mata kuliah statistika komputer pak urip bab iii
Post on 03-Apr-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
1/10
1
Beberapa distribusi peluang diskret.
1. Distribusi seragam adl distribusi peluang diskret yg paling sederhana.
Distribusi seragam bila peubah acak X mendapat harga x1, x2,,xk dgpeluang yg sama, maka distribusi seragam diskret dinyatakan.
F(x;k) = k
1
, x = x1, x2,, xkNotasi : f(x;k) sebagai pengganti f(x) untuk menyatakan bahwa
distribusi seragam tersebut tergantung atas parameter k.
Contoh : Bila sebuah dadu dilantumkan, tiap elemen ruang sample S ={ 1,2,3,4,5,6 } muncul dg peluang 1/6.
Jadi distribusi peluang dg f(x;6) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6
Histogram distribusi seragam akan sll membentuk persegi panjang.
f(x;6)
1/6
x1 2 3 4 5 6
Teorema 1 : Rataan dan variansi distribusi seragam diskret f(x;k)
adalah.
= k
xik
i
=1
dan 2 = k
xik
i
=
1
2)(
Contoh : dari contoh diatas distribusi peluang diperoleh .
F(x;6) = 1/6 , x =1,2,3,4,5,6
Jadi rataan dan variansi diperoleh.
= 6
654321 +++++
= 3,5
2 = 6
)5,36(....)5,32()5,31(222
+++
= 1 2
3 5
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
2/10
2
Distribusi binomial dan multinomial
Percobaan binomial harus memenuhi persyaratan sbb :Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.
Tiap usaha memberi hasil yg dpt ditentukan dg sukses atau gagal
Peluang sukses, dinyatakan dg P, tdk berubah dr usaha yg satu ke yg
berikutnya.
Tiap usaha bebas dg usaha lainnya.
Misal : Bila tiap kartu dikembalikan lalu dikocok sebelum kartu
berikutnya ditarik mk penarikan kartu merah atau hitam mempunyaisifat yg sama, yaitu bahwa tiap usaha atau penarikan kartu bebas satu dr
yg lain dan peluang sukses tidak berubah, tidak tergantung atas urutan
keberapa kartu tersebut ditarik.
Distribusi binomial : Bila usaha binomial dapat menghasilkan sukses
dg peluang p dan gagal dg peluang q = 1- p, mk distribusi peluang
peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dlm n usaha bebas
adl.
b(x;n,p) =
n
x px qn-x x = 0,1,2,,n
Contoh : Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dg
peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yg
diuji tidak akan rusak.
Jawab :Misalkan setiap pengujian adl bebas , jd pengujian yg satu tdk
mempengaruhi atau dipengaruhi yg berikutnya. Jadi p = 3/4 utk tiap
keempat pengujian shg.
b (2;4,3/4) =
4
2 (3/4)2 (1/4)2
= !2!2
!4
x4
2
4
3
= 128
27
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
3/10
3
Distribusi dibawah ini termasuk distribusi binomial:
(q+p)n = (
n
0 ) qn + (n1 )pqn-1 + (
n
2 )p2qn-2 +.+ (
n
n )pn
= b(0;n,p) + b(1;n,p) + b(2;n,p) + .+ b(n;n,p)
Karena p + q = 1, mk jelas=
=n
x
pnxb0
1),;(suatu syarat yg harus
dipenuhi oleh setiap distribusi peluang.
Biasanya soal yg dihadapi mengharuskan kita menghitung P(X
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
4/10
4
P(X=5) = b(5;15,0,4)
==
5
0
)4,0,15;(x
xb
-
=
4
0
)4,0,15;(x
xb
= 0,4032 0,2173
= 0,1859
Teorema : Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rataan dan variansi.
= n p dan 2 = n p q
Contoh : Dengan menggunakan teorema chebyshev Dari contoh diatas
hitung dan taksirkan selang 2untuk contoh diatas.Jawab : Karena contoh diatas mengenai percobaan binomial dengan
n = 15 dan p = 0,4 maka menurut teorema diatas diperoleh :
= (15) (0,4) = 6 dan 2 = (15)(0,4)(0,6) = 3,6
=6,3
= 1,897
Jadi selang yang ditanyakan = 2 = 6 (2)(1,897) = 6 3,794Atau dari 2,206 sampai 9,794.
Menurut teorema chebyshev tingkat kesembuhan 15 penderita penyakit
darah diatas mempunyai peluang paling sedikit 3/4 jatuh antara 2,206
dan 9,794.
Catatan : Dalam teorema chebyshev peluang setiap peubah acak Xmendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling
sedikit (1 1/k2). Yaitu P( - k < X < +k) 1 1/k2.Untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai
peluang paling sedikit 1- 1/22 = 3/4 mendapat nilai dlm jarak dua
simpangan baku dari nilai rataan yaitu 3/4 atau lebih pengamatan setiap
distribusi terletak dlm selang 2. Begitu pula teorema tersebut
menyatakan bahwa paling sedikit 8/9 pengamatan setiap distribusiterletak dalam selang 3.
Percobaan multinomial adl bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari
dua hasil yang mungkin, missal : pembagian hasil pabrik menjadi
ringan, berat, atau masih dapat diterima ; pencatatan kecelakaan
disimpang jalan menurut hari dalam minggu dll.
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
5/10
5
Distribusi multinomial : Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkank macam hasil E1, E2, ,Ek dengan peluang p1, p2,,pk maka distribusi
peluang acak X1, X2, ,Xk yang menyatakan terjadinya E1, E2,,Ekdalam n usaha bebas adalah.
n X1 X2 XkF(x1, x2,..,xk; p1, p2,.., pk, n) = p1 p2 pk
x1, x2,,xk
dengan :=
=k
i
nxi1 dan
11
==
k
i
ip
Contoh : Bila 2 dadu dilantumkan 6 kali, berapakah peluang mendapat
jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama 1 kali dan
pasangan lainnya 3 kali ?
Jawab :
Misalkan kejadian berikut menyatakan :E1 : Jumlah 7 atau 11 muncul.
E2 : Pasangan bilangan yang sama muncul.
E3 : Baik pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11 tdk muncul.
Peluang kejadian diatas masing-masing p1 = 2/9, p2 = 1/6, dan p3 =
11/18.
Nilai tidak berubah selama ke 6 usaha dilakukan. Dengan menggunakan
distribusi multinomial dengan x1 = 2, x2 = 1, dan x3 = 3, maka diperolehpeluang.
6
f( 2,1,3; 2/9,1/6,11/18,6 ) = 2,1,3 (2/9)2 (1/6)1(11/18)3
=!3!1!2
!6. 2
2
9
2
.
6
1.
3
3
18
11
= 0,1127
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
6/10
6Distribusi hipergeometrik
Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut :
Sampel acak ukuran n diambil dari N benda.
Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N
k, diberi nama gagal.
Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya
sukses dalam sample acak ukuran n yang diambil dari N benda yang
mengandung k bernama sukses dan N k bernama gagal adalah.
h ( x;N,n,k) =( )Nn
kN
xn
k
x
x = 0,1,2,.,n
Contoh 1: Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan dapat diterima
bila mengandung paling banyak 3 yang cacat. Suatu kotak akan ditolakbila sample acak ukuran 5 suku cadang yang terpilih mengandung satu
yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat
dalam sample bila kotak tersebut mengandung 3 suku cadang yang
cacat ?
Jawab:
Dengan menggunakan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 40,
k = 3 dan x = 1, peluang untuk mendapatkan tepat satu yang cacat adl.
h( 1;40,5,3) =( )40
5
37
4
3
1
= 0,3011
Teorema 1: Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h (x;N,n,k)
adalah . = N
nk
dan 2 =
N
k
N
kn
N
nN1..
1
Contoh 2: Gunakan teorema chebyshev untuk menemukan dan
menaksirkan selang 2 untuk contoh 1 diatas.
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
7/10
7Jawab :
Karena contoh 1diatas merupakan percobaan hipergeometrik dengan
N = 40, n = 5 dan k = 3 maka dari teorema 1 diatas diperoleh :
= 40
)3)(5(
= 8
3
= 0,375
2 =
( )
40
31
40
35
39
540
= 0,3113
=3113,0
= 0,558
Jadi selang yang ditanyakan : 2 = 0,375 (2)(0,558)
= 0,375 1,116= - 0,714 sampai 1,491
Teorema chebyshev menyatakan bahwa banyaknya suku cadang cacat
yang terambil akan jatuh antara 0,714 dan 1,491 bila 5 suku cadangdipilih secara acak dari kotak berisi 40 suku cadang, 3 diantaranya cacat
dan mempunyai peluang paling sedikit 3/4 . Yaitu 3/4 dari seluruh
sample ukuran 5 suku cadang yang mungkin diambil mengandung
kurang dari 2 yang cacat.
Bila n kecil dibanding dengan N maka peluang tiap penarikan hanya
akan berubah sedikit. Maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiridengan distribusi binomial dengan p = k/N.
Rataan dan variansi dapat dihampiri dengan rumus :
= np = N
nk
dan 2 = npq = n .
N
k
N
k1
Bila rumus ini dibandingkan dengan rumus pada teorema 1 diatas maka
terlihat bahwa rataan sama sedangkan variansi berbeda dalam factor
koreksi sebesar (N n)/(N 1). Dimana besaran ini dapat diabaikanjika n cukup kecil dibandingkan dengan N.
Contoh 3: Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari pengiriman
sebanyak 5000 ban ke toko tertentu terdapat 1000 yang cacat. Bila
seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapakah
peluangnya mengandung tepat 3 yang cacat ?
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
8/10
8
Jawab :
Karena n = 10 cukup kecil dibandingkan dengan N = 5000 maka
peluangnya dapat diselesaikan dengan distribusi binomial. Peluang
mendapat 1 ban yg cacat 1000/5000 = 0,2 Jadi peluang mendapat tepat
3 ban yang cacat.
h( x;N,n,k ) b( x;n,p )
h(3;5000,10,1000) b(3;10,0.2)
=
= =
3
0
2
0
)2.0,10;()2.0,10;(x x
xbxb
= 0,8791 0,6778 = 0,2013
Perluasan distribusi hipergeometrik : Bila N benda dapat
dikelompokkan dalam k sel A1,A2,,Ak masing2
berisi a1,a2,,ak bendamaka distribusi peluang peubah acak X1, X2,,Xk yang menyatakan
banyaknya benda ( anggota ) yang terambil dari A1,A2,,Ak dalam
suatu sample acak ukuran n adalah.
f(x1,x2,,xk; a1,a2,,ak,N,n) =
( )( ) ( )( )Nn
a
x
a
x
a
xk
k....2
2
1
1
Dengan
=
=k
i
i nx1 dan
=
=k
i
i Na1
Contoh 4: Sejumlah 10 orang dipakai dalam suatu penelitian biologi. 3
diantara mereka bergolongan darah O, 4 golongan A dan 3 golongan B.
Berapakah peluang suatu sample ukuran 5 akan beranggota 1orang
bergolongan darah O, 2 bergolongan A dan 2 lainnya bergolongan B ?
Jawab:
Dengan menggunakan perluasan distribusi hipergeometrik diatas untukx1=1, x2=2, x3=2, a1=3, a2=4, a3=3, N=10 dan n=5 peluang yang dicari
adalah.
f(1,2,2;3,4,3,10,5) =
( ) ( ) ( )( ) 14
310
5
3
2
4
2
3
1=
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
9/10
9
Distribusi paisson
Suatu percobaan Paisson memiliki sifat :
Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah
tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selang waktu
atau daerah lain yang terpilih.
Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yangamat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding
dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak
tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi diluar selang
waktu atau daerah tersebut.
Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang
pendek atau daerah yang sempit tersebut diabaikan.
Distribusi poisson adalah distribusi peluang peubah acak poisson X,
yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang
waktu atau daerah tertentu adl.
P(x;) = !x
e x
x = 0,1,2,,
menyatakan rata-rata banyaknya sukses yg terjadi dalam selangwaktu atau daerah tertentu tersebut dan e = 2,71828
Tabel 3 ( lihat tabel statistik ) berisi jumlah peluang poisson p(r ;) =
=
r
x
xp0
);(
Untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18.Contoh : Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu
penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium
adalah 4 Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung dalamsuatu milidetik tertentu ?
Jawab :
Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 dan = 4diperoleh dari tabel
-
7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III
10/10
p( 6 ; 4) =
= =
==6
0
5
0
64
7851,08893,0)4;()4;(!6
4
x x
xpxpe
= 0,1042
10
Teorema 1 : Rataan dan variansi distribusi Poisson p(x;) keduanya
sama dengan
Teorema 2 : Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi
peluang b(x;n,p). Bila n , p 0, dan = np tetap sama maka
b(x;n,p) p(x;)
Contoh : Dlm proses produksi yg menghasilkan barang dari gelas,
terjadi gelembung atau cacat yg kadang2 menyebabkan barang tersebut
sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata2
1 dari 1000 barang ygdihasilkan mempunyai 1 atau lebih gelembung. Berapakah peluang
bahwa dalam sample acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari
7 yang bergelembung?
Jawab:
Pada dasarnya percobaan ini binomial dengan n = 8000 dan p = 0,001
karena p sangat dekat dg nol dan n cukup besar, maka akan diselesaikan
dg distribusi poisson dg = (8000)(0,001) = 8 jadi kalau X menyatakanbanyak barang yg bergelembung maka.
P(x
top related