Transcript

BAB VIIPERSAMAANDIFFERENSIAL Banyakmasalahdalamkehidupansehari-hari yangdapat dimodelkandalam persamaan diferensial.Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyele-saikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberi-kan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai persamaan dife-rensial eksak.TIK : Setelah mengikuti materi ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan persamaan differensial yang diberikan.7.1.Pengertian Persamaan DiferensialSecara matematis, persamaandifferensial adalah persamaan yang didalamnya terdapatturunan-turunan.Secarafisis,persamaan differensial adalahpersamaanyang menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas. Banyakpermasalahandalamberbagai bidangteknik, fisikamaupunbidang bidangkehayatan yangdapat dimodelkan ke dalambentuk persamaan diferensial. Berikut diberikanbeberapacontohfenomenadi alamyangdapat dimodelkandalam bentuk persamaan diferensial.Fenomena Persamaan DiferensialPeluruhan zat radioaktifkmdtdm, dengan m = massa zat, t = waktu, dan k adalah konstanta pembandingHukum Newton tentang gerakF m 22dt s d, dengan F gaya,m massa benda, s jarak, dan t = waktu.98Model logistikmenurut Verhulst( )P bP adtdP , dengan P besar populasi, t waktu, dan a, b konstanta.Laju perubahan tekanan uap suatu zatTPkdTdP, dengan P tekanan uap danT suhu.Model ayunan (bandul) sederhana0 sin22 +lgdtd, dengan sudut perpindahan bandul, g konstanta gravitasi, dan l panjang tali bandulBerdasarkan banyaknya variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:1. PersamaanDifferensial Biasa, yaitupersamaandifferensial yangmengandung hanya satu variabel bebasContoh : 1.kxdxdy 2. x y y sin 2 3 + + 3.4. x y y + + 1 2. PersamaanDifferensialParsial, yaitupersamaandifferensial yangmengandung lebih dari satu variabel bebas.Contoh : 1. zyy xxy+ 2. 0 +zyzxxzDefinisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi yang terlibat dalam PD tersebut.Derajat (degree)suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.99Contoh : 1. kxdxdy PD tingkat 1 derajat 12.x y y sin 2 3 + + PD tingkat 2 derajat 13.y y y + 2) ( PD tingkat 2 derajat 24. x y y + + 1PD tingkat 2 derajat 2Definisi:Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satupersa-maan differesialdisebut penyelesaian persamaan differensial.Contoh:Persamaan C x x y + + 2 merupakan selesaian dari PD:3 2 + + x y y sebab 1 2 + x y dan 2 y sehingga3 2 2 ) 1 2 ( + + + + x x y y. Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :a. PenyelesaianUmumPersamaanDifferensial (PUPD),adalahselesaianPD yang masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang).b. Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD), adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas.Contoh :PD 022dx y d ditulis0

,_

dxdydxdsehinggadxdxdyd 0

,_

. Jika kedua ruas diintegralkan, diperolehdxdxdyd

,_

0 sehingga 1Cdxdy.Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi dx C dy1 .Dengan mengintegralkan kembali kedua sisi diperolehPUPD: 2 1C x C y + , dengan C1 dan C2 konstanta sebarang.100JikaPD tersebut memenuhi y 1 untuk x 0 dany 4 untuk x 1 akan diperoleh C1 =3danC2 =1. DiperolehPPPD :y = 3x + 1.7.2. Persamaan Differensial Terpisah Dan MudahDipisahBentuk Umum PD dengan variable terpisah : f(x) dx + g(y) dy = 0Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD:

C dy y g dx x f + ) ( ) (Contoh: Selesaikan PD:1. x3dx + (y +1)dy = 02. ex dx +01+dyeeyyPenyelesaian :1. Dengan mengintegralkan kedua ruas + + C dy y dx x ) 1 (3, diperoleh PUPD : C y x + +2 4) 1 (2141. Bentuk terakhir disajikan pula dengan PUPD : C y x + +2 4) 1 ( 2 .2. Dengan mengintegralkan kedua ruasdx ex +C dyeeyy+1, diperolehdx ex +Cee dyy++1) 1 (sehinggaPUPD :. ) 1 ln( C e ey x + +Bentuk Umum PD dapat dipisah:f(x)g(y) dx + p(x)q(y) dy = 0Penyelesaian PD tersebut adalah membagi kedua ruas dengang(y) p(x), sehingga diperoleh1010) () () () ( + dyy gy qdxx px f Dengan mengintegralkan didapat PUPD:C dyy gy qdxx px f + ) () () () (Contoh : Selesaikan PD :1. 4 y dx + 2x dy = 02. x2(y + 1) dx + y2 (x 1) dy = 0Penyelesaian:1.Membagi kedua ruas dengan xy, diperoleh02 4 + dyydxx. Dengan mengintegralkan kedua ruas 12 4C dyydxx + diperoleh PUPD : 1ln 2 ln 4 C x x + . Bentuk terakhir dapat diubah ke bentukPUPD : C y x ln ln2 4. Selanjutnya dapat pula disederhanakan menjadiPUPD : x4 y2 C.2.Jika kedua ruan dibagi dengan (y + 1).(x 1) PD menjadi01 12 2++dyyydxxx. Kedua ruas diintegralkanC dyyydxxx++ 1 12 2. Untuk memperoleh hasilnya, diubah menjadi C dyyydxxx++ ++ 11 111 12 2. Bentuk ini diubah menjadi C dyyy dxxx ++ ++ + )111 ( )111 (, diperoleh PUPD : C y y x x + + + + + | 1 | ln ) 1 (21| 1 | ln ) 1 (212 2.Untuk selanjutnya penulisan persamaan diferensial dalam bab ini disajikan sebagai :102M(x,y) dx +N(x,y) dy 0.7.3. Persamaan Differensial HomogenUntuk dapat menyelesaikan sebuah persamaan diferensial homogen/non homogen, terlebih dahulu harus difahami pengertian fungsi homogen.Fungsi ) , ( y x f dikatakan homogen berderajat n, jika memenuhi ) , ( ) , ( y x f y x fn , dengan suatu konstanta.Contoh :1. Fungsi2 22 ) , ( y xy x y x f + merupakan fungsi yang homogen berderajat 2, sebab

2 2) ( ) )( ( 2 ) ( ) , ( y y x x y x f + = 2 2 2 2 22 y xy x + =) 2 (2 2 2y xy x + =) , (2y x f 2. Fungsixyyyxx y x f cos sin ) , ( + merupakanfungsi homogenberderajat 1, sebab xyyyxx y x f cos ) ( sin ) ( ) , ( + = xyyyxx cos sin += ) , ( y x f 3. Fungsi xy xy y x f sin ) , ( + bukan fungsi homogen sebab

) )( sin( ) )( ( ) , ( y x y x y x f + =xy xy2 2sin +) , ( y x fn 103Persamaan Differensial0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x Mdikatakan suatuPD homogenjika) , ( y x Mdan) , ( y x Nmasing-masingmerupakanfungsi homogen berderajat sama. Penyelesaian PDhomogendapatdilakukandengansubtitusi : y = v xdanxdv vdx dy +

pada persamaan 0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x M. Dari substitusi ini akan didapatkan PD dengan variabel x dan v yang dapat dipisah, sehingga dapat dicari penyelesaiannya.Contoh : Selesaikan PD0 2 ) (2 3 3 + dy xy dx y x . Penyelesaian : Dapat ditunjukkan bahwa 3 3y x dan 22xymerupakan fungsi-fungsi yang homogen berderajat 3.Misalkan vx y sehingga xdv vdx dy + PD menjadi :0 ) ( 2 ) (2 2 3 3 3 + + xdv vdx x xv dx x v x0 2 ) 2 (4 2 3 3 3 3 3 + + dv x v dx x v x v x 0 2 ) 1 (4 2 3 3 + + dv x v dx v xKedua ruas dibagi 4 3) 1 ( x v + , diperoleh0123243++ dvvvdxxx yang merupakan PDterpisah.Dengan mengintegralkan diperoleh PUPD:A v x ln 1 ln32ln3 + +. Bentuk ini dapat diubah nmenjadi :A v x +3 2 3) 1 (Jadi PUPD : Axyx +3 233) 1 ( , dapat dituliskan sebagai: Ax y x +3 2 3 3) ( .7.4.Persamaan Differensial EksakSuatu persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk :0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x M 104disebut Persamaan Differensial Eksak, jika dan hanya jika : xy x Nyy x M ) , ( ) , (Contoh :Selidikilah apakah persamaan diferensial 0 ) ln 2 (2 + + dy x dx x xymerupakan persamaan eksak Penyelesaian : x xy y x M ln 2 ) , ( + 2) , ( x y x N xyy x M2) , (xxy x N2) , (Karena xxy x Nyy x M2) , ( ) , (, makaPD tersebut Eksak.Penyelesaian Persamaan Diferensial EksakPandangPersamaanC y x F ) , (, denganCkonstantasebarang. Differensial total dari ruas kiri adalahd) , ( y x F yaitu : dyyy x Fdxx y x Fy x dF+) , ( ) , () , ( Karena diferensial ruas kanan adalahdC = 0, diperoleh 0) , ( ) , (+dyyy x Fdxxy x F Jika bentuk di atas dianalogkan dengan 0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x M , diperoleh :) , () , (y x Mx y x Fdan ) , () , (y x Nyy x FsehinggaPUPD Eksak :0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x MberbentukC y x F ) , (. Akibatnya, penyelesaian PD eksak tersebut dapat diperoleh dari kedua bentuk di atas, yaitu :a.) , () , (y x Mx y x F105Jika kedua ruas diintegralkan terhadap x, maka+ xy g dx y x M y x F ) ( ) , ( ) , ( (Catatan : xmenyatakan bahwa dalam integral tersebut, y dipandang sebagai kon-stanta, dan g(y)adalah konstanta sebarang hasil pengintegralan yang harus dicari). Untuk mencari g(y), bentuk F(x,y) di atas didiferensialkan ke-y, yaitu :dyy dgdx y x My yy x Fx) () , () , (+1]1

atau ) ( ' ) , () , (y g dx y x My yy x Fx+1]1

Karena) , () , (y x Nyy x F, maka) , ( ) ( ' ) , ( y x N y g dx y x Myx +1]1

sehingga1]1

xdx y x Myy x N y g ) , ( ) , ( ) ( Karena) ( ') (y gdyy dgmerupakanfungsiysaja, maka denganpengintegralan terhadap y akan diperoleh ) ( y g. b. Cara lain untuk mencari penyelesaian persamaan (1) adalah dengan mengambil) , () , (y x Nyy x F sehingga + yx g dy y x N y x F ) ( ) , ( ) , ( Bentuk di atas dideferensialkan terhadap x untuk mendapatkan g(x), yaitu106 dxx dgdy y x Nx xy x Fy) () , () , (+11]1

atau) ( ) , () , (x g dy y x Nx xy x Fy +11]1

Karena) , () , (y x Mx y x F, maka11]1

ydy y x Nxy x M x g ) , ( ) , ( ) ( Karena g(x)adalah fungsixsaja, maka dengan mengintegralkan terhadap xakan dapat diperoleh g(x).Contoh : Selesaikan PD :0 ) ( ) ( + + dy y x dx y xPenyelesaian : Terlebih dahulu akan diuji apakah PD diatas Eksak/bukan.y x y x M + ) , ( y x y x N ) , (1 yM1 xNKarena1 xNyM, maka PD diatas Eksak. Salah satu cara berikut dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian PD tersebut.a. Jika diambil y x y x Mx y x F+ ) , () , (,maka + + xy g dx y x y x F ) ( ) ( ) , ( ) (212y g xy x + + ) ( ') , (y g xyy x F+ Karena y x y x Nyy x F ) , () , (, makay x y g x + ) ( ' y y g ) ( '107

221) ( y dy y y g Jadi PUPD : C y xy x +2 22121, dapat pula ditulis K y xy x +2 22 .b.Jika diambily x y x Nyy x F ) , () , (, maka+ yx g dy y x y x F ) ( ) ( ) , ( ) (212x g y xy + ) () , (x g yx y x F + Karena y x y x Mx y x F+ ) , () , (, makay x x g y + + ) ( x x g ) (

221) ( x dx x x g Jadi PUPD : C x y xy + 2 22121, dapat pula ditulis K y xy x +2 22 .7.5.Aplikasi PD Dalam Bidang KehayatanBerikut diberikan beberapa contoh kasus yang melibatkan model persamaan diferensial.1. Masalah peluruhan zat radioaktifZat radioaktif meluruh dengan memancarkan radiasi secara spontan. Jikam(t) adalahmassazat yangtersisapadasaatt,m0adalahmassaawal zat, makalaju peluruhan relative terhadap massanya bernilai konstan, yaitu

,/kmdt dmdengan kkonstanta. 108Olehkarenaitulajuperubahanmassazatmterhadapwaktutdapat dinyatakan dengankmdtdmPersamaan diferensial ini dapat dituliskan pula sebagai :dt kmdmDengan pengintegralan diperoleh : C kt m + ln .Pada saat awal (t 0) massa zat adalahm0, sehinggaC m 0ln. Jika disubstitusikan pada hasil pengintegralan diperoleh0ln ln m t k m + Yang dapat ditulis dalam bentuk : kte m m0 .Para ahli fisika menyatakan laju peluruhan dalam waktu paruh, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh zat untuk meluruh sampai separonya.2. Bunga majemuk kontinu.Misalkan modal $ 1000 ditabung dengan bunga 6 %, dihitung pertahun. setelah 1 tahun tabungannya bernilai $ 1000 (1,06) = $ 1060, setelah 2 tahun bernilai $ (1000 (1,06)) 1,06 = $ 1123,60, dan setelah t tahun bernilai $ 1000 (1,06)t. Secara umum, jika modal sebesar A0 ditabung dengan bunga r, maka setelah t tahun bernilai: A0(1 + r)t. Namun demikian, biasanya, bunga dihitung lebih sering, katakanlahnkali pertahun (misalkan bunga harian, maka dihitung 365 kali pertahun). Pada kasus ini, dalamsetiapperiodeperhitungan bunga, bunganya adalahr / n dan terdapatnt 109periode perhitungan bunga dalam ttahun, sehingga nilai tabungan setelah ttahun adalah A(t) = A0 t nnr

,_

+ 1Dapat dilihat bahwabungayangdibayarkansemakinmembesar bilabanyaknya periode perhitungan bunga (n) bertambah. Jika n (n mendekati tak berhingga), maka nilai tabungan akan menjadiA(t) = t nnnrA

,_

+1 lim0= t rr nnnrA11]1

,_

+/01 lim = A0 rtr nnnr11]1

,_

+ /1 lim = A0 ertJika persamaan tersebut diturunkan terhadap t, diperoleh) () (0t A r e rAdtt dArt yang menunjukkan bahwa dengan bunga majemuk kontinu, laju pertambahan tabungan sebanding dengan nilai tabungannya.3. Model pertumbuhan logistik.Suatu populasi meningkat secara eksponensial pada mulanya, yaitu ketika kondisi lingkungan masih mendukung perkembangan populasi tersebut. Selanjutnya pertu-mbuhanpopulasitersebutmelambatpadaakhirnya danmendekatikapasitas daya tampungnyakarenasumberdayaalamyangterbatas. JikaP(t)menyatakanbesar populasi pada saat t, dapat diasumsikan bahwa110kPdtdP, jika P kecilPersamaan tersebut mengisyaratkan bahwa laju pertumbuhan populasi pada awalnya hampir sebanding dengan besar populasi. Dalam perkataan lain, laju pertumbuhan relatifnya hampir konstan, jika populasi kecil. Akan tetapi kita juga ingin mengungkapkan fakta bahwa laju pertumbuhan relatifnya menurun bila populasiP meningkat dan bernilai negatif bila Pmelampauikapasitas tampung(K). Bentuk palingsederhanauntuklajupertumbuhan relatif yang mengakomodasiasumsiini adalah

,_

KPkdtdPP11, dengan P(0) = P0menyatakan besar populasi awal dan k konstanta pembandingPersamaan tersebut dapat dituliskan sebagai

,_

KPkPdtdP1, dengan P(0) = P0Model pertumbuhan populasi tersebut dikenal sebagaimodel pertumbuhan logistik. Untuk menentukan penyelesaian PD tersebut diubah ke bentukdt k dPP KKP.1atauditulis pula dt k dPP K P+ )1 1(Jika kedua ruas diintegralkan akan diperoleh 1) ln( C t kP K P+ , disajikan pula sebagai t ke CP K P. Jika pada saatt 0 besarnyaP(0) =P0, diperoleh00P K PCsehingga penyelesaian persamaan diferensial logistik tersebut adalah :1111 1) (1++ t k t kt ke CKe Ce C Kt PAtau dapat disajikan sebagait kAeKt P+1) (, dengan 00 1P P KC A .4. Perbandingan pertumbuhan alami dan logistikPada tahun 1930an ahli biologi G.F. Gause melakukan percobaan dengan protozoa Parameciumdanmenggunakanpersamaanlogistikuntukmemodelkandatayang dihasilkannya. Tabel berikut menunjukkan hasil perhitungan harian untuk populasi protozoa. Dia menaksir laju pertumbuhan relatif awalnya sebesar 0,7944 dan kapasitas tampungnya sebesar 64.T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16P 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57T = waktu (hari), P besar populasi Model pertumbuhan logistik populasi protozoa tersebut adalah :

,_

641 7944 , 0PPdtdP, dengan P(0) = 2Penyelesaian persamaan diferensial tersebut adalah :P(t) = te7944 , 031 164+Banyaknya populasi protozoa berdasarkan model (dibulatkan hingga bilangan bulat terdekat) dapat dibandingkanpopulasi protozoayangteramati, disajikanpada tabel berikut.T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16P mo 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57112ma 2 4 9 17 28 40 51 57 61 62 63 64 64 64 64 64 64T = waktu (hari), P besar populasi , mo = hasil perhitungan (model), ma = hasil pengamatanDari table tertlihat bahwa untuk t 5, model logistik mendekati hasil pengamatan.Latihan 7.Selesaikan PD berikut (no 1 12).1131.02+ dyy yxdx2. ( ) 0 13 + dy e ydxx3. x xy y x + + ' ) 1 (24.ye y x + + 2 1 ) 1 (5. 0 ) 2 ( ) 3 (4 3 2 3 2 + + dy y x y x dx xy y x6.0 2 1 2 2 1

,_

+

,_

+ dyyxe dx eyxyx7.02 2 2 2

,_

+ + + dy y x x x dx y x y8. ( x+2y)dx + (2x + y)dy = 09.10.xye yx y+ /11. ( ) xy y y x +2 2 yang memenuhi y 1 untuk x 1.12.222xyxyy + 13.022+ y xy xy13. Manakah yang merupakan PD Eksak ?a. 0 ) ln(2 2 2 2 + + + + dy y x x y dx y xb.0 ) ( ) ( + + dy y x dx y xc. 0 ) 1 3 ( ) 3 2 (3 + + + dy y x dx y xd. 0 ) 3 ( ) 2 4 (2 2 4 3 3 + dy x y x dx xy y xe. 0 ) 2 3 (3 3 + dy e dx x y ex xf.0 ) sin (sin ) cos (cos + + dy y x x dx x y yg. 0 ) 1 ( 22 2 + dy e dx ye xx x114Selesaikan PD di bawah ini (no 14 18)0 ) 3 8 ( ) 1 ( 33 2 + + dy x y x dx x y0 ) 3 2 ( ) 4 (2 3 2 + + dy y ye dx x e yx x yang memenuhi y 2 untuk x 0.0 ) 1 sin ( ) cos sin ( + + + dy x x dx x xy x yxyxyxe yyey+ 220 ) 2 cos ( ) sin ( + + dy y y x dx y xSelesaikan PD pada no. 13 yang merupakan PD Eksak.20. Suatularutanglukosadisalurkankedalamaliran darah dengan laju konstan r. Pada saat glukosa ditambahkan, glukosa tersebut diubah menjadi zat lain dan dibuang dari aliran darah dengan laju sebanding dengankonsentrasinyapadasaat itu. Jadi, model untukkonsentrasi larutan glukosa C = C(t) dalam aliran darah adalah :kC rdtdC , dengan k konstanta positif.a. Misalkan konsentrasi pada saatt= 0 adalahC0, tentukan konsentrasi padawaktutdenganmenyelesaikanpersamaandiferensial tersebut di atas.b. Dengan asumsiC0


Top Related