v

UNIVERSITAS BINA NUSANTARA

Program Ganda

Teknik Informatika dan Statistika Skripsi Sarjana Program Ganda

Semester Genap 2005/2006

ANALISIS PERBANDINGAN METODE ROMBERG, METODE GAUSS-LEGENDRE, METODE SIMULASI

MONTE CARLO DAN QUASI-MONTE CARLO DALAM PERHITUNGAN INTEGRAL TERTENTU

Timotius Iman Rachmadi 0500600214

ABSTRAK

Perkembangan dunia komputer mempengaruhi berbagai segi kehidupan manusia dan membawa perubahan dalam cara manusia menyelesaikan suatu masalah. Tidak luput di antaranya adalah bidang ilmu pengetahuan yang beberapa bidang pembelajarannya memiliki permasalahan yang dapat diselesaikan dengan perhitungan komputer. Hadirnya pengaruh komputer membawa perkembangan yang terus berlanjut dalam melakukan pendekatan untuk menyelesaian masalah yang dihadapi.

Banyak permasalahan yang dihadapi dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan integral, di mana seringkali sulit untuk dihitung dengan menggunakan kaidah-kaidah kalkulus secara analitik. Untuk itu diperlukan bantuan komputer dan metode pendekatan yang tepat untuk dapat menyelesaikan persamaan tersebut secara yang efisien dan tepat. Beberapa metode pengintegrasian yang umum digunakan adalah metode numerik menggunakan integrasi Romberg dan Gauss-Legendre serta metode simulasi Monte Carlo dan metode quasi-Monte Carlo.

Pemilihan metode-metode ini dikarenakan metode-metode tersebut dianggap mampu memberikan hasil perhitungan dari suatu persamaan integral dengan hasil yang cukup akurat dan cepat sesuai dengan batas toleransi yang diberikan. Sekalipun keempatnya memiliki kemampuan yang baik dalam menghitung persamaan integral, perlu diteliti metode manakah yang paling akurat dalam menghitung suatu persamaan sehingga metode tersebut dapat mempermudah perhitungan persamaan integral yang dihadapi.

Kata kunci: Persamaan integral tertentu, metode numerik, integrasi Romberg, kuadratur Gauss, Gauss-Legendre, Monte Carlo, quasi-Monte Carlo.

vi

KATA PENGANTAR

Penulis mengucapkan syukur dan berterima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan kekuatan yang telah dianugerahkanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Skripsi dengan judul “Analisis Perbandingan Metode Romberg, Metode Gauss-Legendre, Metode Simulasi Monte Carlo dan Quasi-Monte Carlo dalam Perhitungan Integral Tertentu” ini, disusun sebagai salah satu syarat dalam menyelesaikan Program Ganda Teknik Informatika dan Statistika, jenjang pendidikan Strata 1 di Universitas Bina Nusantara, Jakarta.

Penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah dengan sabar memberikan bantuan, saran, dan kerja samanya dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Ucapan terima kasih tersebut, antara lain ditujukan kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Drs. Gerardus Polla, M.App.Sc., selaku Rektor Universitas Bina Nusantara yang telah membantu dalam memberikan dasar dan kaidah dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Wikaria Gazali, S.Si, M.T., selaku Dekan Fakultas MIPA Universtias Bina Nusantara yang telah membantu dalam memberikan dasar-dasar topik penulisan skripsi ini selama proses perkuliahan.

3. Bapak Ir. Sablin Yusuf, M.Sc., M.Com.Sc., selaku Dekan Fakultas Ilmu Komputer, yang telah mendukung dalam penulisan skripsi ini.

4. Bapak Ngarap Imanuel Manik, Drs., M.Kom., selaku Ketua Jurusan Statistika Universtias Bina Nusantara yang telah memberikan saran dalam pemilihan pembimbing untuk penulisan skripsi ini.

5. Bapak H. Mohammad Subekti, B.E., M.Sc., selaku Ketua Jurusan Teknik Informatika, yang telah mendukung dalam penulisan skripsi ini.

6. Bapak Stanislaus S. Uyanto, Ir., MA, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing 1, atas kesabaran, bantuan, dan saran yang sangat membantu dalam proses penulisan dan penyelesaian skripsi ini.

7. Bapak Haryono Soeparno, Ir., M.Sc., Dr., selaku Dosen Pembimbing 2, yang telah memberikan dukungan dan saran yang berharga dalam proses penyelesaian skripsi ini.

8. Seluruh dosen dan staf pengajar Univeritas Bina Nusantara yang telah memberikan ilmu yang dimilikinya selama proses perkuliahan berlangsung.

9. Orang tua dan keluarga penulis, yang telah mendoakan dan memberikan dukungan dalam penulisan skripsi ini.

10. Rekan-rekan di jurusan Teknik Informatika dan Statistika angkatan 2001, untuk dukungan dan krja samanya selama masa perkuliahan maupun pada proses penulisan skripsi ini.

11. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis cantumkan satu per satu, yang telah memberikan dukungan moral dan material, serta membantu proses penyelesaian skripsi ini.

vii

Dalam penulisan skripsi ini, mungkin saja terdapat kekurangan yang tidak disadari oleh penulis. Karena itu, penulis menghargai setiap saran dan kritik yang membangun dalam upaya untuk menyempurnakan skripsi ini.

Akhir kata, penulis berharap skripsi ini dapat berguna bagi para pembaca, baik sebagai acuan maupun pengembangan lebih lanjut dalam usaha mengembangkan wawasan ilmu pengetahuan. Tuhan Yesus memberkati.

Jakarta, 4 Agustus 2006 Penulis, Timotius Iman Rachmadi 0500600214

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL LUAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN JUDUL DALAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

HALAMAN PENGESAHAN HARDCOVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

HALAMAN PERNYATAAN DEWAN PENGUJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

BAB I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Ruang Lingkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

BAB II LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Persamaan Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Metode dan Integrasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Integrasi Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Ekstrapolasi Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Algoritma Integrasi Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Kuadratur Gauss dan Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Metode Koefisien Tak Tertentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 Penurunan Rumus Gauss-Legendre Dua Titik . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3 Rumus dengan Jumlah Titik yang Lebih Banyak . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.4 Analisis Error untuk Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Metode Simulasi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ix

2.6 Metode Simulasi Quasi-Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Barisan Sobol (Sobol Sequence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

BAB III METODOLOGI ANALISIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Analisis Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Tahapan Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Teknik Analisis Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Proses Analisis Perbandingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.1 Fungsi Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.2 Fungsi Kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.3 Fungsi Ketiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Perangkat Pendukung Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 Perangkat Keras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2 Perangkat Lunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

DAFTAR ACUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

DAFTAR RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.1

x

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Faktor pembobot c dan argumen fungsi x yang digunakan dalam

Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tabel 4.1 Tabel perbandingan hasil perhitungan integral fungsi pertama . . 53

Tabel 4.2 Tabel perbandingan hasil perhitungan integral fungsi kedua . . . . 59

Tabel 4.3 Tabel perbandingan hasil perhitungan integral fungsi ketiga . . . . 65

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Penggambaran secara grafik dari integral f(x) antara batas x = a

dan b. Integral tersebut ekivalen dengan daerah di bawah kurva . 7

Gambar 2.2 Penggunaan dari sebuah kisi-kisi (grid) untuk menaksir sebuah

integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Gambar 2.3 Penggunaan dari persegi panjang atau strips untuk menaksir

sebuah integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Gambar 2.4 Aplikasi dari sebuah metode integrasi numerik: (a) Fungsi

kontinu yang rumit. (b). Tabel nilai diskrit dari f(x) yang

dihasilkan dari sebuah fungsi. (c). Penggunaan salah satu metode

numerik (metode strip) untuk menaksir integral yang berdasarkan

kepada titik-titik diskrit. Untuk sebuah fungsi berbentuk tabel,

data sudah dalam bentuk tabel (b); untuk itu, langkah (a) tidak

diperlukan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Gambar 2.5 Penggambaran secara grafik dari barisan penduga integral f(x) =

0,2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 dari a = 0 hingga b =

0,8, yang dihasilkan menggunakan integrasi Romberg. (a) Iterasi

pertama. (b) Iterasi kedua. (c) Iterasi ketiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Gambar 2.6 (a) Penggambaran secara grafik dari aturan trapesium sebagai

daerah di bawah garis lurus yang menghubungkan titik-titik akhir.

(b) Sebuah pendugaan integral yang lebih baik yang diperoleh

dengan cara mengambil area di bawah garis lurus yang melewati

dua titik yang ada di antaranya. Dengan memposisikan titik-titik

tersebut dengan bijak, maka error postif dan negatif menjadi

berimbang, dan sebuah pendugaan integral yang lebih baik akan

dihasilkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Gambar 2.7 Dua integral yang dievaluasi dengan tepat oleh aturan trapesium:

(a) sebuah konstan dan (b) sebuah garis lurus . . . . . . . . . . . . . . . . 21

xii

Gambar 2.8 Penggambaran secara grafik dari variabel x0 dan x1 untuk

pengintegrasian dengan menggunakan kuadratur Gauss . . . . . . . 23

Gambar 2.9 Hasil plotting menggunakan R Language terhadap 1000 bilangan

pseudo-random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Gambar 2.10 Hasil plotting menggunakan R Language terhadap 1000 bilangan

quasi-random menurut barisan Sobol (Sobol sequence) . . . . . . . . 33

Gambar 4.1 Penggambaran secara grafik dari fungsi

∫ +−++=8.0

0

5432 4009006752000.2 dxxxxxI . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Gambar 4.2 Penggambaran secara grafik dari fungsi

( ) ( )( )∫ −−−=1

0

1201.0 12.1 dxexxI x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Gambar 4.3 Penggambaran secara grafik dari fungsi ∫ −=1

0

22

21 dueI u

π . . . . 60

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Kode Sumber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.1