ma1201 m9-2-21-03-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

21 Maret 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi12.7 Bidang singgung dan aproksimasi12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi12.7 Bidang singgung dan aproksimasi12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 3

12.2 TURUNAN PARSIALMA1201 MATEMATIKA 2A

12.2 TURUNAN PARSIAL•Menentukan turunan parsial dari fungsi dua

b h di titik bpeubah di titik sembarang

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Mengukur Laju Perubahan dalam Arahd b bSejajar dengan Sumbu‐x atau Sumbu‐y

Diketahui fungsi dua peubahDiketahui fungsi dua peubahz = f(x,y), dan bayangkangrafiknya seperti pada gambar P

z

grafiknya seperti pada gambardi samping. Bila kita berada disuatu titik pada permukaan tsb ysuatu titik pada permukaan tsb(bayangkan di titik puncaknya) dan bergerak sejajar dengan

xdan bergerak sejajar dengansumbu‐x, berapakah lajuperubahan ketinggiannya?perubahan ketinggiannya?

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Turunan Parsial terhadap xTurunan Parsial terhadap x

Jika y konstan katakan y = yJika y konstan, katakan y = y0, maka z = f(x,y0) merupakanfungsi dari x saja Turunannya

P

z

fungsi dari x saja. Turunannyadi x = x0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadap yturunan parsial dari f terhadapx di (x0,y0) dan dilambangkandengan f (x y )

xdengan fx(x0,y0).

.),(),(lim),( 000000

yxfyhxfyxfx

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6

),(000 h

yfhx

Turunan Parsial terhadap yTurunan Parsial terhadap y

Jika x konstan katakan x = xJika x konstan, katakan x = x0, maka z = f(x0,y) merupakanfungsi dari y saja Turunannya P

z

fungsi dari y saja. Turunannyadi y = y0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadap yturunan parsial dari f terhadapy di (x0,y0) dan dilambangkandengan f (x y )

xdengan fy(x0,y0).

.),(),(lim),( 000000

yxfkyxfyxf y

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7

),(000 k

yfky

ContohContoh

Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2. Maka,

fx(x,y) = ‐2x;  fy(x,y) = ‐2y.

Di titik (3,4),

f (3 4) = ‐6; f (3 4) = ‐8fx(3,4) = ‐6;  fy(3,4) = ‐8.

Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arahsejajar sumbu‐y daripada dalam arahsejajar sumbu‐x.

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Turunan Parsial KeduaTurunan Parsial Kedua

Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahTurunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahdapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya.

Karena ada dua turunan parsial pertama f danKarena ada dua turunan parsial pertama, fx danfy, dan masing‐masing mempunyai dua turunanparsial maka kita akan mendapatkan empatparsial, maka kita akan mendapatkan empatturunan parsial kedua, yaitu

f (f ) f (f ) f (f ) f (f )fxx = (fx)x, fxy = (fx)y, fyx = (fy)x, fyy = (fy)y

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9

ContohContoh

Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2.

Turunan parsial pertamanya adalah

f (x y) = ‐2x; f (x y) = ‐2yfx(x,y) = ‐2x;  fy(x,y) = ‐2y.

Turunan parsial keduanya adalah

fxx(x,y) = ‐2;  fxy(x,y) = 0.

fyx(x,y) = 0;  fyy(x,y) = ‐2.yx yy

Catatan. fxy dan fyx disebut sebagai turunanparsial campuran. Secara umum, fxy ≠ fyx.3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10

SoalSoal

Diketahui fungsi dua peubahDiketahui fungsi dua peubah

.1 22 yxz

(a) Tentukan turunan parsial pertamanya.

y

(b) Tentukan turunan parsial keduanya danperiksa apakah kedua turunan parsialp p pcampurannya sama.

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11

Fungsi HarmonikFungsi Harmonik

Fungsi z = f(x y) disebut fungsi harmonik bilaFungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bilamemenuhi persamaan Laplace: fxx + fyy = 0.

Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik:

1. f(x,y) = x3y – xy3.

2. F(x,y) = ln(x2 + y2).( ,y) ( y )

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12

12.3 LIMIT DAN KEKONTINUANMA1201 MATEMATIKA 2A

12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN•Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai limit di titik tertentu danmempunyai limit di titik tertentu danmenentukan limitnya (bila ada)•Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubah•Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubahdi titik tertentu

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Limit Fungsi Dua PeubahLimit Fungsi Dua Peubah

Diberikan suatu fungsi dua peubah, sebutlah z = f(x,y).

Bila (x,y) mendekati (x0,y0), apaL

Bila (x,y) mendekati (x0,y0), apayang terjadi dengan f(x,y)?

Def. apabila

untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0(x0,y0)Lyxf

yxyx

),(lim

),(),( 00

p psedemikian sehingga

)()()(0 Lyxfyxyx3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14

.),(),(),(0 00 Lyxfyxyx

Beberapa CatatanBeberapa Catatan

• Limit f di (x0,y0) sama dengan L t f d ( 0,y0) sa a de gaapabila untuk setiap (x,y) yang berada dalam radius δ dari (x0,y0), k l k ( ) d l ykecuali mungkin (x0,y0) sendiri, nilaif(x,y) berada dalam radius ε dari L. D l h l i i il i f( ) h

y

• Dalam hal ini, nilai f(x,y) harusmenuju L, bagaimanapun caranya(x,y) mendekati (x0,y0).(x,y) mendekati (x0,y0).

• Jika melalui lintasan berbeda fmenuju nilai yang berbeda, maka f

x

j y g , ftidak mempunyai limit di (x0,y0).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Teorema SubstitusiTeorema Substitusi

Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y,Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y, yakni

n mji

ij yxcyxf ,),(

maka i j0 0

).,(),(lim)()(

bafyxfbayx

Jika f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) dengan p dan q polinomdalam x dan y maka

),(),( bayx

dalam x dan y, maka,

),(),(),(lim

),(),( baqbapyxf

bayx

asalkan q(a,b) ≠ 0.   3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16

),(q

ContohContoh

1 2543)(lim 2222 yx1. .2543)(lim)4,3(),(

yxyx

2. tidak ada, karena22)00()(

1limyx

xyyx

pembilangnya menuju 1 sementarab j 0

)0,0(),( yxyx

penyebutnya menuju 0.

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17

ContohContoh

3 tidak ada karena alasanlim xy3. tidak ada, karena alasan

sebagai berikut:

22)0,0(),(lim

yxyx

g

Sepanjang garis y = mx, kita amati bahwa2 mmxxy

2222022)0,0(),( 1limlim

mm

xmxmx

yxxy

xyxmxy

yang bergantung pada nilaim.  Jadi tidak adanilai tertentu yang dituju ketika (x,y) men‐dekati (0,0). 

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

SoalSoal

Selidiki apakah limit berikut ada/tidak adaSelidiki apakah limit berikut ada/tidak ada.

lim2xy

1. .lim 42)0,0(),( yxy

yx

44 yx 2. .lim 22)0,0(),( yx

yxyx

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19

KekontinuanKekontinuan

Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu di (a,b) apabilag f( ,y) ( , ) p

).,(),(lim),(),(

bafyxfbayx

Sebagai contoh, polinom kontinu di setiap titik.

),(),( y

Teorema: Jika g(x,y) kontinu di (a,b) dan f(t) kontinu di g(a,b), maka f ◦ g kontinu di (a,b).

Sebagai contoh,                                     kontinu disetiap titik (x y)

22:),( yxyxf setiap titik (x,y).3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20

Kesamaan Turunan Parsial CampuranKesamaan Turunan Parsial Campuran

Jika f dan f kontinu pada suatu cakram diJika fxy dan fyx kontinu pada suatu cakram disekitar (a,b), maka fxy(a,b) = fyx(a,b).

Contoh fungsi yang turunan parsial campuran‐id k dib ik di b k P ll (S lnya tidak sama diberikan di buku Purcell (Soal

12.3 no. 42). Lihat slide berikut…

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21

SoalSoal

DiketahuiDiketahui

),0,0(),(,:),( 22

22

yxyxxyyxf

).0,0(),(,0:

),0,0(),(,:),( 22

yx

yxyx

xyyxf

Hitung f (0 0) dan f (0 0) Apakah hasilnya

).0,0(),(,0: yx

Hitung fxy(0,0) dan fyx(0,0). Apakah hasilnyasama?

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22