.html
sinABBxA
i
j
k2
2
1
1
321
321
B
A
j
B
A
i
BBB
AAA
kji
AxB
http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0371%20Mat%201-
4a.htm
Matriks:
http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_%28matematika%29
http://viyy.files.wordpress.com/2009/01/ jenis - jenis - matriks1 . doc
www.uty.ac.id/weekend_ti/aljabar/4.doc
http://hamimnova.files.wordpress.com/2009/05/matrik.pdf
www.akademik.unsri.ac.id/download/journal/files/gdr/ban3.doc
Vektor :
http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28spasial%29
http://blog.unila.ac.id/angjun/files/2009/09/besaran-vektor1.ppt
BAB II
http://sites.google.com/site/kecerdasanbuatan/kelas/pert-3
http://sonya-ali.blogspot.com/2010/03/perbedaan-ai-dengan-komputasi.html
http://amutiara.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/11705/kecerdasanbuatanv2bab1-4.pdf
http://p_musa.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/.../ KONSEP_DASAR_AI . pdf
BAB III
http://sites.google.com/site/kecerdasanbuatan/kelas/pert-4
http://amutiara.staff.gunadarma.ac.id/.../ kecerdasan-buatan-v-2-0-bab-5-8.pdf