BAB 4

PENTADBIRAN

VARIANS

OBJEKTIF

1. Mengenal Taburan Khi-kuasadua

2. Mengira Selang Keyakinan bagi varians satu populasi3. Menjalankan ujian hipotesis bagi varians satu populasi.4. Mengenal Taburan F5. Mengira Selang Keyakinan bagi varians dua populasi6. Menjalankan ujian hipotesis bagi varians dua populasi

Pengenalan

• Anggaran terhadap min dan perkadaran memerlukan taburan normal dan t, tetapi anggaran terhadap varians memerlukan taburan lain yang disebut taburan khi-kuasadua, 2.

• Kita akan memilih secara rawak sampel bersaiz n dan mengira varians sampel, s2 untuk setiap sampel.

Taburan Khi-kuasadua, 2

• Taburan 2 mempunyai satu parameter iaitu darjah kebebasan = n-1, (degrees of freedom )

1) Taburan 2 tidak simetri (tidak seperti taburan normal dan t ). Ia berbeza untuk setiap darjah kebebasan. Untuk darjah kebebasan yang kecil, taburan 2 akan terpencong ke kanan dan apabila darjah kebebasan meningkat, taburan menjadi lebih simetri iaitu menghampiri normal.

Ciri-ciri taburan 2

2) Keseluruhan taburan 2 hanya akan mengambil nilai positif (termasuk sifar) sahaja. ( tidak boleh nilai negatif). 

3) Mod bagi lengkung taburan 2 untuk darjah kebebasan 1 atau 2 adalah pada sifar dan untuk lengkung yang darjah kebebasannya 3 atau lebih adalah pada dk – 2. Contohnya, mod untuk lengkung taburan 2 dengan dk = 2 adalah pada sifar, untuk dk = 7 adalah 7- 2 = 5 dan mod untuk lengkung dengan dk = 12 adalah pada 12-2 = 10.( rujuk rajah di bawah). Seperti taburan normal dan juga t, luas kawasan di bawah lengkung taburan 2 adalah 1.

Contoh : Dapatkan nilai kritikal 2 supaya kawasan kritikal mempunyai kb 0.025 pada tiap-tiap hujung. Andaikan saiz sampel berkaitan adalah 10.

= 2.700 = 19.023 2

2/1

22/

dk = n-1 = 10-1 = 9

Penyelesaian

Nilai kritikal sebelah kanan , diperolehi dengan mengambil nilaiyang sepadan dengan baris 9 (dk = 9) dan lajur /2 = 0.025 iaitu = 19.023

2

2/

2

2/

Nilai kritikal sebelah kiri , diperolehi dengan mengambil nilaiyang sepadan dengan baris 9 (dk = 9) dan lajur 1-/2 = 0.975 iaitu = 2.700

22/1

2

2/1

Selang keyakinan bagi varians populasi, 2

• Selain daripada selang keyakinan bagi min dan perkadaran populasi, selang keyakinan bagi varians (atau sisihan piawai) juga memainkan peranan yang penting.

• Contohnya, bagi pihak syarikat pengeluar minuman kotak, adalah penting untuk memastikan mesinnya mengisi minuman yang mencukupi dalam setiap kotak minuman. Oleh itu, variasi berat setiap kotak minuman yang telah diisi perlulah di dalam julat atau selang yang ditetapkan. Maka pihak pengurusan perlulah terlebih dahulu menentukan selang bagi varians yang boleh diterima oleh syarikat sebelum membuat keputusan untuk memperbaiki mesin minuman mereka.

2

2/1 2

2/

2

Selang keyakinan bagi varians populasi akan berada pada kawasan yang mempunyai kb(1-) iaitu di antara nilai kritikal dan

22/1

22/

2

2/

2s1n

22/1

2s1n

dan jika diambil punca kuasa pula akan menjadi

< < rumus selang keyakinan sisihan piawai populasi

2

2/

2s1n

2

2/1

2s1n

Rumus selang keyakinan varians satu populasi

< 2 <

Contoh : Pengisi ‘antifreeze’ sebuah kereta sepatutnya mengandungi 3785 ml cecair. Menyedari bahawa turun naik kandungan cecair itu tidak dapat dikawal, pengurus kawalan kualiti mahu memastikan sisihan piawainya kurang daripada 30ml. Jika tidak cecair akan melimpah atau tidak mencukupi. Sampel rawak dipilih seperti berikut. Gunakan sampel itu untuk membina selang keyakinan 99% untuk sisihan piawai populasi. Berikan pendapat anda terhadap selang nilai yg diperolehi itu dan adakah langkah pembetulan perlu dilakukan atau tidak ?

3761 3861 3769 3772 3675 38613888 3819 3788 3800 3720 37483753 3821 3811 3740 3740 3839

penyelesaian :n = 18; = 3787 ; s = 55.3790 ; (1-) = 0.99 ; /2 = 0.005darjah kebebasan, dk = 18-1 = 17 Rumus S.K : < 2 <

x

2

2/

2s1n

22/1

2s1n

Nilai kritikal 20.005 = 35.718 dan 2

0.995 = 5.697, maka

697.5

)3789.55)(118(

718.35

)3789.55)(118( 22

2

1459.6562 < 2 < 9151.4804 38.2054 < < 95.6634

Kesimpulan :Selang nilai yang diperolehi sangat besar, oleh itu langkah pembetulan harus dilakukan untuk memastikan pengisian cecair yang lebih konsisten.

Lihat contoh 7.11 dan 7.12 di dalam buku teks

Hipotesis Varians satu populasi

• Statistik ujian yang digunakan ialah 2 = 2

2s)1n(

• Nilai 2 yang digunakan dalam statistik ujian ini adalah nilai 2 di dalam hipotesis nul.

• 3 kes untuk hipotesis varians satu populasi ialah :

Hipotesis Kawasan penolakanH0: 2 = lwn H1: 2 > 2 > (1 hujung kanan)

H0: 2 = lwn H1: 2 < 2 < (1 hujung kiri)

H0: 2 = lwn H1: 2 2 > atau 2 < (2 hujung)

2

20

21

2

2/ 2

2/1

20

20

20

20

20

Contoh :

Satu sampel rawak 25 pelajar telah diambil daripada Kolej AA dan memberikan varians PNGK sebanyak 0.19. Varians PNGK semua pelajar kolej tersebut adalah sebanyak 0.13 pada dua tahun yang lepas. Uji pada aras keertian 1%, sama ada nilai varians tersebut telah berubah atau tidak untuk tahun ini.

Penyelesaian :

1) H0: 2 = 0.13

H1: 2 0.13

2) Aras keertian, = 0.01, maka nilai kritikal ialah 2

0.005 = 45.558 dan 20.995 =9.886

Maka, kwsn penolakan terletak ke kiri 9.886 dan ke kanan 45.558

3) Statistik ujian

2 = 2

2s)1n(

= 077.35

13.0

)19.0)(125(

4) Keputusan : Didapati 9.886< 2

kiraan < 45.558. Maka H0 diterima

5) Kesimpulan: Berdasarkan sampel yg diambil, varians PNGK pelajar kolej AA

adalah sama seperti dua tahun lepas iaitu 0.13 pd = 0.01

Lihat contoh 8.4 di dalam buku teks

Latihan Selang Keyakinan dan Hipotesis Varians :

Pembekal sebuah mentol lampu berjenama Q mendakwa varians hayat mentol lampu tersebut ialah 4000 jam kuasadua. Sebuah agensi pengguna telah mengambil secararawak 25 mentol berjenama Q tersebut dan mendapati varians hayatnya ialah 4990 jam kuasadua.

a) Bina selang keyakinan 99% bagi varians dan sisihan piawai untuk hayat mentol berjenama Q.

b) Uji pada aras keertian 5% sama ada varians hayat mentol berjenama Q adalah berbeza daripada 4000 jam kuasadua.

Jwpn akhir Latihan Selang Keyakinan dan Hipotesis Varians :

a) Selang keyakinan 99% bagi varians :

(2628.6793 , 12114.1007)

Selang keyakinan 99% bagi sisihan piawai : (51.271, 110.064)

b 2 = 29.940Keputusan : Terima H0

Kesimpulan : Berdasarkan sampel yang diambil, varians hayat mentol berjenama Q adalah 4000 jam kuasadua pada aras keertian 5%.

Taburan F

• Mempunyai dua darjah kebebasan yang dinamakan darjah kebebasan pengangka = v1

darjah kebebasan penyebut = v2

- ditulis juga dengan simbol (v1, v2) _

• Seperti taburan khi-kuasadua, taburan F hanya akan mengambil nilai positif (termasuk sifar) sahaja. ( tidak boleh nilai negatif). 

Contoh

Jika diberi darjah kebebasan ialah (9,12), dapatkan nilai F pada = 0.05 dan = 0.025 Penyelesaian :

Dengan merujuk kepada jadual F, didapatiF0.05,9,12 = 2.80

dan F0.025,9,12 = 3.44

2/,U22

21

22

21

2/,L22

21 F

s

s

F

1

s

s

Selang Keyakinan Nisbah Varians

• Rumus selang keyakinan nisbah varians ialah :

• Andaian yang dibuat adalah sama seperti andaian bagi ujian hipotesis selisih varians.

FL,/2 adalah nilai kritikal F hujung bawah taburan F yang

mempunyai dk pengangka, v1=n1-1 dan dk penyebut, v2=n2-1.

FU, /2 adalah darjah kritikal F hujung atas taburan F yang

mempunyai dk pengangka, v1=n2-1 dan dk penyebut, v2=n1-1.

• Jika nilai SK nisbah varians yang diperolehi adalah 1 maka varians populasi 1 adalah sama seperti varians populasi 2

• Jika nilai SK nisbah varians yang diperolehi lebih drpd 1 maka varians populasi 1 adalah lebih drpd varians populasi 2

• Jika nilai SK nisbah varians yang diperolehi kurang drpd 1 maka varians populasi 1 adalah kurang drpd varians populasi 2

Contoh :

Bina selang keyakinan 90% nisbah varians bagi berat kertas drpd 2 pembekal.

Pembekal 1 : n1=18 s12 =0.019

Pembekal 2 : n2=13 s22 =0.049

Penyelesaian :n1-1=18-1=17 dan n2-1=13-1=12

FL,/2 = FL,0.05 = 2.58 (di mana v1=17 dan v2=12)

FU, /2 = FU,0.05 = 2.38 (di mana v1=12 dan v2=17)

Selang keyakinan 90% nisbah varians bagi berat kertas drpd 2 pembekal ialah :

2/,U22

21

22

21

2/,L22

21 F

s

s

F

1

s

s

0.923σ

σ0.150

2.380.049

0.019

σ

σ

2.58

1

0.049

0.019

22

21

22

21

Kita mempunyai keyakinan sebanyak 90% bahawa nisbah varians bagi berat kertas pembekal 1 kepada pembekal 2 adalah antara 0.150 hingga 0.923. Maka varians bagi berat kertas pembekal 1 adalah kurang berbanding dgn varians bagi berat kertas pembekal 2.

Lihat contoh 7.18 di dalam buku teks

Hipotesis Selisih Varians

• Andaian yang dibuat untuk kes hipotesis selisih varians ialah kedua-dua sampel dipilih secara rawak serta merdeka dari 2 populasi yang berbeza

• Kwsn penolakan ujian hipotesis hanyalah pada hujung kanan sahaja utk ketiga-tiga kes.

 

3 kes ujian hipotesis selisih varians :

Kes 1: (jika s12 lebih kecil drpd s2

2 )

H0: 12

=22 lawan H1: 1

2 < 2

2

dengan v1 =n2-1 dan v2 =n1-1.

Statistik ujian: F = . 21

22

s

s

Keputusan :Tolak H0 jika F F.

Kes 2: (jika s12 lebih besar drpd s2

2 )

H0: 12

=22 lawan H1: 1

2 > 2

2

Statistik ujian: F = . 22

21

s

s

dengan v1 =n1-1 dan v2 =n2-1.

Keputusan : Tolak H0 jika F F.

Kes 3: H0: 1

2 = 2

2 lawan H1: 12

22

Keputusan : Tolak H0 jika F F/2.

Statistik ujian bergantung kpd bergantung kepada nilai varians kedua-dua sampel yg diperolehi.

Jika s12 > s2

2 , maka statistik ujiannya ialah F = 22

21

s

s

Jika s12 < s2

2 , maka statistik ujiannya ialah F = 21

22

s

s

dk pengangka(v1) dan penyebut(v2) bergantung kpd statistik ujian yg digunakan

Contoh :

Satu kriteria utk menilai ubat pelali oral bagi penggunaan dlm pergigian umum adalah variabiliti dlm tempoh masa di antara suntikan dan kehilangan sensasi sepenuhnya pada pesakit. (Ini disebut kesan masa tertunda). Sebuah firma farmaseutikal baru shj mencipta 2 ubat pelali oral baru iaitu Ubat Y dan Z. Adalah diramalkan kedua-dua ubat ini sepatutnya menunjukkan varians(saat kuasadua) sama dlm kesan masa tertunda. Data sampel diberikan seperti di bawah :

Ubat Y : n1 = 31 s12 = 1,296

Ubat Z : n2 = 61 s22 = 784

Uji pada aras keertian 2%, sama ada Ubat Y dan Z mempunyai varians yg sama dalam kesan masa tertunda.

Penyelesaian :

1) H0: 12

= 22 lawan H1: 1

2 2

2

2) Aras keertian, =0.02 v1 = n1 – 1 = 31-1 =30 ; v2 = n2 – 1 = 61-1 = 60Nilai kritikal ialah F0.01,30,60 = 2.03Kwsn penolakan ialah ke kanan 2.03

3) Statistik ujian

65.1784

296,1

s

sF

22

21

4) Keputusan : Didapati 1.65 < 2.03 . Terima H0 .

5) Kesimpulan :Berdasarkan sampel yang diambil, Ubat Y dan Z mempunyai

varians yg sama dalam kesan masa tertunda pada =0.02

Latihan :Penyelia kawalan kualiti bagi sebuah kilang otomobil

mengambil berat tentang keseragaman dalam bilangan kecacatan utk kereta yg keluar drpd talian pemasangan. Jika satu talian pemasangan mempunyai variabiliti yang lebih bagi bilangan kecacatan, maka perubahan perlulah dibuat. Penyelia berkenaan mengumpul data bilangan kecacatan seperti berikut :

Talian pemasangan A : n1 = 20 s12 = 9

Talian pemasangan B : n2 = 16 s22 = 25

a) Bina selang keyakinan 90% bagi nisbah varians utk masalah ini.

b) Adakah talian pemasangan B mempunyai lebih variabiliti dalam bilangan kecacatan berbanding dengan talian pemasangan A ? Uji pada aras keertian 0.05

Jawapan akhir:

0.8028σ

σ0.1538a)

22

21

b) F = 2.778 Tolak H0