NOMBOR KOMPLEK

MATEMATIK KEJURUTERAAN II B2001

BAB 3

PEMBEZAAN

2.0 Pengenalan

Kebanyakan fenomena fizikal melibatkan penukaran kuantiti, misalnya kelajuan roket, kadar inflasi, kekuatan gempa bumi, voltan elektrik dan sebagainya. Kecerunan bukit boleh ditentukan dengan mempertimbangkan perubahan pada nilai menegak, y terhadap perubahan nilai mengufuk, x.

Kecerunan bagi satu garis lurus ditakrifkan sebagai:

Kecerunan = Perubahan pada y Perubahan pada xUntuk fungsi linear, kecerunannya sentiasa tetap iaitu tiada kadar perubahan. Jika fungsi bukan linear dipertimbangkan, didapati bahawa kadar perubahannya tidak tetap.

Fungsi f dikatakan terbezakan pada x jika dan hanya jika wujud. Jika had ini wujud , ia disebut pembezaan atau terbitan bagi f pada x dan dilambangkan sebagai . Jika y di dalam sebutan x , maka pembezaan atau terbitan bagi y terhadap x ditulis sebagai . Ini bermakna setara dengan .

Dalam bab ini, kita akan mempelajari dan memahami secara matematik tentang perubahan dan pekadaran.

2.1 Idea Had

Aplikasi had juga diperlukan dalam kalkulus pembezaan atau terbitan. Pertimbangkan suatu fungsi f yang ditakrifkan pasa suatu nombor yang berhampiran dengan c tetapi tidak semestinya tertakrif pada c. Apabila x menghampiri c, akan menghampiri suatu nombor. Pernyataan ini boleh ditulis seperti berikut:

Ini bermakna had bagi apabila x hampir dengan c tetapi tidak sama dengan c ialah L. Konsep ini boleh diterangkan pada rajah di bawah.

Lengkungan di atas mewakili suatu fungsi f dan nilai c terletak pada paksi x . Dengan menggunakan konsep had di dapati bahawa apabila x menghampiri c sama ada dari kiri atau dari kanan , maka nilai akan mendekati L yang terletak pada paksi y.

Selain daripada kaedah jadual, kita juga boleh mengira had suatu fungsi dengan cara menggunakan sifat-sifat had

Jika dan , maka

1. had (f(x) + g ( x )( = had f (x ) + had g (x )

x(a x ( a x ( a

= A + B

2. had (f(x) - g ( x )( = had f (x ) - had g (x )

x(a x ( a x ( a

= A - B

3. had f(x).g ( x ) = had f (x ) . had g (x )

x(a x ( a x ( a

= AB

4. =

= ,

5. had c = c dimana c ialah pemalar

x(a

6. had c . g(x ) = c

x(a = cA dimana c ialah pemalar

2.2 Pembezaan Menggunakan Prinsip Pertama

Pertimbangkan y= f(x) dan titik P (x , y ) di atas lengkung pada di bawah

Jika x bertambah sebanyak (x, y bertambah sebanyak (y, maka koordinatnya menjadi satu titik baru iaitu Q ( x + (x , y + (y ). Perhatikan apabila Q menghampiri P, (x menghampiri sifar,ditulis sebagai (x 0.

Oleh yang demikian, daripada idea had, pembezaan mewakili kecerunan lengkung pada suatu titik dan kita akan memperolehi bahawa

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Dengan demikian, boleh diterbitkan sebagai had apabila x menghampiri sifar.

Kaedah mencari pembezaan menggunakan idea had dikenali sebagaai kaedah Prinsip Pertama.2.3 Petua Asas Pembezaan

Ciri-ciri penting yang dapat diperhatikan dalam pembezaan ialah:

i. Indek bagi x berkurang 1 unit

ii. Hasil pembezaan didarab dengan indeks asal bagi x

Secara amnya, jika y = nx, maka = nx n 1 dan pernyataan ini adalah benar jika n ialah sebarang nombor nyata.

2.4 Pembezaan Bagi Fungsi-Fungsi Hasil Tambah Dan Hasil Tolak

Secara amnya, jika y = f(x ) + g(x ) maka f ((x) + g((x) dan jika y = f(x ) - g(x ) makaf ((x) g ((x)2.5 Pembezaan Fungsi Gubahan

Pembezaan bagi fungsi-fungsi algebra seperti y=(1+x)4 atau tidak dapat dilakukan menggunakan kaedah-kaedah seperti yang dibincangkan di atas. Fungsi di atas dikenali sebagai fungsi gubahan dan untuk melakukan pembezaan bagi fungsi tersebut, Petua Rantai digunakan. Petua ini kadangkala dikenali sebagai Pembezaan menggunakan Gantian .

Jika y = f (u), di mana u adalah fungsi dalam x, maka

Secara amnya ,

2.6 Petua Hasil Darab

Jika y = uv, di mana u dan v adalah fungsi-fungsi bagi x, maka

2.7 Petua Hasil Bahagi

Jika y = , di mana u dan v adalah fungsi-fungsi bagi x maka

2.8 Pembezaan Fungsi Trigonometri, Fungsi Logarithma Dan Fungsi EksponenSelain fungsi algebra yang telah dibincangkan di atas, pembezaan juga boleh dilakukan ke atas fungsi-fungsi trigonometri, logarithma dan eksponen.

Pembezaan Fungsi Trigonometri

Pembezaan bagi fungsi-fungsi trigonometri dapatlah diringkaskan seperti berikut :

Daripada contoh-contoh di atas didapati bahawa

Dengan menggunakan Petua Rantai juga, pembezaan fungsi-fungsi trigonometri dapat dicapai menggunakan petua-petua berikut:

Pembezaan Bagi Fungsi Logarithma

Pembezaan Fungsi Eksponen

Jika y = ex , maka

dan

2.9 Pembezaan Peringkat KeduaJika y adalah fungsi dalam x , maka pembezaan peringkat pertama bagi ditulis sebagai Membezakan bagi kali kedua ditulis sebagai di mana ini dikenali sebagai Pembezaan Peringkat Kedua. Secara amnya tatatanda bagi pembezaan Peringkat Pertama ditulis sebagai atau f '(x) manakala bagi Pembezaan Peringkat Kedua ditulis sebagai atau f "(x).

Penghasilan rumus bagi pembezaan trigonometri

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

dan seterusnya

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(y

(x

Q ( x + (x , y + (y)

x

y = f ( x )

Rajah 2.1

P( x , y )

y

PAGE 15

LEILA @ JMSK

_1154670149.unknown

_1154671473.unknown

_1154672310.unknown

_1155743066.unknown

_1155743520.unknown

_1155743045.unknown

_1154674671.unknown

_1154672215.unknown

_1154672280.unknown

_1154672145.unknown

_1154671909.unknown

_1154670748.unknown

_1154671426.unknown

_1154670613.unknown

_1049790613.unknown

_1071551710.unknown

_1154669944.unknown

_1154670103.unknown

_1154669812.unknown

_1091272618.unknown

_1049976794.unknown

_1057569501.unknown

_1071551562.unknown

_1057572843.unknown

_1049976853.unknown

_1049976896.unknown

_1049811124.unknown

_1049811176.unknown

_1049811059.unknown

_1049566419.unknown

_1049632033.unknown

_1049778003.unknown

_1049605384.unknown

_1049566648.unknown

_1049273136.unknown

_1049548022.unknown

_1049566267.unknown

_1049566372.unknown

_1049548111.unknown

_1049273254.unknown

_1049273280.unknown

_1049273179.unknown

_1049272672.unknown

_1049273108.unknown

_1049271944.unknown

_1049271957.unknown

_1049271976.unknown

_1049267423.unknown

_1049267424.unknown

_1048506772.unknown