BAB 4

DAPATAN DAN PERBINCANGAN

Bab ini menerangkan tentang dapatan kajian yang penyelidik peroleh melalui penyelidikan yang

telah dijalankan. Dapatan kajian ini dipecahkan kepada beberapa jenis atau kategori yang

tertentu berdasarkan kepada persoalan kajian. Bahagian yang pertama adalah, dapatan kajian

yang penyelidik peroleh tentang kefahaman dan kesilapan pelajar di dalam logarithma.

Seterusnya penyelidik akan mengungkapkan dapatan kajian kekuatan dan kelemahan pelajar

dalam topik logaritma ini. Akhir sekali, penyelidik akan membincangkan kajian yang diperoleh.

4.1 Kefahaman dan Kesilapan Pelajar

Pelajar mempunyai kefahaman yang tidak tepat mengenai logaritma menyebabkan pelajar sering

kali menggunakan konsep yang salah dalam menyelesaikan masalah berkaitan logaritma. Di sini,

para guru haruslah memberikan perhatian khusus bagi membetulkan dan memimpin kefahaman

pelajar daripada masalah ini terus menerus berada dalam diri pelajar. Selain itu, pelajar juga

tidak mempunyai kefahaman yang mendalam dalam topik ini. Sebagai contohnya, pelajar sering

membuat anggapan sendiri tentang konsep logaritma.

4.1.1 Kefahaman Pelajar

Setelah bertungkus lumus membuat penyelidikan, penyelidik telah mendapati pelajar mempunyai

tahap kefahaman yang berlainan dalam topic logaritma ini. Setelah membuat analisis, penyelidik

telah menemui tahap pelajar dan membahagikan kepada tiga bahagian iaitu tahap kefahaman

pelajar, logaritma sebagai satu ungkapan algebra dan penguasaan pelajar mengenai hokum

logaritma.

4.1.1.1 Tahap Kefahaman Pelajar

Setelah segala temubual telah dilakukan kepada ketiga-tiga responden, penyelidik mendapati

bahawa tahap kefahaman pelajar terhadap topik logaritma tidak mendalam. Ini kerana pelajar

hanya melihat atau menghayati logaritma dari segi luaran sahaja tanpa melihat logaritma secara

keseluruhannya dengan mendalam. Sebagai contohnya, mengikut dialog responden yang

pertama:

“erkkkk…log ek?..hmm…rasanya log nih hanya ada tambah, tolok, darab……”

Manakala bagi responden yang kedua pula,

“saya hanya boleh faham setakat yang macam tambah, tolak…boleh lagi la…”

Mengikut dua petikan yang terdapat di atas, penyelidik mendapati responden hanya

melihat logaritma hanya melibatkan operasi-operasi asas sahaja seperti tambah, tolak,darab dan

bahagi. Responden sedikit pun tidak menyentuh bahagian hokum logariritma dan cara-cara untuk

menyelesaikan masalah logaritma termasuk indeks.

Manakala responden kedua pula memang mengakui bahawa dia tidak faham mengenai

topik logaritma ini. Di sini dijelaskan dengan dialog temubual dengan penyelidik:

“…tajuk ni memang susah giler r…kalau tak paham dari awal, memang takkan paham sampai

akhirnya…sebab tak paham la tajuk ini jadi susah...awal belaja lagi dah susah…sebab itu

memang saya tak paham topic log nih..hahaha.”

Bagi respondan ketiga pula, dia mengatakan bahawa dia memang susah untuk faham

logaritma sejak dari awal pembelajaran lagi. Tambahnya lagi, jika topik ini tidak berjaya

dikuasai sejak dari awal, sampai akhir topik ini dia tidak akan faham. Menurutnya:

“…log memang susah la…dari awal lagi saya pening dengan apa yang cikgu cuba

terangkan kat depan…habis la saya sebab sy memang tak dapat kuasainya sejak dari awal

lagi…nanti, akhir bab ni,saya mesti tersungkur…..”

4.1.1.2 Logaritma Sebagai Ungkapan Algebra

Kefahaman pelajar yang kedua adalah pelajar menganggap logaritma sebagai ungkapan algebra

di dalam subjek matematik. Di samping itu, pelajar juga menganggap logaritma sabagai satu

pembole ubah seperti x, y, z yang boleh dihapuskan (eliminate). Oleh itu, jika pelajar mendapati

adanya logaritma dalam masalah yang diberikan khususnya melibatkan persamaan, pelajar akan

menghapuskan log bagi kedua-dua belah persamaan. Seterusnya, pelajar akan menyelesaikannya

secara biasa. Responden yang pertama mengatakan :

“…bila masalah melibatkan persamaan log ni, saya potong lah log di kedua-dua belah ni…

senang je ni..”

Apabila respondan mengatakan sedemikian, ianya seolah menjadi pegangan beliau untuk

menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan logaritma. Respondan pertama mengatakan:

“…haaaaa…yang ini pun saya potong jugak dan selesaikan secara biasa..”

Jika diperhatikan dengan betul-betut pernyataan di atas, respondan hanya menggunakan kaedah

pemotongan (elimination) untuk menyelesaikan masalah logaritma.

Bagi responden kedua pula, dia hanya menyelesaikan masalah logaritma hanya dengan

membuat percubaan sahaja. Responden ini juga tidak menggunakan sebarang hukum logaritma.

Dia menganggap log yang ada dalam persamaan sama seperti pemboleh ubah x.

“..log ini saya hapuskan sama seperti nilai x yang ada dalam persamaan biasa saya

buat..”

Dengan bukti yang telah ditunjukkan, memang sah bahawa pelajar ini memang menganggap log

adalah sebagai ungkapan algebra dimana setiap log akan dianggap sebagai pemboleh ubah yang

boleh dihapuskan (eliminate).

4.1.1.2 Penguasaan Hukum Logaritma.

Temubual yang penyelidik lakukan terhadap responden yang terpilih ini berdasarkan kepada

hasil kerja mereka sewaktu mereka menjawab soalan yang melibatkan logaritma. Daripada hasil

temubual dan jawapan ujian, penyelidik dapat menyimpulkan bahawa pelajar tidak menguasai

hokum logaritma secara mendalam. Selain itu, penyelik mendapati pelajar hanya menghafal

hukum logaritma. Mereka juga membuat andaian dan tanggapan sendiri dalam menyelesaikan

masalah logaritma tanpa berpandukan hukum logaritma. Ini adalah respon daripada responden

pertama dalam sesi temubual :

“..hm..saya ingat hukum log tak banyak sangat…satu je kot..hehe.tu pn tak tahu betul ke tak.”

Bagi petikan yang kedua pula, responden mengatakan:

“..sebagai contohnya log 5log 7

boleh bertukar menjadi log57

sebab log tu sama asas sepuluh..”

Kedua-dua petikan ini menjelaskan bahawa responden hanya menbuat atanggapan sendi kedapa

hukum logaritma tanpa mengingati hukum itu. Responden ini juga telah membuat kesilapan dan

kurang berkeyakinan dalam mengingati hukum log. Responden ini memandang ringan terhadap

hukum log dan tidak mengingati setiap hukum log dengan sepenuhnya. Oleh itu, keadaan ini

sedikit sebanyak mempengaruhi tahap kefaham pelajar dalam topik logaritma tanpa

membetulkannya.

Responden kedua berpendapat sama dengan responden yang pertama iaitu dia tidak dapat

menggunakan hukum logaritma di tempat yang sesuai. Penyelidik telah bertanya kepada

respondan ini, jika diberi peluang untuk menjawab soalan ini sekali lagi, apakah teknik atau cara

lain yang akan respondan gunakan. Respondan ini menjawab:

“teknik yang lain?...ada macam-macam teknik ken k jawab soalan nih?”

Mengikut pernyataan di atas ini. Penyelidik simpulkan bahawa respondan ini hanya tahu

menjawab masalah melibatkan logaritma dengan satu teknik atau satu cara sahaja tanpa

memikirkan beberapa cara yang lebih mudah dan cepat.

Oleh kerana tahap kefahaman pelajar amat lemah dalam menyelesaikan logaritma,

mereka hanya tertumpu kepada satu cara sahaja untuk menyelesaikan masalah yang diberi tanpa

menggunakan cara yang berbeza. Respondan yang ketiga mengatakan bahawa:

“…benda ni susah lah…kalau asas sama saya boleh lagi buat…tapi kalau yang asas lain, nak

buat macam mana ek…”

Pernyataan ini jelas mengatakan bahawa respondan ini masih lagi kurang faham tentang

penggunaan hukum log terutama penukaran asas log. Dia tidak mengetahui cara untuk menukar

asas logaritma bagi soalan tambahan yang telah diberikan.

Oleh kerana respondan tidak begitu faham mengenai logaritma ini, beliau sentiasa keliru

dengan setiap permasalahan yang melibatkan hukum logaritma. Sebagai contohnya, respondan

menyatakan bahawa:

“saya masih lagi tak tahu yang ni kena bahagi atau pun kena darab…hm..yang ni pulak…eh,

keliru lah saya…saya tak tahu la..memang saya keliru sangat bila…..”

Disebabkan kekeliruan yang respondan ini nyatakan, jelas lah terbukti bahawa mereka masih lagi

tidak faham atau menguasai topik logaritma ini. Responden ini selalu melakukan kesalahan (miss

concept).

4.1.2 Kesilapan Pelajar

Penyelidik telah membuat analisis tentang kefahaman pelajar dan mendapati tahap kefahaman

pelajar mengenai topik ini amat rendah. Justeru, banyak kesilapan telah dilakukan oleh pelajar

semasa ujian dilakukan. Berdasarkan kepada jawapan yang telah diberikan semasa menjawab

ujian, penyelidik telah memecahkan kesilapan pelajar dalam beberapa kategori iaitu:

4.1.2.1 Tidak Menggunakan Hukum Logaritma

Berikut adalah jenis kesilapan yang penyelidik dapat kesan hasil daripada jawapan yang

diberikan oleh pelajar.

[ soalan dua: log716 + 2 log7 (X - 2) = 2 log72(X+1)]

Melihat kepada rajah yang dilampirkan ini, jelas bahawa pelajar membuat kesilapan yang ketara.

Pelajar ini menghapuskan log sebegitu sahaja tanpa menggunakan prosedur yang betul. Pelajar

ini juga tidak menggunakan hukum logaritma yang betul. Di sini dinyatakan cara menyelesaikan

masalah yang betul dan tepat:

log7 16+2 log7 ( x−2 )=2 log72 ( x+1 )

l og7 16+ log7 ( x−2 )2=log7 2 ( x+1 )2

log7 16( x−2)2=log7 2 ( x+1 )2

16(x−2)2=2 ( x+1 )2

16 x2−64 x+64=2 x2+4 x+2

14 x2−68 x−62=0

x2−6 x+5=0

( x−1 ) ( x−5 )=0

x=1 , x=5

Perkara utama yang harus dilakukan untuk menyelesaikan masalah ini adalah perlu

mengumpulkan logaritma bersama dan menggunakan sedikit kefahaman daripada indeks untuk

kuasa. Kemudian, perlu menggunakan hukum logaritma dan permudahkan persamaan untuk

menjadi satu persamaan kuadratik. Akhir sekali, masalah ini boleh diselesaikan dengan

menggunakan persamaan kuadratik. Akhir sekali kita akan dapat nilai x di mana nilai x ialah 1

dan 5. Oleh kerana nilai x mempunyai dua nilai iaitu 1 dan 5, kita perlu menguji nilai x dengan

persamaan asal yang diberikan oleh soalan. Justeru, kita akan dapati nilai x=1 tidak dapat

digunakan dalam persamaan dan nilai x=5 sahaja yang merupakan nilai x yang paling tepat.

4.1.2.2 Kesilapan Menggunakan Hukum Logaritma

Kesilapan kedua yang penyelidik dapat kenal pasti adalah yang melibatkan hukum logaritma.

Pelajar ini telah membuat satu kesilapan di mana beliau telah menggunakan hukum logaritma

yang salah. Berikut adalah jawapan yang diberikan oleh pelajar:

[ Soalan 3: 2 + log2( 2X – 7 ) = 2log2(X- 2) ]

Melalui pemerhatian bagi rajah tersebut, dapat kita melihat sejauh mana kesilapan yang telah

pelajar lakukan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan logaritma. Jelas di situ, pelajar

telah silap dalam menggunakan hukum logaritma. Pelajar ini menganggap:

log a ( x−b )=logaxb

Pembetulan kepada jawapan pelajar ini adalah seperti berikut:

2+ log2 (2 x−7 )=2 log2(x−2)

log 2 (2 x−7 )−2 log2 ( x−2 )=−2

log 22 x−7

(x−2)2=−2 log22

2 x−7

(x−2)2=2−2

2 x−7

(x−2)2= 1

22

4 (2x−7 )=(x−2)2

48 x−28=x2−4 x+4

x2−12 x+32=0

( x−4 ) ( x−8 )=0 x=4 , x=8

Untuk menyelesaikan masalah ini, pertama sekali perlu lah mengumpulkan logaritma di sebelah

persamaan. Kemudian, dengan menggunakan hukum logaritma sedia ada, permudahkan

persamaan tersebut. Untuk selesaikan soalan ini, perlu melibatkan juga penukaran asas log.

Selepas itu, selesaikannya degan cara biasa, iaitu secara algebra. Akhir sekali, dapatkan nilai x

melalui pemfaktoran. Maka, nilai x adalah x=4 dan x=8.

4.2 Kekuatan Dan Kelemahan Pelajar Dalam Logarima

Di peringkat sekolah menengah, pelajar haruslah menguasai sesuatu tajuk itu secara mendalam.

Jika ingin menguasai sesuatu tajuk itu, pelajar harus lah menguasai teknik atau kemahiran yang

digunakan dalam sesuatu tajuk itu. Sebagaimana tajuk logaritma ini, banyak kemahiran yang

perlu pelajar kuasai. Antaranya adalah:

1. Mencari nilai bagi sesuatu nombor yang diungkapkan dalam indeks.

2. Mengolah ungkapan algebra dengan menggunakan hukum indeks.

3. Mengungkapkan nombor indeks kepada bentuk Logaritma dan sebaliknya.

4. Mencari Logaritma sesuatu nombor dengan menggunakan hukum Logaritma.

5. Meringkaskan ungkapan Logaritma kepada bentuk termudah.

6. Mencari Logaritma sesuatu nombor dengan menukar kepada asas yang sesuai.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan manipulasi algebra dan meringkaskan

ungkapan.

8. Menyelesaikan persamaan yang melibatkan indeks.

9. Menyelesaikan persamaan yang melibatkan Logaritma.

Kemahiran ini saling berkaitan antara satu sama lain. Jika pelajar hanya mahir hanya sesetengah

sahaja kemahiran yang di atas, pelajar tidak akan dapat menjawab soalan logaritma dengan betul.

Antara kemahiran yang dikesan oleh penyelidik dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan

logarima ini adalah:

4.2.1 Menggunakan Hukum Logaritma.

Untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan logaritma, kita tidak boleh lari daripada

menggunakan ketiga-tiga hukum logaritma. Tetapi, penyelidik dapat mengesan bahawa pelajar

hanya menggunakan sebahagian sahaja hukum logaritma. Sebagai buktinya, responden ada

mengatakan:

“…kalau yang ni, kena bagi naik kat atas jadi kuasa dua….”

Kenyataan ini menunjukkan responden menggunakan huku logaritma yang ketiga iaitu:

m loga x=loga xm

Hukum ini boleh digunakan untuk menyelesaikan soalan nombor dua. Di mana, penggunaan

hukum Logaritma di sini betul. Sungguh pun begitu, ini tidak membuktikan bahawa responden

menguasai hukum Logaritma dengan sepenuhnya.

Di samping itu, responden yang kedua telah menggunakan hukum Logaritma dengan

tepat dan betul dalam menyelesaikan masalah Logaritma. Ini dapat dibuktikan melalui jawapan

yang telah responden berikan dalam ujian sebelum ini seperti soalan nombor lima (5) iaitu:

Berdasarkan rajah ini, jelas ternyata bahawa respondan kedua ini telah menggunakan hukum

logaritma dengan betul. Responden ini telah menggunakan kedua-dua hukum logaritma iaitu:

1. log a xy=loga x+ loga y

2. log axy=loga x− loga y

Seterusnya, penyelidik telah mengesan bahawa responden ketiga telah menggunakan

hukum logaritma yang kedua dan ketiga dalam menyelesaikan masalah persamaan logaritma

yang telah diberikan. Berikut adalah jawapannya untuk soalan nombor empat (4) iaitu:

Berikut merupakan respon daripada responden apabila penyelidik menanyakan mengenai soalan

nombor tiga (3):

“…sebelah tepi tu saya ada tulis yang persamaan log…nombor kat depan log tu boleh dibawa

naik menjadi kuasa..”

Akhirnya, penyelidik telah berpendapat bahawa pelajar boleh menggunakan hukum logaritma

dengan betul dan tepat dengan syarat, pelajar itu telah memahami konsep Logaritma tersebut.

Penggunaan hukum logaritma masih lagi terbatas kerana pelajar tidak memahaminya dengan

lebih mendalam. Tambahan lagi, pelajar masih lagi tidak dapat menjawab soalan yang lain yang

meminta mereka menggunakan hukum logaritma. Disebabkan kefahaman pelajar hanya sedikit

tentang logaritma, pelajar belum tahu menggunakan hukum logaritma sepenuhnya.

4.2.2 Mengungkapkan Nombor Indeks Kepada Bentuk Logaritma Dan Sebaliknya

Mengungkapkan nombor indeks kepada bentuk logaritma dan sebaliknya merupakan kemahiran

asas dalam tajuk ini. Pelajar haruslah mahir dalam mempelajari kaedah ini. Amatlah mustahil

bagi pelajar untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan logaritma tanpa

kemahiran ini. Berdasarkan hasil temubual dengan responden yang pertama :

“…soalan empat bagi saya senang sikit berbanding yang lain…sebab maybe dia kena guna

rumus..eh, bukan..guna hukum kan??...betul..soalan ni kena guna hukum log…”

Ini menunjukkan responden yang pertama faham dan mnguasai kemahiran mengungkapkan

nombor indeks kepada bentuk logaritma kerana soalan nombor empat menguji kemahiran

tersebut.

Responden yang pertama telah menjawab soalan ini dengan tepat. Manakala, responden

yang ketiga berkata:

“…nombor dua ni kalau nak bentukkan dalam sebutan log, ia akan jadi macam ni…log 22…”

Mengikut kenyataan di atas, jelas menunjukkan bahawa responden ketiga juga menguasai

kemahiran ini kerana dia dapat mengungkap nombor indeks kepada bentuk logaritma secara

spontan. Respondan pertama juga dapat mencari sesuatu nombor dengan menukar kepada asas-

asas yang sesuai. Berdasarkan petikan hasil temubual seperti berikut:

“…erk…mudah je ni..saya cari log satu-satu lah…kena bagi sama yang kat bawah…eh,nk tukar

kepada log sepuluh…”

Di sini jelas menunjukkan bahawa responden pertama dapat menukar asas yang sesuai kepada

logaritma untuk menyelesaikan masalah yang diberi. Dalam mnyelesaikan masalah logaritma, ini

merupakan kemahiran yang paling penting kerana jika pelajar gagal menukar asas atau membuat

kesilapan dalam memilih asas yang betul untuk ditukarkan, penyelesaian akan menjadi lebih

sukar. Persamaan into mungkin akan menjadi lebih rumit dan compels. Oleh itu, diseur kepada

semua pelajar agar bijak dalam memilih asas agar penyelesaian akan menjadi lebih mudah dan

cepat serta tepat.

4.3 Kelemahan Atau Kemahiran Yang Belum Dikuasi Pelajar

Penyelidikan ini dijalankan kepada pelajar-pelajar yang lemah. Justeru, amat susah bagi

penyelidik untuk menemui pelajar yang berjaya menguasai kemahiran dalam topik ini. Hasil

daripada analisis yang telah dibuat, penyelidik dapat merumuskan bahawa kebanyakan pelajar

mempunyai masalah dalam menyelesaikan persamaan logaritma ini. Penyelidik mengkelaskan

kemahiran yang belum pelajar kuasai kepada beberapa bahagian:

4.3.1 Penyelesaian Persamaan Logaritma

Penyelidik telah menemubual dengan responden yang pertama dan responden pertama

mengatakan :

“…waaaa…soalan ketiga saya rasa paling susah…hmm…ape tu..hmm..banyak sangat

persamaan…log limpah…”

Daripada kenyataan ini, responden menghadapi masalah apabila melihat soalan yang melibatkan

banyak sebutan log. Mungkin dia agak pening jika menyelesaikan masalah terutamanya yang

melibatkan sebutan log yang banyak. Oleh itu, responden pertama menganggapnya sukar untuk

diselesaikan. Tambahnya lagi:

“…haaa…banyak log ni membuatkan saya fobia pada topik ni…”

Ini kerana responden pertama masih lagi tidak menguasai kemahiran menyelesaikan persamaan

yang melibatkan sebutan log yang banyak.

Manakala, responden ketiga mengatakan:

“…soalan dua banyak log la…pening saya milihnya…”

Jika dilihat kepada soalan nombor dua, persamaan ini mempunyai tiga sebutan logaritma. Maka

responden ini menganggap soalan ini sukar. Ini disebabkan oleh responden masih belum

menguasai kemahiran untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Jika responden ini tidak dapat

menguasai kemahiran ini, respondan ini tidak dapat untuk menyelesaikan persamaan yang lain

kerana kemahiran ini adalah kemahiran yang tertinggi dalam tajuk logaritma ini.

4.3.2 Hukum Logaritma

Melalui penyelidikan yang penyelidik lakukan, penyelidik mendapati jika dilihat daripada hasil

temubual dan ujian yang telah dilakukan, penyelidik mendapati pelajar agak mempunyai masalah

dalam menguasai hukum logaritma. Pelajar seakan-akan pening dan keliru dengan hukum ini.

Pelajar juga seperti tidak mengetahui tempat dan masa yang sesuai untuk menggunakan hukum

ini dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Penyelidik berpendapat ini mungkin kerana

pelajar hanya memandang ringan terhadap hukum logaritma dan beranggapan hukum ini hanya

perlu dihafal tanpa perlu memahami konsepnya yang sebenar. Oleh itu, terbukti bahawa pelajar

tidak dapat menggunakan hukum ini di tempat yang sesuai.

Ini adalah kenyataan yang diberikan oleh responden yang pertama, iaitu:

“…yang ni saya ingat sikit-sikit je la…contohnya…”

Berdasarkan gambar rajah itu, jelas menunjukkan responden pertama gagal untuk mengingati

huku logaritma. Jika hukum ini tidak dapat diingati, justeru pelajar ini dianggap belum

menguasai hukum ini.

Bagi responden kedua pula, beliau mengatakan:

“…hukum log???...tak ingat la…tak pernah menghafalnya…:

Dengan kenyataan yang diberi oleh responden kedua ini, penyelidik telah menganggap

responden ini belum enguasai hukum logaritma secukupnya. Di samping itu, responden yan

ketiga pula mengatakan:

“…rumus banyak r nk ingat…tak ingat saya ada berapa…hm…tak ingat la…sebelum ni ada

jugak ingat sikit…ni tak tahu nk bahagi atau tak…tolak kot…”

Berdasarkan kenyataan yang dibuat oleh responden ketiga, jelas di sini bahawa respondan ketiga

juga tidak menguasai hukum logaritma sepenuhnya juga. Ini disebabkan kerana beliau masih lagi

keliru tentang jenis hukum logaritma yang perlu dia tahu dan yang harus dia gunakan untuk

menyelesaikan masalah persamaan logaritma yang diberi.