fungsi kuadrat

Assalamu’alaikum Wr.Wb...

•

XO

Y

2

ALJABAR ELEMENTER Dosen Pengampu: Swaditya Rizki, M.Sc.

Budi Yanto

Ignasius Fandy Jayanto

Endah Puspita Sari

Rini Fitriyani

11310015

11310006

11310026

11310008Rossy mafita Sari

Tasrip 11310034

11310005

FUNGSI KUADRAT

1.Bentuk umum fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang dinyatakan dengan:

f(x) = y = ax2 + bx + c

dengan a, b, c R dan a 0

Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah parabola simetris

Rumus Persamaan kuadrat:

Nilai x yang menyebabkan f(x) = 0

a

acbbx

2

42

2,1

Pembuat Nol f(x) atau Harga Nol f(x)

(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas.

Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum,

dinotasikan ymin atau titik balik minimum.

(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah.

Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum,

dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Berdasarkan nilai a

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua

titik yang berbeda (memiliki 2 nilai pembuat nol)

(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di

sebuah titik (memiliki sebuah nilai pembuat nol)

(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak

menyinggung sumbu X (tidak ada nilai pembuat nilai

nol)

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X

X(i) X

(ii)X(iii)

a > 0D > 0

a > 0D = 0

a > 0D < 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0D > 0

a < 0D = 0

X

(vi)a < 0D < 0

Nilai Ekstrim

f(x) = ax2 + bx + c

= a

= a

= a

= a

= a

= a

= a

Jika titik puncaknya (p,q), maka persamaan fungsi kuadrat dapat ditulis:y = f(x) = a(x - p)2 + q

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik

• Persamaan sumbu simetri adalah x =

• Koordinat titik puncak / titik balik adalah

(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di

perlukan)

a

b

2

a

D

a

b

4,

2

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0)

x2 – 4x – 5 = 0

(x + 1)(x – 5) = 0

x = -1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.

Jawab:

(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5 y = -5

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )

Contoh

(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

9)1(4

))5)(1(4)4((

4

22

4

)1(2

)4(

42

a

Dy

a

bx

Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9)

(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk:

x = 1, maka y = 12 – 4∙(1) – 5 = 1- 4 – 5 = -8 (1,-8)

x = 3, maka y = 32 – 4∙(3) – 5 = 9 – 12 – 5 = -8(3,-8)

x = 4, maka y = 42 – 4∙(4) – 5 = 16 – 16 – 5 = -5(4,-5)

Jadi, titik bantunya (1, -8) , (3,-8) , dan (4,-5)

Grafiknya :

Y

X -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9 •

••

•

•

•

•

Titik minimum

Y=x²-4x-5

[0,-5]

[5,0][-1,0]

[2,-9]

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)

Jawab: f(x) = ax2 + bx + c

f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4

a + b + c = -4 . . . 1)

f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3

0 + 0 + c = -3

c = -3 . . . 2)

f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5

16a + 4b + c = =5 . . . 3)

Substitusi 2) ke 1)

a + b – 3 = -4

a + b = -1 . . . 4)

Substitusi 2) ke 3)

16a + 4b – 3 = 5

16a + 4b = 8 . . . 5)

Dari 4) dan 5) diperoleh : a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1

Substitusi a = 1 ke 4) 1 + b = -1 b = -2

Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya

)2

)(1

()( xxxxaxf

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)

Contoh :

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :

f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :

3 = a(0 - 1)(x + 3)

3 = -3a

a = -1Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

Jadi fungsi kuadratnya adalah

32)( 2 xxxf

))(()( 21 xxxxaxf

)3)(1(1)( xxxf

32)( 2 xxxf

)32(1 2 xx

Jawab :

pp yyxaxf 2)()(

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya

f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )2 + 9 ….1) Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi :

-7 = a(3 + 1)2 + 9

-16 = 16 a

a = 1

Jawab :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)

Contoh :

19

Wassalamu’Alikum Wr. Wb.