ma2231 kalkulus peubah banyak soal latihan...

MA2231 KALKULUS PEUBAH BANYAKSemester II Tahun 2009/2010

Dosen: Hendra Gunawan & Janny Lindiarni

Soal Latihan Bab 1

1. Buatlah sketsa lengkungan yang dinyatakan oleh fungsi vektor berikut. Bila mungkin, per-oleh terlebih dahulu hubungan antara peubah x = x(t) dan y = y(t) dengan mengeliminasiparameter t. Beri tanda panah untuk menyatakan orientasi pada lengkungan tersebut.

(a) g(t) = (t + 1t, t− 1

t), t > 0.

(b) f(t) = (t cos t, t sin t), t ≥ 0.

2. Misalkan suatu partikel bermuatan q bergerak dengan kecepatan v(t) = (2t, 3t2, 0) pada medanmagnet homogen B = (1, 0, 0). Tentukan fungsi vektor F (t) = qv(t) × B yang menyatakanbesarnya gaya yang bekerja pada partikel tersebut.

3. Tentukan persamaan garis dalam ruang yang melalui titik (1,−1, 2) dan tegak lurus terhadapbidang −2x + 3y = 5.

4. Diketahui u(t) = (t, t2, t3) dan v(t) = (et, cos t, sin t). Carilah

(a) (u · v)′, dan

(b) (u× v)′.

5. Diketahui fungsi vektor F (t) = (t, f(t)). Tentukan persamaan garis singgung pada lengkunganF di titik F (t0)

(a) sebagai persamaan vektor, dan

(b) sebagai persamaan Cartesius.

6. Suatu partikel pada mulanya bergerak menelusuri lengkungan r(t) = (et, e−t, cos t), namunsetelah t = 1 meninggalkan lengkungan tadi dan mengikuti garis singgungnya. Tentukanposisi partikel tersebut pada saat t = 2. (Anda tidak harus menentukan persamaan garissinggungnya.)

7. Suatu partikel bergerak di ruang dengan laju konstan. Buktikan bahwa vektor kecepatan danpercepatannya selalu saling tegak lurus. (Catatan. Jika v(t) menyatakan kecepatan, maka lajul(t) = ‖v(t)‖.)

8. Diketahui partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = (cos t, sin t). Tentukan posisi partikeltersebut pada setiap saat bila diketahui pada saat t = 0 partikel tersebut berada di (0, 0).

9. Sebuah partikel bergerak menurut persamaan r(t) = (t, t2). Tentukan

(a) lajunya pada setiap saat, dan

(b) panjang lintasan yang ditempuhnya dari t = 0 sampai t = 1.

1