pengantar dasar matematika (pdm) · pdf filepdm-sugiarto-isti hidayah page 1 bahan ajar...

PDM-Sugiarto-Isti Hidayah

BAHAN AJAR

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

(PDM)

Disusun oleh

Sugiarto, Isti Hidayah Jurusan Matematika

FMIPA UNNES 2011


egala puji hanya untuk Allah, Tuhan semesta alam, yang telah melimpahkan karuniaNya, sehingga Alhamdulillah bahan ajar yang berjudul Pengantar Dasar Matematika telah selesai disusun sesuai dengan rencana. Kompetensi yang dimiliki mahasiswa setelah menempuh matakuliah Pengantar

Dasar Matematika bermanfaat bagi mahasiswa tidak saja sebagai bekal untuk

menempuh semua matakuliah Keahlian Bidang Studi, akan tetapi bermanfaat pula bagi

mahasiswa sebagai sarana berfikir mengembangkan penalaran dan meningkatkan

kemampuan berpikir logis.

Perkuliahan ini dimaksudkan membekali mahasiswa agar mampu menggunakan

penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat

generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika,

disamping itu juga membekali mahasiswa untuk mengembangkan kemampuan berpikir

logis, rasional, analitis, sistematis, objektif, dan kritis serta kreatif.

Kompetensi yang diperoleh mahasiswa setelah menempuh matakuliah ini sangat

bermanfaat sebagai bekal untuk menempuh matakuliah lain. Adapun materi yang

dikembangkan pada matakuliah Pengantar Dasar Matematika meliputi:

1) Himpunan, relasi, fungsi dan kardinalitas

2) Logika : disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, ekivalensi, argument, bukti kesahan

argumen dan kwantifikasi

Semarang, Agustus 2011.

Penulis

Sugiarto-Isti Hidayah

PRAKATA

ii


HALAMAN JUDUL ....................................................................................................... KATA PENGANTAR .................................................................................................... DAFTAR ISI ........................................................................................................... BAB I : PENDAHULUAN .......................................................................................

1. Deskripsi mata kuliah .................................................................................. 2. Prasyarat ................................................................................................. 3. Petunjuk belajar ............................................................................................ 4. Standar Kompetensi .................................................................................... 5. Kompetensi dasar ........................................................................................ 6. Indikator ....................................................................................................

BAB II: HIMPUNAN ..............................................................................................4 1. Pengertian Himpunan ..............................................................................4 2. Keanggotaan Himpunan ......................................................................... 3. Cara Menyatakan Himpunan ................................................................... 4. Latihan 2 ......................................................................................................

BAB III: MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN ................................... 1. Himpunan Kosong ................................................................................. 2. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga .............................................. 3. Himpunan di Dalam Himpunan ............................................................... 4. Himpunan Bagian sejati ........................................................................ 5. Dua Himpunan yang Sama ..................................................................... 6. Dua Himpunan yang Ekivalen ............................................................... 7. Himpunan Kuasa .................................................................................. Latihan 3 ..................................................................................................

BAB IV: OPERASI PADA HIMPUNAN .................................................................... 1. Irisan Dua Himpunan ............................................................................. 2. Gabungan Dua Himpunan ........................................................................ 3. Selisih Dua Himpunan ................................................................................ 4. Komplemen ............................................................................................. 5. Perkalian Dua Himpunan ............................................................................. 6. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan ............................................................ Latihan 4 ................................................................................................

BAB V: HIMPUNAN BILANGAN .......................................................................... 1. Himpunan Bilangan-bilangan ................................................................ 2. Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya ............................................................... 3. Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal ...................................................... 4. Selang ...................................................................................................... Latihan 5 ...................................................................................................

BAB VI: RELASI ANTARA DUA HIMPUNAN ............................................................. 1. Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan ............................................... 2. Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan ....................................... 3. Banyaknya ReIasi Antara Dua I limpunan ............................................... 4. Macam Relasi .........................................................................................

DAFTAR ISI

i ii

iii 1 1 1 1 2 2 2 4 4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9

10 10 11 11 12 13 13 15 17 17 19 20 20 21 22 22 22 24 25

iii


5. Relasi Ekivalen dan Partisi ....................................................................... Latihan 6 ....................................................................................................

BAB VII: FUNGSI ................................................................................................... 1. Pengertian Fungsi .................................................................................... 2. Cara Menyatakan Fungsi .................................................................. 3. Banyaknya Fungsi ................................................................................... 4. Jangkauan dari Fungsi ............................................................................. 5. Jenis Fungsi ............................................................................................ Latihan 7 .................................................................................................

BAB VIII: LOGIKA MATEMATIK A ............................................................................ 1. Proposisi .................................................................................................. 2. Proposisi Komposit .................................................................................. 3. Nilai Kebenaran Proposisi Komposit ...................................................... 4. Tabel Kebenaran ...................................................................................... 5. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi .................................................... 6. Implikasi Logis .......................................................................................... 7. Ekivalensi ................................................................................................ Latihan 8A .................................................................................................. 8. Hukum-hukum Aljabar Proposisi ............................................................ 9. Argumen ................................................................................................... 10. Kesahan Argumen ................................................................................... 11. Metode Deduksi ..................................................................................... Latihan 8B ............................................................................................... 12. Aturan Bukti Bersyarat (ABB) .................................................................

Latihan 8C ................................................................................................. 13. Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung) .......................................... Latihan 8D ...............................................................................................

BAB IX: KUANTIFIKASI .......................................................................................... 1. Fungsi Proposisi dan Kuantor ....................................................................... 2. Melambangkan Proposisi ............................................................................ Latihan 9A ................................................................................................. 3. Bukti Kesahan clan Aturan Kuantifikasi Permulaan .................................... Latihan 9B ....................................................................................................

BAB X: BILANGAN KARDINAL ................................................................................ 1. Himpunan Ekivalen .................................................................................. 2. Himpunan Berhingga clan Tak Berhingga ................................................. 3. Himpunan Terbilang clan Tak Terbilang .................................................... 4. Bilangan Kardinal ....................................................................................... Latihan 10 .....................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................

26 29 30 30 31 32 33 35 36 37 37 37 38 39 40 40 41 42 43 44 44 45 48 50 52 53 54 55 55 56 57 58 61 62 62 62 63 67 72 73


A. Diskripsi

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) bertujuan agar mahasiswa

memiliki kecakapan untuk memahami : Konsep dasar himpunan, macam himpunan,

relasi pada himpunan, operasi pada himpunan, himpunan bilangan-bilangan, ralasi,

fungsi, bilangan kardinal, logika matematika dan kuantifikasi

B. Prasyarat.

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) tidak memerlukan

pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di

Pendidikan Dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk

mempelajari materi pokok pada perluliahan PDM.

C. Petunjuk Belajar

Strategi yang dikembangkan pada perkuliahan ini adalah startegi hiuristik

dengan metode tanya jawab, demonstrasi dan diskusi dilanjutkan dengan presentasi

hasil diskusi kelompok, serta pemberian tugas terstruktur (TT) baik tugas individual

maupun tugas kelompok. Strategi ini juga mengembangkan kemampuan mahasiswa

untuk bereksplorasi dan berelaborasi dalam kegiatan mengonstruk pengetahuan yang

berupa pemahaman konsep, prisnsip dan penerapannya dalam memecahkan masalah

yang berkaitan dengan teori himpunan dan Pengantar logika matematika. Untuk

memantapkan pengetahuan mahasiswa dan untuk menghindari miskonsepsi, maka

perlu dilaksanakan kegiatan konfirmasi oleh dosen dan oleh mahasiswa.

Adapun langkah pembelajaran yang dikembangkan meliputi:

1. Tahap Kegiatan Pendahuluan.

a. Menyiapkan kondisi fisik dan mental mahasiswa untuk belajar

b. Menggali pengetahuan prasyarat dengan cara tanya jawab dan menggunakan

media pembelajaran

2. Tahap Kegiatan Inti

a. Melakukan tanya jawab

PENDAHULUAN

AN


b. Melakukan inkuiri dengan menggunakan modeling

c. Melakukan diskusi kelompok dan mempresentasikan hasilnya

(dikembangkan secara eksplorasi, elaborasi dan konfirmasi)

3. Tahap Kegiatan Penutup

a. Pemberian kesempatan untuk membuat rangkuman

b. Pemberian tuas terstruktur individual/kelompok

c. Tindak lanjut, pada setiap akhir perkuliahan menugaskan kepada mabahsiswa

untuk me,mpelajari materi berikutnya.

D. Standar Kompetensi

Penyelenggaraan mata kuliah PDM bertujuan agar mahasiswa mampu

mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya

dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan logika

matematika,

E. Kompetensi Dasar

Perkuliahan ini dimaksudkan agar mahasiswa mampu mengembangkan

kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam

pemecahan masalah berkaitan dengan teori himpunan dan logika matematika,

yang meliputi: 1) pendahuluan, 2) Konsep dasar himpunan, 3) macam himpunan, 4)

relasi pada himpunan, 5) operasi pada himpunan, 6) himpunan bilangan-bilangan, 7)

ralasi dan fungsi, 8) logika matematika, dan 9) kuantifikasi. 10) bilangan kardinal.

F. Indikator

Mahasiswa mampu:

1) Mendiskripsikan konsep dasar himpunan, meliputi : Pengertian Himpunan,

keanggotaan Himpunan, Cara Menyatakan Himpunan.

2) Menyebutkan macam himpunan, meliputi : Himpunan Kosong, himpunan berhingga dan

tak berhingga , himpunan di dalam himpunan.

3) Menyebutkan pengertian: himpunan Bagian sejati, dua himpunan sama , dua

himpunan yang ekivalen, himpunan kuasa.

4) Menyebutkan pengertian: irisan dua himpunan, gabungan dua himpunan, selisih

dua himpunan, komplemen, perkalian dua himpunan.


5) Menemukan sifat-sifat operasi pada himpunan.

6) Menentukan himpunan bilangan, operasi hitung dengan bilangan nol dan sifat-

sifatnya, pecahan biasa dan pecahan desimal.

7) Menyebutkan pengertian relasi antara dua himpunan, menentukan cara menyatakan

relasi antara dua himpunan, banyaknya reIasi antara dua I limpunan, macam relasi,

relasi ekivalen dan partisi.

8) Menyebutkan pengertian fungsi, menentukan cara menyatakan fungsi , banyaknya

Fungsi , jangkauan dari Fungsi , jenis Fungsi.

9) Menyebutkan pengertian himpunan ekivalen, himpunan berhingga dan tak

berhingga, himpunan terbilang dan tak terbilang, dan bilangan kardinal.

10) Menyebutkan pengertian proposisi, dan proposisi komposisi.

11) Menentukan nilai tebenaran proposisi komposit, tabel kebenaran, tautologi,

kontradiksi, dan kontingensi, Implikasi Logis, ekivalensi, dan hukum-hukum Aljabar

Proposisi.

12) Menentukan argumen, kesahan argumen , metode deduksi, aturan bukti bersyarat

(ABB), reductio ad absordum (Bukti Tak Langsung).

13) Menentukan argumen fungsi proposisi dan kuantor, melambangkan proposisi, kukti

kesahan dan aturan kuantifikasi permulaan.


1. Pengertian Himpunan

Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep

dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan

himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda¬benda

atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas

dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota

himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk

dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Contoh 1.1

Kumpulan yang bukan merupakan himpunan

a. kumpulan makanan lezat

b. kumpulan batu-batu besar

c. kumpulan lukisan indah

Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota-anggotanya

tidak didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.2

Kumpulan yang merupakan himpunan

a. kumpulan negara-negara Asean

b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia

c. kumpulan bilangan asli genap

d. Penduduk Jawa Tengah

2. Keanggotaan Himpunan

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah

himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c

anggota himpunan A, dapat ditulis c A, demikian juga a A dan b A. Tetapi d bukan

anggota himpunan A dan dapat ditulis d A.

3. Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan

a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;

b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

c. notasi pembentuk himpunan.

Contoh 1.3

a. Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;

A = {1,3,5,7)

HIMPUNAN

AN


B = {0,2,4,6,8, ...}

C = {Senin, Selasa, Sabtu}.

b. Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama,

B = Himpunan bilangan cacah genap,

C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s.

c. Notasi pembentuk himpunan.

A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil}

B = {x| x bilangan cacah genapl}

C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s}

LATIHAN 2

AN

1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan.

b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan.

2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar,

kemudian berikan alasannya.

a. p B b. {q} B, c. r B, d. s B.

3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi.

a. A = {x2 = 25}

b. B = {x| x + 3 = 3}

c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya.

a. E = {a,i,u,e,o}

b. F = {2,3,5,7,11}

c. G = {3,6,9,12, …}

d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.

5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang:

a. kurang dari 5,

b. Iebih dari atau sama dengan 3,

c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan

d. prima.

6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar

a. J= {x| x > 0, x himpunan bilangan bulat}

b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}

c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}


elah dikemukakan pada bab I bahwa konsep himpunan merupakan konsep yang tidak

didefinisikan. Dari konsep tersebut dapat dikembangkan konsep lain yang didefinisikan

berkaitan dengan konsep himpunan. Berikut ini disajikan beberapa konsep yang

didefinisikan berkaitan dengan konsep himpunan.

1. Himpunan Kosong

Definisi 2.1

Himpunan kosong dinyatakan dengan atau {}.

Contoh 2.1

Himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan kosong.

a. A = Himpunan bilangan prima genap

b. B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

c. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul

d. D = Himpunan persegi panjang yang merupakan belah ketupat.

e. E = {x| x ≠ x}

f. F = {x| x2 +4 = 0, x bilangan real}

Himpunan tersebut tersebut di atas yang merupakan himpunan kosong adalah B, E, F,

sedangkan himpunan A, C, dan D bukan himpunan kosong.

2. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Dilihat dari kardinalitasnya suatu himpunan ada yang merupakan himpunan berhingga

dan himpunan tak berhingga. Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak

anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu

himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka

proses penghitungannya dapat berakhir. Sebaliknya suatu himpunan disebut himpunan

tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan

bilangan tertentu. Atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut himpunan tak

berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung maka proses

penghitungannya tidak dapat diakhiri.

Himpunan kosong adalah

himpunan yang tidak mempunyai

MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN


Contoh 2.2

1. Himpunan berhingga

a. K = Himpunan nama hari dalam seminggu

b. L = {x|x < 100, x bilangan cacah ganjil}

c. P = {x| x negara - negara Asean}

d. Q = {x| x penduduk Indonesia}

2. Himpunan tak berhingga

a. R = Himpunan bilangan asli

b. L = Himpunan bilangan cacah kelipatan 5

c. P = {x| x > I00, x bilangan bulat}

d. Q = {x| x bilangan bulat genap}

3. Himpunan di Dalam Himpunan

Definisi 2.2

Dari definisi 2.2 dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B jika dan

hanya jika ada x anggota A dan x bukan anggota B. Dapat ditulis A B jhj x A dan x B.

Contoh 2.3

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {3,4,5,6,1,2}, dan E =

{5,6,7}. Manakah pernyataan di bawah ini yang benar.

a. B A d. E A g. A A

b. A C e. A D h. {} A

Pada gambar 2.1 semua anggota A

ada di dalam himpunan B, maka A

disebut himpunan bagian dari B,

ditulis A B dibaca A himpunan

bagian dari B.

Gambar 2.1

B

A

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis

A B jhj ∀ x A maka x B.


c. D A f. E C i. B

Jawab:

Pernyataan yang benar adalah a, c, d, e, f, g, h, dan i.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

2. Jika A himpunan maka A A.

4. Himpunan Bagian Sejati

Definisi 2.3

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan B A.

Contoh 2.4

Diketahui A={0,2,4,6}, B={0,2,4,6,8}, dan C={xl x bilangan cacah genap kurang dari 9}.

Jelas bahwa:

1) A himpunan bagian sejati B

2) bukan himpunan bagian sejati C

Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan A B dan

sebutan C himpunan bagian sejati D dirulis dengan C D.

5. Dua Himpunan yang Sama

Definisi 2.4

Dari definisi 2.4 dapat disimpulkan bahwa:

A≠B jhj A B atau B A.

Contoh 2.5

Diketahui himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {7,3,9,1,5). Banyaknya

anggota himpunan A ditulis dengan n(A), sehingga:

a) A = C dan n(A) = n(C) 5, dan

b) n(A) = n(B) = 5 tetapi A≠B.

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis:

A=B jhj A B dan B A.


6. Dua Himpunan yang Ekivalen

Definisi 2.5

Contoh 2.6

Diketahui A = {3,6,9,12,15}, B = {12,9,6,3,15), dan C = {2,3,5,7,11}, maka:

a) A=B dan A B

b) n(A) = n(C) tetapi A≠C.

Contoh 2.7

Diketahui N = {1,2,3,4,5 …}, C = {0,1,2,3,4 …}, N C sebab N dan C berkorespondensi satu-

satu. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

N : 1, 2, 3, 4, …, n, …

C : 0, 1, 2, 3, …, (n-1), …

7. Himpunan Kuasa

Definisi 2.6

Contoh 2.8

a. A = {2,4}, maka n(A) =

2A = { {2}, {4}, {2,4}}, n(2A)=4

b. B = {1}, maka n(B) = 1

2B= { , {1}}, n(2B) = 2

c. C = {1,3,5), maka n(C) = 3

2C = { , {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n(2C) = 8.

Dari contoh 2.8 dapat disimpulkan

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis

n(2A) = 2k.

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A B jika dan hanya jika: 1. n(A) = n(B), untuk A dan B

himpunan berhingga. 2. A dan B berkorespondensi satu-

satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2A.


1. Misalkan A = {a,b,c,d}

a. Tulislah semua himpunan bagian dari A

b. Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A.

2. Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati?

3. Misalkan P adalah himpunan, Jika P , buktikanlah bahwa P= .

4. Misalkan A, B, dan C masing-masing adalah himpunan, jika A B dan B C, buktikan

bahwa A C.

5. Misalkan A ={{3}, {4,5), {1,3}}, pernyataan-pernyataan manakah yang benar?

Mengapa?

a. {1,3} A c. {3} A b. {4,5} A d. {{1,3}} A

6. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang sama?

a. {a,b,c} b. {c,b,a,c} d. {b,c,b,a} d. {c,a,c,b}

7. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang sama?

a. {x|x2 - 3x + 2 = 0, x bilangan real),

b. {1,2,1,2},

c. {x| x dua bilangan asli yang pertama}.

8. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang himpunan kosong?

a. {x I x bilangan, prima genap},

b. {x I x bilangan ganjil yang habis dibagi 2},

c. {x I x2 — 3x + 5 = 0, x bilangan real),

d. {xix+ 8=8},

e. {x x + 4 1; X Miamian nen,

f. {x x segitiga sama kaki tumpul},

g. {x Ix persegi panjang yang belah ketupat},

9. Himpunann manakah yang berhingga dan takberhingga?

a. {1,2,3,...,10.000),

b. {x| x bilangan genap},

c. {penduduk bumi},

d. {1,2,3,...}.

10. Diketahui B = {1,3,5,7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar.

a. {1,3} 2B c. {} 2B e. {3,7} 2B

b. B 2B d. B 2B f. {{5,7}} 2B

11. Diketahui A = {1,2,3,4,5,...}, B =- {2,4,6,8,...}, dan C = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...}.

Tujukkan bahwa:

a. A B b. A C

12. Diketahui M = {x| x bilangan asli genap kurang dari 100}, N = {x| x bilangan cacah

ganjil kurang dari 99}. Apakah MN? Jelaskanlah!

13. Diketahui A = himpunan segi empat; B = himpunan persegi panjang; C = himpunan

persegi; dan D = himpunan belah ketupat. Nyatakan dalam diagram Venn!

Latihan 3


Dalam ilmu-ilmu berhitung kita belajar menjumlahkan dan mengalikan yaitu kita

menetapkan untuk setiap pasang bilangan-bilangan x dan y, suatu bilangan x+y yang disebut

jumlah dari x dan y, dan xy yang disebut perkalian x dan v. Penetapan-penetapan ini disebut

operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Operasi penjumlahan dan perkalian termasuk

operasi biner. Di samping operasi biner ada jenis operasi yang lain yaitu operasi uner. Pada

bab ini akan dibahas operasi¬operasi pada himpunan, yaitu:

1. Irisan Dua Himpunan

Definisi 3.1

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. lrisan A dan B ditulis A B adalah

himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B.

Dapat ditulis A B = {x| x A, x B.} .

Contoh 3.1

a. Diketahui K = {a,b,c,d,e},

L = {b,d,f,g}, maka K L = {b,d}.

b. Diketahui A = {x| x bilangan asli

ganjil}, B = {x| x bilangan asli genap}, maka A B =

c. Diketahui C = {2,4,6,8,...},

D = {4,8,12,...}, maka C D = {4,8,12,...} = D.

Dari contoh 3.1 dapat disimpulkan secara umum

1. Jika A,B himpunan maka (A B) A dan (A B) B 2. Jika A B maka A B = A.

OPERASI PADA HIMPUNAN

AN


Untuk lebih jelasnya dapat

diIihat gambar 3.2

Definisi 3.2

Himpunan berpotongan dan himpunan saling lepas.

Contoh 3.2

Diketahui A: himpunan persegi panjang B: himpunan belah ketupat C: himpunan segitiga

Maka:

A B = himpunan persegi

A C = dan B C =

2. Gabungan Dua Himpunan

Definisi 3.3

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis A≬B jika dan hanya jika A B≠ .

Misalkan A dan B adalah himpunan-

himpunan. Himpunan A dan B

dikatakan saling lepas atau saling

asing ditulis A//B jika dan hanya jika

A B= .

A

B B

A (A B) A dan (A B) B A B = A

Gambar

3.2

A≬B

Gambar

3.3

A

B

A//

C

Gambar

3.4

A

C

B//

C

Gambar

3.5

B

C


Contoh 3.3

a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L= {a,b,c,d,e,f,g}

b. Diketahui A = {x| x bilangan asli ganjil}, B = {x| x bilangan asli genap}, maka A B = {x| x

bilangan asli}.

c. Diketahui C = {2,4,6,8,...}, D = {4,8,12,...},maka C D = {4,8,12,...) = C.

Dari contoh 3.3 dapat disimpulkan secara umum:


dilihat gambar 3.7

Contoh 3.4

Setiap siswa dalam suatu kelas diwajibkan memilih sekurang-kurangnya satu cabang

olahraga. Setelah diadakan pencatatan terdapat data 21 anak memilih bulu tangkis, 26

anak memilih tenis meja, dan 8 anak memilih keduanya. Berapakah anak yang:

a. Memilih tenis meja saja?

b. Hanya memilih bulu tangkis saja?

c. Ada dalam kelas tersebut?

Penyelesaian:

Gambar 3.6

A B

Gambar

3.8

B T

13 8 18

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B. Dapat ditulis A B = {x| x A atau x B}

1. Jika A,B himpunan maka A (AuB) dan B (AuB)

2. Jika A B maka A B = B.

B

A A (A B) dan B (A B)

A B = B Gambar

3.7

A

B

A B


Dari gambar 3.8 jelas bahwa:

a. siswa yang memilih tenis meja saja

ada 13 anak,

b. siswa yang memilih bulu tangkis

saja ada 18 anak, dan

c. banyaknya siswa dalam kelas =

13+8+18 = 39 anak.

3. Selisih Dua Himpunan

Definisi 3.4

Contoh 3.5

a. Diketahui A = {1,2,3,4,5},

B = {4,5,6,7,8,9},

maka: (1). A-B = {1,2,3}, B - A =

{6,7,8,9}. (2). A B = {4,5}

b. Diketahui C = {2,4,6),

B = {2,4,6,8,10)

c. Diketahui E = {1,3,5,7,9,...),

F = {2,4,6,8,...)

maka: (1). E - F = {1,3,5,7,9,...) = E.

(2). F - E = {2,4,6,8,...} = F.

Dari contoh 3.5 dapat disimpulkan secara umum:

1 Jika A B himpunan maka A-B = ,

2. Jika A B himpunan maka A (B-A) =

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A-B = {x| x A, x B}.

A-

B Gambar

3.9

A

B


B,

3. Jika A, B himpunan maka (A-B) A,

4. Jika A, B himpunan maka A-B, A B,

B-A saling asing.


dilihat gambar 3.10

Misalkan A adalah himpunan dengan semesta U. Komplemen A ditulis Ac atau A’ adalah

himpunan semua anggota U yang bukan anggota himpunan A.

Contoh 3.6

a. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10},

A = {2,3,4,5}, dan B = {4,5,6,7}, maka

(1). A' = {1,6,7,8,9,10}

(2). B' = {1,2,3,8,9,10}

(3). A B = {4,5}

(4). (A B)’ = {1,2,3,6,7,8,9,10}

(5). A' B' = {1,2,3,6,7,8,9,10}

(6). A B = {2,3,4,5,6,7}

(7). (A B)' = {1,8,9,10}

(8). A’ B’ = {1,8,9,10}.

Ternyata dari (4) dan (5) serta (7)

dan (8)

• (A B)' = A' B'

• (A B)' = A' B'

b. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10},

C = {3,4,5,6}, dan D = {2,3,4,5,6,7}, maka

(1). Jelas C D,

(2). C' = {1,2,7,8,9,10},

(3). D' = {1,8,9,10}

Ternyata D’ C’.

c. A-B = {x| x A dan x B}

A-B A B B-A A (B-A) =

B Gambar 3.10

A

B B

A


= {x| x A dan x B'}

= A B'.

Jadi A-B = A B'.

4. Perkalian Dua Himpunan (Produk Cartesius)

Suatu perangkat yang diperlukan untuk membangun perkalian silang dua himpunan

adalah pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang memuat dua unsur a dan b dengan

a sebagai unsur pertama dan b sebagai unsur kedua, ditulis dengan (a,b), (a,b) dan (c,d)

dikatakan sama jika dan hanya jika a=c dan b=d.

Definisi 3.6

Contoh 3.7

Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka

(1). AxB =

{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

(2). BxA =

{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Ternyata AxB ≠ BxA.

5. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B. Dapat ditulis AxB = {(a,b)| a A, b B}

1. Idempoten a. A A = A b. A A = A

2. Asosiatif a. (A B) C = A (B C) b. (A B) C = A (B C)

3. Komutatif a. A B = B A b. A B = B A

4. Distributif a. A (B C)= (A B) (A C) b. A (B C)= (A B) (A C)

5. Identitas a. A = A b. A U = U c. A =


6. Penggunaan Sifat Operasi pada Himpunan.

Contoh 3.8

Jika A B dan B C maka A C, buktikanlah!

Penyelesaian:

Diketahui A B dan B C.

Akan dibuktikan A C.

A B maka A B = A (1)

B C maka B C = B (2)

Pada (1) A B = A

A (B C) = A' subtitusi (2) pada (1)

(A B) C = A assosiatif

A C = A subtitusi (1)

A C.

Contoh 3.9

Buktikan bahwa (D-E) dan (D E) saling asing.

De Morgan a. (A B)’ = A’ B’ b. (A B)’ = A’ B’

8. Absorpsi a. A (A B)= A b. A (A B)= B


Penyelesaian:

Diketahui D, E himpunan

Akan dibuktikan (D-E) dan (D E) saling asing.

(D-E) (D E) = (D E') (D E)

= (D D) (E’ E) (Kom, Ass)

= D (Idemp, Kompl)

= . (Ident)

Ternyata (D-E) (D E) = .

Jadi (D-E) dan (D E) saling asing.

Contoh 3.10

Buktikan bahwa jika A B maka B’ A’

Penyelesaian:

Diketahui A, B himpunan, A B

Akan dibuktikan B’ A’.

A B maka A B = A

(A B)' = A’

A’ B’ = A’

B' A'.

Terbukti.


1. Letakkanlah lambang " ", atau lambang “=” di antara sebanyak mungkin pasangan

himpunan-himpunan di bawah ini:\

2. Nyatakanlah apakah masing-masing pernyataan berikut ini benar atau salah.

3. Gambarlah diagram-diagram Venn untuk himpunan-himpunan itu dan jelaskan arti dari

I K seperti yang terdapat dalam gambarmu.

4. X adalah himpunan bilangan kelipatan 6 yang kilning dari 35. Y adalah himpunan

kelipatan 8 yang kurang dari 35. Sebutkanlah anggota-anggota X, Y, dan X Y. Dengan

mengabaikan nol dalam X Y, kita peroleh kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan 8.

Sebutkan KPK itu!

5. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 20 murid, 15 murid memilih Matematika, 12 murid

memilih Ilmu Pengetahuan Alam, dan 10 murid Matematika dan ilmu Pengetahuan

Alam. Tunjukkanlah keterangan ini dalam diagram Venn. Berapakah murid yang tidak

memilih Matematika maupun Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Diadakan pencatatan tentang yang biasa diminum sehari-hari olen 180 murid. 100 anak

minum teh, 92 anak minum kopi, dan 115 anak minum susu, sedang 25 anak minum

ketiga-tiganya.

Latihan 4

AN


a. Dengan menggunakan T, K, dan S untuk himpunan peminum teh, kopi, dan susu,

gambarlah keterangan ini dalam diagram Venn. Tunjukkanlah terlebih dahulu

banyaknya anak yang minum baik teh maupun kopi dan susu.

b. Berapakali banyaknya anak yang minum kopi, tetapi tidak minum teh maupun susu?

c. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum susu saja?

d. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum teh saja?

7. a. A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7}, dan C = {2,3,5,8}. Nyatakanlah masing-masing himpunan di

bawah ini dengan menyebutkan semua anggotanya.

(1). A B (4). A A

(2). A C (5). A B

(3). B C

b. Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal 6.a nyatakanlah masing masing

himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua anggota-anggotanya.

(1). (A B) C (2). A (B C)

Apakah yang kamu lihat pada jawabannya?

8. Gambarlah diagram Venn bagi tiap bentuk berikut ini, dan masukkanlah banyaknya

elemen dalam daerah yang tergambar. Kemudian hitunglah banyaknya elemen yang

ditanyakan.

a. n(A)=50, n(B)=62, dan n(A B)=26.

b. Hitunglah n(A B).

c. n(X)=7, n(Y)=11, X dan Y terpisah.

d. Hitunglah n(X Y).

c. n(P)=23, n(Q)=25, dan P Q.

d. Hitunglah n(P Q).

9. A dan B adalah himpunan sedemikian hingga n(A)= p+q, n(B)= q+r, dan n(A B)= q.

a. Gambarlah himpunan-himpunan ini dalam diagram Venn dan masukkanlah

banyaknya anggota dalam tiap daerah.

Hitunglah: (1). n(A B),

T

K

S

U

Gambar 3.11


(2). n(A) + n(B) - n(A B),

kemudian tunjukkan bahwa n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

b. Kalau A dan B saling asing, bagaimanakah hasil dalam b?

10. Misalkan A, B, dan C himpunan-himpunan. Buktikanlah:

a. (A-B) A

b. (A-B), A B, dan (B-A) saling lepas

c. Jika A B maka A (B-A) = B

d. (A-B) B = .

11. Misalkan U = {1,2,3,...,9}, A = { 1,2,3,4), B = {2,4,6,8}, dan C = {3,4,5,6). Carilah:

a. A' c. C’ e. (A B)’

b. B' d. (A C)' f. (B-C)'

12. Andaikan A = {a,b}, B = {1,2), dan C = {3,4). Carilah:

a. Ax(B C) d. Ax(B C)

b. (AxB) (AxC) e. (AxB) (AxC)

c. (AxB)xC

13. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar:

a. jika x (A B) maka x A

b. jika x (A B) maka x B

c. jika x (A B) rnaka x A

d. jika x A, maka x (A B)

e. jika x A maka x (A B)

f. jika x (A-B) maka x A

g. jika x A maka x A

h. jika x A' maka x A

14. Tentukan syarat agar pernyataan di bawah ini benar.

a. jika x (M N) maka x N

b. jika x M maka x (M N)

15. Isilah titik-titik di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar.

a. jika M N maka:

(1). M N = …

(2). M N = …

(3). M-N = ...

(4). M (N-M) = …

b. jika M≠ , N≠ , M≠N, dan M-N =,

maka M N = …

16. Di dalam diagram venn pada gambar di bawah ini arsirlah:


a. B’

b. (A B)’

c. (B-A)’

d. A’ B’

Gambar 3.12

A

B


1. Himpunan Bilangan-bilangan

a. Bilangan Asli

Bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,... disebut bilangan asli. Himpunan semua bilangan asli

disebut himpunan bilangan asli dan ditulis N. Jadi N = {1,2,3,4,...}.

b. Bilangan Cacah

Bilangan-bilangan 0,1,2,3,4,… disebut bilangan cacah. Himpunan semua bilangan cacah

disebut himpunan bilangan cacah dan ditulis C. Jadi C = {0,1,2,3,4,...}. Jelas N C, C-N =

{0}.

c. Bilangan Bulat

Bilangan-bilangan 0,-1,1,-2,2,-3,3,... disebut bilangan bulat. Himpunan semua bilangan

bulat disebut himpunan bilangan bulat dan ditulis Z . Jadi Z = {...,-1,1,-2,2,-3,3,...}. Jelas

bahwa N C Z.

d. Bilangan Pecah

Bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a,b Z, b≠0, a dan b koprima disebut

bilangan pecah.

merupakan bilangan pecah. Bilangan pecah

dapat ditulis dengan:

(1) pecahan

... disebut

pecahan biasa

(2) pecahan 0,5; 0,500...; 0,4999... disebut pecahan desimal

(3) pecahan 50% disebut pecahan

persen

Pada bab ini perkataan pecahan menyatakan lambang bilangan, bilangan pecah, dan

bilangan bulat. bisa dilambangkan dengan pecahan. Pada beberapa buku ada yang

menyatakan pecahan sebagai bilangan dan lambang dari pecahan disebut bentuk

pecahan. Bilangan bulat dua dapat dinyatakan dengan

(1) pecahan biasa:

,

, …

(2) pecahan desimal: 2,00...,

1,999...

(3) pecahan persen: 200%.

Bilangan pecah seperempat dapat

dinyatakan dengan

HIMPUNAN BILANGAN

AN


(1) pecahan biasa:

,

, …

(2) pecahan desimal: 0,25;

0,25000..., 0,24999...

(3) pecahan persen: 25%.

Jika himpunan semua bilangan pecah dinyatakan dengan P maka Z P = Q, Z P, Z//P

e. Himpunan Bilangan Rasional

Bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan

dengan p,q Z, q≠0, disebut

bilangan rasional. Contohnya,

dan seterusnya. Himpunan semua

bilangan rasional disebut himpunan bilangan rasional, dan ditulis dengan Q. Jadi Q= {x|

x=

, p,q Z, q≠0}.

f. Himpunan Bilangan Irasional

Bilangan-bilangan seperti √ , √ √ √ √ dan seterusnya tidak dapat

dengan pecahan

dengan p,q Z, q≠0. Bilangan tersebut disebut bilangan irasional.

Himpunan semua bilangan irasional disebut himpunan bilangan irasional. Jika

himpunan tersebut dinyatakan dengan I maka Q l = R, Z I, Q I, Q//I.

g. Himpunan Bilangan Real

Salah satu sifat penting dari bilangan-bilangan real adalah bahwa bilangan-bilangan

tersebut dapat dinyatakan oleh titik-titik pada sebuah garis lurus sebagaimana pada

gambar 4.1. Garis tersebut disebut garis real. Ada suatu cara yang lazim untuk

membuat pasangan titik-titik pada garis itu dengan bilangan-bilangan real, yaitu setiap

titik menyatakan suatu bilangan real dan setiap bilangan real dinyatakan dengan

sebuah titik. Oleh karena itu kita dapat mempergunakan perkataan titik dan bilangan

secara bertukaran.

Jika I: Himpunanbilangan irasional

Q: Himpunan bilangan rasional

Maka I Q = R, I R, Q R karena

I//Q maka R-Q = I.

h. Bilangan Imajiner

Bilangan-bilangan seperti √ √ √ √ √ √ dan seterusnya

disebut bilangan imajiner. Himpunan semua bilangan imajiner disebut himpunan

√ √

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

4


bilangan imajiner. Jika himpunan tersebut dinyatakan dengan J maka R//J. √ dapat

ditulis √ √ √ . i = i√ , dengan i2 = 1. Jadi √ = i√ , dan √ = i√ .

i. Himpunan Bilangan Kompleks

Jika J : himpunan bilangan imajiner

R: himpunan bilangan real

K: himpunan bilangan

kompleks

Maka J R = K.

Bilangan kompleks dapat dinyatakan dengan z = a+bi, dengan a,b R dan i2 = —1, a

disebut bagian real dan b disebut bagian imajiner.

Contoh bilangan kompleks.

Z1 =2+3i dengan a -2 dan b = 3.

Z2 =5- 4i dengan a = 5 dan b = -4.

Z3 = -6 dengan a = -6 dan b = O.

Z1 = 2i dengan a = 0 dan b = 2.

j. Diagram Venn

Jika N: himpunan bilangan asli

C: himpunan bilangan cacah

Z: himpunan bilangan bulat

Q: himpunan bilangan rasional

R: himpunan bilangan irasional

K: himpunan bilangan kompleks

Maka diagram venn-nya:

Pada gambar 4.2

C—N = {0}

Z—N = {x Lx bilangan bulat negatif}

Q—Z = {a- L bilangan pecah} = P

R—Q = (x Ir bilangan irasional} = I

K—R = {x bilangan imajiner} = J


2. Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya

a. Pengertian Bilangan Nol

Bilangan nol menyatakan banyaknya anggota himpunan kosong. Jadi jika A = {} maka

n(A) = 0.

b. Perkalian dengan Nol

0x4 = …

Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan beberapa cara:

(1) dengan pola bilangan.

3x4 = 12

2x4 = 8

1 x4 = 4

0x4 = …

(2) dengan sifat komutataif.

4x0 = 0+0+0+0 = 0

4x2 = 2x4

3x6 = 6x3

5x1 = 1x5

Jadi 0x4 = 4x0 = 0

c. Pembagian dengan Nol

(1) 4:0 = ….

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan pengertian operasi pembagian.

10:2 = 5 sebab 5x2 = 10

0:4 = 0 sebab Ox4 = 0

Misalkan 4:0 = n maka nx0 = 4

Persamaan nx0 = 4 tidak mempunyai penyelesaian sehingga persamaan 4:0 = n

juga tidak mempunyai penyelesaian. Jadi 4:0 hasilnya tidak didefinisikan.

(2) 0:0 = ….

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan 0:0 = n maka nxo =

0. Untuk n = -6 maka -6x0 = 0, untuk n =

maka

x0 = 0. Ternyata untuk setiap

bilangan real merupakan penyelesaian dari nx0 = 0. Sehingga penyelesaian 0:0 = n

tidak tunggal.

Jadi 0:0 dikatakan bentuk tak tentu.

(3) 30 = ….

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

(a). Dengan pola bilangan:

33 = 27

32 = 9

31 =3


(b). Dengan sifat perpangkatan:

30 = 32:32 = 1

Jadi 30 = 1.

(4) 3-2 = ….

Pertanyaan ,tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

(a). Dengan pola bilangan:

32 = 9

31 =3

3-1 = …

3-2 = ….

(b). Dengan sifat perpangkatan:

3-2 = 31-3 = 31 : 33 =

=

Jadi 3-2 =

.

(5) 00 = ….

Pertanyaan tersebut dapat

dijelaskan sebagai berikut.

00 = 03-3 = 03 : 03 =

Jadi 00 =

merupakan bentuk tak tentu.

3. Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal

a. Pecahan Desimal

Apakah 0,5 = 0,4999…?

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebaai berikut.

Misalkan x=0,5 maka x=

=

Misalkan y = 0,4999

100y = 49,99…

10y = 4,99…

90y = 45

y =

=

Jadi, 0,5 = 0,4999…


b Menyatakan Pecahan Biasa ke dalam Pecahan Desimal

Dari tabel di atas pengertian baru tentang

bilangan rasional, bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan

dengan desimal berulang tak terbatas..

e. Menyatakan Pecahan Desimal ke dalam Pecahan Biasa

Contoh 4.1

(1) Nyatakanlah pecahan decimal 0,181818... kedalam pecahan biasa.

Jawab:

Misalkan x = 0,181818... maka:

100x = 18,181818...

x = 0,181818..

99x = 18

x =

.

(2) Nyatakanlah pecahan desimal 0,374999... kedalam pecahan biasa.

Jawab:

Misalkan z = 0,374999... maka:

10.000z = 3.749,999...

1.000z = 374,999...

9.000z = 3.375

x =

.

Pecahan

Biasa

Pecahan Desimal

0,5 = 0,500… = 0,499…

0,25 = 0.2500... =

0,2499...

0,125 = 0,12500... =

0,124999...

0,333…

0,1666…

1,181818…

2,000 = 1,999…


4. Selang (Interval)

Berikut ini disajikan beberapa himpunan yang merupakan selang.

Himpunan Notasi

Selang

Grafik

A={x|1≤x≤3} A=[1,3]

B={x|1<x<3} B=(1,3)

C={x|1≤x<3} C=[1,3)

D={x|1<x≤3} D=(1,3]

E={x|x≥1} E=[1,

F={x|x<1} F=( 1]

1. Jika R, Q, I, J, P, Z, dan Z., berturta-turut. menyatakan himpunan bilangan real, rasional,

irasional, imajiner, pecah, bulat, dan bulat negatif Nyatakanlah apakah yang masing-

masing berikut ini benar atau salah.

2. Jika N, Z, Q, R, dan K, berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, bulat, rasional,

real, dan kompleks, dan p=√ , q=3, r=

. , s =

. , t= -4i, u=√ , v= -5.

a. gambarkanlah himpunan N, Z, Q, R, dan K dalam diagram Venn.

b. Letakkanlah p, q, r, s, t, u, dan v pada gambar a.

3. Hitunglah:

a. 0:6 d. 60 g. 80

b. 9:0 e. 21 h. 10-6+2

c. 0:0 f. 00 i. 36:6x2

4. Sebutkan pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional.

5. a. Nyatakan ke dalam lambing decimal.

(1)

(2)

(3)

(4)

b. Nyatakan ke dalam lambing

pecahan biasa.

(1). 0,571957195719…

(2). 0,25317171717…

6. Misalkan A=[-4,2), B=[-1,6), C=(-

a. Gambarlah selang-selang tersebut pada garis real

b. Carilah dan tulislah dalam notasi selang.

(1). A B (5). A-B

(2). A B (6). B-A

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

Latihan 5

AN


(3). A C (7). A-C

(4). A C (8). B-C

7. Diketahui bilangan kompleks z1 = 3+2i, z2 = -4+I, z3 = 5-2i, hitunglah:

a. z1 + z2 d. z1 x z2

b. (z1 + z2) + z3 e. z3 x z1

c. z1 – z3


1. Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan

Untuk memahami pengertian relasi antara dua himpunan perhatikatuah contoh berikut.

Misalnya ada empat anak yaitu Fajar, Dian, Tono, dan Nani ditanya apakah mereka gemar

bermain catur, voli, atau tenis meja. Jawaban mereka:

Fajar dan Dian gemar bermain catur,

Tono dan Nani gemar bermain voli,

Fajar dan Tono gemar bermain tenis meja

Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan:

1. Himpunan anak

A = {Fajar, Dian, Tono, Nani}

2. Himpunan permainan

B = {catur, voli, tenis meja}

Kedua himpunan A dan B dihubungkan dengan hubungan gemar bermain. Hubungan

gemar bermain dari

himpunan A ke himpunan B dapat digambar sebagai berikut.

Gambar 5.1 menunjukkan suatu cara untuk menyatakan hubungan atau relasi dari

himpunan A ke himpunan B. Hubungan itu adalah gemar bermain. Gambar 4.1 disebut

diagram panah. Perhatikanlah bahwa suatu relasi mempunyai arah pada diagram panah

ditunjukkan dengan anak panah.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

Suatu hubungan atau relasi dari

himpunan A ke himpunan B

adalah pemasangan anggota-

anggota A dengan anggota-

anggota B.

Fajar

Dian

Toni

Nani

Catur

Voli

Tenis

Gemar

bermain A

B

Gambar

5.1

RELASI

AN


2. Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan

Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi faktor dari, dari himpunan A

ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi tersebut dergan tiga cara yaitu:

1). Dengan diagram panah

Pada gambar 5.2, 2 dikawankan dengan

4 ditulis 2→4, ini berarti 2 faktor dari 4.

2). Dengan himpunan pasangan berurutan

Perhatikanlah gambar 5.2. 2→6 ini berarti 2 faktor dari 6 dan dapat ditulis dengan

pasangan berurutan (2,6). Jika relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B

dinyatakan dengan R, maka jelas 2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6

atau (2,6) R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau (2,4) R, 3R6 atau

(3,6) R, tetapi 2 tidak berelasi dengan 5 atau dapat ditulis 2 5 atau (2,5) R. Dengan

demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan berurutan yaitu:

R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}

Dengan cara lain dapat dijelaskan pula bahwa jika ditentukan x A dan y B maka

relasi faktor dari tersebut dapat dinyatakan (lettgan kalimat terbuka x faktor dari y.

Pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "6" didapat pernyataan yang benar,

sehingga pasangan berurutan (2,6) merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x

faktor dari y. Tetapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat pernyataan

yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. Jika

relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R maka

himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang menghasilkan pernyataan yang

benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka

R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}

2

3

4

5

4

5

6

Faktor dari A

B

Gambar


3). Dengan grafik Cartesius

Koordinat titik-titik pada gambar 5.3 menyatakan anggota-anggota pasangan

berurutan dari relasi R (faktor dari).

Contoh 4.1

Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}.

R = M→N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat terbuka x dua kali y

dengan X M, y N. Nyatakanlah relasi tersebut:

a. dengan diagram panah

b. dengan himpunan pasangan

berurutan

c. dengan grafik Cartesius

Penyelesaian:

a. dengan diagram panah

b. dengan himpunan pasangan

berurutan

R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

M R

N

Gambar

5.4


c dengan grafik Cartesius

3. Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan

Jika R: A→B adalah relasi dari A ke B. n(a) = 3, dan n(B) = 2 maka banyaknya relasi R

tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

Misalkan A = {1,3,5} maka n(A) = 3,

B = {a,b} maka n(B) = 2

AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(AxB) = 6 = 3x2.

Jika R1 = {(1,a)} jelas R1 (AxB) dan R1 relasi dari A ke B.

Jika R2 = {(1,a).(2,b)} jelas R2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B.

jika R0 = {} jelas R0 (AxB) dan R0 bukan relasi dari ke B.

Jika R6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R6 (AxB) dan R6 relasi dari A ke B.

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa:

1. Jika R relasi dari A ke B maka R (AxB)

2. Jika R (AxB) dan R≠ maka R relasi dari A ke B

Kita tahu bahwa n(AxB) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota himpunan kuasa = 26 = 23x2

Karena untuk R= maka R relasi dari A ke B maka banyaknya relasi R dari A ke B ada 26 -

1. Dengan demikian dapat kita katakan bahwa jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan

n(A) = 3, n(B) = 3 maka banyaknya relasi R sebanyak 23x2 - 1.

Secara umum dapat dikatakan bahwa:

Contoh 5.2

Diketahui R: M→N adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4 dan n(N)=3, hitunglah

banyaknya relasi R tersebut.

Penyelesaian:

n(M)=4 dan n(N)=3.

5

4

3

2

1

0 2 4 6 8

Gambar 5.5

Jika R: A→B adalah relasi dari

A ke B dan n(A) = k, n(B) =1

maka banyaknya relasi R = 2kxl

-

1.


Banyaknya relasi R ada = 24x3 - 1 = 4095.

4. Macam Relasi

(a). Relasi Refleksif

Definisi 5.1

Dari definisi 5.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan

relasi refleksif jika dan hanya jika a A, dan (a,a) R.

Contoh 5.3

Diketahui R:A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian

sehingga:

a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)1

b. R2 = 1(1,1),(3,3),(5,5))

c.R3= {(1,1),(1",3),(3,3),(5,3),(5,5)}

Apakah R1, R2, dan R3 relasi refleksif atau bukan?

Penyelesaian:

a. R1 bukan relasi refleksif sebab

5 A tetapi (5,5) R1.

b. R2 relasi refleksif sebab ∀ a A

maka (a,a) R1.

c. R3 relasi refleksif sebab ∀ a A

maka (a,a) R1.

Contoh 5.4

Diketahui A = {x|x garis-garis sejajar dalam bidang datar}

B = {x I x bangun-bangun segitiga dalam bidang datar}

Jika R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y"

maka R relasi refleksif.

Jika R: B→B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y"

maka R relasi refleksif.

Misalkan R suatu relasi di

dalam himpunan A maka R

disebut relasi refleksif jika dan

hanya jika ∀ a A, maka

(a,a) R.


(b). Relasi Simetris

Definisi 5.2

Dari definisi 5.2 dapat disimpulkan suatu realasi R di dalam himpunan A disebut

bukan realsi simetris jika (a,b) R dan (b,a) R.

Contoh 5.5

Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1,3,5} sedemikian

sehingga:

R1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)}

R2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)}

R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}

Apakah R1,R2,R3 relasi simetris atau bukan?

Penyelesaian:

R1 bukan realsi simetris sebab (3,5) R1 tetapi (5,3) R1.

R2 relasi simetris.

R3 relasi simetris.

Contoh 5.6

Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4.

Jika R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajary"

maka R relasi simetris.



(c). Relasi Transitif

Definisi 5.3

Dari definisi 5.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan

relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R tetapi (a,c) R

Misalkan R suatu relasi di

dalam himpunan A maka R

disebut relasi simetris jika

(a,b) R, maka berarti

(b,a) R.

Misalkan R suatu relasi di dalam

himpunan A maka R disebut relasi

transitif jika (a,b) R dan (b,c) R,

maka berarti (a,c) R.


Contoh 5.7

Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian

sehingga:

a.R1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)}

b.R2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)}

c.R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}

Apakah R1, R2, dan R3 relasi transitif atau bukan?

Penyelesaian:

a. R1 bukan relasi transitif sebab

(3,1) R1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) R1.

b. R2 relasi transitif sebab

(1,3) R2 dan (3,1) R2 maka

(1,1) R2; (3,1) R2 dan (1,3) R2

maka (3,3) R2;

(1,1) R2 dan (1,3) R2 maka

(1,3) R2; (3,1) R2 dan (1,I) R2

maka (3,1) R2; (1,3) R2 dan

(3,3) R2 maka (1,3) R2;

c. R3 relasi transitif.

Contoh 5.8

Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4.

Jika R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y"




(d). Relasi Ekivalen

Definisi 5.4

Misalkan R suatu relasi di dalam

himpuiran A maka R disebut

relasi ekivalen jika berlaku

syarat:

a. Refleksif artinya ∀ a A,

maka (a,a) R;

b. Simetris artinya jika (a,b) R,

maka berarti (b,a) R; dan

c. Transitif artinya jika (a,b) R

dan (b,c) R, maka berarti

(a,c) R.


Contoh 5.9.

Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0),

(2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R

merupakan relasi ekivalen.

5. Relasi Ekivalen dan Partisi

(a). Partisi Himpunan

Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh sebagai berikut.

Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A1 = {1,2,3}, A2 = {4,5,6,7}, A3 = {8,9,10}.

Koleksi himpunan A = {A1,A2,A3} mempunyai dua sifat yaitu:

1. A1 A2 A3 = A

2. A1 A2 = , A1 A3 = , A2 A3 = .

Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A.

Contoh 5.10

Diketahui N={xl x bilangan asli}. N1={1,5,9,17,...}, N2={2,6,10,14,...}, N3={3,7,11,15,...),

N4=(4,8,12,16,...). Apakah koleksi (N1,N2,N3,N4) partisi dari N.

Penyelesaian:

Koleksi {N1,N2,N3,N4} mempunyai sifat:

1. N1 N2 N3 N4 = N

2. N1 N2 = , N1 N3 = , N1 N4 = .

N2 N3 = , N2 N4 = , dan N3 N4 = .

Jadi koleksi {N1,N2,N3,N4} merupakan partisi dari N.

(b). Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen

Sebelum dibicarakan hubungan antara partisi dan relasi ekivalen, maka pada uraian

berikut akan dibicarakan a kongruen b modulo m.

Definisi 5.5

Misalkan a dan b bilangan

asli, m bilangan asli, maka

dikatakan a kongruen b

modulo m ditulis a ≅ b (mod.

m) jika a-b = km dengan k

bilangan bulat.


Contoh 5.11

Untuk m = 3, maka:

1 kongruen 4 modulo 3

ditulis 1≅ 4 (mod. 3)

sebab 1-4 = -1(3);



sebab 4-1= 1(3);



sebab 5-4 = -3(3);



sebab 20-2 = 6(3);

2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2 7 (mod. 3) sebab 2-7 ≠ k(3) dengan k bilangan

bulat.

Contoh 5.12

Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:N→N adalah relasi di dalam himpunan N

yang didefinisikan dengan a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen.

Bukti:

1. ∀ a A maka a ≅ a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat refleksif).

2. Jika a ≅ b (mod.m) maka:

a-b = k(m)

-b+a = k(m)

b-a = -k(m)

Jadi, b ≅ a(mod.m) (simetris)

3. Jika a ≅ b (mod.m) dan b c (mod. m) maka:

a-b = k1(m)

b-c = k2(m)

a-c = (k1 + k2)(m)

a-c = k(m)

Jadi a ≅ c (mod. m) (sifat transitif).

Jadi R relasi ekivalen.

Contoh 5.13

Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam himpunan N yang

didefinisikan dengan "a ≅ b (mod. 3)" dengan a,b N.

Tunjukkan bahwa N dipecah menjadi partisi.


Penyelesaian:

Jika N1 = {x|x ≅ 1 (mod. 3)} maka

N1 = {1,4,7,...},


N2 = {2,5,8,...},


N3 = {3,6,9,...},


N4 = {4,1,7,…},


N5 = {5,2,8,...},


N6 = {6,3,9,...}.

Ternyata N1 = N4 = N7 = …

N2 = N5 = N8 = …

N3 = N6 = N9 = …

Perhatikan koleksi (N1,N2,N3). Jelas bahwa:

1. N1 N2 N3 = N

2. N1 N2 = , N1 N3 = , N2 N3 = .

Jadi N dipecah menjadi partisi.

Contoh 5.14

Diketahui N = himpunan bilangan asli.

N1 = {1,3,5,7,...} dan N2 = {2,4,6,8,...}.

R relasi di dalam himpunan N.

a. Apakah koleksi {N1,N2} partisi dari N?

b. Tentukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2}

Penyelesaian:

a. N1 N2= N dan N1 N2 = .

Jadi koleksi {N1,N2} partisi

dari N.

b. N1 = {1,3,5,7,…} = {x|x ≅ 1 (mod. 2)} N2 = (2,4,6.8,...) {x|x ≅ 2 (mod. 2)}

Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {NI,N2} adalah "a ≅ b (mod. 2)" dengan

a,b N.


Dari contoh 5.13 dan 5.14 dapat disimpulkan:

1. Andaikan R suatu relasi dari A = {1,2,3,4} ke dalam B = {1,3,5} yang didefinisikan oleh

kalimat terbuka "x kurang dari y".

a. Carilah himpunan penyelesaian dari R.

b. Nyatakan R di dalam diagram koordinat AxB.

2. Andaikan R suatu relasi dari E = {2,3,4,5} ke dalam F = {3,6,7,10} yang didefinisikan oleh

kalimat terbuka "x membagi y". Buatlah suatu sketsa dari R di dalam diagram koordinat

ExF.

3. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak refleksif?

4. Jika S = {1,2,3,4} dan R = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)}. Apakah R refleksif? Mengapa?

5. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak simetris?

6. Jika V = {1,2,3,4} dan R = {(1,2),(3,4),(2,1), (3,3)}. Apakah R simetris?

7. Apakah suatu himpunan A di mana setiap relasi pada A simetris?

8. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan M disebut relasi ekivalen?

9. Berikan 3 contoh relasi ekivalen?

10. Jika R relasi di dalam himpunan N dengan N = himpunan bilangan asli dan relasi R

didefinisikan dengan "a≅ b (mod. 4)". Tunjukkan bahwa R memecah himpunan N

menjadi partisi.

11. Andaikan W = {1,2,3,4} dan R = {(2,2),(2,3),(1,4), (3,2)}. Apakah R transitif? Mengapa?

12. Andaikan E = {1,2,3}. Perhatikanlah relasi-relasi yang berikut pada E:

R1 = {(1,1),(2,1),(2,2), (3,2),(2,3)}

R2 = {(1,1)}

R3 = {(1,2)}

R4 = {(1,1),(2,3),(3,2)}

R5 = ExE.

Jika diketahui R relasi di dalam

himpunan N dan:

I. Jika R relasi ekivalen maka

himpunan N terpecah menjadi

partisi;

2 Jika himpunan N dipecah

menjadi partisi maka relasi R

adalah relasi ekivalen.

Latihan 6

AN


Di antara relasi R1, R2, R3, R4, dan R5 manakah yang:

a. relasi refleksif?

b. relasi simetris?

c. relasi transitif?

d. relasi ekivalen?


1. Pengertian Fungsi

Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikanlah gambar 6.1 di samping.

Diagram panah pada gambar 6.1 menyatakan hubungan ukuran sepatunya dari himpunan A

ke himpunan B dengan A = {Tono, Desi, Rano, Tini, Rosi} dan B = {37, 38, 39, 40} yang

merupakan ukuran sepatu.

Setiap anak hanya mempunyai satu ukuran sepatu, sehingga dapat dikatakan setiap

anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Relasi yang mempunyai sifat seperti

ini disebut pemetaan atau fungsi.

dan (iii) adalah fungsi sebab setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B.

bukan fungsi sebab b A tidak dikawankan dengan satu anggota B.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan dengan:

Definisi 6.1

Perhatikan diagram panah dalam

gambar 6.2.

bukan pemetaan sebab b A

dikawankan dengan 2 anggota B.

Suatu fungsi dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu reiasi

yang khusus, yaitu relasi di mana

setiap anggota A dikawankan

dengan tepat satu anggota B.

FUNGSI

AN

Tono

Desy

Rano

Tini

Rosi

3

7

3

8

Ukuran sepatu P

Q

Gambar 5.2


Misalkan f adalah fungsi dari A ke dalam B, maka dapat ditulis f A→B dibaca "f adalah

fungsi dari A ke dalam B". Himpunan A disebut daerah asal atau ranah atau domain dari

fungsi f. Himpunan B disebut daerah kawan atau ko ranah atau co domain dari fungsi f.

Jika x A maka bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan f(x) dan dibaca "fx". Jika f:

x→y dengan x A dan y B maka y disebut bayangan dari x oleh fungsi dan dapat ditulis y

= f(x).

Contoh 6.1

Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7}. f: A→B adalah fungsi dari A ke dalam B yang

didefinisikan dengan f: x→(2x+1). Tentukan bayangan dari 1,2, dan 3 oleh fungsi f.

Penyelesaian:

Bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah f(1) = 2(1)+1=3



Secara umum bayangan dari a oleh fungsi f adalah f(a) = 2(a)+1.

2. Cara Menyatakan Fungsi

Diketahui f: A→B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: x→(2x+1), A = {1,2,3,4,5} dan

B = {1,3,5,79,11}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan:

a. Rumus fungsi yaitu f(x) = 2x+1

b. Diagram panah

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(i)

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(ii)

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(iv)

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(iii) Gambar


c. Himpunan pasangan berurutan.

Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan F maka F = {(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)}

tampak pada himpunan F setiap elemen A menjadi elemen pertama pada tepat satu

pasangan raja.

d. Grafik Cartesius

Contoh 6.2

Diketahui f: A→R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f: x→(x2), jika R =

himpunan bilangan real, A = {x|-2 x 2, x A}. Gambarlah grafik fungsi f.

Frafik merupakan parabola f: x→(x2), dengan x bialangan real

1

2

3

4

5

1

3

5

7

9

1

A

B

Gambar 6.4

11

9

7

5

3

0 1 2 3 4

Gambar 5.5

-2 -1 0 1

2

f(-2)= (-2)2 =4

f(-1)= (-1)2= 1

f(0) = (0)2 = 0

f(1) = (1)2 = 1

f(2) = (2)2 = 4


Contoh 6.3

Penyelesaian:

Yang merupakan grafik fungsi adalah (i) dan

(iii).

3. Banyaknya Fungsi

Misalkan f: A→B adalah fungsi dad A ke dalam B dengan A = {1,3,5} dan B={a,b}.

Tentukanlah semua fungsi f yang mungkin.

Penyelesaian:

Misalkan fungsi-fungsi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan F,

maka:

F1 = {(1,a),(3,a),(5,a)}

F2 = {(1,a),(3,a),(5,b)}

F3 = {(1,a),(3,b),(5,a)}

F4 = {(l,b),(3,a),(5,a)}

F5 = {(1,b),(3,b),(5,a)}

F6 = {( 1,b),(3,a),(5,b)}

F7 = {(1,a),(3,b),(5,b)}

F8 = {(1,b),(3,b),(5,b)}

Ternyata untuk n(A) = 3, n(B) = 2 maka banyaknya fungsi fdari A ke dalam B = 23 = 8.

Secara umum:

-3 0

3

-3 0

3

-3 0

3

-3 0

3

I

ii

iii

iv

Gambar 6.7

Jika f:adalah fungsi dari A ke dalam B den gan n(A) = k dan n(B) = I, maka banyaknya fungsi dari A ke dalam B ada

Contoh 6.3

Misalkan A = [-3,3] manakah

grafik pada gambar 6.7 yang

merupakan grafik fungsi dari A ke

dalam B.


4. Jangkauan Dari Fungsi

Misalkan A = {a,b,c,d,e}; B = {1,2,3,4,5} f: A→B adalah fungsi dari A ke dalam B yang

didefinisikan oleh diagram panah pada gambar 6.8. Tampak bahwa:

2 bayangan dari a dan b

3 bayangan dari e dan d

4 bayangan dari c

Himpunan semua bayangan dari A adalah {2,3,4}. Himpunan tersebut disebut

jangkauan atau range atau daerah hasil daRI fungsi f ditulis f(A).

Contoh 6.4

Diketahui f: A→R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f(x)= x2-2x-

3. Jika R = himpunan bilangan real, A = {x|-2≤x≤4, x R}. Tentukan range dari

fungsi f(x).

Penyelesaian:

x -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 5 0 -3 -4 -3 0 5

Lihat gambar 6.9

4 A maka 5 f(A)

-2 A maka 5 f(A)

1 A maka -4 f(A)

Jadi:

f(A) = {x| -4≤x<5, x R}

a

b

c

d

e

1

2

3

4

5

6

A

B

Gambar 6.8

-2 0

4

Gambar 6.9


5. Jenis Fungsi

Lihat diagram panah pada gambar 6.10

(i) bukan fungsi sebab a A mempunyai dua kawan di B.

(ii), (iv) disebut fungsi satu-satu sebab setiap pasang anggota berbeda pada domain

mempunyai kawan yang berbeda pada co domain. (iii) disebut fungsi kepada sebab

range = co domain. (v) disebut fungsi satuan sebab x A, x→x. (vi) disebut fungsi konstan

sebab f(A) mempunyai satu anggota.

a. Fungsi Satu-satu

Definisi 6.2

Dari definisi 6.2 dapat dikatakan bahwa f bukan fungsi satu-satu jika dan hanya

jika x1,x2 A, x1≠x2 tetapi f(x1)=f(x2). Fungsi satu-satu sering disebut fungsi injection.

Contoh 6.5

Misalkan f: A→B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika ∀ x1,x2 A, x1≠x2 maka f(x1)≠f(x2).


Misalkan fungsi f: R→R didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 maka f bukan fungsi

satu-satu (mengapa?).

Misalkan fungsi g: R→R didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x+1 maka g merupakan

fungsi satu-satu (mengapa?).

b. Fungsi Kepada

Definisi 6.3

Dengan demikian jika f(A) B maka fungsi f bukan fungsi kepada. Fungsi kepada sering

disebut fungsi surjection.

Contoh 6.6

Fungsi pada contoh 6.5(1) bukan fungsi kepada (mengapa?)

Fungsi pada contoh 6.5(2) adalah fungsi kepada (mengapa?)

Contoh 6.5(2) merupakan fungsi byjection (mengapa?).

c. Fungsi Satuan

Definisi 6.4

Contoh 6.7

Diketahui f: R→R adalah fungsi di dalam R, dengan R=himpunan bilangan real dan

f(x)=x.

Misalkan f: A→A adalah fungsi di dalam A maka fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = x disebut fungsi satuan atau fungsi identitas.

Jika suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu dan juga fungsi kepada maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu kepada

Misalkan A→B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi kepada jika dan hanya jika range f =

atau f(A) = B.


1) Apakah f fungsi satuan?

2) Gambarlah grafik fungsi f?

3) Apakah f fungsi satu-satu? Mengapa?

4) Apakah f fungsi kepada? Mengapa?

Penyelesaian:

1) f fungsi satuan

x 0 2 f(x) 0 2

2) grafik fungsi f melalui titik (0,0) dan (2,2).

3) f fungsi satu-satu sebab ∀ x1,x2 R, x1≠x2 maka f(x1)≠f(x2).

4) f fungsi kepada sebab f(R) = R.

d. Fungsi Konstan

D e f i n i s i 6 .5

Contoh 6.8

Diketahui f: R→R didefinsikan oleh f(x) = 3 dengan R = himpunan bilangan real.

1) Apakah f fungsi konstan?

2) Gambarlah grafiknya?

Penyelesaian:

1) f fungsi konstan

2) grafik fungsi f melalui titik (0,3) dan (2,3).

Gambar 6.12

Misalkan f: A→B adalah fungsi dari A ke dalam B maka fungsi f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

0 2

f(x) 3 3


6. Invers Suatu Fungsi dan Fungsi Invers

1. Diketahui R: A→B adalah relasi dari A ke dalam B. J ika A = {2,3,4,5}; B = {3,4,5}.

Relasi R didefinisikan "x faktor y"

a. Nyatakan R dengan diagram panah.

b. Apakah relasi r fungsi? Mengapa?

Gambar 6.13

a

b

c

1

3

A

B

(i)

a

b

c

1

2

3

4

A

B

(ii)

a

b

c

1

2

3

A

B

(iii)

Diagram panah pada gambar 6.13

merupakan fungsi.

a. f: A→B fungsi kepada inversnya f’:

B→A bukan fungsi sebab 3 E B

mempunyai dua kawan.

b. g: A→C fungsi satu-satu inversnya g-':

C→A bukan fungsi sebab 4c-C tidak

mempunyai kawan.

c. h: A→D fungsi satu-satu kepada

inversnya h': D→A. merupakan fungsi

lagi, fungsi tersebut disebut fungsi invers.

Apa yang dapat saudara simpulkan dari

contoh di atas? Bilamana suatu fungsi

mempunyai fungsi invers?

Latihan 7

AN


2. Misalkan A = {1,2,3,4,5} Katakan apakah masing-masing dari himpunan pasangan

terurut yang berikut merupakan fungsi dari A ke dalam A.

a. f1= {(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,4)}

b. f2 = {(3,1),(4,2),(1,1)}

c. f3 = {(2,3),(3,6),(4,2),(3,2)}

3. Misalkan f(x) x2 mendefinisikan suatu fungsi pada selang tertutup -2≤x≤5, carilah:

a. f(0) b. f(3) c. f(-4) d. f(t-2)

4. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,0}. Berapakah banyaknya fungsi yang berbeda dari B

ke dalam A, dan apa saja?

5. Ambilah A = (-1,0,1,2,3). Misalkan fungsi g: A→R didefinisikan oleh f(x)= x2+2.

Carilah jangkauan dari g.

6. Carilah jangkauan dari fungsi di bawah ini jika fungsi-fungsi tersebut dari R ke

dalam R didefinisikan oleh:

a. f(x) = x2+2 b. g(x) = x2+4x+4

7. a. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi satu-satu? Mengapa?

b. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi kepada? Mengapa?

8. Gambarlah diagram panah untuk menunjukkan:

a. Fungsi satu-satu yang bukan fungsi kepada

b. Fungsi kepada yang bukan fungsi satu-satu.

9. Grafik di bawah ini manakah yang merupakan grafik fungsi dari A ke dalam B.

10. Diketahui f: A→R dengan R = himpunan bilangan real, A ={x|-1≤x≤5} didefinisikan

dengan f(x)= x2+4. Tentukanlah range dari f.

11. Tulislah 4 contoh fungsi konstan, kemudian gambarlah grafiknya.


1. Proposisi (Pernyataan) Elementer

Perhatikan kalimat pada contoh 8.1 di bawah ini.

1) Semarang Ibu Kota Jawa Tengah

2) a faktor dari 6

3) Dua adalah bilangan ganjil

4) Mudah-mudahan lulus ujian

5) 2+ 6 = 8

6) x faktor dari 5

7) 5 + 4 < 7

8) Selesaikan soal di bawah

9) x + 5 = 9

10) x - 2 < 7

Kalimat pada contoh 8.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat

tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Nilai kebenaran

pernyataan di atas berturut-turut: benar, salah, dan salah.

Definisi 8.1

Pernyataan pada contoh 8.1 sering disebut pernyataan elementer dan selanjutnya

dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya.

2. Proposisi Komposit

Misalkan p, q masing-masing proposisi

Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

LOGIKA METAMETIKA

AN


elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit.

Jadi dapat disimpulkan bahwa

Definisi 8.2

Ada lima perangkai, yaitu:

dan .

3. Nilai Kebenaran Proposisi Komposit

p q p q p q p q p q -

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F

T

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T

F

F

T

T

Contoh 8.2

Diketahui proposisi elementer:

p : Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul

q : Fungsi identitas merupakan fungsi satu-satu

r : Ada belch ketupat yang merupakan persegi panjang.

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi di bawah ini:

a. p, q, dan r g . (p q) r

b. q r h.

c. q r i . q ( )

d. p r j.

e. q p k. (p q) r

f. p q l. (p q) r

Penyelesaian:

a. F, T, dan T e. i.

b. F f. j.

c. T g. k.

d. h. l.

Catatan:

Propo- sisi komposit

Dibaca Disebut

p q p bil q Konjungsi p v q p atau q Disjungsi p → q jika p maka q Implikasi p ↔ q p jika dan

hanya jika q

Biiinplikasi

ingkaran p Negasi

Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai


Proposisi komposit dapat dibentuk dari tiga proposisi elementer p, q, dan q atau dari n

buah proposisi elementer p1, p2, p3, …, pn.

4. Tabel Kebenaran

Ada dua cara untuk membuat tabel kebenaran dari proposisi komposit.

Contoh 8.3

Buatlah tabel kebenaran proposisi di bawah ini.

a. p (p q) c. p ( )

b . ( p q) p d. (p q) r

Penyelesaian:

a. cara I

cara II

cara II

b. Cara I

p q p q (p q) p

T T T T T F F T F T F T F F F T

Cara II

c. cara I

p q p q ( ) p ( )

p

p

q p q p (p q)

T T T T T F F F F T F T F F F T

p (p q)

T T T T T T F T F F F T F F T F T F F F 1 3 1 2 1

(P q) P

T T T T T T F F T T F F T T F F F F T F 1 2 1 3 1 langka

h

langka

h

langka

h


T

T

F

F

T

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

F

F

F

F

Cara II

d. Cara I

cara II

Cara II

Catatan:

Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dengan banyaknya baris pada tabel

kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut.

p (p q)

T F F T T T T F F T

F

T F F F F F T T F F T F F F 1 4 3 1 2 1

p q r p q (p q) r

T T T T T T T F T F T F T F T T F F F T F T T F T F T F F T F F T F T F F F F T

(p q) r T T T T T T T T F F T F F T T T F F T F F F T T T F F T T F F F F T T F F F T F 1 2 1 3 1

langka

h


Banyaknya

proposisi elementer

Banyaknya baris

pada tabel

2 4 = 22

22 3 8 = 2

3

23 4 16 = 2

4

24

. .

n 2n

5. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Perhatikan contoh 8.3 b.

Proposisi (p q) p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi

elementernya. Proposisi tersebut disebut tautologi.

Definisi 8.3

Perhatikan contoh 8.3 c.

Proposisi p (p q) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi

elementernya. Proposisi tersebut disebut kontradiksi.

Definisi 8.4

Perhatikan contoh 8.3 a dan d.

Proposisi p (p q) dan (p q) r masing-masing bukan tautologi dan kontradiksi. Proposisi

tersebut disebut kontingensi.

Definisi 8.5

6. Implikasi Logis

Perhatikan implikasi di bawah ini!

Tautologi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.

Kontradiksi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.

Kontingensi adalah proposisi

komposit yang bukan tautologi dan

kontradiksi.


a. p (p q)

b. (p q) p

c. p (p q)

Ternyata :

Proposisi a. kontingensi (contoh 8.3 a.

Proposisi b. tautologi (contoh 8.3 b.

Proposisi c. diselidiki sebagai berikut.

Ternyata proporsi p (p q) tautologi.

Proporsi b. dan c. adalah implikasi yang merupakan tautologi, dan implikasi tersebut

disebut implikasi logis. Sehingga dapat ditulis dengan

(p q) p

p (p q)

Definisi 8.6

Contoh 8.4

Selidiki dengan tabel kebenaran, manakah yang merupakan implikasi logis.

a. [( ) p] q

b. [( ) p] p

c. [( ) p]

Penyelesaian:

a. [( ) p] q

p (p q) T T T T T T T T T F F T F T T F T F F F 1 3 1 2 1

Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka proposisi P Q disebut implikasi logis jika P Q tautologi, dan dapat ditulis P Q.

langka

h


b. [( ) p] p

c. [( ) p]

Ternyata:

Proposisi a. tautologi maka implikasi logis

Proposisi b. kontingensi maka bukan implikasi logis

Proposisi c. tautologi maka implikasi logis

7. Ekivalensi

Perhatikanlah proposisi komposit dan . Selidikilah apakah kedua proposisi

tersebut bernilai sama?

Penyelesaian:

p q -p p q -p v q

T T F T T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Ternyata dan mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa

ekivalen , ditulis: ek. .

Definisi 8.7

Contoh 8.5

Selidiki apakah

a. p q ek

b. p p ek p

c. p ek F

d. p ek T

[( p q) q] p

F

F

T

T

T

T

F

F

T

F

T

T

T

F

T

F

F

F

F

T

F

T

F

T

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

T

T

T

T

F

F

2 1 3 1 4 2 1 5 2 1

Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka P dikatakan ekivalen Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang sama.


Penyelesaian:

Ternyata :

a. p q ek

b. p p ek p

c. p ek F, artinya p selalu bernilai salah atau kontradiksi.

d. p ek T, artinya p selalu bernilai benar atau tautologi.

p q -p -q p q

p p p p

T

T

F

F

T

F

T

F

F

F

T

T

F

T

F

T

T

F

T

T

T

F

T

T

F

F

F

F

T

T

T

T

T

T

F

F


1. Buatlah contoh

a. 5 pernyataan yang bernilai benar

b. 5 pernyataan yang bernilai salah

c. 5 kalimat terbuka

d. 5 kalimat yang bukan pernyataan dare bukan kalimat terbuka

2. Diketahui proposisi elementer:

p: relasi kesamaan pada himpunan

bilangan asli adalah relasi ekivalen

q: ada bilangan x sehingga x + 4 = 3

r: tidak ada garis horizontal yang

saling tegak lurus.

Tentukan nilai kebenaran dari:

a. p, q, dan r d. –[(p q) r]

b. p r e. (-p q) r

c. (p q) r f. (p q) r

3. Buatlah table kebenaran dari proporsi di bawah ini, kemudian tentukanlan manakah

yang kontradiksi, tautologi, dan kontingensi.

a.

b. [(p q) p] q

c. (p q) r

d. (p q) (p q)

e. [(p q) (q r)] (p r)

f. ( ) q

4. Selidiki apakah proporsi di bawah ini implikasi logis.

a. [(p q) ] q

b. (p q) (p q)

c. (p q)

Latihan 8A

AN


5. Selidiki apakah

a. -(p q) ek -p -q

b. p q ek q p

c. (p q) r ek p (q r)

d. p q ek (p q) (q p)


8. Hukum-h ukum Aljahar Proposisi

(Aturan Penggantian)

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan

yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

a. p p ek p b. p p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

a. (p q) r ek p (q r)

b. (p q) r ek p (q r)

3. Hukum Komutatif (Kom)

a. p q ek q p

b. p q ek q p

4. Hukum Distributi f (Dist)

a. p (q r) ek (p q) (p r)

b. p (q r) ek (p q) (p r)

5. Hukum Identitas (Id)

a. p F ek p c. p F ek F

b. p T ek T d. p T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

a. p -p ek T

b. p -p ek F

c. -(-p) ek p

d. -T ek F

7. Hukum Transposisi (Trans)

p q ek

8. Hukum Implikasi (Imp)

p q ek

9. Hukum Ekivalensi (Eki)

a. p q ek (p q) (q p)

b. p q ek (p q) (-q -p)

10. Hukum Eksportasi (Eksp)

(p q) r ek p (q r)

11. Hukum De Morgan (DM)

a. ek


b. ek

Contoh 8.6

Buktikanlah bahwa:

a. ek p

b. (p q) p ek T

c. -[p (p q)] adalah kontradiksi

Penyelesaian:

a. ek

ek

ek

b. (p q) p ek p

ek ( ) p

ek ( )

ek T

ek T

c. -[p (p q)] ek -[ (p q)]

ek -[( p) q)]

ek –(T q)

ek –T

ek F

Catatan:

Untuk membuktikan:

a. apakah dua proposisi ekivalen

b. suatu proposisi tautologi/kontradiksi dapat dilakukan dengan dua cara:

1) dengan menggunakan tabel kebenaran

2) dengan menggunakan aturan penggantian (bukti formal).

Contoh 8.6 di atas merupakan contoh pembuktian dengan dua proposisi ekivalen, sebuah

proposisi tautologi/kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian.

Contoh 8.7 Buktikanlah bahwa implikasi

[( q) ( r)] ( r) implikasi logis dengan bukti formal.

Penyelesaian:

[( q) ( v r)] ( r)

ek [ ] ( r) (Imp)


ek [ ] ( r) (DM)

ek [ ( )] ( r) (DM)

ek [{( ) } {( ) }] ( r) (Dist)

ek [{( ) } {( ) }] ( r) (Dist, Komp)

ek [( ) {( ) }] ( r) (Id)

ek {( ) ( r)} [{( ) } ( r)] (Dist)

ek {( ) ( r)} [{( ) } ( r)] (Ass)

ek {T ( r)} [{( ) } ( r)] (Komp)

ek T [{( ) } ( r)] (Id)

ek {( ) } ( r) (Id)

ek ( ) { ( r)} (Ass)

ek ( ) (T ) (Ass, Komp)

ek ( ) T (Id)

ek T (Id)

9. Argumen

Perhatikanlah sekumpulan proposisi pada contoh berikut.

Contoh 8.8

1) (a). Jika seseorang orang Indonesia maka is belum pernah ke bulan

(b). Habibie orang Indonesia

(c). Habibie belum pernah ke bulan

Pada sekumpulan proposisi 1), proposisi (c) ditegaskan dari proposisi (a) dan (b). Oleh

karena itu sekumpulan proposisi 1) disebut argumen. Selanjutnya proposisi (c) disebut

konklusi dari argumen dan proposisi (a) dan (b) disebut premis dari argumen.

Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan benta spesifik sebagai berikut.

p q

p

q konklusi

Perhatikanlah sekumpulan proposisi berikut.

3) (a). Jawa Tengah beribu kota di

Semarang

(b). Lima adalah hilangan ganjil

(c). Segitiga sama kaki sudut

alasnya sama besar.

Sekumpulan proposisi 2) bukan merupakan argumen. Mengapa?

Definisi 8.8

premis

Argumen (dalil) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu dari proposisinya ditegaskan atas dasar proposisi lainnya. Proposisi yang ditegaskan tersebut disebut konklusi, sedang yang menegaskan disebut premis.


Setiap argumen mempunyai premis dan konklusi. Yang dimaksud konklusi auatu agumen

adalah proposisi yang ditegaskan berdasarkan proposisiproposisi yang lainnya dari

argumen tersebut. Sedangkan proposisi-proposisi yang menegaskan yang memberikan

alasan untuk diterimanya konklusi disebut premis. Predikat untuk suatu argumen bukan

benar atau salah tetapi salt atau tidak salt. Benar atau salah adalah predikat untuk

proposisi.

10. Kesahan Argumen

Definisi 8.9

Contoh

Penyelesaian:

Argumen tersebut dinyatakan dalam implikasi:

[(p q) p] q . Selanjutnya dibuktikan apakah implikasi tersebut implikasi logis?

Untuk pembuktian tersebut ada dua cara yaitu:

1. Dengan tabel kebenaran

2. Dengan aturan penggantian

Cara I:

Cara II:

[(p q) p] q

ek [ ] q (Imp)

ek [(p ) ] q (DM)

[(p q) p] q

T T T T T T T

T F F F T T F

F T T F F T T

F T F F F T F

1 2 I 3 1 4 I

Suatu argumen dikatakan sah jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan implikasi tersebut merupakan implikasi logis.


ek [(p ) ( )] q (Dist)

ek [T ( )] q (Komp)

ek ( ) q (Id)

ek ( ) (Ass)

ek T (Komp)

ek T (Id)

Kesimpulan: argumen

p q

p

q

adalah argument yang sah.

Contoh 8.10.

Selidiki dengan table kebenaran apakah argument berikut sah.

p q

q

p

Penyelesaian:

[(p q) q] p

T T T T T T T

T F F F F T T

F T T T T F F

F T F F F T F

1 2 1 3 1 4 1

Ternyata [(p q) q] p kontingensi. Maka argument tersebut tidak sah.

11. Metode Deduksi

(Bukti Formal Kesahan Argumen)

Pada pasal 10 sudah dikategorikan bahwa untuk membuktikan kesahan argumen dapat

dilakukan dengan mengunakan tabel atau dengan bukti formal. Kita maklumi bahwa

pembuktian kesahan suatu argumen yang mengandung banyak proposisi elementer

dengan tabel kurang praktis. Apalagi cara tersebut tidak mengembangkan pandangan kita

tentang hubungan antara argumen-argumen dan hukum-hukum penggantian. Di samping


itu cara tersebut tidak menambah pengetahuan karena hanya bekerja secara mekanik.

Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen yang lebih baik dan lebih singkat dengan

bukti formal adalah dengan menggunakan hukum-hukum penggantian dan juga aturan

penyimpulan seperti yang tercantum berikut ini.

Aturan Penyimpulan

1. Modus Pones (MP)

p q

p

q

2. Modus Tolens (MT)

p q

3. Silogisme (Sil)

p q

q r

p r

4. Destruktif Silogisme (DS)

p q

q

5. Konstruktif Delema (KD)

(p q) (r s)

p r

q s

6. Destruktif Delema (DD)

(p q) (r s)

7. Simplifikasi (Simp)

p q

p

8. Adisi (Ad)

P

p q

9. Konjungsi (Konj)


p

q

p q

Contoh 8.11

Buktikan kesahan argument berikut.

1. p (q s)

2. (s t)

3. p r

4. / q t

Penyelesaian:

1. p (q s)

2. (s t)

3. p r

4. / q t

5. s t (2,4 MP)

6. (3,4 MT)

7. q s (1,6 DS)

8. q t (7,5 Sil)

Jadi argument tersebut sah (terbukti).

Contoh 8.12

Susunlah bukti formal kesahan argument berikut.

1. a b

2. c d

3. ( ) ( ) /

Penyelesaian:

1. a b

2. c d

3. ( ) ( ) /

4. (3 Simp)

5. b (4 Imp)

6. (3 Simp)

7. a (6 Imp)

8. a (1,5 Sil)


9. d (8 tran)

10. c (2,9 Sil)

11. (10 Imp)

12. (11 Kom)

Contoh 8.13

Susunlah bukti formal kesahan argumen berikut dengan memakai lambang-lambang

proposisi yang diberikan. Jika banyak mahasiswa yang memilih matematika maka

geometri diharuskan dan trigonometri diharuskan. Jika geometri diharuskan atau aljabar

diharuskan maka aritmetika diharuskan. Banyak mahasiswa yang memilih matematika.

Oleh karena itu aritmetika diharuskan atau aljabar diharuskan (m,g,t,j,u).

Penyelesaian:

Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan simbol sebagai berkut.

1. m (q t)

2. (q j) a

3. m / a j

Bukti kesahannya sebagai berikut.

1. m (q t)

2. (q j) a

3. m / a j

4. (q t) (1,3 Imp)

5. q (4 Simp)

6. (q j) (5 Add)

7. A (2,6 MP)

8. a j (7 Add)

Argumen sah.

Catatan:

Cara pembuktian seperti contoh 8.11, 8.12, dan 8.13 disebut Bukti Langsung (BL).


1. Gunakanlah tabel untuk membuktikan kebenaran hukum penggantian nomor:

(a). 10; (b). 11; dan (c). 5a&5c.

2. Gunakanlah tabel untuk membuktikan kebenaran aturan penyimpulan nomor:

(a). 3; (b). 7; dan (c). 8.

3. Gunakanlah hukum penggantian untuk membuktikan dengan bukti formal kesahan

aturan penyimpulan nomor:

(a). 7; (b). 8; dan (c). 9.

4. Buktikan dengan bukti formal kesahan argumen berikut (gunakan aturan penyimpulan

dan hukum penggantian).

a. 1. [(a c) ] [(d c) f]

2. b

3. / (d c) f

b. 1. e (f )

2. (f g) h

3. e / h

c. 1. e f

2. e g / e (f g)

d. 1. ( v) (u v)

2. / e (f g)

e. 1. e f

2. g f / (e g) f

f. 1. (s t) (u v)

2. w (s u) / w (t v)

5. Susunlah bukti formal kesahan argumen di bawah ini dengan

memakai lambang-lambang proposisi sebagaimana yang disediakan.

Latihan 8B

AN


a. Jika saya belajar maka saya mendapat nilai baik, jika saya tidak belajar maka dapat

bersenang-senang. Oleh karena itu saya akan mendapat baik atau saya akan

bersenang-senang (b,n,s).

b. Jika persediaan perak tetap dan penggunaan perak meningkat maka harga perak

akan naik. Jika peningkatan penggunaan perak membawakan bahwa harga porak

meningkat maka akan bermunculan spekulan-spekulan. Persediaan perak tetap.

Oleh karena itu spekulan¬spekulan akan bermunculan (p,t,n,k,․)

c. Jika harga jatuh atau upah naik maka dagang eceran dan kesibukan iklan akan

meningkat. Jika dagang eceran meningkat maka pedagam2, kecil akan mendapat

uang banyak. Tetapi pedagang kecil mendapat uang banyak. Oleh karena itu

harga tidak akan turun (h,u,a,i,k).

d. Adam akan menumpang bus atau kereta api. Jika dia menumpang bus atau

mengendarai mobil sendiri maka is akan terlambat dan kehilangan bagian

pertama. Dia tidak datang terlambat. Oleh karena itu dia akan menumpang

kereta api (b,k,m,l,h).

e. Pajak dinaikkan atau jika pengeluaran naik maka plafon hutang akan naik. Jika

pajak dinaikkkan maka biaya pungutan pajak juga naik. Jika kenaikan

pengeluaran membawakan bahwa pemerintah akan meminjam uang lebih

banyak maka jika plafon hutang dinaikkan maka bunga uang akan naik pula. Jika

pajak tidak dinaikkan maka biaya pungutan pajak tidak akan naik. Jika plafon hutang

dinaikkan maka pemerintah akan meminjam uarig lebih banyak. Biaya pungutan

pajak tidak naik. Bunga uang tidak naik atau pemerintah tidak akan meminjam

uang lebih banyak. Oleh karena itu plafon hutang tidak akan naik atau

pengeluaran tidak akan naik (p,n,h,b,u,r).


12 Aturan Bukti Bersyarat (ABB)

Pada pasal 11 telah diketengahkan bagaimana cara membuktikan kesahan argumen

dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan dikenal dengan bukti formal

dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung (BL). Akan tetapi tidak

semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk

membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti

Bersyarat (ABB).

Catatan yang perlu diingat bahwa:

1. ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi.

2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik anteseden dari konklusi menjadi

premis barn (premis tambahan) dan konsektiennya merupakan konklusi dari

argumen.

Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi bahwa

p (q r) ek (p q) r. Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat antara argumen sah

dengan implikasi logis sehingga kebenaran prosedur ABB mudah kita terima dengan

penjelasan berikut.

Lang-

kah

Argumen Implikasi

Logis

1 P / A C P (A C)

2 P

A / C

(P A) C

Penjelasan di atas menunjukan bahwa karena P (A C) ek (P A) C maka argument P

/ A C sah dan argument P, A / C juga sah.

Keterangan di atas akan lebih mudah diterima dengan memperhatikan contoh berikut.

Contoh 8.14

Buktikan kesahan argumen berikut dengan ABB.

1. (a b) (c d)


2. (d e) f / a f

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi a f dengan anteseden a dan

konsekuen f sehingga ABB dapat digunakan.

1. (a b) (c d)

2. (d e) f / a f

3. a / f asumsi

4. a b (3 Add)

5. c d (1,4 MP)

6. d (5 Simp)

7. d e (6 Add)

8. f (2,7 MP)

9. a f (3 s.d. 8 ABB)

(Terbukti).

Catatan:

1. Baris 9 di dapat bukan didasarkan dari baris 4 s.d. 8 akan tetapi merupakan penjelasan

bahwa asumsi no 3 yaitu a dengan menggunakan proposisi 1,2,4,5,6, dan 7 didapat

no 8 yaitu f. Oleh karena itu nomor 9 yaitu a —> f di luar skup dan proposisi

tersebut merupakan konklusi.

2. Dengan ABB argumen tersebut dapat dibuktikan hanya dengan 9 Iangkah. Bandingkan

dengan cara Bukti Langsung.

Berikut ini disajikan dengan Bukti Langsung.

1. (a b) (c d)

2. (d e) f / a f

3. ( ) (c d) 1 Imp

4. [( ) c] [( ) d] 3 Dist

5. ( ) d 4 Simp

6. ( ) d 5 DM

7. ( ) ( d) 6 Dist

8. 7 Simp

9. a d 8 Imp

10. ( ) f 2 Imp

11. ( ) f 10 DM

12. ( ) ( f) 11 Dist

13. 12 Simp

14. d f 13 Imp

15. a f 9,14 Sil

(Terbukti)


Ternyata BL memerlukan 15 langkah. Jadi untuk contoh 14 ABB lebih singkat

dibandingkan dengan BL.

Contoh 8.15

Buktikan dengan ABB kesahan argument berikut.

1. (a b) [(c d) e] /

2. a / asumsi

3. a b (2 Add)

4. (1, 3 MP)

5. / (asumsi)

6. e (4, 5 MP)

7. ) (5 – 6 ABB)

8. a (2 – 7 ABB)

(Terbukti)


Buktikan dengan ABB kesahan argument-argumen di bawah ini.

a. 1. a b

2. b [(c ) d] / a d

b. 1. q ( )

2. [ ( )] (t u)

3. ( ) ( ) / q v

c. 1. ( ) ( )

2 (l n)[ ( ) ( ) ] / k m

Latihan 8C

AN


13. Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung) Pada pasal 11 sudah diketengahkan bahwa untuk membuktikan kesahan argumen

dengan bukti formal dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:

1) dengan Bukti Langsung

2) dengan Aturan Bukti Bersyarat.

Di samping kedua cara di atas masih ada cara lain yaitu dengan Bukti Tak Langsung (BTL).

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan).

2) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hokum penggantian ditunjukkan

adanya kontradiksi.

3) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Distributif

Silogisme.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh berikut ini.

Contoh 8.16

Buktikan kesahan argumen berikut dengan BTL.

1. ( )

2. ( )

3. / e

bukti:

1. ( )

2. ( )

3. / e


4. asumsi

5. 2,4 MT

6. 5 DM

7. 6 Simp

8. 6 Simp

9. 3 Imp

10. a 9,8 MP

11. 1,10 MP

12. b 11 Simp

13. 7,12 Konj

14. 12 Add

15. e 14,7 DS

(Terbukti)

Catatan:

1) Langakh ke 13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab b b ek F.

2) Setelah ditemukan adanya kontradiksi langkah berikutnya Adisi dan terakhir

Distributif Silogisme.


Buktikan kesahan argumen-argumen di bawah ini dengan BTL.

( 1 ) . 1. ( )

2. / c

( 2 ) . 1. (h i) (j k)

2. ( k)

3. / ( j)

( 3 ) . 1. ( e) (f g)

2. ( h) ( ) / g

( 4 ) . 1. ( n) ( )

2. ( g) ( )

3. ( t) ( u) / F

( 5 ) . 1. (v ) (x y)

2. ( ) (y )

3. (a ) ( c)

4. / c

Latihan 8D

AN


1. Fungsi Proposisi dan Kuantor

Pada bab sebelumnya kita telah belajar teknik logika yang berlaku bagi argumen-argumen

yang keabsahannya bergantung dari cara mengkombinasikan proposisi-proposisi

elementer menjadi suatu proposisi komposit, yaitu yang benar secara fungsi. Teknik ini

tidak dapat lagi dipakai terhadap suatu argumen, misalnya seperti berikut:

1. Setiap manusia fana

2. Socrates seorang manusia,

3. Oleh karena itu, Socrates fana.

Keabsahan argumen seperti ini bergantung pada struktur logis-dalam dari proposisi-

proposisi elementer yang membentuknya. Untuk menilai argumen-argumen yang

demikian kita harus kembangkan cara-cara untuk menganalisis proposisi-proposisi

komposit dan juga melambangkan struktur dalamnya. Premis ke dua pada argumen di

atas adalah suatu proposisi elementer. la menyatakan bahwa individu Socrates

mempunyai sifat kemanusiaan. "Socrates" kita sebut term subjek, sedangkan manusia

disebut term predikat. Setiap proposisi elementer menyatakan bahwa individu yang

ditunjuk oleh term subjeknya mempunyai sifat yang

dinyatakan oleh term predikatnya. Selaku individu tidak hanya kita anggap pribadi-

pribadi, akan tetapi sembarang objek, seperti hewan,

kota, bangsa, planet, dan lain sebagainya, sedemikian sehingga dapat dilekatkan sifat-

sifat yang bermakna berkaitan dengan objek tersebut. Sifat-sifat tidak hanya dinyatakan

oleh kata-kata sifat, melainkan juga oleh kata benda, juga kata kerja. Misalnya "Siti

seorang pemberani" atau "Achmad sedang tidur".

Dalam melambangkan proposisi-proposisi elementer, dipakai huruf-huruf keell a,b,c,..., x,

y, z. untuk menyatakan individu. Oleh karena itu symbol-simbol ini disebut "konstanta-

konstanta individu". Untuk menyatakan suatu sifat dipakai huruf besar, seperti A, B, C, ...,

X, Y, Z. Sebagai contoh, untuk "Socrates adalah fana" ditul is F(s).

Jika diperhatikan lambang proposisi-proposisi elementer, jelas tampak oleh kita bahwa

semua mempunyai pola yang sama. Misalnya, "Socrates adalah fana", "Descartes pandai"

"Semarang sejuk", "Jakarta ramai", 5 suatu bilangan prima", clan lain sebagainya dapat

dilambangkan sebagai S(a), S(b), S(c), Lambang S(x) dipakai untuk menyatakan proposisi-

proposisi yang mempunyai suatu pola yang sama. Huruf kecil "x" disebut peubah

KUANTIFIKASI

AN


individu, tidak lain adalah suatu "pemegang tempat" belaka yang lazim juga disebut

"huruf boneka". la menyatakan tempat di mana suatu konstanta individu dapat

disthstitusikan. S(a), S(b), S(c), dan lain-lain adalah suatu proposisi, sehingga mempunyai

suatu nilai kebenarpn. Tetapi S(x), S(y)„S(:...), dan lain-lain bukanlah suatu proposisi,

sehingga tidak dapat disebut "benar" atau "salah". S(x) kita sebut suatu bentuk proposisi,

yang menjadi suatu proposisi setelah disubstitusikan suatu konstanta individu bagi x.

Selanjutnya akan dipelajari mengenai kuantor dan fungsi proposisi serta cara

menggunakaanya. Perhatikanlah ke empat proposisi berikut ini.

Dalam bentuk LIMUM, bagi suatu predikat didapat.

1. ∀ x, (x)

2. x, (x)

3. ∀ x,

4. x,

Relasi ke empat proposisi tersebut dapat dilihat pada skema di bawah

(1) dan (3) disebut contraries, (2) dan (4) sub-contraries, (1) dan (4) contradictories, dan

demikian juga dengan (2) dan (3).

Negasi dari (1) adalah (4), dan negasi (2) adalah (3). Itulah sebabnya keduanya dikatakan

saling bertentangan. Sedangkan (1) dan (3) serta (2) dan (4) disebut sating berlawanan.

(di dalam bahasa Indonesia kedua istilah ini diartikan sama, namun secara logis berbeda

secara berarti).

Dari uraian di atas dapat di simpulkan bahwa:

a. ∀ ek x,

b. ek ∀ x,

Demikian pula:

c. ∀ ek x,

d. ek ∀ x,

Aturan Ingkaran: Untuk mengingkari suatu proposisi yang mengandung kuantor,

pertukarkanlah kedua jenis kuantor tersebut sambil mengingkari bentuk proposisi yang

bersangkutan.

(1)

∀ x, φ(x)

(2)

x, φ(x)

(3)

∀ x,

φ

(4)

x, φ

Contratries

Sub-contraries


2. Melambangkan Proposisi

"Diberikan suatu x, jika x manusia, maka x fana" dilambangkan sebagai:

∀ ;

dan "diberikan suatu x, jika x manusia, maka x tidak fana" dilambangkan sebagai:

∀

"Ada suatu individu yang manusia dan fana" dilambangkan sebagai:

dan "ada suatu individu yang manusia dan fana" dilambangkan sebagai:

( )

Terjemahkan masing-masing proposisi di bawah ini ke dalam notasi logika dengan

menggunakan singkatan yang diberikan. Setiap perlambangan dimulai dengan suatu

kuantor, tidak dengan tanda negasi.

1. Ular adalah reptil

2. Tidak semua reptil berbisa

3. Semua direktur mempunyai sekretaris

4. Hanya direktur yang mempunyai sekretaris

5. Para karyawan hanya boleh memakai elevator dinas

6. Ada madasiswa yang cerdik dan kuat bekerja

7. Ada obat yang berbahaya, hanya jika dipakai dalam dosis berlebihan

8. Semua buah-buahan dan sayuran adalah sehat clan bergizi

9. Seorang profesor adalah pengajar yang balk, jika dan hanya jika ia mempunyai

banyak pengetahuan dan juga mengasyikkan.

10. Setiap kuda adalah jinak, jika clan hanya jika ia tcrlati h bai k.

Latihan 9A

AN


3 Bukti Keabsahan dan Aturan Kuantifikasi Perm u la a n

Untuk menyusun suatu bukti keabsahan bagi argumen-argumen yang mengandung

kuantorkuantor, maka aturan-aturan penyimpulan hares dilengkapi dengan

aturan lain. Ada 4 aturan tambahan yaitu: Instansiasi Umum (IU), Generalisasi

Umum (GU), Generalisasi Khusus (GK), dan Instansiasi Khusu (IK).

a. Instansiasi Umum (IU)

Suatu kuantifikasi umum dari suatu fungsi proposisi benar jika dan hanya jika setiap hal

substitusinya benar. Oleh karena itu setiap hal substitusi suatu fungsi proposisi dapat

diturunkan secara sal) dari kuantifikasi umumnya. Secara lambang hal ini dapat

dinyatakan sebagai berikut.

∀

dimana adalah sebarang lambang individu.

Sebagai contoh kita ambil argument:

Setiap manusia fana;

Socrates seorarg manusia.

Oleh Karena itu, Socrates fana .

Setelah dilambangkan, berbentuk

1. ∀

2.

3.

4.

b. Generalisasi Umum (GU)

Di dalam Ilmu Ukur, jika kita akan membuktikan bahwa jumlah ketiga sudut suatu

segitiga adalah 180o, maka kita ambil sebarang segitiga, dan bukanlah suatu

segitiga yang khusus (misalnya yang samakaki atau siku-siku). Demikian pula jika kita

hendak membuktikan bahwa setiap objek x mempunyai sifat , maka kita ambil

sebarang objek dan tunjukkan bahwa objek tersebut mempunyai sifat . Hal ini

membawa kita pada aturan berikut. Kuantifikasi umum suatu fungsi proposisi dapat

secara sah diturunkan dari suatu hal substitusinya terhadap suatu simbol 'y'. Ini kita

lambangkan sebagai berikut.

∀

dimana 'y' menyatakan sebarang individu yang (lipilih.

Sebagai contoh kita ambil argument:


Tiada insan yang sempurna;

setiap manusia adalah insan.

Oleh karena itu, tidak ada manusia yang sempurna.

Argumen ini dapat dilambangkan sebagai berikut.

1. ∀ ( )

2. ∀ ∀ ( )

3.

4.

5.

6. ∀ ( )

c. Generalisasi Khusus (GK)

Oleh karena kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi adalah benar jika dan

hanya jika fungsi tersebut setidak-tidaknya mempunyai suatu hal substitusi yang

benar, maka kita peroleh aturan, sebagai berikut. Kuantifikasi khusus suatu fungsi fungsi

proposisi dapat secara sah diturunkan dari sebarang hal substitusinya. Aturan ini

memungkinkan bagi kita untuk menurunkan proposisi-proposisi umum yang

dikuantifikasi secara khusus. Secara simbol formulanya adalah sebagai berikut.

dimana adalah sebarang lambang individu.

d. Instansiasi Khusu (IK)

Kita perlukan suatu aturan kuantifikasi lagi. Suatu k u a n t i f i k a s i k h u s u s s u a t u

p r o p o s i s i menyatakan bahwa sekurang-kw angnya ada suatu individu dimana

substitusi dari namanya bagi peubah

'x' ke dalam fungsi proposisi tersebut akan menghasilkan suatu hal substitusi dari

padanya. Sudah barang tentu kita samasekali tidak mengetahui apa-apa mengenai

individu tersebut. Tetapi kita dapat mengambil sebarang konstanta individu yang

berlainan dari 'y', misalnya , yang belum hadir sebelumnya di dalam konteks dan

menggunakannya untuk menyatakan individu tersehut, atau individu yang

eksistensinya ditegaskan oleh kuantifikasi khusus semula. Setelah kita ketahui

bahwa ada individu yang demikian, dan telah -disepakati pula untuk menyatakannya

dengan , maka kita dapat menurunkan dari kuantifikasi khusus suatu fungsi

proposisi hal substitusi fungsi proposisi tersebut terhadap lambang individu . Jadi


dari suatu kuantifikasi khusus suatu fungsi proposisi dapat diturunkan secara sah

kebenaran suatu hal substitusinya terhadap suatu konstanta individu yang tidak hadir

sebelumnya di dalam konteks. Aturan ini dapat kita lambangkan sebagai berikut.

dimana suatu konstanta individu, lain dari 'y', yang tidak hadir sebelumnya di

dalam konteks.

Jika kita pakai kedua aturan kuantifikasi terakhir dalam menyusun suatu bukti formal

keabsahan suatu argumen:

Semua anjing pemakan daging; ada hewan yang anjing: Oleh karena itu ada hewan

yang pemakan

daging. (A(x), D(x), H(x))

Bukti:

∀

( )

Jika kita adakan pembatasan pada 1K bahwa hal substitusi yang diturunkan olehnya

hanya dapat mengandung suatu konstanta individu yang tidak Nadir sebelumnya di

dalam konteks argumen, maka mungkin sa ja kita akan memberikan suatu

pembuktian sebagai berikut

3 Simp

4 Simp

5, 6 Konj

9 KG


Kesalahan yang diperbuat dalam hal ini terdapat pada baris yang ke-4. Premis ke-2

menjamin bahwL. setidak-tidaknya ada suatu individu yang sekaligus anjing dan hewan.

Akan tetapi kita tidak dibenarkan u n t u k m e m i l i h b a g i i n d i v i d u i n i , o l e h

karma 'w' telah dipakai (dalam baris ke-3) untuk menyatakan individu yang disebut

dalam premis pertama, dimana disebut bahwa ada individu yang sekaligus kucing dan

hewan. Untuk mencegali hal-hal seperti ini kita hams tunduk pada pembatasan yang

telah diberikan dalam penggunaan IK. Haruslah _Has bahwa, jika kita hares memakai IU

clan IK di dalam suatu bukti dalam mensubstitusikan terhadap suatu konstanta

individu yang sama, maka haruslah kita berikan prioritas kepada IK.

Sebarang asumsi dengan skop terbatas dapat dimasukkan ke .dalam suatu Bukti

Bersyarat keabsahan suatu argumen, sebagai contoh perhatikan argumen berikut

Semua mahasiswa tahun pertama dan tahun kedua diundang dan akan diterima balk.

Oleh karena itu, sentua.tahun pertama diundang.

Bukti:

1. ∀ ( ) ( )

2. ∀ ( )

3. ( ) ( )

4.

5.

6.

7.

8. ∀


Susunlah suatu bukti formal keabsahan argumen-argumen berikut, apabila diperlukan

gunakan Aturan Bukti Bersyarat.

1. V x , (x) - - > B(x)

B(t) / : . A(t)

2. Vx, (C(x) —> D(x))

Vx, (E(x) --> D(x)) /

Vx, (E(x) —> C(x))

3. Vx, (F(x )—> G(x))

x,(H(x) G(x)) /

lx, (H(x) F(x))

4. Vx,(K(x)--> L(4)

Vx,(K(x) L(x))--> M(x) / Vx,(14x)----> M(x))

5. Vx, Mx) —> 0(x))

Vx,(P(x)--> 0(x)) / Vx,(GV(x)v P(x)) —> 0(x))

6. Semua atlit berotot. Adi tidak berotot. Oleh karena itu Adi bukan atlit.

(A(x),0(x),a)

7. Tidak ada kontraktor yang bergantung. Ada kontraktor yang insinyur. Oleh

karena itu ada insinyur yang tidak bergantung. (K(x), B(x),/(x))

8. Semua pemain bola riang. Ada pemburu yang tidak riang. Oleh karena itu, ada

pemburu yang bukan pemain bola. (B(x), R(x), P(x))

9. Semua pendusta tidak jujur. Ada pembohong yang wartawan. Oleh karena itu ada

wartawan yang tidak jujur. (P(x),J(x), W(x))

10. Tidak ada seragam yang tidak dapat dicuci. Tidak ada sutera yang boleh dicuci. Oleh

karena itu tidak ada seragam yang sutera. (R(x),C(x),S(x))

Latihan 9B

AN


1. Himpunan Ekivalen

Untuk dua himpunan berhingga sebarang, kita dapat menentukan apakah dua

himpunan tersebut mempunyai elemen yang sama banyak atau tidak, dengan cara

menghitung banyaknya elemen dalam setiap himpunan. Untuk himpunan tak hingga

perlu didefinisikan dua himpunan dikatakan mempunyai elemen yang sama

banyaknya supaya kedua himpunan disebut ekivalen, yakni seperti yang akan

dibicarakan pada bab ini.

Definisi 7.1

Contoh 7.1

Misalkan A = {1,2,3,4} dan B = {2,4,6,8} dan misalkan f: A→B adalah fungsi yang

didefinisikan oleh f(x)= 2x maka f adalah fungsi satu-satu kepada.

Misalkan P = {0, 1} dan Q={3, 5} dan misalkan f: P→Q adalah fungsi yang

didefinisikan oleh f (x) = 2x +3 maka f adalah fungsi satu-satu kepada.

Misalkan A dan B dua himpunan,

dikatakan korespondensi satu-satu

antara A dan B atau dikatakan A

ekivalen dengan B ditulis A∞B, jika

terdapat sebuah fungsi f: A→B

dengan f fungsi satu-satu kepada.

BILANGAN KARDINAL


2. Himpunan Tak Hingga Biasa dan Tak Hingga Dedekind

Definisi 7.2

Catatan

Nk = {1, 2, 3, ...,k}

Menurut definisi 7.2, himpunan N himpunan tak hingga.

Definisi 7.3

Catatan:

Tak hingga menurut definisi 7.2 disebut "tak hingga biasa".

Tak hingga menurut definisi 7.3 disebut "tak hingga Dedekind".

Menurut definisi 7.3, himpunan semua bilangan asli N adalah himpunan tak hingga,

sebab:

N-{1} N (subset murni dari N), dan

N ek N - {1}. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

N : 1 2 3 4 …

N — {1} : 2 3 4 5 ...

3. Himpunan Terbilang dan Himpunan Tak Terbilang a. Himpunan Terbilang

Misalkan S suatu, himpunan, maka S disebut himpunan berhingga, jika dan hanya jika ada suatu bilangan asli k, sehingga S ek Datum hal ini S dikatakan mempunyai k buah unsur. Dalam hal yang lain dikatakan bahwa S suatu himpunan tak hingga.

Misalkan S suatu himpunan, maka S disebut himpunan tak hingga jika S mempunyai suatu himpunan bagian murni S* sedemikian hingga S.ek S*. Dalam hal yang lain S disebut himpunan berhingga.


Definisi 7.4

Contoh 7.2

1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan

terbilang?

Penyelesaian:

N: 1 2 3 4 5 6 …

| | | | | |

Z : 0 -1 1 -2 2 -3 ...

Ternyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang.

2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K

himpunan terbilang?

Penyelesaian:

N : 1 2 3 4 5 6 7 …

| | | | | | |

K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k ...

Ternyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang.

Contoh 7.3

Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional, tunjukanlah bahwa Q

himpunan terbilang!

Penyelesaian:

Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang berbentuk

p/q dengan p dan q bilangan bulat, q>0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai

faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0

ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut

indeks yang didefinisikan sebagai berikut:

Indeks dari p/q = |p| + q, dengan demikian didapat:

Indeks 1 memuat: 0, sebab p = 0,

q = 1, |p| + q = 1.

Indeks 2 memuat: -1, 1,

Indeks 3 memuat: -1/2, 1/2, -2, 2,

Suatu himpunan S disebut terbilang jika dan hanya jika S ekivalen dengan N himpunan semua bilangan asli.


Indeks 4 memuat: -1/3, 1/3, -3, 3,

Indeks 5 memuat: -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, -

3/2, 3/2, -4,.4. dan seterusnya.

Tampak bahwa setiap indeks memuat bilangan-bilangan yang terhingga

banyaknya. Sebaliknya setiap bilangan rasional mempunyai indeks tertentu.

Urutan penulisan bilangan-bilangan di dalam kelompok adalah sedemikian

hingga bilanganbilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil mendahului bilangan

yang nilai mutlaknya lebih besar. Untuk sepasang bilangan rasional yang nilai

mutlaknya sama, maka bilangan negatif mendahului bilangan positif. Dengan

cara demikian diperoleh barisan panjang sebagai berikut.

0, -1, 1, -1/2, 1/2, -2, 2, -1/3, 1/3, -3, 3, -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, -3/2, 3/2, -4, 4, ....

Unsur-unsur barisan tersebut dapat dinomori sehingga bariszin tersebut ekivalen

dengan N.

Jadi himpunan semua bilangan rasional Q adalah himpunan terbilang.

Contoh 7.4

Misalkan Q adalah himpunan semua bilangan rasional, buktikanlah bahwa Q

adalah himpunan terbilang.

Bukti:

Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang.

berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q > 0, serta p dan q koprima (tidak

mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis

dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat

dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut:

Indeks Persamaan Akar Ket

2 x = 0 0 ya

3 x+1=0, x-1=0 -1,1 ya

2x = 0 0 tdk

X2

= 0 0 tdk

4 3x = 0 0 tdk

2x +1 = 0 , 2x - 1 = 0 -1/2, 1/2 ya

x2

- i = 0 -1,1 tdk

x3

= 0

t d k

0

x+2=0, x-2 = 0 -2,2 ya

5 4x = 0 0 tdk

3x+I = 0 , 3x-1 = 0 -1/3, 1/3 ya

x2-2 = 0 -√ , √ ya

2x+2 = 0, 2x-2 = 0 -2, 2 tdk

dan seterusnya.


Dapat dikatakan bahwa setiap persamaan aljabar mempunyai indeks tertentu

clan sebaliknya setiap indeks menunjuk beberapa persamaan yang

banyaknya berhingga.

Akar-akar persamaan aljabar tersebut diurutkan sedemikian hingga didapat

barisan Sebagai berikut:

0, -1, 1, -1/2, 1/2, -1/3, 1/3.

Barisan tersebut dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan N. Ini

berarti bahwa himpunan semua bilangan aljabar real terbilang.

Catatan:

Himpunan semua bilangan aljabar kompleks (real dan imajiner) juga terbilang.

Teorema 7.1

Bukti:

Misalkan A = {a1, a2, a3, … , an}, B= {b1, b2, b3, ..., bm}

A B = {a1, a2, a3, … , an, b2, b3, …, bm}

Jika b, diganti an+1, maka didapat:

A B {a1, a2, a3, … , an, an+1, an+2, an+3, …, an+m}.

Ternyata A B ekivalen dengan Nn+m jadi A B himpunan berhingga.

Teorema 7.2

Bukti:

Misalkan A = {a1, a2, a3, ..., an, …}, B = { b1, b2, b3, ..., bk}

Jika a1 pada A diganti dengan bk+1, maka didapat:

A B = { b1, b2, b3, … , bk, bk+1, bk+2, …, bk+n, …}

Maka A B ekivalen dengan N, jadi A B himpunan terbilang.

Jika A dan B himpunan berhingga maka A B suatu himpunan berhingga.

Jika A himpunan terbilang dan B himpunan berhingga maka A B himpunan terbilang.


Teorema 7.3

Bukti:

Misalkan A = {a1, a2, a3, ...}, B = {b1, b2, b3, ...}

Maka A B = { a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...}.

Himpunan A B ekivalen dengan N. Jadi A B himpunan terbilang.

Teorema 7.4

Bukti:

Misalkan S himpunan tak hingga, jadi tak kosong.

Maka ada a1 S demikian juga S - {a1} tak kosong, sebab sekiranya kosong maka S

= {a1} dan ekivalen dengan N1 yang berarti S himpunan berhingga, hal ini tidak

benar. Jadi haruslah ada a2 S - {a1} juga S - {a1} tidak kosong. Proses ini dapat

diteruskan tanpa akhir. Jika unsur-unsur a1, a2, a3, …, an telah terpilih, maka masih

ada suatu an+1 S - {a1, a2, a3, …, an} sehingga S - {a1, a2, a3, …, an} tak kosong dan

seterusnya. Misalkan S*= {a1, a2, a3, …, an, …} jelaslah bahwa S* suatu subset dari S

yang terbilang (S - S* mungkin saja kosong). Dengan ini teorema 7.4 terbukti.

Teorema 7.5

Bukti:

Kita nyatakan unsur-unsur Ai sebagai ail, ai2, ai3, untuk i = 1, 2, 3, ..., n.

Didefinisikan indeks p untuk unsur sebagai suatu bilangan bulat positif p = i + k.

Dengan demikian p ≥ 2, sehingga didapat:

Indeks 2 memuat a11.

Indeks 2 memuat a12, a21.

Jika A1, A2, …, An masing-masing himpunan terbilang maka A1 A2 … An himpunan terbilang.

ika A himpunan terbilang dan B himpunan terbilang maka B himpunan terbilang.

Setiap himpunan tak hingga mempunyai suatu subset yang terbilang.


Indeks 2 memuat a13, a22, a31.

Indeks 2 memuat a14, a23, a32, a41.

dan seterusnya.

Setiap dari gabungan mempunyai indeks tertentu dan sebaliknya pada setiap indeks

p≥2 terdapat sejumlah unsur yang berhingga banyaknya. Jadi setiap indeks

menentukan suatu kelompok unsur-unsur yang sama indeksnya, dan unsur-unsur di

dalam masing-masing kelompok juga diurutkan. Pada indeks p=i+k terdapat (p-1)

atau (i+k-1) buah unsur yang kita urutkan sebagai berikut:

a1,i+k-1, a2,i+k-2, …, ai+k-1,1, …

Perhatikanlah indeks dari a, indeks pertama naik dari 1 sampai dengan sedangkan

indeks ke dua turun dari (i+k-1) sampai 1, namun jumlah kedua indeks tetap p=i+k.

Jika semua unsur gabungan dari n buah himpunan A tersebut dibariskan didapat

barisan sebagai berikut.

a11, a12, a21, a13, a22, a31, a14, a23, a32, a41, …

Jelas bahwa semua unsur dari A1 A2 ... An tersebut di atas ekivalen dengan

semua unsur dari N. Jadi A1 A2 … An adalah himpunan terbilang.

Teorema 7.6

Teorema 7.7

Bukti:

Diketahui S adalah himpunan tak hingga, dan S' himpunan terbilang.

Menurut teorema 7.8 S mengandung subset terbilang S. Misalkan M = S-S* maka

S* dan M saling asing dan S = M S*.

S S' = (M S*) S'

= M (S* S')

Misalkan 𝒜 suatu koleksi terbilang dari himpunan-himpunan terbilang, maka gabungan semua unsur koleksi tersebut adalah himpunan terbilang.

Jika S suatu himpunan tak hingga dan S' suatu himpunan terbilang, maka ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'.


S' dan S* masing-masing himpunan terbilang, maka menurut teorema 7.6 S* S'

himpunan terbilang. Bandingkan kedua himpunan S=M S * d an

S S '= M ( S S ' ) .

Ada korespondensi satu-satu T1 : M→M dan T2: S*→(S* u S').

Gabungan kedua korespondensi ini memberikan korespondensi satu-satu antara

M S* dan M (S* S'). Ini berarti ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'.

Dengan ini teorema terbukti.

b. Himpunan Tak Terbilang

Definisi 7.5

Contoh 7.5

Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan tak terbilang,

buktikanlah:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal tanpa

akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c ≠ 0 yang diikuti oleh berhingga

banyaknya digit nol.

Jadi 0,5 atau diganti 0,4999..., dan 7 diganti 6,999....

Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k1k2k3 … kn, a1a2a3 … an …bagian

bulat bagian desimal

Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi R dapat

dibariskan sebagai berikut:

r1 = B1, a11 a12 a13 a14 a15 …

r2 = B2, a21 a22 a23 a24 a25 …

r3 = B3, a31 a32 a33 a34 a35 …

r4 =B4, a41 a42 a13 a44 a45 …

r5 = B5, a51 a52 a53 0554 a55 …

Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks di atas. Dibentuk

suatu bilangan real r* sebagai berikut.

r* = B*, b1 b2 b3 b4 b5 …

dengan bi = 1 jika aii ≠ 1

bi = 2 jika aii = 1

Ini berarti bahwa bi = ai; ∀ i N.

Jika S suatu himpunan tak hingga dan tidak ada korespondensi .satu-satu antara S dan N, maka dikatakan S suatu himpunan tak terbilang.


Juga r*≠r i ∀ i N.

Kita lihat bahwa:

a. r* suatu bilangan real yang berarti r* terdapat pada matriks tersebut di atas,

atau r* = ri untuk i tertentu.

b. Dilain pihak r* berbeda dengan setiap r, dari matriks. Ini berarti r* tidak

terdapat. dalam matriks.

Hal di atas adalah suatu kontradiksi yang tidak dapat diterima. Hal ini muncul karena

kita misalkan R terbilang. Kesimpulan R haruslah himpunan tak terbilang. (cara ini

disebut metode Diagonal Cantor).

Contoh 7.6

Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka I adalah

himpunan tak terbilang, buktikanlah!

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Q himpunan semua bilangan

rasional, dan I himpunan semua bilangan rrasional, maka R = Q I.

Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. Misalkan I himpunan terbilang.

Menurut contoh 7.3, Q himpunan terbilang, oleh karena itu menurut teorema

7.6, Q I himpunan terbilang. Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu

kontradiksi dengan contoh 7.5. Jadi haruslah I himpunan tak terbilang.

4. Bilangan Kardinal

Definisi 7.6

Definisi 7.7

Bilangan kardinal dari setiap himpunan {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4}, ... berturut-turut dinyatakan oleh 0, 1, 2, 3, 4, ... dan dinamakan bilangan kardinal berhingga (finite Cardinal).

Jika A dan B dua himpunan sedemikian

hingga A ekivalen B maka dikatakan

bahwa A dan B mempunyai bilangan

kardinal yang sama atau mempunyai

kardinalitas yang sama.


Bilangan kardinal dari himpunan-himpunan hingga sering disebut juga banyaknya

unsur.

a. Bilangan Kardinal Transfinit

Definisi 7.8

Dari definisi 7.6 dan definisi 7.7 didapat:

Bilangan kardinal dari N atau ditulis kard. (N) dan semua himpunan yang ekivalen

dengan N sama dengan 0, dengan demikian kard. (Q) = kard. (A) kard. (N) = 0,

dengan Q dan A berturut-turut himpunan semua bilangan rasional dan semua

bilangan aljabar.

Telah kita ketahui bahwa himpunan semua bilangan real R tak terbilang. Bilangan

kardinal dari R. disebut c. Jadi kard. (R) = c, juga disebut bilangan kardinal transfinit.

Bilangan real yang bukan bilangan aljabar disebut bilangan transeden. Contoh

bilangar transeden antara lain: π, e, log 2, sin 270. Jika T adalah himpunan semua

bilangan transeden, maka R = A T. Seperti contoh 7.6 dapat dibuktikan T

himpunan tak terbilang. Dengan demikian dapat disimpilkan bahwa kard. (1) =

kard. (T) = kard. (R) = c.

b. Teorema Schroder Bernstein

Definisi 7.9

Bilangan kardinal dari himpunan terbilang dinyatakan dengan 𝒩0 yang dibaca alef nol, dan dinamakan bilangan kardinal tak hingga atau bilangan kardinal transfinit.

Jika A dan B dua himpunan sedemikian hingga ada korespondensi satu-satu antara A dan suatu subset B1 dari B dan sebaliknya terdapat kores-pondensi satu-satu antara B dan subset AI dari A maka kard. (A) = kard. (B).


Definisi 7.10

Contoh 7.7

Di antara pernyataan berikut manakah yang benar:

a. kard. (R) < kard. (N)

b. kard. (R) = kard. (N)

c. kard. (R) > kard. (N)

Penyelesaian:

N himpunan terbilang dan R himpunan tak terbilang, N ekivalen Q padahal Q

subset dari R, tetapi tidak ada subset N1 dari N sehingga R ekivalen N1. jadi

menurut definisi 7.18(b) maka dapat disimpulkan kard.(N) < kard.(R) atau 0 < c.

Teorema 7.8

Bukti:

Andaikan S himpunan tak kosong, T = {0, 1}. S' suatu subset dari S.

Didefinisikan suatu fungsi f: S→T, sebagai berikut:

Jika x S' maka f(x) = 1, dan

Jika x S' maka f(x) = 0.

Ini dapat dilakukan dengan subset lain dari S. Dari definisi ini jelaslah bahwa setiap

subset S' dari S menentukan fungsi f dari S ke dalam T. Fungsi ini disebut fungsi

karakteristik. Menurut definisi di atas S sendiri dikaitkan dengan I sebab S S,

sedangkan himpunan {} dikaitkan dengan 0 sebab {} S. Sebaliknya setiap fungsi

karakteristik menentukan subset S' dari S yang unsur-unsurnya dikaitkan dengan 1.

Oleh karena itu ada korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa (S) dan E

himpunan semua fungsi karakteristik dari S ke dalam T. Jadi dapat dikatakan (S)

ekivalen .

Misalkan A dan B dua himpunan, a. Jika A ekivalen dengan suatu

subset dari B maka dikatakan kard. (A) ≤ kard. (B).

b. Jika A ekivalen dengan suatu subset dari B, tetapi tidak berkiku sebaliknya maka dikatakan kard. (A) = kard. (B).

Jika S himpunan tak terbilang maka

kard. (S) < kard. (𝒫(S)).


Selanjutnya akan dibuktikan kard. (S) < kard. ( (S)).

Langkah 1

Akan dibuktikan kard. (S) ≠ kard. ( (S)).

Umpamakan bahwa kard. (S) = kard. ( (S)), maka ada korespondensi satu-satu

x↔Sx, jadi ada ekivalensi antara S dan ( (S)).

Disefinisikan subset S* dari S sebagai berikut:

a S* jhj a Sa, ∀ a S, artinya jika a=Sa maka a S*. Karena S* juga suatu subset dari

S maka ada korespondensi satu-satu: x↔Sx.

Jadi S* = Sr untuk suatu r↔S, koresp. (1,1): r↔Sr, maka berlaku r S* jhj r S, atau

r Sr jhj r S, (karena S* = Sr).

Ini suatu kontradiksi. Jadi haruslah kard.(S) < kard.( (S))

Langkah 2

Dibuktikan kard.(S) < kard.( (S)).

Ada koresp. (1,1): x*→{x}, yaitu koresp. (1,1) antara S dan koleksi subset-subset

dari S yang hanya mempunyai satu unsur. Ini berarti ada koresp. (1,1) antara S dan

subset murni (S). Jadi menurut teorema 7.8 kard.(S) < kard.( (S)).

c. Ketidaksamaan Bilangan Kardinal Transfinit

Pada contoh 7.7 telah dibahas bahwa 0 < c. Jika kard.(-(R)) = f, dengan R adalah

himpunan semua bilangan real, maka menurut teorema 7.18 kard.(R) < kard.( (R)). Ini

berarti bahwa C < f. Proses ini dapat diteruskan tanpa berhenti. Setiap pada suatu

bilangan kardinal, dapat diperoleh suatu bilangan kardinal yang lebih besar.

Sebagaimana juga halnya dengan himpunan N, sebab setiap n ada suatu (n + 1) yang

lebih besar. Maka diperoleh suatu ketidaksamaan sebagai berikut:

c < 0 < c < f < …

Pada bilangan kardinal berhingga berlaku bahwa n N maka < 2n.

Teorema 7.9

Bukti:

Misalkan fungsi karakteristik f: S→T = {0, 1}. Himpunan semua fungsi karakteristik

dilambangkan dengan {0,1}S disingkat dengan 2S. S' suatu subset dari S.

Kard. ( ) = kard. (2S), ditulis dengan 2kard.S .

Jika kard. (S) = sedangkan menurut teorema 7.15

kard. (S) < kard. ( (S)), kard. ( (s)) = kard. ( ).

Bagi setiap bilangan kardinal 𝒯 berlaku bahwa 𝒯 < 𝒯:


Jika kard. (S) < kard. ( ) atau kard. (S) < 2kard.S.

Ini berarti bahwa < .

d. Relasi Antara c dan 2, f dan 22

Pada pembahasan ini akan ditunjukkan bahwa e= . Misalkan E = {x| 0<x≤1, x R},

maka kard. (E) = kard. (R).

Jika setiap bilangan real dalam E dinyatakan dalam pecahan biner, maka dapat

ditunjukkan bahwa setiap bilangan 0, a1, a2, a3, …,an yang mengandung bilangan asli n,

jhj an = 1. Sebagai contoh 0,101100010 ... E ↔ {1,3,4,8, ...} N sebaliknya pula

setiap subset dari N menunjuk kepada bilangan real 0, a1, a2, a3, ..., di mana an = 1 jhj n

terkandung dalam subset tersebut. Jadi ada korespondensi 1-1 antara E dan himpunan

semua pecahan-pecahan biner yang tanpa akhir.

Catatan:

Pecahan 0, a1, a2, a3, ..., an ... mengandung digit-digit yang tak berakhir dan digit-digit

yang berakhir.

Suatu bilangan rasional 0, 1 dan E dapat dinyatakan sebagai 0,01111 ... yang

menyatakan bilangan ½. Oleh karena himpunan bilangan rasional dalam E terbilang,

sedangkan himpunan bilangan real dari E adalah tak terbilang maka pecahan-pecahan

biner yang berakhir ini tidak akan mempengaruhi kard(E). Jadi ada korespondensi 1-1

antara E dan (N). Jadi dapat ditulis: c = , dan juga f = 2kard(R) = 2c = . Jadi

didapat relasi sebagai berikut.

0 < c < f < … atau 0 < < < … .

e. Proplema Continum

Masalah yang timbul, apakah ada suatu bilangan

kardinal transfinit antara 0 dan ?

Pertanyaan ini disebut proplema Continum.

Sampai saat ini pertanyaan tersebut belum dapat dijawab. Tetapi keras sekali dugaan

dari para ahli bahwa pertanyaan tersebut harus dijawab secara negatif, yaitu:

Tidak ada bilangan transfinit antara 0 dan .

Hipotesa ini disebut hipotesa Continum.

Ada dua alasan untuk berpendirian demikian:

1. Saat ini belum ada yang memecahkan problema Continum. (alasan lemah)

2. Jika hipotesa Continum ditambah sebagai aksioma tambahan ke dalam sistem

aksioma yang telah ada (sistematika dari ZarmeloFraenkel), maka hal ini tidak akan

menyebabkan kontradiksi.


Dikatakan bahwa hipotesa Continum sejalan (konsisten) dalam sistem aksioma teori

Himpunan. Pertanyaan lain adalah apakah ada bilangan kardinal transfinit yang

terbesar?

Tidak ada artinya untuk menyebut himpunan dari semua himpunan, atau bilangan

kardinal yang terbesar, hal ini disebabkan kedua konsep tersebut menimbulkan

kontradiksi. Andaikan himpunan semua himpunan dan kard.( ). Setiap

himpunan dalam adalah unsur dari Sehingga ( ) .

Ini berarti bahwa kard.( ( )) ≤ kard.( ) atau Sedangkan menurut teorema

7.9 < . Jadi < < atau < .

Hal ini suatu kontradiksi.

Demikian juga tidak ada artinya kita menyebut bilangan kardinal terbesar sebab:

Andaikan bilangan terbesar, maka menurut teorema 7.9 < , sehingga

bukanlahl bilangan kardinal yang terbesar. Hal ini tidak ubahnya juga pada himpunan N

semua bilangan asli, di mana tidak ada bilangan asli yang terbesar.

1. Buktikan bahwa selang-selang berikut ekivalen:

a. (0,1] ekivalen [0,1]

b. [0,1] ekivalen [0,1]

2. Jika T adalah himpunan semua bilangan real yang bukan bilangan aljabar

(bilangan transeden) maka buktikan bahwa:

a. T I dengan I himpunan semua bilangan irasional, dan

b. T himpunan tak terbilang.

3. Misalkan A = [0,1] buktikan bahwa A hi mpunan tak terbilang.

4. Misalkan N himpunan semua bilangan asli, buktikan bahwa N x N himpunan

terbilang.

5. Misalkan G = [0,1] dan H = [3,7] buktikanlah bahwa G ekivalen H.

6. Misalkan A, B, dan C himpunan-himpunan yang saling lepas dan kard.(A) = a, kard.(B) =

b, dan kard.(C) = c, buktikanlah.

a. (a + b) + c = a + (b + c)

b . a + b = b + c

c . a b = b a

d . (ab )c = a (b c)

e. a(b+c) = ab ac

7. Yang manakah di antara bilangan-bilangan kardinal berikut yang sama?

Latihan 10


, +n, c, , c+ , 2, c+ +, c .

8. Jika S suatu himpunan tak hingga dan T suatu himpunan terbilang, buktikanlah

kard.(ST) = kard.(S)?

9. Apakah kardinalitas semua himpunan terbilang sama? Bagaimanakah halnya dengan

kardinalitas semua himpunan yang tak terbilang?


DAFTAR PUSTAKA

AN Bahtiar Sjarif, 1990. Pengantar Dasar Matematika. Fakultas MIPA ITB,

Bandung.

Patrick Suppes, 1993. Introduction to Logic. Mac Milian Publishing Co. Inc. New

York,

1993.

Pantur Silaban, 1985. Teori Himpunan. Erlangga, Jakarta.

pengantar dasar matematika (pdm) · pdf filepdm-sugiarto-isti hidayah page 1 bahan ajar...

Documents