segitiga bola

SEGITIGA BOLA

Oleh :

1. Nur Aoliya

2. Karima Afifah

PENGERTIAN DASARILMU UKUR SEGITIGA BOLA

Perpotongan antara sebuah bidang datar dengan

permukaan bola berupa lingkaran.

Apabila bidang datar tersebut melalui pusat bola,

maka lingkarannya disebut lingkaran besar

Apabila bidang datarnya tidak melalui posat bola

maka lingkarannya disebut lingkaran kecil.

Panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut

pada pusat bola yang menghadap busur tersebut.

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

DASAR SEGITIGA BOLA

Dua lingkaran besar pada bola saling membagi dua sama besar

Teorema :

Bukti :

Dari definisi tentang lingkaran besar, maka setiap dua lingkaran besar selalu berpotongan menurut garis lurus yang melalui pusat bola.Garis lurus ini merupakan garis tengah dari kedua lingkaran besar tersebut.Jadi kedua lingkaran membagi dua sama besar.


Sudut antara lingkaran besar sama dengan panjang busur lingkaran besar yang kutubnya adalah titik sudut tersebut

Teorema :

Bukti :

Andaikan P adalah kutub dari

lingkaran AB’A’B.

PC garis singgung pada busur PA.

PD garis singgung pada busur PB

maka OA// PC, OB// PD

Jadi < CPD = <AOB


DASAR SEGIDUA BOLA

Segidua bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh dua lingkaran besar yang ujung-ujungnya berimpit.


Jika sudut A segidua bola maka luas segidua bola

Teorema :

Bukti :

Jika AC busur lingkaran besar yang melalui tengah-tengah dari segidua bola AB’A’CA.

Lingkaran BCB’B terdiri dari 3600 dibagi menjadi 36 bagian yang sama besar, dan terbentuklah segi dua bola yang titik sudutnya A dan A’.

Maka tiap segi dua bola luasnya adalah

Dengan demikian, apabila sudut segi dua bola adalah A maka luas permukaan segidua bola adalah


SEGITIGA BOLA

Segitiga bola adalah bagian dari

permukaan bola yang dibatasi oleh

tiga busur lingkaran besar, yang

masing-masing lebih kecil dari 1800

Definisi :


SEGITIGA SAMPING

Segitiga samping adalah segitiga bola

yang terjadi dengan memperpanjang

dua sisi dari sebuah segi tiga bola

sampai berpotongan.

Definisi :


SEGITIGA KUTUB

Segitiga kutub adalah segitiga bola

yang titik-titik sudutnya merupakan

titik-titik kutub dari sisi-sisi segi tiga

bola semula.

Definisi :


SEGITIGA LAWAN

Panjang sisi-sisi segitiga bola sama dengan panjang sisi-sisi segitiga lawannya.

Teorema :

Bukti :

Karena perpotongan dua buah lingkaran besar saling membagi samapanjang, maka:AC sama dengan A’C’AB sama dengan A’B’BC sama dengan B’C’.Sehingga panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisiA’B’ dan C’.


LUAS SEGITIGA BOLA

Luas daerah dalam segitiga bola sama dengan luas daerah dalamsegitiga lawannya.

Teorema :

Bukti :

Karena panjang sisi-sisi segitiga bola ABC

sama dengan panjang sisi-sisi

A’B’C’ maka luas ABC sama dengan luas

A’B’C’.

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`

SIFAT SUDUT SEGITIGA BOLA

Jumlah tiga buah sudut sebuah segitiga bola lebih besar dari 180º

Teorema :

Bukti :

Luas segitiga bola =

Luas ini adalah positif, maka

Sehingga


Dalam sebuah segitiga bola, jumlah dua sudut dikurangi sudut yang lain kurang dari 180º

Teorema :

Bukti :

Pandang segi tiga samping A’BC.Menurut teorema di atas,A'CB + A'BC + A' > 180 .(180º - C)+ (180º - B)+ A > 180º- C - B + A > ( - 180º )A + B + C < 180º


SIFAT SISI SEGITIGA BOLA

Jumlah sisi sebuah segitiga bola kurang dari 360º

Teorema :

Bukti :

Pandang segitiga kutub berikut ini.


A’B’C’ adalah segitiga kutub dari segitiga bola ABC


Dalam sebuah segitiga bola satu sisi lebih kecil dari jumlah kedua sisi yang lain dan lebih besar dari selisih kedua sisi tersebut.

Teorema :

Bukti :

Pandang segitiga kutub di atas.


KESAMAAN DAN KESEBANGUNAN

Apabila dua segitiga bola semua unsurnya sama berpasang - pasangan, maka kedua segitiga bola tersebut dikatakan sama dan sebangun.

Definisi :


Dua buah segi tiga bola sama dan sebangun apabila dua buah sisidan sudut apitnya sama.

Teorema :

Bukti :

C = F ,BC = EF ,AC = DF


KeduaAndaikan unsur-unsur yang sama terletak dalam urutan yang berlawanan, maka segi tiga bola ABC dapat saling menutup setiga lawan DEF yaitu D’E’F’.Karena unsur-unsur segi tiga bola ABC dan segi tiga bola D’E’F’ terletak pada urutan yang sama.Jadi segitiga bola ABC dan DEF symetris.


Dua buah segitiga bola sama dan sebangun apabila sebuah sisidan dua buah sudut pada sisi tersebut sama.

Teorema :

Bukti :

Apabila kedua segitiga bola tersebut sama, sebuah sisi serta dua buah sudut pada sisi tersebut, maka segi tiga kutubnya sama sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapit sudut tersebut.Menurut teorema 13 kedua segi tiga kutub sama dan sebangun.Jadi kedua segi tiga yang semula sama dan sebangun.


Dalam sebuah segi tiga bola sama kaki maka sudut alasnya sama dan sebangun bila sudut alas segi tiga bola sama, maka merupakan segi tiga bola sama kaki.

Teorema :

Bukti :


Dalam setiap segitiga bola dihadapan sisi yang lebih besar terdapat sudut yang lebih besar pula.

Teorema :

Bukti :


Dalam setiap segitiga bola dihadapan sudut yang lebih besarterletak sisi yang lebih besar pula.

Teorema :

Bukti :

Andaikan dalam segitiga bola ABC dengan A > B.Maka pada segi tiga kutubnya, sisi b’ > a’.Menurut teorema 16, B’ > A’ dan a > b.


RUMUS-RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA


ATURAN COSINUS


Bukti :

Pandang sebuah bola dengan radius satu satuan panjang beserta segi tiga bola ABC pada permukaan, sudut-sudut BOC, AOC dan AOB masing-masing besarnya a, b dan c karena berhadapan dengan sisisisia,b dan c.

Ambil b dan c sudut lancip.Dari A dibuat garis-garis singgung pada busur AC dan AB, yang masing-masing memotong OC di C’ dan OB di B’, menurut rumuscosinus dari segi tiga bidang datar didapat:

SEGITIGA KUTUB ATURAN COSINUS

UNTUK SUDUTDi depan telah dibuktikan bahwa untuk segitiga kutub, berlaku: Andaikan A’B’C’ segitiga kutub dari

segitiga bola ABC, maka segitiga bola ABC adalah segitiga kutub dari A’B’C’.

Sebuah sudut dalam sebuah segi tiga bola merupakan suplemen dari sisi segitiga kutubnya.

Aturan Sinus

sin(a) sin(b) sin(c)sin(A) sin(B) sin(C)atau

sin(A) sin(B) sin(C)sin(a) sin(b) sin(c)

sin(a) (a)sin(b) (b)sin(c) (c)

RUMUS YANG BERHUBUNGAN DENGAN SEGITIGA BOLA

Diperoleh rumus sebagai berikut :

sin A. sin C

diturunkan

A. Salah Satu Sudut Siku-siku

B. Aturan napier

Untuk memudahkan, aturan-aturan di atas, disajikan

dalam suatu aturan yang disusun oleh John Napier.

Aturan tersebut disusun dengan bantuan gambar

berikut.

Segita bola pada

gambar pertama

merupakan segitiga

bola ABC dan siku-

siku pada C

Pengertian dasar:

Bagian-bagian yang diberi tanda strip di atasnya

merupakan sisi miring dan dua sudut yang satu kakinya

menurut sisi miring.

a, b, , A, B disebut circular parts.

Bagian dari circular parts yang sedang menjadi perhatian

disebut middle part.

Dua bagian yang sebelah menyebelah middle part

dinamakan adjacent part.

Dua bagian lainnya yang tidak berdekatan dinamakan

opposite part.

B dab b merupakan adjacent part dari middle part a.

c dan A merupakan opposite part dari middle part a.

DUA ATURAN PENTING

Aturan penting pertama:

Cos A dan cos a harus

bertanda sama, karena sin B

selalu positif.

Hal ini berarti bahwa a dan A

keduanya lancip atau

keduanya tumpul atau dengan

kata lain terletak pada

kuadran yang sama.

Aturan penting kedua:

Aturan tersebut juga

menunjukkan bahwa B

dan b harus terletak

dalam kuadran yang

sama.

TERIMA KASIH

segitiga bola

Education