1

BAB VI. FUNGSI TRANSENDENBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN6.1. FUNGSI LOGARITMA NATURAL (ASLI)

6.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURAL

6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUM

6.5. PENGGUNAAN FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN

6.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

6.7. FUNGSI HIPERBOLIK

6.8. FUNGSI INVERS HIPERBOLIK

6.1. FUNGSI LOGARITMA ASLI

Definisi: Fungsi logaritma asli, dinotasikan dengan f(x) = ln x, didefinisikan sebagai

0 ,ln

1

>= ∫ xt

dtx

x

( ) 0 ,1ln1

>== ∫ xxt

dtdxdx

dxd x

2

Untuk x < 0 maka sehingga0>−= xx

( ) ( )

( ) ( )xxudx

duududx

dxd

dxduxu

xdxdx

dxd

1 1 1 )ln()ln(

1 maka Misalkan

)ln(ln

=−

−=−==−

−=−=

−=

xx

dxd 1ln =∴

cxx

dx+=∫ ln Akibatnya

Sifat-sifat fungsi logaritma asli:

ara

baba

baab

rba

r ln)ln( iv)

lnlnln iii)

lnln)ln( ii)01ln i)

maka ,rasionalbilangan dan ,0,0 Jika

=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

>>

Dengan memeriksa titik potong dengan sumbu koordinat, kemonotonan, kecekungan dan informasi lainnya, sketsalah grafik fungsi lograitma asli

3

6.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

.))(())((bersifat yang )( fungsiadalah dari invers Fungsi ).( fungsi diberikan Misalkan

111 xxffxffxff(x)xf== −−− oo

Contoh: Jika f(x) = 2x, maka sebabxxf 211 )( =−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .22)())((dan

2)())((

21111

21

2111

xxxfxffxff

xxxfxffxff

====

====−−−

−−

o

o

Agar f(x) mempunyai invers, disyaratkan agar f(x) bersifat satu-satu. Untuk memeriksa apakah f(x) bersifat satu-satu dapat dilakukandengan memeriksa apakah f(x) monoton murni. Jadi jika f(x) monoton murni maka f(x) memiliki invers.

Grafik fungsi invers dari f(x) dapat diperoleh dari grafik f(x) denganmencerminkannya terhadap garis y = x.

( ))(

1)( maka

murni,monoton )(dan ,0)( ada, )( Jika

1

xfyf

xfxfxf

′=

′≠′′

−

6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURALxxf ln)( =Karena fungsi logaritma asli monoton naik murni, dan

maka f(x) mempunyai balikan.0)( ≠′ xf

4

Definisi:

.eksponen dibaca ),exp()( maka ln)( Jika 1 xxxfxxf == −

Ingat kembali bahwa 0 ,ln

1

>= ∫ xtdtx

x

Berapakah nilai x agar ln x = 1?

Menurut Euler, x = 2,718281828459045 = e.

Jadi ln e = 1

Sifat-sifat:

bab

a

baba

eee

eee

−

+

=

=

ii)

i)

Turunan fungsi eksponen natural:

xx eedxd

=

r

r

e)exp()exp()lnexp()exp(lne maka Jika

).exp(ln).1exp( Berarti . maka 1 Jika

.ln)exp(

=∴

====

=⇔=

====⇔=

rrereex

yx xyeexy

xyyx

r

rr

.)exp(ln Jadi yeyxxy ==⇔=

5

6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUMDefinisi: Fungsi eksponen umum didefinisikan melalui fungsi

eksponen dan logaritma asli sebagai

0 ,ln >= aea axx

Akibatnya diperoleh: ( ) axea axx lnlnln ln ==

Sifat-sifat fungsi eksponen umum:

( )

x

xx

xxx

xyyx

x-yy

x

yxyx

ba

ba

baabaa

aaa

aaayxba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=

=

=

ℜ∈>>+

v)

)( iv) iii)

ii)

i)maka ,,dan 0,0 Jika

Turunan dan integral fungsi eksponen umum:

ln ln lnln aaeayeay xaxaxx ==′⇒==

Jadi Caa

dxa xx +=∫ ln1

6

ln ln ln

ln

aaeay

eayxax

axx

==′

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>

<<<>

1 jika ,0

10 jika ,0lndan ,0

a

aaax

Jadi y monoton turun bila 0 < a < 1 dan monoton naik bila a > 1.Akibatnya fungsi eksponen umum mempunyai fungsi invers, yang disebut fungsi logaritma terhadap basis a.

Definisi:

.lnlog maka jika Khususnya.log maka 1dan 0 Jika

xxeaaxxyaa

e

ya

==

=⇔=≠>

Hubungan antara fungsi eksponen dan logaritma umum dengan fungsi eksponen dan logaritma asli

.lnlnlnlog Jadi

.lnln atau

lnlnln Akibatnya

. maka log Jika

xcaxx

axy

ayax

axxy

a

y

ya

==

=

==

==

dan ( )( ) .

ln

ln

cx

ax

axx

e

e

ea

=

=

=

Karena dan selalu dapat dinyatakan dalam dan maka semua sifat yang dimiliki oleh dan juga berlaku pada dan

xa log

xa log

xa

xa

xlnxlnxe xe

7

Turunan fungsi logaritma umum:

( ) ( ) .ln11

ln1ln

ln1

lnlnlog

axxax

dxd

aax

dxdx

dxd a ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Contoh-contoh: tentukanlah

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

−

−

−

+

∫

∫∫

)3log( 10) )log( 9)

)9log( 8) 2sin 7)

10 6) 0101 5)

01 4) 5 3)

52 2) 3 1)

2

2

1

2

103

310sin2

1021

0

33

152

254

xxx

x

xxx

x

xx

dxde

dxd

xdxdx

dxd

xdxddx

dxdxx

xdxd

dxd

x

6.5. PENGGUNAAN FUNGSI EKSPONEN

DAN LOGARITMA

Turunan fungsi berpangkat fungsi

Yang sudah dipelajari:

aayay

axyxyxx

xa

ln

1

=′⇒=

=′⇒= −

Pertanyaan: ???=′⇒= yxy x

8

Jawab:

Cara 1:

.ln)1(lny

)(ln)ln( 1lnln

ln

xxxxx

xxexxdxde

dxdy

exy

xxx

xxxxx

xxx

+=+=′

+==

==

Cara 2:

.ln)1(ln)1(ln

1lnyy

)ln(ln

lnlnln

xxxxxxyy

x

xxdxdy

dxd

xxxyxy

xxx

xx

+=+=+=′⇒

+=′

=

==⇒=

Contoh soal:

1) Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (1,1)

xxy sin=

( ) xxyy

ln2 1 bila Tentukan 2) +=′

9

Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial

Contoh 1) Misalkan dari data sensus penduduk tahun 2000 diketahui bahwa jumlah penduduk di suatu daerah adalah 10 juta jiwa, perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2015

Penyelesaian:

Misalkan y = f(t) menyatakan jumlah penduduk pada tahun ke – t, maka kecepatan pertumbuhan penduduk bergantung pada jumlah penduduk saat itu dengan konstanta kecepatan pertumbuhan k. Situasi tersebut dapat dirumuskan sebagai

kydtdy

= dan diketahui 710)2000( ==ty

)2000(7200072000

7

2000

7

72000

101010

10

10)2000(

ln

−−

+

===∴

=⇒

==

===⇒

+=⇒

=⇒= ∫∫

tkkktktk

k

k

ktcktckt

eeee

y

eC

Cey

Ceeeey

ckty

kdty

dykdty

dy

10

Pada tahun 2015 jumlah penduduk adalah

kk eey 157)20002015(7 1010 == −

Biasanya k diberikan. Berdasarkan sejarah, k = 0,019, sehingga pada tahun 2015 jumlah penduduk adalah

.juta 3,1310.33,110 7019,0.157 =≈= ey

Pada tahun berapa jumlah penduduk akan menjadi 2 kali lipat jumlah penduduk tahun 2000?

20362ln2000

2ln)2000(210.210

?10.2)2000(7)2000(7

7

≈+=∴

=−⇒=⇒=

=⇒=−−

kt

tkee

tytktk

Jadi dalam waktu 36 tahun jumlah penduduk telah berlipat dua. Perhatikan bahwa

Tk - ===2ln2000203636

disebut waktu pengganda.

11

Contoh 2) Misalkan jumlah bakteri dalam suatu kultur yang tumbuh dengan cepat kira-kira 10.000 pada tengah hari. Jika dalam waktu 2 jam jumlah bakteri menjadi 40.000, perkirakan banyaknya bakteri dalam kultur tersebut pada pukul 17.00.

Contoh 3) Karbon 14 meluruh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya karbon 14 yang ada. Setengah umurnya adalah 5730. Apabila pada awalnya terdapat 10 gram karbon 14, berapakah zat yang tersisa setelah 2000 tahun?

Menghitung limit berbentuk ∞∞ ∞ 1dan , ,0 0

Contoh: Tentukan nilai limit-limit berikut

( )

xxx

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xex

x

x

)ln(lim 8. lim 7.

sinlim 6. lim 5.

5232lim 4. 531lim 3.

lim 2. lim 1.

0

tan0

sin0

12

2

0

)ln1(2ln

1

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+

+

+

++

+

→∞→

→→

+

∞→∞→

∞→→

12

6.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

xxf sin)( =

Agar fungsi sin x memiliki invers, daerah asalnya dibatasi, yaitu

22 ,sin)( ππ ≤≤−= xxxf

11 ,arcsin sin 1

≤≤−== −

xxxy

13

xxf cos)( =

Agar fungsi cos x memiliki invers, daerah asalnya dibatasi, yaitu

π≤≤= xxxf 0 ,cos)(

xy arccos=