“variabel acak dan fungsi distribusi peluang diskrit” · pdf filefungsi distribusi...
Post on 24-Feb-2018
288 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Adam Hendra Brata
Probabilitas dan
Statistika“Variabel Acak dan
Fungsi Distribusi Peluang Diskrit”
Variabel Acak
Variabel Acak
Variabel acak adalah sebuah fungsi yang
memetakan hasil kejadian yang ada di alam
(seperti : buka dan tutup; terang, redup dan
gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dsb.)
menjadi bilangan numerik. Semua kejadian
yang mungkin muncul dalam suatu percobaan
kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang
dinotasikan dengan S.
Sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah bilangan
real dengan setiap elemen di ruang sampel
Notasi
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak
Variabel Acak
Variabel Acak Diskrit
Variabel X adalah variabel acak diskrit jika X
banyak nilainya dapat dihiitung (berkorelasi 1 –
1 dengan bilangan bulat positif)
Untuk variabel acak diskrit :
Variabel Acak Kontinu
Variabel X adalah variabel acak kontinu jika
banyaknya nilai xi tak dapat dihitung
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak
Syarat Variabel Acak
1. Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai
variabel acak adalah fungsi yang bukan
bernilai ganda (Multivalued)
2. Fungsi variabel acak hanya memiliki satu
harga dari suatu elemen sampel eksperimen
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak
Contoh Variabel Acak
Kemungkinan besok akan turun hujan.
Kemungkinan jawaban:
Y = { Hujan, Tidak Hujan }
atau
Y = { 1 = Hujan, 0 = Tidak Hujan }
atau
Y = { 21 = Hujan, 200 = Tidak Hujan }
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak
Contoh Variabel Acak
Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg
mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan
dilakukan dengan mengambil secara acak 3
buah lampu hasil produksi. Maka ruang
sampelnya adalah ?
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak
Contoh Variabel Acak
S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB,
MMM }
Langkah pertama, mendefinisikan X; adalah
banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan
tsb, maka X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3 yang
menyatakan lampu yang mati.
X adalah contoh Variabel random:
S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM,
MMB, MMM }
X = { 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3 }
Terlihat X = 2 untuk kejadian E = { MMB, MBM,
BMM }, Jadi tiap nilai X berkenaan dengan
sebuah himpunan bagian dari S.
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak
Latihan Variabel Acak
2 bola diambil berturut-urut tanpa dikembalikan
dari kotak yg berisi 4 bola merah (M) dan 3 bola
biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai
variabel random Y yang menggambarkan
jumlah bola merah yang terambil.
Ruang sampel y
MM 2
MB 1
BM 1
BB 0
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak Diskrit
Variabel Acak Diskrit
Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang
tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam
sebuah interval atau variabel yang hanya
memiliki nilai tertentu.
Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli,
tidak berbentuk pecahan.
Variabel acak diskrit jika digambarkan pada
sebuah garis interval, akan berupa sederetan
titik-titik yang terpisah.
Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita
tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability
Mass Function) p(x) dengan :
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak Diskrit - Ruang
SampelRuang Sampel
Ruang Sampel adalah kumpulan semua even
(kejadian) atau himpunan dari semua outcome
yang mungkin dari suatu eksperimen random
dinyatakan dengan S
Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang
sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)
Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel
dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan
ruang sampel kontinu
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Variabel Acak Diskrit - Ruang
SampelContoh Ruang Sampel
Eksperimen melempar sebuah mata koin dua
kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka
ruang sampelnya :
S = { GG , GA , AG , AA}
Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah
dan hijau, maka ruang sampelnya :
S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }
Eksperimen mengukur berat badan seseorang
yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka
ruang sampelnya :
S = { x | 45,5 < x < 50,5 }
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah
sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang
atau sebaran peluang dari variabel acak diskrit
X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin
adalah:
; total probabilitas
seluruh kejadian = 1
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi Probabilitas Diskrit
Tiap nilai sebuah variabel acak memiliki
probabilitas tertentu untuk muncul.
Contoh:
Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar,
Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya
X : banyak G dalam pelemparan tsb. Maka
ruang sampelnya :
S = {GGG,GGA,GAG,GAA, GG,AGA,AAG,AAA}
x = 0 → {AAA} → P(X=0) = 1/8
x = 1 → {GAA,AGA,AAG} → P(X=1) = 3/8
x = 2 → {GGA,GAG,AGG} → P(X=2) = 3/8
x = 3 → {GGG} → P(X=3) = 1/8
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Latihan Distribusi Probabilitas
Diskrit• Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan :
• Tentukan distribusi probabilitas diskritnya !
Percobaan 1 2 3 Jumlah mata angka
1 A A A 3
2 A A G 2
3 A G G 1
4 G G G 0
5 G A A 2
6 G G A 1
7 G A G 1
8 A G A 2
Distribusi Probabilitas Diskrit
KumulatifFungsi Distribusi Kumulatif
Sebaran kumulatif atau Fungsi distribusi
kumulatif (CDF) dari X
F(x) adalah adalah suatu peubah acak X
dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh :
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
KumulatifContoh Fungsi Distribusi Kumulatif
Mobil yg dijual sebuah dealer 50% dilengkapi
dengan air-bag.
- Tentukanlah distribusi probabilitas dari 4
buah mobil yang akan terjual berikutnya !
- Kemudian carilah fungsi distribusi
kumulatifnya !
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
KumulatifContoh Fungsi Distribusi Kumulatif
Distribusi probabilitas :
Probabilitas menjual sebuah mobil dg air-bag
adalah ½ maka untuk 4 penjualan berikutnya
ada 24 = 16 susunan yg mungkin.
Secara umum banyaknya cara untuk menjual x
mobil dengan air-bag dari 4 penjualan 4 mobil
adalah : 4Cx.
Maka probabilitas menjual x mobil dengan air
bag dalam 4 penjualan adalah :
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
KumulatifContoh Fungsi Distribusi Kumulatif
Fungsi Distribusi Kumulatif :
Peluang distribusi :
f(0) = 4C0/16 = 1/16
f(1) = 4C1/16 = 4/16
f(2) = 4C2/16 = 6/16
f(3) = 4C3/16 = 4/16
f(4) = 4C4/16 = 1/16
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
Kumulatif• Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (F(x))
Distribusi Probabilitas Diskrit
KumulatifContoh Fungsi Distribusi Kumulatif
Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah
variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x)
adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x = - ∞
hingga x :
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞< x < ∞
Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya:
F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1
F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2
F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3
F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4
F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4
Distribusi Probabilitas Diskrit
Kumulatif• Grafik Distribusi Probabilitas Kumulatif
Distribusi Probabilitas Diskrit
Sifat – Sifat Fungsi Distribusi Peluang Diskrit
0 ≤ F (x) ≤ 1
F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif
setiap x naik
F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari
nilai x terkecil (di ruang contoh)
F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar
dari nilai x terbesar di ruang contoh
F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi
f(x) = P(X = x)
Variabel
Acak
Variabel
Acak Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Distribusi
Probabilitas
Diskrit
Kumulatif
Latihan Distribusi Probabilitas
Diskrit Kumulatif• Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan :
• Tentukan distribusi probabilitas kumulatifnya !
Percobaan 1 2 3 Jumlah mata angka
1 A A A 3
2 A A G 2
3 A G G 1
4 G G G 0
5 G A A 2
6 G G A 1
7 G A G 1
8 A G A 2
Terimakasih dan Semoga
Bermanfaat v^^
top related