analisis regresi nonparametrik model spline dan

ANALISIS REGRESI NONPARAMETRIK MODEL SPLINE DAN

PENERAPANNYA

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Vicensius Hernando Christianto

143114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

ANALISIS REGRESI NONPARAMETRIK MODEL SPLINE DAN

PENERAPANNYA

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :


143114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019


ii

NONPARAMETRIC REGRESSION ANALYSIS OF SPLINE MODELS

AND IT’S APPLICATIONS

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by


143114023

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Barangsiapa setia dalam perkara-perkara kecil,

ia setia juga dalam perkara-perkara besar.

Dan barangsiapa tidak benar dalam perkara-perkara kecil,

ia tidak benar juga dalam perkara-perkara besar.”

Lukas 16:10

“Akulah pokok anggur dan kamulah ranting-rantingnya.

Barangsiapa tinggal di dalam Aku dan Aku di dalam dia,

ia berbuah banyak, sebab di luar Aku

kamu tidak dapat berbuat apa-apa”

Yohanes 15:5

Tugas akhir ini saya persembahkan untuk:

1. Tuhan Yesus Kristus atas segala Berkat dan Kasih-Nya sehingga tugas

akhir ini dapat selesai.

2. Papa, Mama, Valen, dan Sheren tercinta

3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang

tidak tergantikan.

4. Semua orang yang membaca skripsi saya.


viii

ABSTRAK

Pendekatan model regresi ada dua, yakni pendekatan parametrik dan

nonparametrik. Regresi Spline merupakan salah satu model dengan pendekatan

nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polynomial tersegmen.

Tujuan dari penelitian ini adalah mempelajari penggunaan regresi spline untuk

pendugaan dan pemodelan kurva regresi, serta memilih model regresi spline

terbaik dengan kriteria GCV yang minimum. Data yang digunakan adalah Harga

Kurs Jual dan Kurs Beli Rupiah ke dollar Amerika Serikat pada tahun 2018. Hasil

penelitian menunjukkan bahwa untuk data Kurs Beli adalah 7431.198=GCV ;

dan model Regresi spline tersebut memiliki Koefisien Determinasi (R-Squared) sebesar 97.79% Sedangkan untuk data Kurs Jual adalah dengan 7579.271=GCV ;

dan model Regresi spline tersebut memiliki Koefisien Determinasi (R-Squared)

sebesar 97.79%.

Kata kunci: Nonparametrik, Spline, GCV, Knot


ix

ABSTRACT

There are two regression modelling approaches, namely parametric and non-

parametric approaches. Spline regression is one of non-parametric approach

which is a modification of segmented polynomial function. The aim of this

research is to study the use of spline regression in estimating and modelling

regression curve and determining the best spline regression model by using

minimum GCV criterion. The data used in this research is the exchange rate

Indonesian Rupiah to US Dollar in 2018. The result of the research shows that the

best spline regression for buying rate is GCV = 7431.198; and this spline

regression model has the number of Coefficient of Determination (R-Squared) at

97.79%. Meanwhile, for selling rate is GCV = 7579.271; and this spline

regression model has the number of Coefficient of Determination (R-Squared) at

97.79%.

Key words : nonparametic, spline, GCV, Knot


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat yang selalu

menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini dibuat

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program

Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.

Banyak rintangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan

rahmat Tuhan Yesus Kristus serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya tugas

akhir ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. , selaku dosen pembimbing yang

telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran serta ilmu yang telah

diberikan sehingga terselesaikannya tugas akhir ini.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

3. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi

Matematika.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

5. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Bapak Dr. rer. Nat. Herry P

Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen Program Studi Matematika yang

telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

6. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

7. Kedua orang tua, Yudi Kristianto dan Ika Riajatika . Adikku Valen dan

Sheren yang selalu memberikan dukungan, doa dan semangat.

8. Kak Bintang dan Kak Ezra yang sudah membantu dan memberi

semangat.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN......................................................................................... vii

ABSTRAK ................................................................................................................... viii

ABSTRACT ................................................................................................................. ix

KATA PENGANTAR ................................................................................................. x

DAFTAR ISI ................................................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1

A. Latar Belakang ................................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................................ 2

C. Batasan Masalah ............................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan .............................................................................................. 3

E. Manfaat Penulisan ............................................................................................ 3

F. Metode Penulisan ............................................................................................. 3

G. Sistematika Penulisan ....................................................................................... 3

BAB II MODEL REGRESI LINEAR........................................................................... 5

A. Analisis Regresi ................................................................................................ 5

B. Regresi Parametrik ........................................................................................... 5

C. Penduga Parameter Regresi .............................................................................. 7

D. Koefisien Determinasi....................................................................................... 14

BAB III MODEL REGRESI SPLINE.......................................................................... 16

A. Regresi Nonparametrik...................................................................................... 16

B. Regresi Spline.................................................................................................... 18

C. Pemilihan Model Regresi Spline dengan titik knot Optimal…………………. 21


xiii

BAB IV PENERAPAN MODEL REGRESI SPLINE UNTUK KURS RUPIAH

TERHADAP DOLLAR AMERIKA.............................................................................

30

A. Sumber Data...................................................................................................... 30

B. Variabel Penelitian dan Langkah-langkah........................................................ 30

C. Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat

Menggunakan Regresi Nonparametrik Spline................................................... 31

D. Scatterplot “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat di

tahun 2018

31

E. Model Regresi Nonparametrik Spline............................................................... 33

F. Pemilihan Titik Knot Optimum........................................................................ 33

G. Parameter Model Regresi Nonparametrik Spline.............................................. 36

BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 44

A. Kesimpulan ...................................................................................................... 44

B. Saran ................................................................................................................ 44

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 46

LAMPIRAN ................................................................................................................ 48


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 .................................................................................................. 17 Gambar 3.2 .................................................................................................. 20 Gambar 3.3 .................................................................................................. 23 Gambar 3.4 .................................................................................................. 29 Gambar 4.1 .................................................................................................. 32 Gambar 4.2 .................................................................................................. 32 Gambar 4.3 .................................................................................................. 36 Gambar 4.4 .................................................................................................. 38 Gambar 4.5 .................................................................................................. 40


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam dunia sains dan teknik, banyak penelitian yang bertujuan

mencari dasar-dasar untuk mengadakan prediksi suatu variabel dari

informasi-informasi yang diperoleh dari variabel tersebut. Misalnya,

apakah prestasi pemain sepak bola dapat diprediksi dari keahliannya dan

umur pemain tersebut, apakah keadaan cuaca dapat diramalkan dari suhu,

tekanan udara dan kecepatan angin, dan lain sebagainya. Dalam kehidupan

sehari-hari kita sering melihat suatu peristiwa yang terjadi akibat peristiwa

yang lain. Untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum

diketahui, analisis regresi dapat digunakan untuk membantu menganalisis

hubungan tersebut.

Analisis regresi merupakan kajian terhadap hubungan satu variabel

terikat dengan satu atau lebih variabel bebas. Terdapat beberapa

pendekatan yang ada dalam analisis regresi, yaitu regresi parametrik, dan

regresi nonparametrik. Analisis regresi parametrik adalah analisis yang

paling banyak digunakan. Dalam regresi parametrik terdapat banyak

asumsi yang harus dipenuhi, salah satunya adalah bentuk kurva regresi

yang harus diketahui, bisa berbentuk linier, kuadratik, kubik dan lain-lain.

Apabila bentuk kurva regresi tidak diketahui polanya, maka analisis

regresi nonparametrik lebih disarankan untuk digunakan. Pendekatan

nonparametrik juga lebih fleksibel, hal ini dikarenakan tidak dibatasi oleh

asumsi-asumsi seperti halnya pada pendekatan parametrik. Salah satu

model regresi dengan pendekatan nonparametrik yang dapat digunakan

untuk menduga kurva regresi adalah regresi spline.

Regresi spline adalah suatu pendekatan ke arah pengepasan data

dengan tetap memperhitungkan kemulusan kurva. Spline merupakan

model polinomial yang tersegmen/terbagi. Sifat tersegmen/terbagi inilah

yang memberikan fleksibilitas yang lebih baik daripada model polinomial


2

biasa. Sifat ini memungkinkan model regresi spline menyesuaikan diri

secara efektif terhadap karakteristik lokal dari data. Spline juga

mempunyai keunggulan dalam mengatasi pola data yang cenderung

naik/turun secara tajam, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus.

Penggunaan spline difokuskan kepada adanya perilaku atau pola data,

yang pada daerah tertentu, mempunyai karakteristik yang berbeda. Untuk

memperoleh regresi spline yang optimal maka perlu dipilih lokasi knot

yang optimal pula.

Metode yang digunakan untuk menentukan knot yang optimal,

beberapa di antaranya adalah MSE (Mean Square Error) dan GCV

(Generalized Cross Validation). Titik knot optimal diperoleh dari nilai

MSE dan GCV minimum. GCV merupakan modifikasi dari CV (Cross

Validation).

Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang penggunaan estimasi

spline terpotong (truncated) dalam menentukan model terbaik regresi

nonparametrik dengan penyelesaian optimal dan pemilihan knot yang

optimal dengan menggunakan metode GCV.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana model optimal untuk menduga nilai kurs harian rupiah

terhadap dollar Amerika Serikat dengan regresi nonparametik spline?

2. Bagaimana menyelesaikan pemrograman regresi nonparametrik spline

menggunakan perangkat lunak R?

C. Batasan Masalah

Tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa masalah, yaitu:

1. Metode yang digunakan untuk menentukan banyaknya titik knot dan

lokasi titik knot optimum adalah dengan menggunakan metode

Generalized Cross Validation (GCV).


3

2. Membahas penentuan model regresi spline secara deskriptif dan

menggunakannya untuk estimasi nilai di masa depan.

3. Tidak membahas fungsi pemulus.

4. Tidak membahas uji hipotesis model.

5. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan

materi

D. Tujuan Penulisan

Mengetahui model regresi nonparametrik spline terbaik pada nilai kurs

harian rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dengan menggunakan GCV

sebagai metode untuk menentukan knot yang menghasilkan nilai yang

minimum dalam menentukan model regresi spline, serta penerapannya

pada data.

E. Manfaat Penulisan.

Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui cara

penyelesaian beberapa masalah di kehidupan nyata menggunakan regresi

nonparametrik spline.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu studi

pustaka dengan membaca buku, jurnal-jurnal, dan makalah ilmiah yang

berhubungan dengan regresi nonparametrik spline serta simulasi

menggunakan program R.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan


4

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II MODEL REGRESI LINEAR

A. Analisis Regresi

B. Regresi Parametik

C. Penduga Parameter Regresi

D. Koefisien Determinasi

BAB III MODEL REGRESI SPLINE

A. Regresi Nonparametrik

B. Regresi Spline

C. Pemilihan Model Regresi Spline dengan titik knot Optimal

BAB IV PENERAPAN MODEL REGRESI SPLINE UNTUK KURS

RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA

A. Sumber Data

B. Variabel Penelitian dan Langkah-langkah

C. Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika

Serikat Menggunakan Regresi Nonparametrik Spline

D. Scatterplot “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika

Serikat di tahun 2018

E. Model Regresi Nonparametrik Spline

F. Pemilihan Titik Knot Optimum

G. Parameter Model Regresi Nonparametrik Spline

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

LAMPIRAN


5

BAB II

MODEL REGRESI LINEAR

A. Analisis Regresi

Analisis regresi merupakan teknik analisis untuk menyelidiki dan

membuat model hubungan di antara variabel-variabel. Tujuan analisis regresi

yaitu untuk mendapatkan model terbaik yang menggambarkan hubungan antara

variabel respon (variabel tak bebas/variabel dependen) dengan satu atau lebih

variabel penjelas (variabel bebas/variabel independen) (Hosmer and Lemeshow,

2000). Variabel penjelas adalah variabel yang nilainya dapat ditentukan atau yang

nilainya dapat diamati. Variabel respon adalah variabel yang nilainya dipengaruhi

oleh variabel-variabel penjelas. Analisis regresi sendiri dapat dibedakan menjadi

dua, regresi parametrik dan regresi nonparametrik.

B. Regresi Parametrik

Regresi parametrik merupakan suatu metode yang sederhana dalam kajian

analisis regresi, namun di sisi lain menuntut terpenuhinya berbagai asusmsi yang

sangat ketat, salah satunya adalah bentuk kurva regresi diketahui, misalnya linear,

kuadartik, kubik, polinomial derajat-p, eksponen, dan lain-lain.

Pendekatan parametrik mengasumsikan bahwa )(xf memiliki keluarga

fungsi parametrik: )( βxf . Jadi f diketahui hingga sejumlah parameter terbatas.

Beberapa contohnya:

21

221

1

ββββ

ββββ

βββ

xxf

xxxf

xxf

o

o

o

+=

++=

+=

)(

)(

)(

Pendekatan parametrik cukup fleksibel karena tidak dibatasi hanya pada

prediktor linier seperti pada model pertama dari tiga di atas. Kita dapat

menambahkan berbagai jenis istilah seperti polinomial dan fungsi lain dari

variabel untuk mencapai kecocokan. Model nonlinier, seperti kasus ketiga di atas,

juga bersifat parametrik.


6

Pengetahuan terhadap bentuk kurva regresi memudahkan dalam memilih

salah satu bentuk keluarga kurva atau fungsi regresi yang memungkinkan dari

beberapa alternatif yang ada, kemudian menempatkan fungsi regresi tersebut

dalam proses inferensi. Jika bentuk kurva atau fungsi regresi yang dipilih bisa

tepat, maka analisis regresi parametrik akan lebih menguntungkan, khususnya

metode inferensinya dan interpretasi parameter akan lebih sederhana. Oleh karena

itu analisis regresi parametrik lebih sering digunakan apabila terdapat informasi

tentang bentuk kurva regresinya.

Secara matematis model regresi parametrik untuk sebuah pengamatan iy

bisa ditulis dengan persamaan sebagai berikut:

iii xfy ε+= )( , ni ,,2,1 = (2.1)

fungsi )( ixf seringkali disebut sebagai fungsi regresi parametrik atau kurva

regresi parametrik yang memiliki galat acak iε dan diasumsikan berdistribusi

normal, independen dengan rata-rata nol dan variansi 2σ . Fungsi )( ixf dapat

dituliskan dalam bentuk:

iiy ε+= βXi

dimana [ ]ipii xxx 21=iX , ni ,,2,1 = ; sedangkan n adalah banyaknya data

dan p adalah banyaknya variabel, sementara

=

pβ

ββ

1

0

β . Sehingga persamaannya

menjadi:

[ ] i

p

ipiii xxxy ε

β

ββ

+

=

1

0

211

iippiii xxxy εββββ +++++= 22110 , ni ,,2,1 = (2.2)


7

di mana

=iy nilai ke-i dari variabel respon ( n,,,i ,321= )

=ijx nilai ke-i dari variabel penjelas ke-j ( p,,,j ,321= )

=oβ konstanta regresi / slope

=pβββ ,,, 21 koefisien regresi

=iε galat

Untuk semua i, model (2.1) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

sebagai berikut

εβXy +=

dengan

=

ny

yy

2

1

y ,

=

npnn

p

p

p

xxx

xxxxxxxxx

21

33231

22221

11211

11111

X ,

=

pβ

ββ

1

0

β ,

=

nε

εε

2

1

ε

dengan

=y vektor kolom dari variabel respon ( )1×n

=X matriks dari variabel penjelas ( ))( 1+× pn

=β vektor kolom dari parameter ( )11 ×+ )( p

=ε vektor kolom dari galat ( )1×n

Jika variabel penjelas hanya satu maka model menjadi Regresi linear

sederhana, maka hubungan tersebut dapat ditulis sebagai

εββ ++= xy o 1

C. Penduga Parameter Regresi

Parameter dalam model regresi dapat diduga dengan Metode Kuadrat

Terkecil (Ordinary Least Square). Untuk mendapatkan estimasi OLS dari β ,

pertama tuliskan k-variable sample regression:


8

ikikiii XXXY εββββ

+++++= 22110 (2.3)

yang dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks sebagai

εβXy += (2.4)

dan dalam bentuk matriks sebagai

+

=

nkknnn

k

k

n XXX

XXXXXX

Y

YY

ε

εε

β

ββ

2

1

1

0

31

23212

13111

2

1

1

11

(2.5)

di mana β

adalah vektor kolom k+1-elemen dari estimasi OLS dari koefisien

regresi dan di mana ε adalah vektor kolom nx1 dari n residual.

dalam kasus k+1 variabel penduga OLS diperoleh dengan meminimalkan

( )∑∑ −−−−−=2

221102

kikiiii XXXY ββββε

(2.6)

di mana ∑ 2iε adalah jumlah sisa kuadrat (RSS). Dalam notasi matriks, ini berarti

meminimalkan εε T

[ ] ∑=+++=

= 2222

21

2

1

21T

in

n

n εεεε

ε

εε

εεεεε (2.7)

sekarang dari (2.4) kita dapatkan

βXyε −= (2.8)

karena itu

( ) ( )βXβXyXβyy

βXyβXyεε

TTTTT

TT

2 +−=

−−= (2.9)

di mana sifat-sifat transpose dari sebuah matriks yaitu, ( ) TTXββX

=T dan karena

yXβ TT adalah skalar (bilangan real), itu sama dengan transpose βXyT .

Persamaan (2.9) adalah representasi matriks dari (2.6) dalam notasi skalar, metode

OLS terdiri atas estimasi 0β , 1β , ... , kβ sehingga ∑ 2iε sekecil mungkin. Ini


9

dilakukan dengan menurunkan (2.6) secara parsial terhadap 0β

, 1β

, ... , kβ

dan

menyama dengankan dengan nol. Proses ini menghasilkan k+1 persamaan

simultan dengan k+1 paramater yang tidak diketahui, yaitu persamaan normal dari

teori kuadrat-terkecil.

Mencari nilai turunan dari

( )∑∑ −−−−−=2

221102

kikiiii XXXY ββββε

terhadap 0β

, 1β

, ... , kβ

, kita peroleh

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )kikikiiik

i

ikikiiii

kikiiii

XXXXY

XXXXY

XXXY

−−−−−−=∂

∂

−−−−−−=∂

∂

−−−−−−=∂

∂

∑∑

∑∑

∑∑

222110

2

12

221101

2

222110

0

2

2

2

12

βββββε

βββββε

βββββε

dengan menetapkan turunan parsial sebelumnya sama dengan nol kita

memperoleh k+1 persamaan normal sebagai berikut

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

=++++

=++++

=++++

=++++

ikikikikiikiki

iikiikiiii

iikiikiiii

ikikii

YXXXXXXX

YXXXXXXX

YXXXXXXX

YXXXn

222110

2222212120

112122

1110

22110

ββββ

ββββ

ββββ

ββββ

(2.10)

Dalam bentuk matriks (2.10) dapat direpresentasikan sebagai


10

( ) yXβXX TT

3

2

1

21

22221

11211

2

1

0

221

222122

1122

11

21 111

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

nknkk

n

n

kkiikiikiki

kiiiiii

kiiiiii

kiii

Y

YYY

XXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXXn

β

βββ

atau, lebih ringkasnya, sebagai

( ) yXβXX TT =

(2.11)

Dalam (2.11) ( )XXT dan yXT diketahui dan vektor yang tidak diketahui adalah β

. Berdasarkan aljabar matriks, jika invers dari ( )XXT ada, katakanlah, ( ) 1T −XX ,

maka kita memperoleh

( ) ( ) ( ) yXXXβXXXX T1TT1T −−=

karena ( ) ( ) IXXXX =

− T1T , sebuah matriks identitas dari ( )11 +×+ kk ,

didapatkan

( ) yXXXβI T1T −=

atau

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )111111

T1T

××++×+×+=

−

nnkkkkyXXXβ

Contoh 2.1

Carilah model regresi linier ini ke data yang diberikan dan kemudian

perkirakan jumlah nitrous oxide yang dipancarkan untuk kondisi di mana

kelembaban adalah 50%, suhu adalah 76◦F, dan tekanan barometer adalah 29,30.

Tabel 2.1 Data contoh 2.1

Nitrous Oxide

(y)

Humidity

(x1)

Temp.

(x2)

Pressure

(x3)

0.9 72.4 76.3 29.18


11

0.91 41.6 70.3 29.35

0.96 34.3 77.1 29.24

0.89 35.1 68 29.27

1 10.7 79 29.78

1.1 12.9 67.4 29.39

1.15 8.3 66.8 29.69

1.03 20.1 76.9 29.48

0.77 72.2 77.7 29.09

1.07 24 67.7 29.6

1.07 23.2 76.8 29.38

0.94 47.4 86.6 29.35

1.1 31.5 76.9 29.63

1.1 10.6 86.3 29.56

1.1 11.2 86 29.48

0.91 73.3 76.3 29.4

0.87 75.4 77.9 29.28

0.78 96.6 78.7 29.29

0.82 107.4 86.8 29.03

0.95 54.9 70.9 29.37

Sumber data: Wapole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers &

Keying Ye. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. 9𝑡ℎ

Edition. Boston: Prentice Hall. Halaman: 445.

Jawab


12

=

95082078087091011111194007107177003115111

189096091090

.

.

.

.

...........

.

.

..

y

=

3729970954103298864107129297786961282997747514293763731482986211156293866101632997653113529686447138298762231629767241

092977727214829976120169298663813929467912178297971012729681351242917733413529370641118293764721

...

...

...

...............................................

X

=

511727887449764252838458787449763117912096700041530425283096700089548761863

8458741530186320

T

....

........

...

XX

( )

−−−

−−−

=−

2569173000219001566104296000219000132570000007080104830015661000000708000013590460770

429610483046077093228611T

....

....

........

XX

=

121957143714834777794219

T

....

yX

sehingga


13

( )

−−

=

×

−−−

−−−

==−

154155.0000799.0

00262.050778.3

1219.571437.1483477.77942.19

256917.3000219.0015661.042.96000219.00013257.000000708.010483.0015661.000000708.00001359.046077.0

42.9610483.046077.0932.2861

3

2

1

0

T1T

ββββ

yXXXβ

Perhitungan diatas sama nilainya dengan menggunakan program R berikut

> data= read.csv(file.choose(), header=T)

> data

> attach(data)

> model=lm(y~x1+x2+x3)

> summary(model)

Hasil:

Solusi yang didapatkan dari data di atas adalah

507778130 .−=β , 002625001 .−=β , 000798902 .=β , 154155003 .=β

karena itu, persamaan regresinya adalah


14

321 15415500000798900026250050777813 xxxy .... ++−−=

Untuk kelembaban 50%, suhu 76◦F, dan tekanan barometrik 29,30, perkiraan

jumlah nitrous oxide yang dipancarkan adalah

938403029154155007600079890500026250050777813

.).(.)(.)(..

=++−−=y

D. Koefisien Determinasi

Salah satu tujuan analisis regresi adalah mendapatkan model terbaik yang

mampu menjelaskan hubungan antara variabel prediktor dan variabel respon.

Kriteria yang dapat digunakan dalam pemilihan model terbaik salah satunya

adalah dengan menggunakan koefisien determinasi/ R-Square 2R . Secara

umum semakin besar nilai 2R , maka semakin baik pula model yang

didapatkan.

Definisi 2.1

Koefisien determinasi didefinisikan sebagai berikut :

( )

( )2

1

2

12

∑

∑

−

=

−

−=

n

ii

n

ii

yy

yyR

Besaran nilai 2R tidak pernah negatif dan batasannya adalah 10 2 ≤≤ R

Contoh 2.2

Mencari nilai 2R perhitungan dengan menggunakan data contoh 2.1

Nitrous Oxide (y) y ( )2yy − ( )2yy −

0.9 0.86137097 0.012018524 0.005041

0.91 0.96363392 5.42591E-05 0.003721

0.96 0.97127189 7.39242E-08 0.000121

0.89 0.96652655 2.00118E-05 0.006561

1 1.1179835 0.021604149 0.000841

1.1 1.04282081 0.005158229 0.016641


15

1.15 1.10066297 0.016812486 0.032041

1.03 1.04538431 0.005533026 0.003481

0.77 0.84914048 0.014849743 0.040401

1.07 1.04629553 0.005669417 0.009801

1.07 1.02175142 0.002575707 0.009801

0.94 0.96143099 9.1566E-05 0.000961

1.1 1.03858256 0.004567402 0.016641

1.1 1.09016387 0.014200028 0.016641

1.1 1.0760168 0.011028528 0.016641

0.91 0.89292257 0.006096085 0.003721

0.87 0.87018971 0.010162715 0.010201

0.78 0.81672038 0.023802201 0.036481

0.82 0.75476117 0.046759232 0.022801

0.95 0.93228386 0.001498939 0.000441

Jumlah 0.202502321 0.25298

dengan 971.0=y maka di peroleh

( )

( )8005.0

25298.0202502321.0

2

1

2

12 ==

−

−=

∑

∑

−

=

n

ii

n

ii

yy

yyR

sehingga hasil yang didapat nilainya sama dengan menggunakan program R pada

contoh 2.1


16

BAB III

MODEL REGRESI SPLINE

A. Regresi Nonparametrik

Model regresi nonlinear tradisional di tulis dalam bentuk

ε+= )θ,x(fy

dengan θ adalah vektor parameter yang akan diestimasi, dan x adalah

vektor penjelas, error ε diasumsikan terdistribusi secara normal dan independen

dengan rata-rata 0 dan varians konstan 2σ . Fungsi )θx,(f , menghubungkan nilai

rata-rata dari respon y terhadap penjelas, ditentukan sebelumnya, seperti dalam

model regresi parametrik.

Model regresi nonparametrik secara umum ditulis dengan cara yang sama,

tetapi fungsi f tidak dispesifikasi

εε

+=+=

),,,()x(

pxxxffy

21

untuk p penjelas T21 ),,,(x pxxx = .Selain itu, objek regresi

nonparametrik adalah untuk memperkirakan fungsi regresi )(xf secara langsung,

daripada menduga parameter. Sebagian besar metode regresi nonparametrik

secara implisit menganggap bahwa f adalah fungsi yang mulus dan kontinu.

Kasus khusus yang penting dari model umum adalah regresi sederhana

nonparametrik, di mana ada hanya satu penjelas:

ε+= )(xfy

Regresi sederhana nonparametrik sering disebut pemulusan diagram

pencar (scatterplot smoothing) karena aplikasi pentingnya adalah mencari kurva

mulus yang melalui diagram pencar y terhadap x. Istilah regresi nonparametrik

akan digunakan sepanjang tulisan ini.

Karena sulit untuk menyesuaikan model regresi nonparametrik umum

ketika ada banyak penjelas, dan karena sulit untuk menggambarkan model yang


17

tepat ketika ada lebih dari dua atau tiga penjelas, model yang lebih restriktif telah

dikembangkan. Salah satu model tersebut adalah model regresi aditif

εβ +++++= )()()( pp xfxfxfy 22110

di mana fungsi regresi parsial )( jj xf diasumsikan mulus, dan akan diduga

dari data. Model ini jauh lebih restriktif daripada model regresi nonparametrik

umum, tetapi kurang restriktif daripada model regresi linier, yang mengasumsikan

bahwa semua fungsi regresi parsial adalah linear.

Contoh 3.1

Regresi nonparametrik data contoh diambil dari R “Speed and Stopping

Distances of Cars”. Data yang diberikan kecepatan mobil (mph) dan jarak yang

ditempuh untuk berhenti (ft). Data diambil pada tahun 1920 dengan 50

pengamatan pada 2 variabel. Data bisa dilihat pada Lampiran 1.

(https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/datasets/html/cars.html)

Gambar 3.1 Diagram Pencar

dengan menggunakan program R


18

> cars

> data=cars

> attach(data)

> xa<-ifelse(speed>10,1,0)

> xb<-ifelse(speed>15,1,0)

> xc<-ifelse(speed>20,1,0)

> x1<-(speed-10)*xa

> x2<-(speed-15)*xb

> x3<-(speed-20)*xc

> working<-data.frame(dist,speed,x1,x2,x3)

> out1<-lm(dist~speed+x1+x2+x3,data=working)

> plot(speed,dist,xlab="speed",ylab="distance", main="Speed and

Stopping Distances of Cars",pch=19)

> lines(speed,out1$fitted.values, lty="dashed",col="blue",lwd=3)

Gambar 3.1 adalah contoh data dalam bentuk diagram pencar yang didekati

dengan model regresi nonparametrik. Cara menentukan grafik yang optimal akan

dibahas dalam subbab berikutnya.

B. Regresi Spline

Pemulusan merupakan salah satu metode yang digunakan dalam analisis

data nonparametrik. Tujuan dari pemulusan adalah untuk memperkecil keragaman

dari data yang tidak memiliki pengaruh sehingga ciri-ciri dari data akan tampak

lebih jelas. Pemulusan telah menjadi teknik umum di dalam metode-metode

nonparametrik yang digunakan untuk menduga fungsi.

Salah satu model regresi dengan pendekatan nonparametrik yang dapat

digunakan untuk menduga kurva regresi adalah regresi spline. Regresi spline

adalah suatu pendekatan ke arah plot data dengan tetap memperhitungkan

kemulusan kurva. Spline merupakan model polinomial yang tersegmen atau

terbagi dimana sifat segmen inilah yang memberikan fleksibelitas yang lebih baik


19

dibanding model polinomial biasa. Sifat ini memungkinkan model regresi spline

menyesuaikan diri secara efektif terhadap karakteristik lokal dari data.

Definisi 3.1

Fungsi Spline berorde ke-M dengan knot Kτττ <<< 21 adalah fungsi

polinomial terpotong f sedemikian sehingga

1. f adalah polinomial berderajat M pada setiap ( ]1,τ∞− ,

[ ] [ ]KK ττττ ,,,, 121 − , [ )∞,Kτ

2. f kontinu dan memiliki turunan kontinu dari orde 1, ..., M-1 pada

knot Kτττ ,,, 21

fungsi Spline dapat disajikan dalam bentuk

ετβββ +−++= +=

+=

∑∑ Mk

K

kkM

M

m

mm xxxf )()(

110

dengan fungsi truncated (potongan) adalah

k

kM

kMk x

xuntukuntukx

xτττ

τ<≥

−

=− ++ ,

,0

)()(

dimana β adalah parameter, kτ adalah knot ke-K dari variabel x ,

Kk ,,2,1 = . M menjelaskan pangkat polinomial yang digunakan dalam model

spline dan K adalah banyaknya knot. Knot adalah titik-titik batas potongan-

potongan polinomial. Bila k=3 maka kurva model regresi spline terpotong ke

dalam 4 potongan. Jadi ketika k=K maka kurva model terpotong kedalam K+1

potongan

Fungsi regresi spline dapat di tulis dalam bentuk matriks

εβ)X(y += k

dengan

=

ny

yy

2

1

y

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

−−

−−−−

=

++

++

++

MKn

Mn

Mnn

MK

MM

MK

MM

xxxx

xxxxxxxx

k

ττ

ττττ

1

21222

11111

1

11

)(X


20

=

+

+

kM

M

M

β

ββ

βββ

1

2

1

0

β

=

nε

εε

2

1

ε

dengan

y = vektor kolom dari variabel respon ( )1×n

)(kX = matriks dari variabel penjelas ( ))1( ++× KMn

β = vektor kolom dari parameter ( )1)1( ×++ KM

ε = vektor kolom dari galat ( )1×n Contoh 3.2

Data contoh diambil dari R “Speed and Stopping Distances of Cars”. Data yang

diberikan kecepatan mobil (mph) dan jarak yang ditempuh untuk berhenti (ft).

Data diambil pada tahun 1920 dengan 50 pengamatan pada 2 variabel. Data bisa

dilihat pada Lampiran 1.

Gambar 3.2


21

dengan menggunakan program R

> plot(speed,dist,xlab="speed",ylab="distance", main="Speed and

Stopping Distances of Cars",pch=19)

> lines(speed,out1$fitted.values, lty="dashed",col="blue",lwd=2)

> abline(v=c(10,15,20),lty=1,col="darkgreen")

Gambar 3.2 adalah contoh data dalam bentuk diagram pencar yang didekati

dengan model regresi nonparametrik spline dengan 3 titik knot 10,15,20.

C. Pemilihan Model Regresi Spline dengan titik knot Optimal

Sesuai tujuan dari pendekatan regresi nonparametrik, yakni ingin

didapatkan kurva mulus yang mempunyai titik knot optimal menggunakan data

amatan sebanyak n, maka diperlukan ukuran kinerja atas penduga yang dapat

diterima secara universal. Ukuran kinerja atas penduga tersebut adalah:

a. Rata-rata kuadrat sisaan ( Mean Squared Error – MSE )

Ukuran kinerja atas penduga yang sederhana adalah kuadrat dari

sisaan yang di rata-rata

( ) ( )∑=

−=n

iiiK yy

nMSE

1

221

1,,, τττ

dengan =i 1, 2, 3,...,n dan ( )ii xfy = adalah penduga fungsi f(x).

b. Generalized Cross-Validation (GCV)

Dalam regresi spline, hal penting yang berperan dalam

mendapatkan estimator spline terbaik adalah pemilihan titik knot yang

optimal. Salah satu metode yang sering digunakan dalam memilih titik

knot optimal adalah Generalized Cross Validation (GCV). Metode

GCV juga memiliki kelebihan tidak memerlukan pengetahuan

terhadap variansi populasi 2σ . Metode GCV merupakan modifikasi

dari Cross-Validation (CV) dimana

( )2

121 1

1,,, ∑=

−−

=n

i ii

iiK h

yyn

CV

τττ


22

dan iih adalah elemen diagonal ke-i dari matriks H . Matriks H

adalah T1T XX)X(X − . Dengan demikian GCV adalah

( )( )

( )[ ]( )

( )[ ]2121

21

2

21

1,,,

11,,,

H

H

trnMSE

trn

yy

nGCV

K

n

niii

K

−

−

=

−=

−

−=

∑

τττ

τττ

Kedua kriteria pengujian ( )KMSE τττ ,,, 21 dan ( )KGCV τττ ,,, 21

diharapkan memiliki nilai yang minimum sehingga model regresi

spline dapat dikatakan memiliki titik knot yang optimal. Terlihat

bahwa ada hubungan linear antara MSE dan GCV. Bila nilai MSE

kecil maka nilai yang dihasilkan oleh GCV akan kecil juga.

Contoh 3.3

Carilah model terbaik dari data dibawah dan nilai GCV dengan

spline kubik dan 3 titik knot Tabel 3.1 Data contoh 3.3

x y

0.1 0.31

0.2 0.01

0.3 0.59

0.4 0.02

0.5 0.83

0.6 0.12

0.7 0.9

0.8 1.1

0.9 0.47

1 0.68

1.1 1.77

1.2 0.97


23

1.3 2.01

1.4 1.48

1.5 2.58

1.6 2.01

1.7 3.17

1.8 2.87

1.9 3.96

2 3.79

Jawab

Mk

K

kkM

M

m

mm xxxf +

=+

=∑∑ −++= )()(

110 τβββ

jika orde 3=M (Kubik) dan titik knot 3=s maka fungsi menjadi

( ) 336

325

314

33

2210 )()()( +++ −+−+−++++= τβτβτβββββ xxxxxxxf

dengan Scatter Plot sebagai berikut

Gambar 3.3 Scatter Plot x terhadap y


24

ambil sembarang titik knot dengan 5.01 =τ , 12 =τ ,dan 5.13 =τ sehingga di

dapatkan

( ) 36

35

34

33

2210 )5.1()1()5.0( +++ −+−+−++++= xxxxxxxf βββββββ

dengan fungsi truncated (potongan)

5.05.0

,,

0)5.0(

)5.0(3

3

<≥

−

=− ++ x

xuntukuntukx

x

11

,,

0)1(

)1(3

3

<≥

−

=− ++ x

xuntukuntukx

x

.5.15.1

,,

0)5.1(

)5.1(3

3

<≥

−

=− ++ x

xuntukuntukx

x

mencari nilai 0β , 1β , 2β , 3β , 4β , 5β ,dan 6β terlebih dahulu dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil. Fungsi regresi spline dapat di tulis dalam bentuk matriks

εβ)X(y += k

dengan

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

−−

−−−−

=

++

++

++

MKn

Mn

Mnn

MK

MM

MK

MM

xxxx

xxxxxxxx

k

ττ

ττττ

1

21222

11111

1

11

)(X

melalui fungsi truncated didapatkan bentuk matriks y dan )X(k yaitu


25

=

125.01375.38421064.0729.0744.2859.661.39.11027.0512.0197.2832.524.38.11008.0343.0728.1913.489.27.11001.0216.0331.1096.456.26.110125.01375.325.25.110064.0729.0744.296.14.110027.0512.0197.269.13.110008.0343.0728.144.12.110001.0216.0331.121.11.1100125.0111100064.0729.081.09.0100027.0512.064.08.0100008.0343.049.07.0100001.0216.036.06.01000125.025.05.01000064.016.04.01000027.009.03.01000008.004.02.01000001.001.01.01

)X(k

=

79.396.387.217.301.258.248.101.297.077.168.047.01.19.012.083.002.059.001.031.0

,y

dengan menggunakan metode kuadrat terkecil

=

020515.018844.0671965.063984.18442.04354.0225.018844.0978405.156888.7228055.1929985.105583.5025.3671965.056888.748292.2014432.804232.440312.254.1463984.1228055.1914432.8045581.216333.1232666.721.448442.029985.104232.44333.1232666.721.447.284354.05583.50312.252666.721.447.2821225.0025.34.141.447.282120

T XX

perhitungan ( ) 1T XX − dapat dilihat pada Lampiran Matriks 3.1


26

=

83205.014877.1067112.4328507.1212187.71859.4364.29

yXT

( )

−−

−

−

==−

589363.25661256.1

76950237.70572913.6

15320896.84998055.2

43546977.0

T1T yXXXβ

mencari nilai GCV dari data di atas dengan titik knot 5.01 =τ , 12 =τ ,dan 5.13 =τ

karena model estimasi telah diketahui maka kita bisa mendapat nilai penduganya

yang ditulis pada tabel berikut

x y iy 2)( iyy −

0.1 0.31 0.260964 0.002405

0.2 0.01 0.213179 0.041282

0.3 0.59 0.25577 0.11171

0.4 0.02 0.352394 0.110486

0.5 0.83 0.466708 0.131981

0.6 0.12 0.570136 0.202623

0.7 0.9 0.665183 0.055139

0.8 1.1 0.762122 0.114161

0.9 0.47 0.871227 0.160983

1 0.68 1.00277 0.10418

1.1 1.77 1.165458 0.365471


27

1.2 0.97 1.361735 0.153456

1.3 2.01 1.592476 0.174326

1.4 1.48 1.858559 0.143307

1.5 2.58 2.16086 0.175678

1.6 2.01 2.497666 0.237818

1.7 3.17 2.856906 0.098028

1.8 2.87 3.223921 0.12526

1.9 3.96 3.584052 0.141337

2 3.79 3.922638 0.017593

Jumlah 2.667223

sehingga didapatkan nilai ( ) 13336115.0667223.2201,,, 21 =×=KMSE τττ .

lalu mencari matriks H untuk mencari nilai GCV. Dimana H adalah

T1T XX)X(X − perhitungan ( ) 1T XX − dapat dilihat pada Lampiran Matriks 3.2

dan perhitungan matriks H dapat di lihat pada Lampiran Matriks 3.3 . Sehingga

didapatkan ( ) 7=Htr nilai dari GCV

( ) ( )( )[ ]

315647.04225.0

13336115.0

72011

13336115.01

,,,,,,

2

2121

21

==

×−

=

−=

− HtrnMSEGCV K

Kττττττ

Nilai MSE dan GCV di atas sama dengan nilai yang dihitung dengan

menggunakan program R

> library(mgcv)


> attach(data)

> X2<-x^2

> X3<-x^3


28

> XA<-ifelse(x>0.5,1,0)

> XB<-ifelse(x>1,1,0)

> XC<-ifelse(x>1.5,1,0)

> knot1<-(x-0.5)^3*XA

> knot2<-(x-1)^3*XB

> knot3<-(x-1.5)^3*XC

> Contoh<-data.frame(y,x,X2,X3, knot1, knot2, knot3)

> GCV<- gam(y ~ x+ X2+ X3+ knot1+ knot2+ knot3, data= Contoh)

> GCV

Hasil:

> OUTPUT<-lm(y ~ x+ X2+ X3+ knot1+ knot2+ knot3, data= Contoh)

> summary(OUTPUT)

Hasil:

sehingga solusi yang didapatkan dari data di atas adalah


29

4355.00 =β , 5003.21 −=β , 1534.82 =β , 0573.63 −=β , 7695.74 =β ,

5661.15 −=β , 5898.23 −=β

karena itu, persamaan regresinya spline adalah

3

3332

)5.1(5898.2

)1(5661.1)5.0(7695.70573.61534.85003.24355.0

+

++

−−

−−−+−+−=

xxxxxxy

Selanjutnya estimasi model regresi spline kubik dengan tiga titik knot

disajikan dalam bentuk fungsi terpotong (truncated) sebagai berikut :

≥−−−−

−+−+−

<≤−−

−+−+−<≤−+−+−

<−+−

=

++

+

+

+

+

5.1;)5.1(5898.2)1(5661.1

)5.0(7695.70573.61534.80350.24355.0

5.11;)1(5661.1

)5.0(7695.70573.65341.85003.24355.015.0;)5.0(7695.70573.61534.85003.24355.0

5.0;0573.61534.85003.24355.0

33

332

3

332

332

32

xxx

xxxx

xx

xxxxxxxxx

xxxx

y

yang memiliki nilai GCV=0.31565 dan bentuk plot estimasi data adalah sebagai

berikut

Gambar 3.4 Plot Hasil Estimasi data terhadap x


30

BAB IV

PENERAPAN MODEL REGRESI SPLINE UNTUK

KURS RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai metode dan tahapan-tahapan

dalam menyelesaikan permasalahan dalam data tentang “kurs jual dan kurs beli”

rupiah ke dollar Amerika Serikat di tahun 2018. Data tersebut akan diolah dengan

menggunakan metode statistika deskriptif, dan pemodelannya dengan

menggunakan metode regresi Nonparametrik Spline, serta penggunaan GCV

sebagai metode pemulus optimal pada data.

A. Sumber Data

Data yang digunakan dalam studi kasus ini berupa data historis sekunder

yang diambil dari website resmi Bank Indonesia, yaitu

https://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi-bi/Default.aspx .

Data tersebut merupakan data kurs harian yang berupa time series untuk nilai

tukar mata uang rupiah terhadap mata uang dollar Amerika Serikat terhitung

sejak tanggal 2 Januari 2018 sampai dengan tanggal 31 Desember 2018.

B. Variabel Penelitian dan Langkah-langkah

Data yang digunakan pada studi kasus ini adalah data tentang “kurs jual

dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat di tahun 2018. Variabel yang

digunakan dalam penelitian ini adalah kurs jual beli menurut tanggal.

Variabel penjelas (X) yang di gunakan adalah waktu di tahun 2018 sedangkan

variabel respon (Y) adalah harga kurs jual dan kurs beli.

Langkah-langkah analisis yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut.

a. Membuat scatter plot antara hari (x) dan kurs jual-beli (y)

untuk mengetahui hubungan antara kedua variabel.

b. Memodelkan Kurs jual dan beli dengan menggunakan spline

linear, spline kuadratik dan spline kubik


https://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi-bi/Default.aspx

31

c. Membuat simulasi model yang mengkombinasikan derajat

polinomial (1,2,3) dan banyaknya titik knot (5,6, …,10)

d. Memilih kombinasi derajat polinomial dan banyaknya titik

knots yang menghasilkan GCV yang minimum.

e. Berdasarkan model spline terbaik langkah berikutnya adalah

membuat persamaan regresi spline dan fungsi potongan

(truncated).

f. Membuat kurva estimasi regresi spline dan interpretasi model.

Dalam proses pengolahan data digunakan software aplikasi R versi 3.4.1

C. Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika

Serikat Menggunakan Regresi Nonparametrik Spline

Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika

Serikat sebagai variabel respon pada tahun 2018 dilakukan dengan

menggunakan metode regresi nonparametrik Spline. Adapun tahapan-

tahapan dalam melakukan pemodelan ialah membentuk scatter plot “kurs

jual dan kurs beli” di tahun 2018, membentuk model regresi

nonparametrik Spline untuk estimasi parameter, memilih titik knot optimal

yang menghasilkan nilai Generalized Cross Validation (GCV) terkecil,

membentuk persamaan regresi dengan knot yang paling optimal.

D. Scatterplot “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika

Serikat di tahun 2018

Pola hubungan yang terbentuk antara variabel respon yakni “kurs

jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat dengan variabel

predictor yaitu waktu (X) dapat ditunjukkan pada Gambar 4.1 dan 4.2.

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa pola hubungan yang terbentuk antara

nilai “kurs beli” rupiah ke dollar (Y) pada tahun 2018 dan Gambar 4.2

menunjukkan bahwa pola hubungan yang terbentuk antara nilai “kurs

jual” rupiah ke dollar (Y) pada tahun 2018. Berdasarkan hasil scatterplot

tersebut secara umum terdapat kecenderungan nilai rupiah menurun pada


32

tanggal 28 Januari 2018 kemudian naik sampai pada tanggal 11 Oktober

2018 dan kemudian menurun lagi. Diantara batas-batas naik turun tersebut

terdapat pola naik turun dengan rentang waktu yang kecil.

Gambar 4.1 Scatter Plot waktu (x) terhadap harga Kurs Beli (y)

Gambar 4.2 Scatter Plot waktu (x) terhadap harga Kurs Jual (y)


33

E. Model Regresi Nonparametrik Spline

Setelah melihat pola “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar

Amerika Serikat di tahun 2018 maka selanjutnya adalah memodelkan data

tersebut. Metode yang digunakan untuk memodelkan “kurs jual dan kurs

beli” adalah regresi nonparametrik Spline.

ετβββ +−++= +=

+=

∑∑ Mk

K

kkM

M

m

mm xxxf )()(

110

dengan fungsi truncated (potongan) adalah

k

kM

kMk x

xuntukuntukx

xτττ

τ<≥

−

=− ++ ,

,0

)()(

pada tugas akhir ini akan dicobakan kominasi M=1, 2,dan 3 dan

K=5,6,7,8,9,10.

Sehingga bentuk model regresi nonparametrik Spline Linear

(M=1) dengan menggunakan sepuluh titik knot sebagai berikut

++++ −++−+−+−++= )()()()( 101134231210 τβτβτβτβββ xxxxxy

Adapun model regresi nonparametrik Spline Kuadratik (M=2)

dengan menggunakan sepuluh titik knot sebagai berikut 2

10122

352

242

132

210 )()()()( ++++ −++−+−+−+++= τβτβτβτββββ xxxxxxy

dan yang terakhir untuk model regresi nonparametrik Spline Kubik

(M=3) dengan menggunakan sepuluh titik knot sebagai berikut 3

10133

253

143

32

210 )()()( +++ −++−+−++++= τβτβτβββββ xxxxxxy

F. Pemilihan Titik Knot Optimum

Dalam pendekatan regresi nonparametrik Spline, dikenal adanya

titik knot. Titik knot merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat

perubahan perilaku data. Didalam sebuah plot antara variabel respon dan

prediktor yang termasuk dalam komponen nonparametrik dapat dibuat

beberapa potongan berdasarkan titik knot. Metode yang digunakan untuk

mencari titik knot optimal adalah Generalized Cross Validation (GCV).

Estimasi model regresi Spline dipengaruhi oleh GCV. Pemilihan GCV

dipengaruhi oleh pemilihan orde dan titik knot. Untuk mendapatkan model


34

spline yang baik dipilih dari nilai GCV yang minimum, yang dilakukan

dengan cara coba-coba dari bentuk spline.

Tabel 4.1 (Kurs Beli) Pemilihan Titik Knot Optimum

M (Orde) s Titik Knot GCV 2R

1

5 40,80,120,160,200 15143.55 0.9522

6 40,80,100,120,160,200 15237.82 0.9523

7 40,80,100,120,140,160,200 15127.14 0.9531

8 40,80,100,120,140,160,180,200 14090.8 0.9567

9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 8793.837 0.9732

10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7817.121 0.9764

2

5 40,80,120,160,200 15616.51 0.9511

6 40,80,100,120,160,200 15636.69 0.9515

7 40,80,100,120,140,160,200 12575.88 0.9613

8 40,80,100,120,140,160,180,200 9433.192 0.9712

9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 9165.034 0.9723

10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7640.313 0.9771

3

5 40,80,120,160,200 8971.962 0.9722

6 40,80,100,120,160,200 9042.792 0.9722

7 40,80,100,120,140,160,200 8956.032 0.9727

8 40,80,100,120,140,160,180,200 9029.153 0.9727

9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 7500.998 0.9775

10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7431.198 0.9779

Berdasarkan Tabel 4.1 pada Kurs Beli nilai GCV minimum yang

diperoleh adalah 7431.198 dengan menggunakan Spline Kubik dan titik

knot optimum untuk masing-masing variabel adalah sebagai berikut.

( 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;

1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ )


35

Tabel 4.2 (Kurs Jual) Pemilihan Titik Knot Optimum

M (Orde) s Titik Knot GCV 2R

1

5 40,80,120,160,200 15438.31 0.9522

6 40,80,100,120,160,200 15533.55 0.9523

7 40,80,100,120,140,160,200 15418.64 0.9531

8 40,80,100,120,140,160,180,200 14359.05 0.9567

9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 8966.538 0.9732

10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7971.434 0.9764

2

5 40,80,120,160,200 15921.66 0.9511

6 40,80,100,120,160,200 15940.17 0.9515

7 40,80,100,120,140,160,200 12814.34 0.9614

8 40,80,100,120,140,160,180,200 9611.517 0.9713

9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 9340.834 0.9723

10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7795.953 0.9771

3

5 40,80,120,160,200 9147.526 0.9722

6 40,80,100,120,160,200 9219.358 0.9722

7 40,80,100,120,140,160,200 9133.546 0.9727

8 40,80,100,120,140,160,180,200 9207.907 0.9727

9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 7648.319 0.9775

10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7579.271 0.9779

Berdasarkan Tabel 4.2 pada Kurs Jual nilai GCV minimum yang

diperoleh adalah 7579.271 dengan menggunakan Spline Kubik dan titik

knot optimum untuk masing-masing variabel adalah sebagai berikut.

( 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;

1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ )


36

Gambar 4.3

Dari gambar 4.3 terdapat kecenderungan bahwa makin tinggi K

makin besar juga R2, tetapi tidak dapat disimpulkan bahwa dengan makin

besar M makin besar juga R2. Beberapa nilai R2 untuk M=1 lebih tinggi

dari R2 untuk M=2, sementara untuk M=3 nilai R2 lebih tinggi dari R2

untuk M=1 dan M=2. Penentuan knot 5,6,7,8,9,10 bersifat coba-coba.

Penentuan titik knot yang optimum dapat mengacu pada Journal of

Computational and Graphical Statistics (Ruppret, 2002) menggunakan

metode Monte Carlo yang tidak dibahas dalam makalah ini yang dikatakan

bahwa harus ada knot yang cukup agar sesuai dengan fitur dalam data.

Penambahan dalam jumlah knot memiliki sedikit efek pada R2. Hal ini

memunculkan pertanyaan yang perlu diuji lebih lanjut, yaitu apakah untuk

M yang semakin tinggi, R2 juga akan semakin besar.

G. Parameter Model Regresi Nonparametrik Spline

Model regresi nonparametrik Spline terbaik dihasilkan melalui

perolehan titik knot optimum. Nilai GCV terkecil yang dihasilkan dengan

berbagai Regresi spline, dapat dilihat bahwa nilai GCV yang paling

minimum adalah menggunakan spline kubik, sehingga untuk analisis

0.945

0.95

0.955

0.96

0.965

0.97

0.975

0.98

0 2 4 6 8 10 12

𝑅𝑅2

K

Hubungan banyaknya Knot (K) dengan 𝑅𝑅2

LinearKuadratikKubik


37

selanjutnya digunakan nilai GCV dari spline kubik. Berdasarkan proses

pemilihan titik knot yang telah dilakukan sebelumnya. Hasil estimasi

parameter dengan menggunakan spline kubik sepuluh titik knot adalah

sebagai berikut.

Kurs Beli

Pada data Kurs Beli titik knot yang mempunyai nilai GCV terkecil

yaitu 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;

1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ didapatkan nilai masing-masing penduga

Penduga

Parameter Nilai

Penduga

Parameter Nilai

0β 13560 7β 0.00331

1β -61.85 8β -0.0012

2β 3.829 9β 0.00447

3β -0.0638 10β -0.0022

4β 0.05909 11β -0.0439

5β 0.00865 12β 0.1277

6β -0.0072 13β -0.1775

sehingga model regresi nonparametrik spline kubik yang

terbentuk adalah

333

333

333

332

)220(1775.0)200(1277.0)180(0439.0

)160(0022.0)140(00447.0)120(0012.0

)100(00331.0)80(0072.0)40(00865.0

)20(05909.00638.0829.385.6113560

+++

+++

+++

+

−−−+−−

−−−+−−

−+−−−+

−+−+−=

xxxxxx

xxxxxxxy

estimasi model regresi spline kubik dengan sepuluh titik knot

disajikan dalam bentuk fungsi terpotong (truncated) sebagai berikut:


38

≥

−−−+−−

−−−+−−

−+−−−+

−+−+−

<≤−−−+

−+−+−

<≤−+

−+−+−<≤−+−+−

<−+−

=

+++

+++

+++

+

++

+

+

+

+

220;

)220(1775.0)200(1277.0)180(0439.0

)160(0022.0)140(00447.0)120(0012.0

)100(00331.0)80(0072.0)40(00865.0

)20(05909.00638.0829.385.6113560

10080;)80(0072.0)40(00865.0

)20(05909.00638.0829.385.6113560

8040;)40(00865.0

)20(05909.00638.0829.385.61135604020;)20(05909.00638.0829.385.6113560

20;0638.0829.385.6113560

333

333

333

332

33

332

3

332

332

32

x

xxxxxx

xxxxxxx

xxx

xxxx

xx

xxxxxxxxx

xxxx

y

Estimasi model regresi nonparametrik spline kubik dapat disajikan

melalui ploting data dengan 10 titik knot.

Gambar 4.4 Ploting Estimasi Data Kurs Beli


39

Model regresi Spline dengan spline kubik dengan sepuluh titik knot ini memiliki 2R sebesar 97.79% maka model yang didapatkan sangatlah baik .

Kurs Jual

Pada data Kurs Jual titik knot yang mempunyai nilai GCV terkecil

yaitu 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;

1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ didapatkan nilai masing-masing penduga

Penduga

Parameter Nilai

Penduga

Parameter Nilai

0β 13700 7β 0.003216

1β -62.16 8β -0.00109

2β 3.847 9β 0.004431

3β -0.06399 10β -0.00222

4β 0.05921 11β -0.04424

5β 0.008807 12β 0.1289

6β -0.00723 13β -0.1793

sehingga model regresi nonparametrik spline kubik yang

terbentuk adalah

333

333

333

332

)220(1793.0)200(1289.0)180(04424.0

)160(0022.0)140(004431.0)120(00109.0

)100(003216.0)80(00723.0)40(008807.0

)20(05921.006399.0847.316.6213700

+++

+++

+++

+

−−−+−−

−−−+−−

−+−−−+

−+−+−=

xxxxxxxxx

xxxxy

estimasi model regresi spline kubik dengan sepuluh titik knot

disajikan dalam bentuk fungsi terpotong (truncated) sebagai berikut:


40

≥

−−−+−−

−−−+−−

−+−−−+

−+−+−

<≤−−−+

−+−+−

<≤−+

−+−+−<≤−+−+−

<−+−

=

+++

+++

+++

+

++

+

+

+

+

220;

)220(1793.0)200(1289.0)180(04424.0

)160(0022.0)140(004431.0)120(00109.0

)100(003216.0)80(00723.0)40(008807.0

)20(05921.006399.0847.316.6213700

10080;)80(00723.0)40(008807.0

)20(05921.006399.0847.316.6213700

8040;)40(008807.0

)20(05921.006399.0847.316.62137004020;)20(05921.006399.0847.316.6213700

20;06399.0847.316.6213700

333

333

333

332

33

332

3

332

332

32

x

xxxxxxxxx

xxxx

xxx

xxxx

xx

xxxxxxxxx

xxxx

y

Estimasi model regresi nonparametrik spline kubik dapat disajikan

melalui ploting data dengan 10 titik knot.

Gambar 4.5 Ploting Estimasi Data Kurs Jual


41

Model regresi Spline dengan spline kubik sepuluh titik knot ini memiliki 2R

sebesar 97.79% maka model yang didapatkan sangatlah baik.

Sebagai catatan model ini dapat disajikan untuk memprediksi nilai kurs

rupiah dalam jangka pendek ke depan. Prediksi dalam jangka panjang hasilnya

menjadi kasar, karena nilai rupiah bisa dipengaruhi oleh situasi dan kondisi global

yang tidak mudah untuk diprediksi.

Berikut disajikan data terkini yang diambil pada tanggal 2 Januari 2019

sampai pada tanggal 10 Juli 2019 dibandingkan dengan prediksi yang

menggunakan model spline terbaik.

Tanggal Kurs Beli 𝑦𝑡� error

2-Jan-19 14393 14426.5 33.50472

3-Jan-19 14402 14388.78 13.2153

4-Jan-19 14278 14343.26 65.25675

7-Jan-19 14034 14289.37 255.3658

8-Jan-19 13961 14226.56 265.5567

9-Jan-19 14049 14154.27 105.2744

10-Jan-19 14023 14071.96 48.96389

11-Jan-19 14006 13979.07 26.93

14-Jan-19 13982 13875.04 106.9623

15-Jan-19 14014 13759.31 254.6882

… … … …

27-Jun-19 14109 -173642 187751.2

28-Jun-19 14070 -178145 192215.3

1-Jul-19 14046 -182720 196765.5

2-Jul-19 14069 -187365 201434.4

3-Jul-19 14089 -192083 206172.4

4-Jul-19 14035 -196874 210909.2


42

5-Jul-19 14077 -201738 215815.4

8-Jul-19 14076 -206676 220752.3

9-Jul-19 14058 -211689 225746.7

10-Jul-19 14081 -216776 230857.1

Pada kurs beli hasil dari prediksi bisa dilihat bahwa pada jangka pendek memiliki

error yg relatif kecil, sedangkan pada jangka panjang memiliki error yang cukup

besar.

Tanggal Kurs Jual 𝑦𝑡� error

2-Jan-19 14537 14525.49 11.50825

3-Jan-19 14546 14486.64 59.36198

4-Jan-19 14422 14439.88 17.8845

7-Jan-19 14176 14384.67 208.6702

8-Jan-19 14101 14320.43 219.4342

9-Jan-19 14191 14246.62 55.61549

10-Jan-19 14163 14162.65 0.346924

11-Jan-19 14146 14067.99 78.014

14-Jan-19 14122 13962.05 159.9467

15-Jan-19 14154 13844.29 309.706

… … … …

27-Jun-19 14251 -175681 189931.9

28-Jun-19 14212 -180234 194445.6

1-Jul-19 14188 -184858 199046.1

2-Jul-19 14211 -189555 203766

3-Jul-19 14231 -194325 208555.9

4-Jul-19 14177 -199168 213345.4

5-Jul-19 14219 -204086 218304.9


43

8-Jul-19 14218 -209078 223296.1

9-Jul-19 14200 -214146 228345.5

10-Jul-19 14223 -219289 233511.7

Dan pada kurs beli hasil dari prediksi bisa dilihat bahwa pada jangka pendek

memiliki error yg relatif kecil, sedangkan pada jangka panjang memiliki error

yang cukup besar.


44

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab

sebelumnya, maka dapat diperoleh kesimpulan:

1. Model regresi nonparametrik spline paling optimum dengan

menggunakan spline kubik sepuluh titik knot pada data “kurs jual

dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat pada tahun 2018

adalah sebagai berikut.

333

333

333

332

)220(1775.0)200(1277.0)180(0439.0

)160(0022.0)140(00447.0)120(0012.0

)100(00331.0)80(0072.0)40(00865.0

)20(05909.00638.0829.385.6113560

+++

+++

+++

+

−−−+−−

−−−+−−

−+−−−+

−+−+−=

xxxxxx

xxxxxxxy

Pada model diatas merupakan estimasi model dari harga kurs beli

rupiah kedollar Amerika Serikat pada tahun 2018 dengan nilai

koefisien determinasi 97.79% sedangkan

333

333

333

332

)220(1793.0)200(1289.0)180(04424.0

)160(0022.0)140(004431.0)120(00109.0

)100(003216.0)80(00723.0)40(008807.0

)20(05921.006399.0847.316.6213700

+++

+++

+++

+

−−−+−−

−−−+−−

−+−−−+

−+−+−=

xxxxxxxxx

xxxxy

model diatas merupakan estimasi model dari harga kurs jual rupiah

kedollar Amerika Serikat pada tahun 2018 dengan nilai koefisien

determinasi 97.79%

2. Terdapat kecenderungan bahwa semakin banyak titik knot maka

semakin besar juga R-squared, tetapi tidak dapat disimpulkan

bahwa dengan semakin besar orde semakin besar juga R-squared.

B. Saran

Karena keterbatasan peneliti dalam hal memperoleh referensi dan

pemrograman untuk perhitungan, pada penelitian ini masih banyak

permasalahan yang belum dikaji secara mendalam dan rinci. Oleh karena


45

itu, beberapa hal yang dapat disarankan pada penelitian selanjutnya

adalah:

1. Masih banyak metode yang dapat dikembangkan dari penelitian

mengenai regresi nonparametrik yang ada.

2. Dapat memperbanyak banyaknya jumlah titik knot dan lokasi titik

knot optimum sehingga GCV yang dihasilkan bisa semakin kecil

dan model regresi nonparametrik spline akan semakin bagus.

3. Dapat memperluas metode regresi spline dengan menggunakan

semiparametrik.

4. Untuk kombinasi Orde dan Knot yang makin besar dapat dilakukan

pengujian lebih lanjut.


46

Dafta Pustaka

Eubank, Randal L. (1999). Nonparametric Regression and Spline

Smoothing. New York : Marcel Dekker.

Homser, David W. & Stanley Lemeshow. (2000). Applied Logistic

Regression. nd2 Edition. New York: John Wiley & Sons.

Rumlawang F.Y., S. N. Aulele, & N. Kasim. 2018. Penentuan Model

Regresi Nonparametrik Spline pada Data Pertumbuhan Balita di

Desa Nania Provinsi Maluku Tahun 2013-2014. Barekeng Jurnal

Ilmu Matematika dan terapan. 12(1): 27 – 32.

Ruppert, David. (2002). Selecting the Number of Knots for Penalized

Splines. Journal of Computational and Graphical Statistics. 11 (4)

: 735-757.

https://www.jstor.org/stable/1391159 (Di akses 26 Juni 2019)

Wapole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers & Keying Ye.

(2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. 9𝑡ℎ

Edition. Boston: Prentice Hall.

Wackerly Dennis D., William Mendenhall III, & Richard L. Scheaffer.

(2008). Mathematical Statistics with Applications. Seventh Edition.

Duxbury : Brooks/Cole

https://www.rdocumentation.org/packages/mgcv/versions/1.8-28

(8 Mei 2019 pukul 03.49)

https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/datasets/html/cars.html

(10 Oktober 2018 pukul 02.35)


https://www.rdocumentation.org/packages/mgcv/versions/1.8-28

https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/datasets/html/cars.html

47


(Diakses 1 Januari 2019)



48

Lampiran

Lampiran 1: Data Contoh 3.1 Speed and Stopping Distances of Cars

speed dist

4 2

4 10

7 4

7 22

8 16

9 10

10 18

10 26

10 34

11 17

11 28

12 14

12 20

12 24

12 28

13 26

13 34

13 34

13 46

14 26

14 36

14 60

14 80

15 20

15 26

15 54

16 32

16 40

17 32

17 40

17 50

18 42

18 56

18 76

18 84

19 36

19 46

19 68

20 32

20 48

20 52

20 56

20 64

22 66

23 54

24 70

24 92

24 93

24 120

25 85


49

Lampiran 2: Gambar 3.3 Scatter Plot


> data

x y

1 0.1 0.31

2 0.2 0.01

3 0.3 0.59

4 0.4 0.02

5 0.5 0.83

6 0.6 0.12

7 0.7 0.90

8 0.8 1.10

9 0.9 0.47

10 1.0 0.68

11 1.1 1.77

12 1.2 0.97

13 1.3 2.01

14 1.4 1.48

15 1.5 2.58

16 1.6 2.01

17 1.7 3.17

18 1.8 2.87

19 1.9 3.96

20 2.0 3.79

> attach(data)

> plot(x, y, main="Scatter Plot (CONTOH)", xlab="X", ylab="Y", pch=149)


50

Lampiran 3: Gambar 3.4 Ploting Estimasi

> library(mgcv)


> attach(data)

> X2<-x^2

> X3<-x^3

> XA<-ifelse(x>0.5,1,0)

> XB<-ifelse(x>1,1,0)

> XC<-ifelse(x>1.5,1,0)

> knot1<-(x-0.5)^3*XA

> knot2<-(x-1)^3*XB

> knot3<-(x-1.5)^3*XC

> Contoh<-data.frame(y,x,X2,X3, knot1, knot2, knot3)

> OUTPUT<-gam(y ~ x+ X2+ X3+ knot1+ knot2+ knot3, data= Contoh)

> lines(x,OUTPUT$fitted.values, lty="dashed",col="blue",lwd=3)

Lampiran 4: Data Kurs Jual dan Kurs Beli

Kurs Jual Kurs Beli Tanggal

14,553.00 14,409.00 31 Des 2018

14,615.00 14,469.00 28 Des 2018

14,636.00 14,490.00 27 Des 2018

14,675.00 14,529.00 26 Des 2018

14,552.00 14,408.00 21 Des 2018

14,571.00 14,427.00 20 Des 2018

14,452.00 14,308.00 19 Des 2018

14,596.00 14,450.00 18 Des 2018

14,690.00 14,544.00 17 Des 2018

14,611.00 14,465.00 14 Des 2018

14,609.00 14,463.00 13 Des 2018


51

14,650.00 14,504.00 12 Des 2018

14,686.00 14,540.00 11 Des 2018

14,590.00 14,444.00 10 Des 2018

14,612.00 14,466.00 7 Des 2018

14,580.00 14,434.00 6 Des 2018

14,455.00 14,311.00 5 Des 2018

14,364.00 14,222.00 4 Des 2018

14,323.00 14,181.00 3 Des 2018

14,411.00 14,267.00 30 Nop 2018

14,480.00 14,336.00 29 Nop 2018

14,608.00 14,462.00 28 Nop 2018

14,577.00 14,431.00 27 Nop 2018

14,624.00 14,478.00 26 Nop 2018

14,625.00 14,479.00 23 Nop 2018

14,665.00 14,519.00 22 Nop 2018

14,691.00 14,545.00 21 Nop 2018

14,659.00 14,513.00 19 Nop 2018

14,667.00 14,521.00 16 Nop 2018

14,838.00 14,690.00 15 Nop 2018

14,829.00 14,681.00 14 Nop 2018

14,969.00 14,821.00 13 Nop 2018

14,821.00 14,673.00 12 Nop 2018

14,705.00 14,559.00 9 Nop 2018

14,724.00 14,578.00 8 Nop 2018

14,838.00 14,690.00 7 Nop 2018

14,965.00 14,817.00 6 Nop 2018

15,047.00 14,897.00 5 Nop 2018

15,164.00 15,014.00 2 Nop 2018

15,271.00 15,119.00 1 Nop 2018

15,303.00 15,151.00 31 Okt 2018


52

15,313.00 15,161.00 30 Okt 2018

15,294.00 15,142.00 29 Okt 2018

15,283.00 15,131.00 26 Okt 2018

15,286.00 15,134.00 25 Okt 2018

15,269.00 15,117.00 24 Okt 2018

15,284.00 15,132.00 23 Okt 2018

15,268.00 15,116.00 22 Okt 2018

15,297.00 15,145.00 19 Okt 2018

15,263.00 15,111.00 18 Okt 2018

15,254.00 15,102.00 17 Okt 2018

15,282.00 15,130.00 16 Okt 2018

15,322.00 15,170.00 15 Okt 2018

15,270.00 15,118.00 12 Okt 2018

15,329.00 15,177.00 11 Okt 2018

15,291.00 15,139.00 10 Okt 2018

15,309.00 15,157.00 9 Okt 2018

15,269.00 15,117.00 8 Okt 2018

15,258.00 15,106.00 5 Okt 2018

15,209.00 15,057.00 4 Okt 2018

15,163.00 15,013.00 3 Okt 2018

15,063.00 14,913.00 2 Okt 2018

14,980.00 14,830.00 1 Okt 2018

15,004.00 14,854.00 28 Sep 2018

14,994.00 14,844.00 27 Sep 2018

15,013.00 14,863.00 26 Sep 2018

14,967.00 14,819.00 25 Sep 2018

14,939.00 14,791.00 24 Sep 2018

14,898.00 14,750.00 21 Sep 2018

14,913.00 14,765.00 20 Sep 2018

14,970.00 14,822.00 19 Sep 2018


53

14,983.00 14,833.00 18 Sep 2018

14,933.00 14,785.00 17 Sep 2018

14,909.00 14,761.00 14 Sep 2018

14,868.00 14,720.00 13 Sep 2018

14,937.00 14,789.00 12 Sep 2018

14,909.00 14,761.00 10 Sep 2018

14,958.00 14,810.00 7 Sep 2018

14,965.00 14,817.00 6 Sep 2018

15,002.00 14,852.00 5 Sep 2018

14,914.00 14,766.00 4 Sep 2018

14,841.00 14,693.00 3 Sep 2018

14,785.00 14,637.00 31 Agust 2018

14,728.00 14,582.00 30 Agust 2018

14,716.00 14,570.00 29 Agust 2018

14,687.00 14,541.00 28 Agust 2018

14,683.00 14,537.00 27 Agust 2018

14,728.00 14,582.00 24 Agust 2018

14,693.00 14,547.00 23 Agust 2018

14,641.00 14,495.00 21 Agust 2018

14,651.00 14,505.00 20 Agust 2018

14,692.00 14,546.00 16 Agust 2018

14,694.00 14,548.00 15 Agust 2018

14,698.00 14,552.00 14 Agust 2018

14,656.00 14,510.00 13 Agust 2018

14,509.00 14,365.00 10 Agust 2018

14,494.00 14,350.00 9 Agust 2018

14,511.00 14,367.00 8 Agust 2018

14,557.00 14,413.00 7 Agust 2018

14,553.00 14,409.00 6 Agust 2018

14,576.00 14,430.00 3 Agust 2018


54

14,518.00 14,374.00 2 Agust 2018

14,514.00 14,370.00 1 Agust 2018

14,485.00 14,341.00 31 Jul 2018

14,481.00 14,337.00 30 Jul 2018

14,555.00 14,411.00 27 Jul 2018

14,515.00 14,371.00 26 Jul 2018

14,588.00 14,442.00 25 Jul 2018

14,614.00 14,468.00 24 Jul 2018

14,526.00 14,382.00 23 Jul 2018

14,593.00 14,447.00 20 Jul 2018

14,490.00 14,346.00 19 Jul 2018

14,478.00 14,334.00 18 Jul 2018

14,463.00 14,319.00 17 Jul 2018

14,468.00 14,324.00 16 Jul 2018

14,430.00 14,286.00 13 Jul 2018

14,507.00 14,363.00 12 Jul 2018

14,463.00 14,319.00 11 Jul 2018

14,398.00 14,254.00 10 Jul 2018

14,404.00 14,260.00 9 Jul 2018

14,481.00 14,337.00 6 Jul 2018

14,459.00 14,315.00 5 Jul 2018

14,415.00 14,271.00 4 Jul 2018

14,490.00 14,346.00 3 Jul 2018

14,403.00 14,259.00 2 Jul 2018

14,476.00 14,332.00 29 Jun 2018

14,342.00 14,200.00 28 Jun 2018

14,234.00 14,092.00 27 Jun 2018

14,234.00 14,092.00 26 Jun 2018

14,176.00 14,034.00 25 Jun 2018

14,173.00 14,031.00 22 Jun 2018


55

14,160.00 14,020.00 21 Jun 2018

13,972.00 13,832.00 20 Jun 2018

13,972.00 13,832.00 19 Jun 2018

13,972.00 13,832.00 8 Jun 2018

13,937.00 13,799.00 7 Jun 2018

13,944.00 13,806.00 6 Jun 2018

13,956.00 13,818.00 5 Jun 2018

13,941.00 13,803.00 4 Jun 2018

14,021.00 13,881.00 31 Mei 2018

14,102.00 13,962.00 30 Mei 2018

14,135.00 13,995.00 28 Mei 2018

14,237.00 14,095.00 25 Mei 2018

14,276.00 14,134.00 24 Mei 2018

14,263.00 14,121.00 23 Mei 2018

14,249.00 14,107.00 22 Mei 2018

14,247.00 14,105.00 21 Mei 2018

14,178.00 14,036.00 18 Mei 2018

14,144.00 14,004.00 17 Mei 2018

14,164.00 14,024.00 16 Mei 2018

14,090.00 13,950.00 15 Mei 2018

14,046.00 13,906.00 14 Mei 2018

14,118.00 13,978.00 11 Mei 2018

14,144.00 14,004.00 9 Mei 2018

14,106.00 13,966.00 8 Mei 2018

14,026.00 13,886.00 7 Mei 2018

14,013.00 13,873.00 4 Mei 2018

14,035.00 13,895.00 3 Mei 2018

14,006.00 13,866.00 2 Mei 2018

13,946.00 13,808.00 30 Apr 2018

13,948.00 13,810.00 27 Apr 2018


56

14,000.00 13,860.00 26 Apr 2018

13,957.00 13,819.00 25 Apr 2018

13,970.00 13,830.00 24 Apr 2018

13,963.00 13,825.00 23 Apr 2018

13,873.00 13,735.00 20 Apr 2018

13,847.00 13,709.00 19 Apr 2018

13,839.00 13,701.00 18 Apr 2018

13,839.00 13,701.00 17 Apr 2018

13,835.00 13,697.00 16 Apr 2018

13,822.00 13,684.00 13 Apr 2018

13,832.00 13,694.00 12 Apr 2018

13,816.00 13,678.00 11 Apr 2018

13,828.00 13,690.00 10 Apr 2018

13,840.00 13,702.00 9 Apr 2018

13,840.00 13,702.00 6 Apr 2018

13,836.00 13,698.00 5 Apr 2018

13,829.00 13,691.00 4 Apr 2018

13,834.00 13,696.00 3 Apr 2018

13,819.00 13,681.00 2 Apr 2018

13,825.00 13,687.00 29 Mar 2018

13,814.00 13,676.00 28 Mar 2018

13,777.00 13,639.00 27 Mar 2018

13,845.00 13,707.00 26 Mar 2018

13,849.00 13,711.00 23 Mar 2018

13,806.00 13,668.00 22 Mar 2018

13,828.00 13,690.00 21 Mar 2018

13,830.00 13,692.00 20 Mar 2018

13,834.00 13,696.00 19 Mar 2018

13,834.00 13,696.00 16 Mar 2018

13,817.00 13,679.00 15 Mar 2018


57

13,808.00 13,670.00 14 Mar 2018

13,826.00 13,688.00 13 Mar 2018

13,837.00 13,699.00 12 Mar 2018

13,863.00 13,725.00 9 Mar 2018

13,843.00 13,705.00 8 Mar 2018

13,832.00 13,694.00 7 Mar 2018

13,819.00 13,681.00 6 Mar 2018

13,809.00 13,671.00 5 Mar 2018

13,815.00 13,677.00 2 Mar 2018

13,862.00 13,724.00 1 Mar 2018

13,776.00 13,638.00 28 Feb 2018

13,718.00 13,582.00 27 Feb 2018

13,727.00 13,591.00 26 Feb 2018

13,738.00 13,602.00 23 Feb 2018

13,733.00 13,597.00 22 Feb 2018

13,650.00 13,514.00 21 Feb 2018

13,641.00 13,505.00 20 Feb 2018

13,609.00 13,473.00 19 Feb 2018

13,638.00 13,502.00 15 Feb 2018

13,725.00 13,589.00 14 Feb 2018

13,712.00 13,576.00 13 Feb 2018

13,677.00 13,541.00 12 Feb 2018

13,711.00 13,575.00 9 Feb 2018

13,670.00 13,534.00 8 Feb 2018

13,601.00 13,465.00 7 Feb 2018

13,646.00 13,510.00 6 Feb 2018

13,565.00 13,431.00 5 Feb 2018

13,495.00 13,361.00 2 Feb 2018

13,469.00 13,335.00 1 Feb 2018

13,480.00 13,346.00 31 Jan 2018


58

13,465.00 13,331.00 30 Jan 2018

13,394.00 13,260.00 29 Jan 2018

13,370.00 13,236.00 26 Jan 2018

13,356.00 13,224.00 25 Jan 2018

13,388.00 13,254.00 24 Jan 2018

13,385.00 13,251.00 23 Jan 2018

13,401.00 13,267.00 22 Jan 2018

13,398.00 13,264.00 19 Jan 2018

13,432.00 13,298.00 18 Jan 2018

13,390.00 13,256.00 17 Jan 2018

13,400.00 13,266.00 16 Jan 2018

13,397.00 13,263.00 15 Jan 2018

13,429.00 13,295.00 12 Jan 2018

13,494.00 13,360.00 11 Jan 2018

13,516.00 13,382.00 10 Jan 2018

13,495.00 13,361.00 9 Jan 2018

13,464.00 13,330.00 8 Jan 2018

13,472.00 13,338.00 5 Jan 2018

13,541.00 13,407.00 4 Jan 2018

13,565.00 13,431.00 3 Jan 2018

13,610.00 13,474.00 2 Jan 2018

Lampiran 5: Scatter Plot Kurs Beli dan Kurs Jual

Gambar 4.1 (Kurs Beli)


> attach(data)

> plot(Tanggal, Beli, main="Scatter Plot Kurs Beli", xlab="Waktu",

ylab="Harga", pch=149)


59

Gambar 4.2 (Kurs Jual)


> attach(data)

> plot(Tanggal, Jual, main="Scatter Plot Kurs Jual", xlab="Waktu",

ylab="Harga", pch=149)

Lampiran 6: Nilai GCV

Tabel 4.1 (KURS BELI)

> library(mgcv)


> data

> attach(data)

> Tanggal2=Tanggal^2


> X1<-ifelse(Tanggal>20,1,0)










# LINEAR SPLINE

> knot20<-(Tanggal-20)*X1





60







#40,80,120,160,200

> working1<-data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot120,knot160,knot200)

> GCV1 <-gam( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,

data=working1)

> GCV1

> Estimasi1<-lm( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,

data=working1)

> summary(Estimasi1)


61

#40,80,100,120,160,200

> working2<-

data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot160,knot200)

> GCV2 <-gam(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+

knot160+knot200, data=working2)

> GCV2

> Estimasi2<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+




62

#40,80,100,120,140,160,200

> working3<-data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140,

knot160,knot200)

> GCV3 <-gam( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+


> GCV3

> Estimasi3<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+




63

#40,80,100,120,140,160,180,200

> working4<-data.frame (Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140,

knot160,knot180,knot200)

> GCV4<-gam(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+

knot160+knot180+knot200, data=working4)

> GCV4





64

#40,80,100,120,140,160,180,200,220

> working5<-data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140

,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV5<-gam( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+

knot160+knot180+knot200+knot220, data=working5)

> GCV5





65

#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220

> working6<-data.frame(Beli,Tanggal,knot20,knot40,knot80,knot100, knot120,

knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV6<-gam( Beli ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+

knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working6)

> GCV6

> Estimasi6<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+




66

# KUADRATIK SPLINE

> knot20<-(Tanggal-20)^2*X1











67

#40,80,120,160,200

> working7<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot120,

knot160,knot200)

> GCV7 <-gam( Beli ~ Tanggal+Tanggal2+knot40+knot80+knot120+


> GCV7

> Estimasi7<-lm( Beli ~ Tanggal+Tanggal2+ knot40+knot80+knot120+



#40,80,100,120,160,200


68

> working8<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,knot120,

knot160,knot200)

> GCV8 <-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2 +knot40+knot80+knot100+knot120+


> GCV8

> Estimasi8<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+



#40,80,100,120,140,160,200




69

> GCV9 <-gam( Beli ~ Tanggal+Tanggal2

+knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working9)

> GCV9

> Estimasi9<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+

knot120+knot140+ knot160+ knot200, data=working9)


#40,80,100,120,140,160,180,200


knot120,knot140, knot160,knot180,knot200)

> GCV10<-gam(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+

knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working10)


70

> GCV10

> Estimasi10<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+

knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200,

data=working10)


#40,80,100,120,140,160,180,200,220


knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV11<-gam( Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+

knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)


71

> GCV11

> Estimasi11<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+

knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)


#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220


knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)


72

> GCV12<-gam( Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+


> GCV12

> Estimasi12<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+




73

# KUBIK SPLINE











#40,80,120,160,200

> working13<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,

knot80,knot120, knot160,knot200)

> GCV13 <-gam( Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+

knot120+ knot160+knot200, data=working13)

> GCV13

> Estimasi13<-lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+

knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200, data=working13)



74

#40,80,100,120,160,200

> working14<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,

knot100,knot120,knot160,knot200)

> GCV14 <-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+

knot100+knot120+ knot160+knot200, data=working14)

> GCV14

> Estimasi14<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+



75


#40,80,100,120,140,160,200


knot80,knot100,knot120, knot140,knot160,knot200)

> GCV15 <-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+


> GCV15

> Estimasi15<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100

+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working15)



76

#40,80,100,120,140,160,180,200

> working16<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,


> GCV16<-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100

+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)

> GCV16


knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)


77


#40,80,100,120,140,160,180,200,220


knot80,knot100,knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV17<-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+

knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working17)

> GCV17


78


knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working17)


#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220


knot40,knot80,knot100, knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV18<-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40+

knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working18)

> GCV18


79



data=working18)



80

Lampiran 7: Nilai GCV

Tabel 4.2 (KURS JUAL)

> library(mgcv)


> data

> attach(data)













# LINEAR SPLINE

#40,80,120,160,200

> working1<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot120,knot160,knot200)

> GCV1 <-gam( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,

data=working1)

> GCV1


81

> Estimasi1<-lm( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,

data=working1)


#40,80,100,120,160,200

> working2<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,


> GCV2 <-gam(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+


> GCV2

> Estimasi2<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+



82


#40,80,100,120,140,160,200

> working3<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,


> GCV3 <-gam( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+


> GCV3

> Estimasi3<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+




83

#40,80,100,120,140,160,180,200



> GCV4<-gam(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+


> GCV4





84

#40,80,100,120,140,160,180,200,220

> working5<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140

,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV5<-gam( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+


> GCV5





85

#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220



> GCV6<-gam( Jual ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+


> GCV6

> Estimasi6<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+




86

# KUADRATIK SPLINE












87

#40,80,120,160,200

> working7<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,


> GCV7 <-gam( Jual ~ Tanggal+Tanggal2+knot40+knot80+knot120+


> GCV7

> Estimasi7<-lm( Jual ~ Tanggal+Tanggal2+ knot40+knot80+knot120+



#40,80,100,120,160,200


88

> working8<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100

,knot120,knot160,knot200)

> GCV8 <-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2 +knot40+knot80+knot100+knot120+


> GCV8

> Estimasi8<- lm(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+



#40,80,100,120,140,160,200

> working9<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,knot120,



89

> GCV9 <-gam( Jual ~ Tanggal+Tanggal2

+knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working9)

> GCV9

> Estimasi9<- lm(Jual ~ Tanggal+

Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200,

data=working9)


#40,80,100,120,140,160,180,200

> working10<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100

,knot120,knot140, knot160,knot180,knot200)


90

> GCV10<-gam(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+

knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working10)

> GCV10

> Estimasi10<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+

knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200,

data=working10)


#40,80,100,120,140,160,180,200,220

> working11<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,k

not100,knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)


91

> GCV11<-gam( Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+

knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)

> GCV11

> Estimasi11<- lm(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100

+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)


#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220

> working12<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot20,knot40,knot80,knot100,



92

> GCV12<-gam( Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+


> GCV12

> Estimasi12<- lm(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+




93

# KUBIK SPLINE











#40,80,120,160,200

> working13<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,


> GCV13 <-gam( Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80

+knot120+ knot160+knot200, data=working13)

> GCV13

> Estimasi13<-lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+




94

#40,80,100,120,160,200



> GCV14 <-gam(Jual ~

Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100+knot120+


> GCV14

> Estimasi14<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+




95

#40,80,100,120,140,160,200


knot100,knot120, knot140,knot160,knot200)

> GCV15 <-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100

+knot120 +knot140+ knot160+knot200, data=working15)

> GCV15

> Estimasi15<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100

+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working15)



96

#40,80,100,120,140,160,180,200



> GCV16<-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100

+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)

> GCV16

> Estimasi16<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+ knot40+knot80+

knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)



97

#40,80,100,120,140,160,180,200,220


knot100,knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV17<-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80

+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working17)

> GCV17

> Estimasi17<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80

+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working17)


98


#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220

> working18<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,knot40,knot80

,knot100, knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)

> GCV18<-gam(Jual ~

Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40+knot80+knot100+


> GCV18


99


+knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working18)



100

Lampiran 8: Parameter Penduga regresi

KURS BELI

> working18<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,knot40,knot80




data=working18)


KURS JUAL

> working18<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,knot40,knot80



+knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,

data=working18)



101

Lampiran 9: Ploting Estimasi Data

Gambar 4.3(Kurs Beli)

> plot(Tanggal,Beli,main="Kurs Beli", xlab="Waktu", ylab="Harga",pch=149)

> lines(Tanggal,Estimasi18$fitted.values,lty="dashed",col="blue",lwd=2)

> abline(v=c(20,40,80,100,120,140,160,180,200,220),lty=2,col="darkgreen")

Gambar 4.4(Kurs Jual)

> plot(Tanggal,Jual,main="Kurs Jual", xlab="Waktu", ylab="Harga",pch=149)

> lines(Tanggal,Estimasi18$fitted.values,lty="dashed",col="blue",lwd=2)

> abline(v=c(20,40,80,100,120,140,160,180,200,220),lty=2,col="darkgreen")


102

( )

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−

=−

180207.2041561741.1090444239.14502756438.9676434.10870433246.3407843406.26561741.10907009224.87935176.1666576917.120020474.14015662928.45695058625.36

444239.145035176.1666328386.4987392794.3959815004.492653104.17682809414.1622756438.967576917.1200392794.3959177783.3196001917.4022345896.14687050465.137

6434.108720474.1401815004.4926001917.4022960179.5102931913.18874843054.1800433246.3405662928.45653104.1768345896.1468931913.18878542996.71400523501.71

7843406.2695058625.362809414.1627050465.1374843054.18000523501.71695320631.7

1TXX

Matriks 3.1


103

( )

−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−

=−

90123159.18578106683.4523593803.4881879521.2197179739.3988504638.0077333529.081392787.11970126746.5313958417.6049751187.4499941359.4393108067.1109073909.011033572.1971685413.6222738015.6933154171.3355231497.434444297.110507895.059071431.11721889437.107491341.0052188143.0083798846.003513892.0002860512.0

142213998.2954953365.4257346975.7726793328.4269639192.5635802444.1128286581.048572683.13253860308.990187472.10911178957.6654779064.7363445304.2184741361.087828203.15205579166.843694564.7393138249.4779351383.445351274.1112551298.092305826.10203104675.3757387491.0170433004.146593733.149575168.0408198.0

264414407.2270006689.3850627661.9155363366.7102737152.8546061065.2201123784.0453290663.6730198447.801227786.169374814.1015269816.12759128521.3294112508.058569807.1169391412.1041184107.15892615671.963747044.10196667159.3245537821.057901069.10557298164.7885172053.5597171658.2979908806.1376956377.0018102163.0

241678339.5235298701.1066467412.8570137488.7762312966.9355459251.3277689683.0527287404.1477435206.527546377.200300217.1625031636.19199468861.649438235.0828874971.6786254501.957420348.242031909.1896522285.20353961589.6484520467.0764072792.7896510127.879507298.1451035504.9508153927.9017826569.2100648665.0884313535.2679904787.124221288.1066838317.1062295392.15841516022.6642407483.0457193175.3326451775.676862574.3111534982.2722290421.3518252185.1308069864.1456793476.5919098055.702780882.2665347822.2015968541.25195115539.8387994526.0

689166496.2105427452.473659464.3089429834.2769871396.3893077829.16261935138.2

1T XXX

Matriks 3.2


104

=

0.885683390.03042166-0.03398522-0.02066043-0.00029757-0.017253070.022141200.009040140.00928243-0.01553524-0.00757298

0.03042166-0.279794430.240470550.152714330.049641120.03563374-0.06999489-0.03573882-0.023190610.047437710.02235319-0.03398522-0.240470550.234119570.187173540.119360480.05040839090.000045280.01788603-0.01308340-0.00112986-0.002391550.02066043-0.152714330.187173540.202286800.195076140.162563570.101771110.017787250.05203363-0.06227074-0.032496750.00029757-0.049641120.119360480.195076140.251315430.262605690.203474290.068724030.06574042-0.10373894-0.050908600.017253070.03563374-0.050408390.162563570.262605690.312308700.273446520.132367260.02628410-0.09328846-0.040573340.022141200.06999489-00.000045280.101771110.203474290.273446520.279979480.206159940.094254960.001326660.01556280-0.009040140.03573882-0.01788603-0.017787250.068724030.132367260.206159940.277302820.292027810.186324630.10381703-0.00928243-0.023190610.01308340-0.05203363-0.06574042-0.02628410-0.094254960.292027810.436110980.363812360.08756014-0.01553524-0.047437710.00112986-0.06227074-0.10373894-0.09328846-0.001326660.186324630.363812360.409868990.200573650.007572980.02235319-0.002391550.032496750.0509086060,040573340.01556280-0.10381703-0.08756014-0.200573650.92795015

H

Matriks 3.3


analisis regresi nonparametrik model spline dan

Documents