fungsi kompleks -

Upload: -aeiren-luvtd-dzekare-

Post on 01-Jun-2018

250 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    1/50

    FUNGSI KOMPLEKS

    Oleh:• Eka Anjarwati• Desy Qoraima Putri• Zulva Nurhayati

    KELOMPOK 1

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    2/50

    PENGERTIAN !NG"I #O$P%E#"

    $eru&akan 'un(si )ari varia*el kom&leks yan(men((am*un(kan antara 'un(si+*ilan(an real )an imajiner,$isalkan a)alah se*uah 'un(si kom&leks )en(an - maka

    Den(an )an meru&akan 'un(si.'un(s riil )alam *i)an(kom&leks,

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    3/50

    0ontoh:

    • 1uktikan *ahwa setia& 'un(si kom&leks )a&at )ituliskan )alam*entuk se&erti &a)a &ers,2 )en(an

    • 3awa*:

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    4/50

    !NG"I #O$P%E#" ANA%ITI#

    • Di4erensiasi se*uah 'un(si kom&leks )inytakan )en(an :

    • Pa)a )aerah yan( men(an)un( titik , 1erkaitan )en(an'un(si w yan( ter)iri )ari 'un(si real )an imajiner- s&erti :

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    5/50

    3ika memiliki turunan + limit tun((al )i titik - karena )an maka

    turunan terha)a& 'un(si f )i &eroleh :

    3ika kita am*il - )en(an memilih sehin((a - maka &anjan( sum*ux sejajar akan )i&eroleh :

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    6/50

    3ika kita men(am*il sehin((a - maka se&anjan( sum*u ysejajar akan )i&eroleh :

    $aka untuk ke)ua kea)aan 5 )an 55 - akan )i )a&atkan :

    1entuk :

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    7/50

    0ontoh• 1uktikan *ahwa 'un(si kom&leks )i *awah ini meru&akan 'un(si

    analitik )en(an• 3awa*:• U(x,y)

    1ukti 'un(si analitik

    6

    AN

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    8/50

    %ATI7AN "OA%

    2, Tentukan *ilan(an riil )ari 'un(si kom&leks )antentukan &ula a&akah 'un(si terse*ut termasuk 'un(sianalitik8

    9, Tentukan *ilan(an riil )ari 'un(si kom&leks )antentukan &ula a&akah 'un(si terse*ut termasuk 'un(sianalitik8

    , Tentukan *ilan(an riil )ari 'un(si kom&leks )antentukan &ula a&akah 'un(si terse*ut termasuk 'un(sianalitik8

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    9/50

    3A;A1AN %ATI7AN "OA%

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    10/50

    1ukti 'un(si analitik

    6Terbukti fungsi analitik

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    11/50

    +10 U(x,y)

    1ukti 'un(si analitik

    6Terbukti fungsi analitik

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    12/50

    1ukti 'un(si analitik

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    13/50

    !NG"I 7AR$ONI#

    • $isalkan a)alah nalitik )an semua turunan u )an v)i4erensia*el- maka jika )i4erensiasikan sekali la(i&ersamaan Chaucy-Rienmann terha)a&a x akan)i&eroleh :

    • "e)an(kan jika kita )i4erensiasikan terha)a& y -)i&eroleh :

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    14/50

    !ntuk menjamin kekontinuan )an - maka )en(an menjumlahkan

    ke)ua &ersamaan )i&eroleh :

    )an

    Den(an )emikian 'un(si u )an v memenuhi &ersamaan La

    3a)i : jika analitik )an memenuhi &ersamaan Laplace ma

    &ersamaan terse*ut a)alah Harmonic ,

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    15/50

    0ontoh

    2, Tunjukkan *ahwa 'un(si termasuk 'un(si harmonik 3awa*:$isal maka

    1ahwa turunan ke)ua v terha)a& x )an y ada )an kontinue TERBUKTI U HARMONIK

    2

    2

    2

    2

    =∂∂+

    ∂∂

    yv

    xv

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    16/50

    %ATI7AN "OA%

    2, Tunjukan *ahwa 'un(si meru&akan 'un(si harmonik=9, Diketahui se*uah 'un(si

    Tentukan nilai - a(ar 'un(si terse*ut meru&akan 'un(siharmonik,

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    17/50

    3A;A1AN %ATI7AN "OA%

    2, $isal

    1ahwa turunan ke)ua v terha)a& x )an y ada )an kont TERBUKTI U HARMONIK

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    18/50

    9, $isal

    a(ar menja)i 'un(si analitik

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    19/50

    Integral kontur

    Berbeda dengan defnisi integraluntuk ungsi riil yang batasbatasnya !eru"akan bilanganriil# di!ana keduanya beradadala! satu garis bilangan# !akauntuk integrasi ungsi ko!"leks

    batas batas tersebut beradadala! bidang ko!"leks yang$ara !eng%ubungkannya adatak ber%ingga bua%

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    20/50

    "e>ara nai' )a&at )i)u(a *ahwa konturlintasan inte(rasi yan( *er*e)a se>ara

    umum mem*uat inte(ral 'un(si f ? z @

    yan( analitik &a)a lintasan terse*ut*er*e)a &ula, !ntuk mem*uktikannyatinjau *entuk inte(ral tertutu& *erikut

    Pers, 2

    66

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    21/50

    Dimana 0 meru&akan kontur se*aran(lintasan tertutu& )en(an , "elanjutnya

    )en(an men((unakan Teorema Green &a)a*i)an( yan( telah )i*ahas- tinjau *a(ian riil

    ruas kanan *aris ke)ua &ersamaan :

    Pers, 9

    ) )y

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    22/50

    1er)asarkan kon)isi0au>hy.Riemann )a&at

    )en(an mu)ah )i*uktikan

    *ahwa ruas kanan inte(ral?9@ *erhar(a nol, $elalui>ara yan( &ersis sama)a&at )i*uktikan &ula

    *ahwa *a(ian imajiner ruaskanan ?2@ *aris ke)ua

    &ersamaan ju(a memenuhikon)isi:

    Karena C adalahlintasan dengan

    kontur tertutup dan

    isalkan f(z) analiada didala n!a" aka#

    Teorema 0au>hy .Goursat

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    23/50

    CONTOH SOAL

    Terdapat fungsi u=3x+y danv=3y-x dengan batas seperti

    pada gambar di bawah.Buktikan apakah sesuai

    dengan teorema Cauchy

    9

    2

    y

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    24/50

    !A"AB

    6 B

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    25/50

    Integral

    &au$%y

    NO"

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    26/50

    Tin$aufungsi dan

    ga bar#

    )en(an

    "ehin((a

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    27/50

    CONTOH SOAL

    7itun(lah )alam *i)an(kom&leks se&anjan( lintasan

    yan( )i tunjukkan &a)a(am*ar )i *awah ini 8

    2

    y dz z C ∫ )( 2

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    28/50

    !A"AB

    2)( z z f =

    xyi y x

    yixy x

    iy x

    2

    2

    )(

    22

    22

    2

    +−=

    −+=

    +=

    ∫ =C

    dz z f 0)(

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    29/50

    real i a$iner

    ∫ =C

    dz z f 0)(

    ))(2( 22

    idydx xyi y xC

    ++−∫ ∫ −−++−C

    xydydyiydyixixydxdx ydx x 22 2222

    ∫ ∫ −−++−1

    0

    222

    0

    22 )2()2( dy xyiyixdxixy y x

    1

    0

    2322

    0

    222

    31

    31 −−++− xy y y x yix xy x

    −−++− xiix yi y 31

    4238

    22

    −++−−31

    4238 22 i yiix x y

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    30/50

    LAT#HAN SOAL

    '( )erda"at ungsi dandengan batas se"erti "ada ga!bar di

    ba*a%( )entukan a"aka% sesuai denganteore!a &au$%y+

    9

    2

    y

    $. Hitung % &ika ,

    22 y xu −= 22 xyv =

    ∫ −C z dz

    )3( 2|2:| =− z C

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    31/50

    '. Hitung(ah da(am bidangkomp(eks sepan&ang (intasan yang di

    tun&ukkan pada gambar)

    .2 2B

    .2 2

    dz z C ∫ − )1( 2

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    32/50

    !A"ABAN

    2 dxdydydv

    dxdu

    udyvdxC A

    )()( −=+∫ ∫∫

    ( ) ( ) dxdydy xyd

    dx y xd

    dy y xdx xyC

    ))2()(

    (221

    0

    2

    0

    22222 −+=−+∫ ∫ ∫

    ( )∫ ∫ −=1

    0

    2

    0

    42 dxdy xy x

    [ ] dy y x x2

    0

    1

    0

    22 2∫ −=[ ]dy y∫ −=

    1

    0

    84

    [ ]10244 y y −= 044 =−=

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    33/50

    9 ti)ak analitik )i yan( *era)a )i )alaminterior 0, Di*uat lintasan tertutu& )i )alam 0

    *er&usat )i Caitu , Di&eroleh - )an

    $enurut Teorema 0au>hy Goursat yan()i&erluas-

    31

    )( −=

    z z f 3= z

    1C 3= z

    21

    3:1 =− z C π 20 ≤≤ t t ie z

    21

    3 += dz 21=

    ∫ ∫ −=−C C z dz

    z dz

    1 )3()3(

    ∫ = π 2

    021

    21

    t i

    t i

    edt ei

    ∫ = π 2

    0dt i

    iπ 2=

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    34/50

    1)( 2 −= z z f

    xyi y x

    yixy x

    iy x

    21

    12

    1)(

    22

    22

    2

    +−−=−−+=

    −+=

    ∫ C

    dz z f )(

    ))(21( 22

    idydx xyi y xC

    ++−−

    ∫ ∫ −+−−−−+C

    xy xydxiidydxdyiydx ydyixdx x 222222

    ( ) ( ∫ ∫ −−−++−−C C

    xyiiyixdx xyi y x 221 2222

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    35/50

    real i a$iner

    2321

    1

    223

    31

    31 −−−++−−

    − xyiy yi yix yix x xy x

    −−−+ −− xiiix y 31

    2232 22

    −−+

    +−−− iiix y x

    31

    32

    22 22

    −+ −−− 34342 22 iix y x

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    36/50

    Deret laurent

    1a(aimana &en)eretannya *ila f(z) 'un(si meromor k yan((a(al analitik )i se*uah kutu* z 6 a )i )alam )aerahkonver(ensinya8 Di )alam se*uah anulus *er&usatkan )i6 a 'un(si f(z) menja)i analitik- karena z 6 a su)ah *era))i luar kontur, Daerah kover(ensinya menja)i : r F z-Di )alam )aerah &en)eretan yan( *eru&a anulus ini- )eret'un(si yan( )ihasilkan ti)ak hanya )eret taylor teta&imenja)i le*ih umum:

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    37/50

    • Den(an

    )an∫ −−=k

    nn z t t f

    ia 1

    0 )()(

    21π ∫ −= C n t

    i

    b(2

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    38/50

    "uku &ertama )i ruas kanan ti)ak lain a)alah)eret taylor )an suku ke)uanya yan( *eru&a&olinomial *er&an(kat ne(ati' )ise*utse*a(ai *a(ian utama )ari )eret laurent,

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    39/50

    ,E-E) L.U-EN)

    #ntinya *

    +eret (aurent seperti ha(nya dengan deret tay(or% uraian,acLaurin% atau deret pangkat suatu fungsi....)(...)()()( 2210 +−++−+−+= nn a xC a xC a xC C x f

    ∑∞

    =

    −=0

    )( ))((!

    1)(

    n

    nn a xa f n

    x f

    ∑∞

    ==

    0

    )( ))(0(!

    1)(

    n

    nn x f n

    x f

    ...!3

    )2)(1(!2

    )1(1)1( 32 +−−+−++=+ x p p p x p p px x p

    +e

    +e

    +eret

    +ere

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    40/50

    1e*era&a 'un(si )asar &a)a uraianma>laurin

    • 0os • "in

    &ON)O/ SO L

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    41/50

    &ON)O/ SO.L

    !raikan 'un(si )i sekitar 6 B,Pem*ahasan :

    1entuk umum uraian %aurent '? @ )i sekitar 6 B a)alah : z

    e z f

    z

    =)(

    ∑ ∑∞

    =

    =+=

    0 1

    )(n n

    nnn

    n z b

    z a z f

    ...

    !

    ...

    !3!2

    132

    +

    ++

    +

    ++=n

    z z z z e

    n z

    z z e

    z f z 1

    )( ==

    ++++++ ...

    !...

    !3!21

    32

    n z z z

    z n

    ...!

    ...!3!2

    11 32 ++++++=

    n z z z

    z

    n 0

    am(abeci

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    42/50

    • Tentukan )eret laurent :

    • 3awa*:

    • "esuai )en(an )eret *inomial:•

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    43/50

    3a)i:

    • ?

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    44/50

    L.)I/.N SO.L

    23 4raikan deret (aurent dari fungsi disekitar / 5 1

    9@ Tentukan )eret laurent )alam &an(kat )ari untuk@ Tentukan )eret laurent

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    45/50

    PEMB./.S.N NOMO- '

    Diselesaikan dengan menggunakan deret binomial diperoleh:

    )2)(1(1

    231

    )( 2 −−=+−= z z z z z f

    0,2

    111

    11

    21

    1

    11

    12

    11

    1

    11

    =

    −+

    −−=

    +

    −=−

    +−

    −=

    −−

    z z z z z

    z z

    z z

    z z

    =

    = −−

    1

    1

    21

    11

    z

    z

    +++++

    +++++

    ...16842

    1

    ...11111

    432

    432

    z z z z

    z z z z

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    46/50

    PEMB./.S.N NOMO- '

    Dengan:

    Jadi:

    +++

    −−−−−= 421...1111 2432 z z z z z z z

    ...731

    432 +++= z z z ∞

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    47/50

    PEMB./.S.N NOMO- 0

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    48/50

    • Penyelesaian:• $isal maka

    PEMB./.S.N NOMO- 1

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    49/50

    • Deret konver(en nilai

  • 8/9/2019 Fungsi Kompleks -

    50/50

    T%ANK &O'