bab 4 kamiran

BAB 4 KAMIRAN

4.1 ANTI KAMIRAN PEMBEZAAN DAN KAMIRAN TAK TENTU

Proses untuk mendapat semula fungsi daripada pekali pembezaannya merupakan songsangan bagi operasi pembezaan. Proses ini disebut sebagai proses mencari anti pembezaan. Dengan perkataan lain, jika dapat dicari suatu fungsi F(x) dengan pekali pembezaannya ialah f(x) iaitu F’(x) = f(x), maka F(x) dikatakan suatu anti pembezaan bagi f(x).

Takrif 4.1 (Anti Pembezaan)

Fungsi F(x) dikatakan suatu anti pembezaanbagi suatu fungsi f(x) jika

F’(x) = f(x)

Untuk setiap x dalam domain f.

Teorem 4.1 (Kewujudan Anti Pembezaan)

Jika F’(x) = f(x)pada setiap titik dalam sebarang selang [a , b], maka setiap anti pembezaan G bagi f dalam [a , b] adalah berbentuk

G(x) = F(x) + C,

Dengan C pemalar sembarangan untuk semua x Î[a , b].

Daripada Teorem 4.1 jelas bahawa proses mendapatkan anti pembezaan tidak akan menghasilkan fungsi yang unik. Sebaliknya akan terhasil satu set fungsi-fungsi yang berbeza pada nilai pemalarnya. Proses mendapatkan anti pembezaan ini biasanya dissebut sebagai pengamiran.

Takrif 4.2 (Kamiran Tak tentu)

Set semua anti pembezaan bagi fungsi f(x) dinamakan kamiran tak tentu bagi f terhadap x, dilambang sebagai

simbol merupakan tatatanda kamiran, f(x) disebut fungsi yang dikamirdan x ialah pembolehubah kamiran.

Daripada Teorem 4.1 dan Takrif 4.2, jika F’(x) = f(x)untuk semua x, maka

http://www.oocities.org/enotebvp/bab4/bab_4_kamiran.htm

(4.1)

Pemalar C disebut pemalar kamiran dan persamaan (4.1) dibaca sebagai ‘kamiran tak tentu bagi f terhadap xialah F(x) + C’. Daripada penjelasan yang di atas, dapat dibuat kesimpulan bahawa setiap rumus pembezaan

adalah setara dengan suatu rumus kamiran

Contoh

4.2 ALJABAR KAMIRAN TAK TENTU

Teorem 4.2 (sifat Asas Kamiran Tak Tentu)

a)Pemalar k boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran, iaitu

b) Kamiran hasil tambah (dan hasil tolak) bersamaan dengan hasil tambah (atau hasil tolak) kamiran, iaitu

4.3 TEOREM ASAS KALKUKLUS KAMIRAN

Teorem 4.3 (Teorem Asas Kalkulus)

Jika suatu fungsi f(x)adalah selanjar di dalam selang [a,b], maka

dengan F(x) ialah sebarang fungsi sehingga f’(x) = f(x) untuk semua x Î[a,b].

Untuk menyelesaikan kamiran tentu, boleh juga diselesaikan kamiran tak tentu terlebih dahulu. Setelah jawapan diperoleh, masukkan pula had-had kamiran yang diberi.

Teorem 4.4 (Sifat Asas Kamiran Tentu)


Jika f(x) dan g(x)ialah fungsi selanjar di dalam selang [a,b], maka

a) , jika f(a) wujud

b)

c)

d)

e) , dengan a≤c≤b

f)

Contoh

4.4 KAEDAH PENGAMIRAN

4.4.1 Kamiran Dengan Kaedah Gantian

Kaedah ini merupakan kaedah pertama yang perlu dicuba dalam proses menyelesaikan sesuatu kamiran. Tujuan kaedah ini ialah untuk menukar ungkapan yang dikamir kepada suatu ungkapan dalam bentuk kamiran asas.

Andaikan u ialah suatu fungsi boleh beza terhadap x, maka

(4.5)

Untuk menentusahkan rumus ini, misalkan F merupakan suatu anti pembezaan bagi f, supaya

atau bentuk yang setara,

(4.6)


Oleh kerana u merupakan suatu fungsi yang boleh beza terhadap x, dengan petua rantai diperoleh

atau bentuk yang setara,

(4.7)

Rumus (4.5) diperoleh daripada (4.6) dan (4.7). Pada umumnya kamiran yang ingin diselesaikan adalah bentuk

Daripada rumus (4.5) kamiran ini dapat diungkap dalam bentuk

Dengan pilihan yang tepat u=g(x), kamiran di sebelah kanan lebih mudah untuk diolah berbanding dengan kamiran asal. Jika tidak kamiran akan menjadi rumit.

Langkah-langkah kaedah gantian

Langkah 1

Buat pilihan untuk u, andaikan u = g(x)

Langkah 2

Dapatkan

Langkah 3

Lakukan gantian u = g(x), du=g’(x)dx.

Pada peringkat ini, keseluruhan kamiran mestilah dalam sebutan u, iaitu tiada lagi sebutan x. jika langkah ini tidak dapat dilakukan, buat pilihan yang lain untuk u.

Langkah 4


Selesaikan kamiran yang diperoleh.

Langkah 5

Gantikan semula u dengan g(x),supaya jawapan terakhir dalam sebutan x.

Contoh

4.4.2 Kaedah Bahagian Demi Bahagian

Kamiran bahagian demi bahagian merupakan suatu kaedah untuk mempermudahkan kamiran yang melibatkan pendaraban fungsi-fungsi aljabar dan transeden misalnya

kamiran bahagian demi bahagian diperoleh daripada rumus pembezaan hasil darab

Apabila dikamirkan terhadap x diperoleh

dan seterusnya

atau ringkasnya

4.4.3 Kamiran dengan kaedah pecahan separa

Seperti yang telah diketahui, polinomial nisbah adalah bentuk yang rumit dan mungkin juga sukar untuk dikamirkan. Tetapi, polinomial ini mungkin menjadi lebih mudah dikamirkan jika dapat ditulis sebagai hasil tambah beberapa polinomial nisbah yang mudah, iaitu dengan menggunakan kaedah pecahan separa.

4.5 KAMIRAN FUNGSI TRIGONOMETRI


4.5.1 Kuasa Ganjil bagi sin x dan kos x

Untuk nilai n = 1,2,3,...... Dengan gantian u = kos x, diperoleh

=

=

=

=

bentuk yang mudah dikamirkan.

Begitu juga dengan gantian u= sin x, diperoleh

=

=

=

=


4.5.2 Kuasa Genap bagi sin x dan kos x

Identiti bersama dengan gantian tertentu digunakan untuk menyelesaikan masalah kamiran yang melibatkan fungsi trigonometri kos x dan sin x dengan kuasa genap, iaitu

=

dan juga


=

4.5.5 Kuasa Genap atau Ganjil bagi tan x dan kot x

Identiti digunakan untuk menyelesaikan kamiran yang melibatkan fungsi trigonometri tan xdan kot x, iaitu

dan juga

Dengan identiti tersebut, diperoleh

Seterusnya, dengan gantian u= tan x kamiran menjadi

Dengan cara yang sama, dengan gantian u = kot x diperoleh

4.5.7 Kuasa Genap bagi sek x dan kosek x


Identiti berserta dengan piawai

digunakan untuk menyelesaikan masalah ungkapan sek x dan kosek x

Dengan gantian u = tan x, diperoleh


Begitu juga

Dengan gantian u = kot x, diperoleh


4.6 KAMIRAN FUNGSI HIPERBOLIK

Kamiran fungsi hiperbolik akan dirujuk kepada jadual 4.2. Manakala kamiran bagi fungsi hiperbolik yang lebih rumit akan diselesaikan kaedah pengamiran yang telah dibincangkan sebelum ini. Untuk menyelesaikan masalah kamiran bagi fungsi hiperbolik , identiti-identiti fungsi hiperbolik akan digunakan.

4.7 KAMIRAN FUNGSI TAK NISBAH

Kebanyakan fungsi tak nisbah boleh dikamirkan dengan menggunakan kaedah yang telah dibincangkan sebelum ini. Bagaimanapun, perbincangan ini tidak memberikan sebarang kaedah yang umum. Selain daripada itu, tidak ada satu cara yang komprehensif untuk menyelesaikan kamiran tersebut.


4.7.1 Kamiran Melibatkan

Dalam bahagian ini akan dibincangkan kaedah untuk mengamirkan suatu ungkapan aljabar yang hanya mengandungi satu ungkapan tak nisbah berbentuk

. Pada amnya, ungkapan ini boleh dikamirkan dengan menggunakan gantian .

4.7.2 Kamiran Melibatkan

Pada amnya dengan menulis ungkapan dalam bentuk lengkap kuasa

dua, iaitu ungkapan boleh ditukarkan kepada satu bentuk berikut

Kita akan pertimbangkan terlebih dahulu kamiran dengan yang berbentuk

Perhatikan bahawa apabila ungkapan yang dikamir mengandungi salah satu daripada bentuk ini, punca kuasa dua boleh dihapuskan dengan menggunakan identiti-identiti trigonometri dan gantian yang berikut

Ungkapan Gantian

Contoh


bab 4 kamiran

Documents