matematika geodesi-transformasi linier

TRANSFORMASI LINIER

Lilik Widiastuti(3513100009)

Irma’atus Solihah(3512100004)

Aulia Rachmawati(3513100035)

Syaiful Budianto (3512100099)

Achmad Rizal Al-amin(3513100081)

Pengantar Kepada

Transformasi LInier

Fungsi yang berbentuk w=F(v),dimana variable bebas v dan variable bebas w kedua-duanya adalah vektor yang dinamakan transformasi linier

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah suatu fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor yang terletak di dalam V, maka dikatakan F memetakan V ke dalam W. Ditulis F: V W. Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka w = F(v). w adalah bayangan dari v dibawah F. Ruang vektor V dikatakan domain F.jika v = (x, y) adalah suatu vektor di dalam R2,maka rumus

F(v) = (x, x + y, x - y) (5.1)Contoh:Mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3. Khususnya, jika v = (1,1)

Definisi jika F: V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linier jika:

F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V.F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh (5.1). Jika u = (x1,y1) dan v = (x2,y2), maka u+v = ( x1 + x2,y1 + y2 ), sehingga

F(u+v) = ( x1 + x2, [x1+x2] + [y1 + y2], [x1+x2] - [y1 + y2])

=( x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 - y2)

F(u+v) = F(u) + F(v)

jika k adalah sebuah scalar, ku = (kx1,ky1), sehingga

F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 – ky1)

= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)

F(ku) = kF(u)

Jadi F adalah sebuah tranformasi linier.

Jika F: V W adalah sebuah transformasi linier, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang skalar k1 dan

k2, kita memperoleh

F(k1v1 + k2v2) = F(k1v1) + F(k2v2) = k1F(v1) + k2F(v2)

Demikian juga, jika v1 , v2, . . . . . ,vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1, k2, . . . . . ,kn adalah scalar, maka

(5.2)

F(k1v1 + k2v2 + . . . +knvn) = k1F(v1) + k2F(v2) + . . . + knF(vn)

Cotoh:Misalkan F:R2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (2x, y) dengan v = (x, y) di R2. buktikan bahwa F merupakan transformasi linier. Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)

Bukti pertama:F(u + v) = F((x1, y1) + (x2, y2))

= F(x1+x2, y1+y2) = (2(x1+x2), (y1+y2))

= ((2x1, y1) + (2x2, y2)) F(u + v) = F(u) + F(v) => terbukti

Bukti kedua:F(ku) = F(kx1, ky1)

= (2kx1, ky1)= k (2x1, y1)

F(ku) = k F(u) => terbukti

Jadi F adalah sebuah tranformasi linier.

Sifat Transformasi Linier, Kernel dan

Jangkauan

KERNEL adalah ruang nol dari T : himpunan vector yang didalam V yang dipetakan T kedalam 0,dan dinotasikan dengan Ker(T)

JANGKAUAN adalah Himpunan semua vector didalam W yang merupakan bayangan dibawah T paling sedikit satu vector didalam V.dinotasikan dengan R(T).

Teorema 1Jika

BUKTIMisal v adalah sembarang vektor di dalam V.dan 0v = 0, maka :

CONTOHMisal adalah Transformasi nol dan T memetakan tiap-tiap vector kedalam 0,maka Ker(T) = V dan 0 adalah satu-satunya bayangan yang mungkin dibawah T, maka R(T) terdiri dari vector Nol.Misalkan adalah perkalian oleh

Ker(T) terdiri dari semua

Vektor pemecahan dari system homogen

R(T) terdiri dari vector

Teorema 2Jika adalah transformasi Linier, maka :a) Kernel dari T adalah subruang dari V

Ker(T) tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar.

Misalkan v1 dan v2 adalah vector didalam Ker(T), dan k adalah sembarang skalar.

Maka

= 0 + 0 = 0Sehingga v1 + v2 berada didalam ker(T)

Sehingga kv1 berada didalam ker(T). 

b) Jangkauan dari T adalah subruang dari WMisal w1 dan w2 adalah vector di dalam jangkauan T atau R(T).Harus dicari vector a dan b di dalam V sehingga didapat:

Di dalam V sehingga

Sebuah Transformasi linier ditentukan secara lengkap oleh “nilainya” pada sebuah basis.

Contoh:Tinjau basis untuk R3 , dimana v1 = ,

Carilah T(2, -3, 5).

Pemecahan:Nyatakan Jadi Komponen yang didapat yaitu:

Yang menghasilkan k1 = 5,k2= -8,k3= 5,sehingga didapat: Jadi

Jika adalah transformasi Linier, maka :Dimensi dari jangkauan atau R(T) dinamakan rank dari T ,dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas dari T.

Contoh:Misal T:R2 R2 adalah rotasi dari R2 melalui sudut Jelas secara geometric jangkauan dari T adalah semua R2 dan kernel dari T adalah (0).maka T memiliki rank 2 dan nulitas = 0 .

Contoh:Misal T:Rn Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n. Rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A,yang sama persis dengan rank dari A.maka:Rank (T) = Rank(A)Kernel dari T adalah ruang pemecahan dari AX = 0,jadi nulitas dari T adalah dimensi ruang pemecahan.

Teorema 3Jika adalah transformasi Linier dari sebuah ruang vector V yang berdimensi n kepada sebuah ruang Vektor W,maka :(Rank dari T) + (nulitas dari T) = nUntuk kasus V = Rn , W = Rm ,dan T:Rn Rm adalah perkalian matriks A berukuran m x n maka berlaku:Nulitas dari T = n – (rank dari T) = banyak kolom dari A – (rank dari T)

Teorema 4Jika A adalah matriks m x n ,Maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah N – Rank(A)

Contoh: 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0

-x1 - x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1+ x2 – 2x3-x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0

Maka harus memenuhi 2 = 5 – rank(A)Rank(A) = 3 

Transformasi Linier dari ke ,Geometri

Transformasi Linier dari ke

Dalam bagian ini akan membahas mengenai Transformasi linear dari ke dan mendapatkan sifat-sifat geomatrik dari transformasi linier dari ke .

Jika adalah sebarang transformasi linear, maka ada matriks berukuran sehingga adalah perkalian oleh .Misalkan adalah basis baku untuk dan misalkan adalahmatriks yang mempunyai sebagai vektor-vektorkolomnya.Jika diberikan oleh , maka:

dan

Secara lebih umum, jika :

Maka:

Matriks ini dinamakan matriks bentuk baku untuk . Akan ditunjukkan bahwa transformasi linear adalah perkalian .

Perhatikan bahwa :

Maka, karena linieritas dari ,

Sebaliknya,

dihasilkan yakni adalah perkalian oleh . Sehingga didapat:

Teorema 5

Jika adalah transformasi linear dan jika adalah basis baku untuk , maka adalah perkalian oleh , di mana matriks yang menghasilkan vektor kolom

Contoh:Carilah matriks baku untuk transformasi yang didefinisikan oleh Penyelesaian: 

Dengan menggunakan dan sebagai vektor-vektor kolom, maka diperoleh 

Sebagai pemeriksaan, perhatikanlah bahwa: 

Terdapat lima jenis transformasi linier bidang (Transformasi Geometri) yaitu : perputaran (rotasi), refleksi, ekspansi dan kompresi, serta geseran.

1. Perputaran (rotasi) Jika untuk masing-masing titik dalam bidang terhadap titik asal

atau O(0,0) melalui sudut , kita dapatkan bahwa matriks baku untuk adalah

2. Refleksi(−𝑥 , 𝑦 ) (𝑥 , 𝑦 )

Reflexi terhadap sumbu

3. ekspansi dan kompresiJika koordinat x dari setiap titik di dalam bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif, maka efeknya adalah mengekspansi atau mengkompresi setiap bidang dalam arah xJika :

(−𝑥 , 𝑦 )

(𝑥 , 𝑦 ) Reflexi terhadap sumbu

(𝑦 , 𝑥 )

(𝑥 , 𝑦 )Reflexi terhadap

garis

a. 0 <k< 1, maka hasilnya adalah kompresi,b. k > 1, maka hasilnya adalah ekspansi.

Jika adalah ekspansi atau kompresi dalam arah dengan factor ,Maka

Sehingga matriks baku untuk T adalah  Demikian juga matriks baku untuk ekspansi atau kompresi untuk arah y adalah

kondisi awal

(2 𝑥 , 𝑦 )

ekspansi

( 12 𝑥 , 𝑦)

kompresi

(𝑥 , 𝑦 )

4. Geseran 

Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan masing-masing titik sejajar dengan sumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x + ky, y). Dengan transformasi seperti itu, maka sumbu x sendiri tidak bergeser, karena y=0

Sebuah geseran dengan arah y dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar sumbu y sebanyak kx ke kedudukan yang baru (x, y+kx).

Jika adalah sebuah geseran yang faktornya k didalam arah x, maka:

Sehingga matriks standar untuk T adalah

Demikian juga, matriks baku untuk geseran dalam arah y dengan faktor k adalah:

matriksTransformasi

LInier

Transformasi linier dapat dipandang sebagai TRANSFORMASI MATRIKS. Jika dipilih basis B dan B’ untuk V dan W , maka untuk setiap x di dalam V, matriks kordinat [x]B akan merupakan sebuah vektor didalam Rn dan matriks kordiat [T(x)]B, akan merupakan vector di dalam Rm . jadi di dalam proses pemetaan x ke dalam T(x), transformasi linier T menghasilkan sebuah pemetaan Rn ke Rm dengan mengirimkan [x]B ke dalam [T(x)]B’. Maka mariks A standar untuk transformasi ini adalah

A[x]B = [T(x)]B

Untuk mencari matriks A dapat dihitung dalam 3 langkah dengan metode tak langsung berikut:1)Hitung matriks kordinat [x]B

2)Kalikan [x]B di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan [T(x)]B’

3)Bangun kembali T(x) dari matriks kordinatnya [T(x)]B’

Contoh 1:Misalkan adalah transformasi linier yang didefinisikan oleh T(p()x)=xp(x)Carilah matriks untuk T terhadap basis B={u1,u2} dan B’= {u’1,u’2, u’3} Dimana u1=1, u2= x, u’1 =1, u’2= x, u’3 = x2

Pemecahan:Dari rumus T didapat

T(u1) = T(1) = (x)(1) = x T(u2) = T(x) = (x)(x) = x2

Maka matriks kordinat untuk T(u1) dan T(u2) relative kepada B’ yakni: [T(u1)]B = , [T(u2)]B’ =

Jadi matriks T terhadap baris B dan B’ adalahA=[ [T(u1)]B [T(u2)]B’] =

Contoh 2:Misalkan adalah basis di dalam contoh sebelumnya dan dimisalkan x= 1-2xGunakan hasil matriks contoh sebelumya untuk menghitung T(x) menurut prosedut tak langsung !

Pemecahan:Matriks kordinat x terhadap B adalah [x]B=Maka [T(x)]B’ = A[x]B = = Jadi T(x)= 0 u’1 + 1u’2 + 2u’3 =0(1) + 1(x)- 2(x2) = x-2x2

Jika dihitung dengan metode langsungT(x)= T (1-2x) = x(1-2x) = x-2x2

Jadi untuk pemeriksaan,

hasil perhitungan

dengan metode langsung dan tak langsung harus sama

Keserupaan

Jika T : V->V adalah sebuah operator linier pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jika B dan B’ adalah basis basis untuk V, maka

[T]B’= P-1 [T]BP

Dimana P adalah matriks transisi dari B’ ke B

DEFINISI KESERUPAANJika A dan B adalah matriks bujur sangkar, kita

mengatakan bahwa B serupa dengan A jika terdapat matriks P yang dapat di balik sedemikian rupa sehingga

B=P-1AP

Invarian Keserupaan Determinan Keterbalikan Rank Nulitas Polinomial karakteristik Nilai Eigen Dimensi Ruang Eigen

Contoh:

Misalkan T : R2->R2

T x1 = x1 + x2 x2 -2x1 + 4x2 Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis

standart B ={e1,e2}untuk R2. Kemudian gunakan teorema yang tadi untuk menentukan matriks T berkenaan dengan basis B’={u1’,u2’} dimana

u1’ = 1 u2’ = 1 1 2