bahan ajar matematika dasar 1b untuk perguruan...

Bahan Ajar Matematika Dasar 1B Untuk Perguruan

Tinggi

OLEH

Nurina Yasin, ST,. MT.

UNIVERSITAS GUNADARMA

JAKARTA

2020

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas

segala rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga setelah melalui proses akhirnya

penyusunan bahan ajar matematika dasar 1B untuk perguruan tinggi ini dapat

terselesaikan.

Penyusunan bahan ajar ini berdasarkan rujukan buku “Matematika Dasar

Untuk Pergurungan Tinggi”, penulis Yusuf Yahya dkk. Bahan ajar ini nantinya

akan digunakan sebagai penunjang perkuliahan mahasiswa Fakultas Ilmu

Komputer dan Teknologi Industri.

Meskipun bahan ajar ini telah diselesaikan, penulis menyadari bahwa bahan

ajar ini masih jauh dari kesempurnaan, sehingga penulis mengharapkan teguran,

kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhir kata penulis berharap

semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak dan penulis

mendo’akan kepada pihak – pihak yang telah membantu, semoga Allah SWT

membalasnya dengan pahala dan kebaikan, karena sebaik-baiknya pembalas adalah

Allah swt.

Depok, April 2020

Nurina Yasin, ST,. MT.

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

KATA PENGANTAR ..................................................................................... ii

DAFTAR ISI .................................................................................................... iii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... vi

BAB 1 FUNGSI

1.1 DEFINISI FUNGSI ................................................................ 1

1.2 DERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI ......................... 2

1.3 GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT ................ 3

1.3.1 Latihan Fungsi ............................................................ 4

1.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI ............................................. 4

1.5 BEBERAPA DEFINISI FUNGSI LAIN ............................... 4

1.5.1 Fungsi Satu-Satu (Injektif) ......................................... 4

1.5.1.1 Soal dan Pembahasan .................................... 4

1.5.2 Fungsi Kepada (Surjektif) .......................................... 5


1.5.3 Fungsi Gabungan (Bijektif) ........................................ 6

1.5.4 Fungsi Invers .............................................................. 6


1.6 KOMPOSISI FUNGSI ........................................................... 7

iv

BAB 2 FUNGSI LANJUTAN

2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ................................... 8

2.1.1 Fungsi Linier .............................................................. 9

2.1.2 Fungsi Kuadrat ........................................................... 10


BAB 3 LIMIT BARISAN

3.1 DEFINISI LIMIT ................................................................... 13

3.1.1 Soal dan Pembahasan ................................................. 14

3.2 LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN ...................................... 15


3.3 SIFAT LIMIT FUNGSI ......................................................... 17

3.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI ...................................... 18

3.5 LIMIT TAK HINGGA ........................................................... 18


BAB 4 KEKONTINUAN FUNGSI

4.1 FUNGSI KONTINU .............................................................. 20


4.2 KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN ........................ 23

4.3 DISKONTINU ....................................................................... 23

v

BAB 5 TURUNAN

5.1 DEFINISI TURUNAN .......................................................... 25

5.2 ATURAN PENCARIAN TURUNAN ................................... 26

5.3 ATURAN RANTAI ............................................................... 27

5.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT ....................................... 27


5.5 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT ........................................... 29

5.6 TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA ............. 30

5.7 TURUNAN DARI FUNGSI DALAM

PERSAMAAN PARAMETER .............................................. 31

5.8 TURUNAN KEDUA DAN LEBIH TINGGI ........................ 31


DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... vii

vi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Relasi Fungsi ................................................................................. 2

Gambar 2 Ilustrasi Fungsi .............................................................................. 2

Gambar 3 Contoh Relasi Fungsi dan Bukan Fungsi ................................... 2

Gambar 4 Grafik Fungsi ................................................................................. 3

Gambar 5 Fungsi Satu-Satu ........................................................................... 4

Gambar 6 Fungsi Kepada ............................................................................... 5

Gambar 7 Fungsi Bijektif ............................................................................... 6

Gambar 8 Invers Fungsi ................................................................................. 6

Gambar 9 Komposisi Fungsi .......................................................................... 7

Gambar 10 Grafik Linier ............................................................................... 9

Gambar 11 Grafik Fungsi Kuadrat................................................................ 10

Gambar 12 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ................................................... 11

Gambar 13 Grafik Fungsi Kuadrat pada Soal .............................................. 12

1

BAB 1

FUNGSI

TIU:

Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi, menentukan daerah definisi dan

daerah nilai dari sebuah fungsi dan mengenal beberapa jenis fungsi.

TIK:

1. Mahasiswa memahami fungsi sebagai relasi, khususnya fungsi satu

variabel.

2. Mahasiswa mengenal cara penyajian fungsi dalam bentuk grafik .

3. Mahasiswa mengenal sistim koordinat cartesian.

4. Mahasiswa mengenal daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi.

5. Mahasiswa dapat menentukan daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah

fungsi.

6. Mahasiswa mengenal beberapa fungsi riil : fungsi polinom, fungsi aljabar,

fungsi transenden, fungsi trigonometeri, fungsi siklometri dan fungsi

hiperbolik.

7. Mahasiswa mengenal fungsi konstanta, fungsi identitas, fungsi satu-satu,

fungsi pada, fungsi eksplisit, fungsi implisit, fungsi berharga banyak dan

fungsi genap.

1.1 DEFINISI FUNGSI

DEFINISI: Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke

B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

ATURAN:

1. setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.

2. tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

2

1.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut

kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B disebut bayangan (image)

dari a. Himpunan Rf:= { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah

(range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut

bayangan (image) himpunan S oleh fungsi f.

Gambar 1 Relasi Fungsi

Sumber: Sukirman, 2020

Gambar 2 Ilustrasi Fungsi


Gambar 3 Contoh Relasi Fungsi dan Bukan Fungsi


3

1.3 GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM KOORDINAT

Misalkan f: A → B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut

{(a,f(a) | a ∈ A}.

Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2,

f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

1.3.1 Latihan Fungsi

1. Fungsi kuadrat f: R → R, dimana f(x) := x2+x+1.

2. Fungsi nilai mutlak f: R → R+, dimana fungsi ini ditulis juga f(x): = |x|.

3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota

di dunia, f: A → B dimana f(x): ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x)

= Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.

4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah

“diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef.

fungsi f: A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x.

5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif

Fungsi f: A → B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S =

(1001101) maka f(S) = 4.

6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi?

Gambar 4 Grafik Fungsi


4

1.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI

1. Misalkan f, g: A → B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh:

(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).

2. Contoh: misalkan f, g: R → R dimana f(x) = x2 dan g(x):= x – x2. Diperoleh

(f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4.

3. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) =

g(x) untuk setiap x dalam domainnya.

4. Apakah fungsi f(x): = x-2 dan g(x): = (x2-4)/(x+2) sama?

1.5 BEBERAPA DEFINISI FUNGSI YANG LAIN

1.5.1 Fungsi Satu-Satu (Injektif)

Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x =

y ], atau [x y → f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut

TRUE: ∀x ∀y [f(x) = f(y) → x = y] atau ∀x ∀y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi

f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y)

maka f tidak satu-satu.

1.5.1.1 Soal Dan Pembahasan

1 CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4,

f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif? PENYELESAIAN:

karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi

ini injektif.

Gambar 5 Fungsi Satu-satu


5

2 CONTOH: Apakah fungsi f: R → R dengan f(x) = x2 satu-satu?

PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada

x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

3 CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y, diperoleh x + 5 ≠ y + 5

→ g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

1.5.2 Fungsi Kepada (Surjektif)

Fungsi f: A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat

x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A.

Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:

∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x)

maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y maka f tidak

surjektif.


1 CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN:

Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2

= f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.

2 CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?

PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 → x = y+3 memenuhi

h(x) = y. Jadi h surjektif.

Gambar 6 Fungsi Kepada


6

1.5.3 Fungsi Gabungan (Bijektif)

Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi

bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}→ {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan

f(d)=3 bijektif.

PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena

semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

1.5.4 Fungsi Iners

Misalkan f: A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang

mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi

f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL,

y = f(x) ↔ x = f -1 (y). Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

Gambar 7 Fungsi Bijektif


Gambar 8 Invers Fungsi


7


1 CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2,

f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertible dengan f -1(1)=c, f -

1(3)=b dan f -1(2)=a.

2 CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.

PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak

invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

1.6 KOMPOSISI FUNGSI

Misalkan g: A → B dan f: B → C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦

g adalah fungsi f ◦ g: A → C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A → B dan g: D →

E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A)⊂ D.

Gambar 9 Komposisi Fungsi


8

BAB 2

FUNGSI LANJUTAN

TIU:

Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi, menentukan daerah definisi dan

daerah nilai dari sebuah fungsi dan mengenal beberapa jenis fungsi.

TIK:

1 Mahasiswa mengenal apa yang dimaksud dengan : fungsi komposisi, fungsi

invers, fungsi periodik, fungsi terbatas dan fungsi monoton.

2 Mahasiswa dapat menentukan komposisi fungsi.

3 Mahasiswa dapat menentukan invers sebuah fungsi.

4 Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi dalam koordinat Cartesian.

5 Mahasiswa mengenal fungsi dalam bentuk parameter.

6 Mahasiswa dapat mengubah sebuah fungsi dari bentuk parameter kedalam

bentuk biasa.

7 Mahasiswa dapat mengubah sebuah fungsi dalam bentuk polar kedalam

bentuk cartesian dan sebaliknya.

8 Mahasiswa mampu menggambarkan fungsi dalam koordinat polar.

2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Grafik sebuah fungsi adalah sebuah representasi visual dari sifat sebuah

fungsi pada diagram x-y. Grafik bisa membantu kita memahami aspek-aspek

berbeda dari sebuah fungsi, yang bisa jadi sulit dipahami dengan hanya melihat

fungsi itu sendiri. Anda bisa menggambar grafik dari ribuan persamaan, dan

masing-masing memiliki rumus yang berbeda satu sama lain. Artinya, selalu ada

cara untuk menggambar sebuah fungsi jika Anda melupakan langkah seharusnya

untuk menggambar fungsi tertentu.

9

2.1.1 Fungsi Linear

Ada tiga langkah untuk melukis grafik fungsi linier, dianaranya adalah :

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A(x1, 0)

2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B(0, y1)

3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus

CONTOH:

Lukislah grafik dari y = 2x - 6

PENYELESAIAN:

1. Titik potong dengan sumbu x → y = 0

y = 2x - 6

0 = 2x - 6

6 = 3x

x1 = 3 → (3, 0)

2. Titik potong dengan sumbu y → x = 0

y = 2x - 6

y = (2. 0) - 6

y = 0 - 6

y1 = -6 → (0, -6)

3. Maka lukisan grafinya adalah grafiknya :

Gambar 10 Grafik Linier

Sumber: Admin, 2017

10

2.1.2 Fungsi Kuadrat

Ada cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari

grafik sebuah persamaan kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai

Determinan dari sebuah fungsi kuadrat adalah .

Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki

sebuah persamaan kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk

menentukan jenis akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat.

Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya,

grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).

2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya,

grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).

3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak

real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

Nilai (koefisien dari ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut

terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai :

1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambar 11 Grafik Fungsi Kuadrat

Sumber: Admin, 2017

11

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).

2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).

3. Menentukan sumbu simetri .

4. Menentukan titik puncak ( , ) atau hitung nilai puncak y

menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan

nomor 3 ke dalam persamaan f(x).

2.1.2.1 Soal dan Pembahasan

Gambarlah grafik fungsi kuadrat

1. Nilai artinya grafik akan terbuka ke atas.

2. Nilai , nilai D > 0 artinya

grafik akan memotong sumbu x pada dua titik.

Sketsa gambarnya kurang lebih akan seperti gambar di bawah:

Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0)

Gambar 12 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Sumber: Admin, 2017

12

Jadi, diperoleh titik potong dengan sumbu x (4, 0) dan (-2, 0).

Langkah 2: Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)

Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, -8).

Langkah 3: Menentukan sumbu simetri

Diketahui: , , dan , maka sumbu simetri .

Langkah 4: Menentukan titik puncak ( , )

atau substitusi nilai x = 1 (hasil perhitungan pada Langkah 3) pada persamaan

sehingga diperoleh

Jadi, koordinat titk puncaknya adalah (1, – 9).

Selanjutnya tinggal menghubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga menjadi

kurva seperti terlihat pada gambar 13.

Gambar 13 Grafik Fungsi Kuadrat pada Soal

Sumber: Admin, 2017

13

BAB 3

LIMIT BARISAN

TIU:

Mahasiswa dapat menentukan limit dari sebuah barisan dan dapat menentukan

konvergensi/ divergensi dari sebuah barisan.

TIK:

1 Mahasiswa memahami barisan bilangan.

2 Mahasiswa mampu menentukan suku umum dari sebuah barisan bilangan.

3 Mahasiswa dapat menentukan limit sebuah barisan.

4 Mahasiswa dapat membuktikan bahwa sebuah barisan tidak mempunyai

limit.

5 Mahasiswa dapat memeriksa barisan yang konvergen dan barisan yang

divergen, dengan menggunakan limit.

6 Mahasiswa mengenal apa yang disebut dengan limit tak sebenarnya.

7 Mahasiswa memahami sifat-sifat limit barisan.

8 Mahasiswa dapat memanfaatkan sifat-sifat tersebut untuk menentukan limit

dari sebuah barisan.

9 Mahasiswa mengenal beberapa barisan istimewa dan limit dari barisan-

barisan tersebut.

3.1 DEFINISI LIMIT

Pengertian limit secara intuisi adalah:

1

1)(

2

−

−=

x

xxf

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk

0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1.

14

Pengertian limit secara grafik adalah:

Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati

1. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

21

1lim

2

1=

−

−

→ x

x

x

Dibaca “ limit dari 1

12

−

−

x

x

untuk x mendekati 1 adalah 2 .

3.1.1 Soal dan Pembahasan

15

3.2 LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN


17

3.3 SIFAT LIMIT FUNGSI

18

3.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

3.5 LIMIT TAK HINGGA

19


20

BAB 4

KEKONTINUAN FUNGSI

TIU:

Mahasiswa dapat mencari limit sebuah fungsi dan mampu menggunakan limit

untuk menentukan kontinuitas sebuah fungsi.

TIK:

1 Mahasiswa memahami dan dapat menentukan limit sebuah fungsi.

2 Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan limit kiri dan limit kanan

sebuah fungsi.

3 Mahasiswa mengenal dan mengerti sifat limit fungsi.

4 Mahasiswa dapat memanfaatkan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan limit

sebuah fungsi

4.1 FUNGSI KONTINU

22


23

4.2 KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN

4.3 DISKONTINU

Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” pada grafik fungsi. Terdapat 3

jenis diskontinuitas:

1 tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) tak hingga (tidak ada);

24

2 loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannya berhingga namun tak sama;

3 dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai fungsi dan limitnya ada, tetapi

tidak sama,

)()(lim afxfax

→

25

BAB 5

TURUNAN

TIU:

Mahasiswa memahami konsep turunan dan mampu mencari turunan dari sebuah

fungsi.

TIK:

1. Mahasiswa mengerti akan turunan dari fungsi satu variabel

2. Mahasiswa mampu menggunakan limit untuk mencari turunan sebuah

fungsi.

3. Mahasiswa mampu menyelidiki apakah sebuah fungsi mempunyai

turunan pada sebuah titik.

4. Mahasiswa mengenal rumus dasar turunan.

5. Mahasiswa dapat memanfaatkan rumus dasar turunan untuk menentukan

turunan berbagai fungsi.

6. Mahasiswa dapat memanfaatkan rumus dasar turunan untuk menentukan

turunan berbagai fungsi.

5.1 DEFINISI TURUNAN

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring

perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan

bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam

menemukan turunan disebut diferensiasi. Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel

y terhadap variabel x dinotasikan dengan atau

26

5.2 ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Aturan pencarian turunan dalam teori turunan adalah sebagai berikut:

)`()()()()`()()()()`()`( maka

,)()()()( Jika .7

)(

)`()()()`()`( maka 0)( ,

)(

)()( Jika .9

)`()()`( maka ,)()( Jika .8

)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7

)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6

)`()`( maka ,)()( Jika 5.

)`( maka ,)( Jika 4.

)`( maka ,)( Jika .3

1)`( maka ,)( Jika 2.

0)`( maka ,)( Jika 1.

2

1

1

1

xwxvxuxwxvxuxwxvxuxf

xwxvxuxf

xv

xvxuxvxuxfxv

xv

xuxf

xuxunxfxuxf

xvxuxvxuxfxvxuxf

xvxuxfxvxuxf

xCuxfxCuxf

CnxxfCxxf

nxxfxxf

xfxxf

xfCxf

nn

nn

nn

++=

=

−==

==

+==

==

==

==

==

==

==

−

−

−

27

5.3 ATURAN RANTAI

xx

xy

x

xy

xy

v

uvvuy

v

uy

uvvuyuvy

vuyvuy

kkuykuy

x

vuy

ln

1 3.

cos 2.

.2 1.

:Contoh

.``

` maka Bila 4.

.̀`` maka Bila 3.

.̀`` maka Bila 2.

konstan. ,̀` maka Bila 1.

berlaku Maka . dari fungsimerupakan

,dan dari fungsiadalah dimana rumit, fungsi-fungsiUntuk

2

x3

2

+

+=

=

=

−==

+==

==

==

5.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT

)`( )`()`(.)(`)`(

:lain simboldengan ditulisatau

. maka

,)()(

)(),(

:berikut sebagai

ditentukan yangkomposit fungsiadalah F biladan ,diturunkan

dapat yang dan dari fungsiadalah masing-masing dan Bila

xfugxfxfgxF

dx

du

du

dy

dx

dy

xfgxFy

xfuugy

uxgf

==

=

==

==

28


( )

( )

( ) ( )

( ) ( )131238

261234

12344 ,26

diperoleh ,

123 subtitusidengan Maka

.123 dari h 1.Hitungla

32

32

323

4

2

42

−+−=

−+−==

+−==−=

=

+−=

+−=

xxx

xxxdx

du

du

dy

dx

dy

xxudu

dyx

dx

du

uy

xxu

xxydx

dy

( )

( ) ( )1

1)2(12

1

11

2)`(1

.1

:Contoh

.`)(n maka ,)( Jika

2

2

121

2

12

21

22

2

2

1-nn

+=+=+=

+=+=

=→+=

+=

==

−−

x

xxxxx

dx

dy

xxy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

( ) ( )1cos2)2.(1cos

2)`(1

.)1sin(

:Contoh

.`)(cos maka ,)(sin Jika

22

2

2

+=+=

=→+=

+=

==

xxxxdx

dy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

29

( )12sin22).12sin(

2)`(12

.)12cos(

:Contoh

.`)(sin maka ,)(cos Jika

+−=+−=

=→+=

+=

−==

xxdx

dy

xfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

5.5 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

1`

0`1

01

0``

adalah 0 dari pertamaTurunan

0.(0)`kanan ruasTurunan

1 v`maka

1` maka

0

:Contoh suku. demisuku menurunkankemudian , dari fungsi sebagaisuku tiap-tiap

memandang kita maka,0,implisit fungsi dari pertama turunan menghitungUntuk

−=

=+

=+

=+

=+

=

====

===

=+

=

y

y

dx

dy

vu

yx

dx

dy

dx

dy

dy

dv

dx

dvyv

dx

duuxu

yx

x

y)f(x

30

5.6 TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA

x

x

x

x

x

x

x

v

eyyy

xyxy

xyey

ey

yy

y

xyxy

xy

y

y

uy

===

==

==

=

==

=

==

==

=

=

=

`1`y

1

)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian

ln maka ,

. dariurunan Tentukan t 2.

22ln2ln`

2ln`y

1

)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian

2ln)2ln(ln

2

.2 dariurunan Tentukan t 1.

:Contoh

a. turunannymencari

untuk logaritman menggunakamudah lebih ,berbentuk fungsi Pada

+=

+=

+=

+==

==

=

=

=

=

xx

xxxy

xx

xxyy

xx

xxy

uvvuyuvy

xyxy

xxy

xy

xy

xy

x

x

x

x

sin1

lncos`

sin1

lncos`

sin1

lncos`y

1

)``` maka

dan 1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian

lnsinln

)ln(ln

. dariurunan Tentukan t 3.

sin

sin

sin

sin

31

5.7 TURUNAN DARI FUNGSI DALAM PERSAMAAN PARAMETER

t

t

t

t

t

t

t

ee

e

dt

dx

dt

dy

dx

dy

ey

ex

ey

ex

dt

dx

dt

dy

dx

dytgy

tfx

23

3

3

33

3`

`

fungsi dariurunan Tentukan t

:Contoh

. maka )(

)( parameter persamaan dalam fungsiSuatu

==

=

=

=

=

=

==

=

5.8 TURUNAN KEDUA DAN LEBIH TINGGI


Jika y = sin 2x,

maka :

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2 cos 2x

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = -4 sin 2x

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 = -8 cos 2x

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 = 16 sin 2x

vi

DAFTAR PUSTAKA

Admin. 2017. Cara Melukin Grafik Linier.

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2017/01/cara-melukis-grafik-

fungsi-linier.html (diakses pada tanggal 24 April 2020).

Admin. 2017. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.

https://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi-

kuadrat/ (diakses pada tanggal 24 April 2020).

Sukirman, Edi. 2010. Matematika Dasar 1.

http://ediskm.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.0 (diakses pada

tanggal 23 April 2020)

Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin. 1994. Matematika Dasar untuk

Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia.

http://www.blogger.com/profile/05782087071117009731

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2017/01/cara-melukis-grafik-fungsi-linier.html

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2017/01/cara-melukis-grafik-fungsi-linier.html

http://www.blogger.com/profile/05782087071117009731

https://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat/

https://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat/

http://ediskm.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.0

bahan ajar matematika dasar 1b untuk perguruan...

Documents