bab iii - wordpress.com · web viewmetode persamaan differensial clairut adalah dengan cara...

BAB IVPERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TINGGI

4.1 Bentuk Umum

Persamaan tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang

ditulis dalam bentuk:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Sehingga dalam bentuk yang paling sederhana persamaan differensial

tingkat satu derajat satu secara eksplisit dinyatakan dengan f(x,y, ) =

0. Secara lengkap telah dibahas pada bab II. Dengan memisalkan p =

maka bentuk umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu

dapat dinyatakan secara implisit f(x,y,p) = 0. Jika p berpangkat lebih

dari satu maka persamaannya dinamakan persamaan differensial

tingkat satu derajat tinggi atau persamaan tingkat satu derajat n.

Bentuk umum persamaan differensial tingkat satu derajat-n)

dinyatakan dengan:

P (dxdy ) +P (x,y)( ) + P (x,y)( ) + ... + P (x,y)( ) + P (x,y) =

0

Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 86

dengan memisalkan p = , maka bentuk di atas dapat dinyatakan

dengan

P p + P (x,y)p + P (x,y)p + ... + P (x,y)p + P (x,y) =

0

atau secara implisit dinyatakan

f(x,y,p ,p , ... ,p ) = 0

Contoh:

1. ( ) - (x+2y+1)( ) + (x+2y+2xy)( ) - 2xy( ) = 0 (1-4)

p - (x+2y+1)p + (x+2y+2xy)p - 2xyp = 0

2. (xy)( ) + (x + xy + y )( ) +(x + xy) = 0 (1-2)

(xy)p + (x + xy + y )p + (x + xy) = 0

3. (x + x)( ) + (x + x – 2xy –y)( ) + (y - xy) = 0 (1-2)

(x + x)p + (x + x – 2xy –y)p + (y - xy) = 0

4. y = 2 + x ( ) (1-4)

y = 2p + x p

Persamaan tingkat satu derajat tinggi pada contoh di atas dapat

ditentukan derajatnya. Persamaan pada contoh 1 dan 4 berderajat

empat sedangkan contoh 2 dan 3 berderajat 2. Setelah ditentukan


derajatnya, akhirnya dapat ditentukan selesaian umum persamaan

differensial tingkat satu derajat tinggi yang diketahui.

4.2 Selesaian Umum Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi

Persamaan differensial tingkat satu derajat tinggi yang dinyatakan

dalam bentuk f(x,y,p ,p , ... ,p ) = 0, selanjutnya dapat ditentukan

selesaian umumnya setelah bentuk umum di atas dinyatakan dalam

pemfaktoran yang paling sederhana. Bentuk pemfaktoran tersebut

meliputi 1) Cara faktorisasi (persamaan diselesaikan ke bentuk p = ),

2) persamaan diselesaikan ke bentuk y = f(x,p), 3) persamaan

diselesaikan ke bentuk x = f(y,p) dan 4) metode persamaan differensial

Clairut.

1. Persamaan yang dapat diselesaikan ke p =

Metode ini dilakukan dengan memandang bentuk persamaan

differensial linear tingkat derajat tinggi

p + P (x,y)p + P (x,y)p + ... + P (x,y)p + P (x,y) = 0

ruas kiri sebagai polinomial dalam p. Karena polinomial maka dapat

diselesaikan ke dalam n faktor real yaitu berbeda.

P (x,y)p + P (x,y)p + P (x,y)p + ... + P (x,y)p + P (x,y) = 0

(p-F )(p-F )(p-F ) ... (p-F ) = 0

dimana F adalah fungsi dengan variabel x dan y.

Dari bentuk di atas diperoleh


(p-F ) = 0, (p-F )= 0, (p-F ) = 0, ... (p- F ) = 0

p = F (x,y) , p = F (x,y), p = F (x,y) ... p = F (x,y)

= F (x,y) , = F (x,y), = F (x,y) ... = F (x,y)

f (x,y,C), f (x,y,C), f (x,y,C), ....,f (x,y,C) = 0

Sehingga selesaian umum persamaan differensial linear

p + P (x,y)p + P (x,y)p + ... + P (x,y)p + P (x,y) = 0

adalah

f (x,y,C). f (x,y,C). f (x,y,C). ....f (x,y,C) = 0

Setiap selesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk yang

bervariasi sebelum digabungkan dalam perkalian.

Perhatikan contoh-contoh dibawah ini

Selesaikan persamaan differensial dibawah ini

1. ( ) - (x+2y+1)( ) + (x+2y+2xy)( ) - 2xy( ) = 0

Jawab

Nyatakan persamaan dalam bentuk polinomila p, didapat

p - (x+2y+1)p + (x+2y+2xy)p - 2xyp = 0

p(p-1)(p-x)(p-2y) = 0

p = 0 atau p = 1, p = x atau p = 2y

= 0 atau = 1 atau = x atau = 2y

Masing-masing adalah persamaan differensial tingkat satu variabel

terpisah dan


Selesaiannya (y-C) = 0, (y-x-C) = 0, (2y-x -C), (y-Ce ) = 0

Sehingga selesaian umumnya

(y-C) = 0, (y-x-C) = 0, (2y-x -C), (y-Ce ) = 0

atau dapat dinyatakan dengan

(y-C)(y-x-C)(2y-x -C)(y-Ce ) = 0

2. (xy)( ) + (x + xy + y )( ) + (x + xy) = 0

(xy)p + (x + xy + y )p + (x + xy) = 0

(xp + x +y)(yp+x) = 0

Persamaan di atas dapat diselesaikan, dengan cara

1) (xp+x+y) = 0

x + x + y = 0

x + y = - x

dxdy

+ = -1 (persamaan differensial linear)

Selesaiannya adalah ye = dx

yx = -½ x + C atau 2xy + x + C = 0

2) (yp + x ) = 0

+ x = 0 (persamaan variabel terpisah)

y dy + x dx = 0

Selesaiannya y + x - C = 0


Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh primitifnya

(2xy + x + C )( y + x - C ) = 0

3. (x + x)p + (x + x – 2xy –y)p +(y - xy) = 0

Jawab

Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial, dan

diperoleh:

{(x+1)p-y}{xp+x-y} = 0

(x+1)p – y = 0 atau (xp + x – y = 0)

Persamaan di atas, diselesaikan masing-masing

1) (x+1)p – y = 0

(x+1) - y = 0 (persamaan variabel terpisah)

- = 0

Selesaiannya y – C(x+1) = 0

2) xp + x – y = 0

x - y = - x

- = -1 (persamaan linear)

Selesaiannya ye = dx

Diperoleh y + x ln Cx = 0

Dari 1) dan 2) diperoleh primitifnya

{y – C(x+1)}{y + x Ln x} = 0


2. Persamaan yang Dapat Diselesaikan ke y = f(x,p)

Persamaan p + P (x,y)p + P (x,y)p + ... + P (x,y)p + P

(x,y) = 0

diubah dalam bentuk y = f(x,p).

Turunkan y = f(x,p) terhadap variabel x didapat

= +

p = +

F(x,p, ) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu)

Diperoleh primitif (x,p,C) = 0

Untuk mendapatkan primitif dilakukan dengan mengeliminasikan

p diantara y = f(x,p) dan (x,p,C) = 0, apabila mungkin, atau nyatakan

x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p.

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan

1. 16x + 2p y - p x = 0 (PD Linear tingkat satu derajat tiga)

Jawab

16x + 2p y - p x = 0

2y =

2y = px – 16


Dengan menurunkan persaman terhadap variabel x diperoleh

2 = (p+xdxdp ) – 16 ( )

2p = (p + xdxdp ) – +

= (p +x ) – (32xp-32x )

p(p +32x) – x(p +32x) = 0

(p (p-x ) = 0

Persamaan ini dipenuhi jika (p = 0 atau (p-x ) = 0

Dari bentuk (p-x ) = 0 diperoleh = dan p = Kx, K

Substitusikan p = Kx ke persamaan 16x + 2p y - p x = 0

diperoleh

16x + 2(Kx) y – (Kx) x = 0 atau 2 +C y - C x = 0

Dengan mengganti K = 2C.

Faktor (p = 0 tidak diperhatikan, karena tidak memuat

turunan .

2. y = 2px + p x

Jawab

Dengan menurunkan persamaan terhadap variabel x, diperoleh

= 2(p + x ) + (2xp + 4x )


p = 2(p + x ) + (2xp + 4x )

(p + 2x ) + (2xp + 4x ) = 0

(p + 2x )(1 + 2p x) = 0

Faktor(1 + 2p x) = 0, diabaikan seperti contoh 1 di atas, dari

persamaan

(p + 2x ) = 0 diperoleh selesaian xp = C.

Pada bentuk parameter diperoleh = , y = C . Hubungan

yang terakhir didapat setelah = disubstitusi ke persamaan y

= 2px + p x .

3. x = yp + p

Jawab

x = yp + p

y = - p

Dengan menurunkan terhadap peubah x, diperoleh

= -

p - p + (x + p ) = 0


+ = - (persamaan differensial linear)

Selesaiannya xe = e dx

Diperoleh

= = - ln(p + ) + C

4. y = (2+p)x + p

Jawab

Turunkan persamaan terhadap x diperoleh

= 2 + p + (x +2p)

+ ½ x = -p (persamaan differensial linear)

Selesaianya xe = e dx

xe = - dp = -2pe + 4e + C

Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh

x = 2(2-p) + Ce + C, y = 8-p + (2+p)Ce .

3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x = f(y,p)

Persamaan p + P (x,y)p + P (x,y)p + ... + P (x,y)p + P

(x,y) = 0

diubah dalam bentuk x = f(y,p). Turunkan x = f(y,p) terhadap variabel y

didapat


= +

= +

F(y,p, ) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu)

selesaian = F(y,p, ) untuk memperoleh primitif (y,p,C) = 0

Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan

mengeliminasikan p diantara x = f(y,p) dan (y,p,C) = 0 apabila

mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi

parameter p.

Contoh

Tentukan selaian umum persamaan

1. p - 2xyp + 4y = 0

Jawab

Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh

2x = +

Dengan menurunkan persamaan terhadap y diperoleh

2 = - + 4( - )

(p-2y )(2y - p ) = 0


Integrasikan (p-2y ) = 0 dan elimasikan di antara p = Ky dan

persamaan differensial asal, diperoleh 16y = K(K-2x) dengan

mengambil K = 2C.

2. 4x = py(p -3)

Jawab.

Turunkan persamaan terhadap y diperoleh

4 = p(p -3) + 3y(p -1)

= p(p -3) + 3y(p -1)

+ = 0 (PD variabel terpisah)

Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh

Ln y + ln (p+2) + Ln (p-2) + Ln (p +1) = Ln C

Maka y =

Substitusikan ke persamaan semula didapat

x =

4. Persamaan Differensial Clairut

Metode persamaan differensial Clairut adalah dengan cara

mengubah persamaan semula menjadi bentuk y = px + f(p). Bentuk ini


dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian

y = Cx + f(C) yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan

mengganti p dengan C pada persamaan yang diketahui.

Contoh

Tentukan selesaikan persamaan Clairut

1. y = px +

Jawab

Selesaian umumnya adalah y = Cx +

2. (y-px) = 1 + p

Jawab

(y-px) = 1 + p

y = px

Selesaian umumnya (y – Cx - )(y – Cx + ) = 0

(y-Cx) = 1 + C

3. y = 3px + 6y p

Jawab

Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut.

Kalikan persamaan dengan y diperoleh y = 3y px + 6y p

Gunakan transformasi v = maka = 3y , sehingga

y = 3y px + 6y p

v = x + ( )


Selesaian umumnya

v = Kx + K 2

y = Kx + K 2

y = 3Cx + 6C 2

Soal-soal

Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini

1. x p + xyp – 6y = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)

(xp + 3y)(xp – 2y) =0

xp + 3y = 0 atau xp – 2y = 0

atau x

atau

atau

ln y + ln x atau ln y – ln x = C

atau y = cx

Primitif (y-cx

2. xp + (y-1-x )p – x(y-1) = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)

(xp +(y-1))(p - x) = 0

xp + y = 1 atau p – x = 0

3. xp - 2yp + 4x = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)


2y =

= xp + 4

Diturunkan secara total terhadap variabel x, diperoleh:

2 = (p + x + 4 ( )

= (p +xp

(x 4-p = 0

Diperoleh p = Kx

Karena xp - 2yp + 4x = 0, maka

x(Kx) - 2y(Kx) + 4x = 0

4. 3xp - xp – y = 0 (PD tingkat-1 derajat-4)

5. 8yp - 2 xp + y = 0

6. y p + 3px – y = 0

7. p - xp + y = 0


8. 10y p - 4xp + y = 0

9. xp - yp + (x +1)p - 2xyp + (x + y )p – y = 0

10. xp - yp – y = 0

11. p - xp – y = 0

12. y = (1+p)x + p

13. y = 2p +

14. yp - xp + 3y = 0.


bab iii - wordpress.com · web viewmetode persamaan differensial clairut adalah dengan cara...

Documents