4_dan 5 sebaran peluang diskrit dan kontinu
Post on 26-Oct-2015
343 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BAB IV
SEBARAN/DISTRIBUSI PELUANG DISKRET
4.1. Distribusi Binomial
Percobaan Bernoulli
Misalkan sebuah percobaan menghasilkan sukses atau gagal, yaitu X=1
menunjukkan kejadian sukses dan X=0 menunjukkan kejadian gagal, maka
fungsi peluang (pmf)
p untuk X :
p(0)=P(X=0)= 1-p
p(1)=P(X=1)=p
di mana p = peluang kejadian sukses, 0≤p≤1
Peubah acak X dikatakan peubah acak bernoulli.
Distribusi Binomial
Misalkan n percobaan bebas , masing-masing percobaan menghasilkan sukses
dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika X menyatakan
banyaknya sukses dalam n percobaan, maka X dikatakan peubah acak binomial
dengan parameter (n,p). Sehingga peubah acak bernoulli merupakan peubah
acak binomial dengan parameter (1,p).
Percobaan binomial
1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
2. Tiap usaha dikelompokkan sukses atau gagal
3. Peluang sukses dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke
yang lain.
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
Tiap usaha disebut usaha bernoulli.
Fungsi peluang peubah acak binomial dengan parameter (n,p) adalah :
p( x )=(nx ) px(1−p )n−x , x=0,1,2 , .. . , n
Karena Berdasarkan teorema binomial, jumlah fp binomial sama dengan 1 :
∑x=0
n
p ( x )=∑x=0
n
(nx ) px (1−p)n−x=( p+(1−p )n
Fungsi Distribusi peubah acak binomial X dengan parameter (n,p) adalah :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
P( X≤x )=∑k=0
x
(nk ) pk(1−p )n−k , x=0,1,2 ,. . ., n
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah : E( X )=μ=np
Ragam peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah :
Var ( X )=σ 2=np(1−p )=npq
Contoh :
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾.
Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya suku cadang yang
tidak rusak dalam pengujian.
Pertanyaan :
a. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan
rusak.
b. Hitung rata-rata dan ragam peubah acak X.
c. Buat sebaran/distribusi peluang peubah acak X.
d. Buat sebaran/distribusi peluang kumulatif peubah acak X.
Jawab :
a. Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau
dipengaruhi yang berikutnya.
P( X=2)=b(2 ;4,3 /4 )=(42 )( 34 )
2
(1−34 )
2
=(42 )( 3
4 )2
( 14 )
2
= 4 !2!2 !
32
42=27
128
Jadi peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak adalah
27/128.
b. E( X )=np=4 .
34=3
V ( X )=npq=4 .
34
.14= 3
4
Jadi nilai rata-rata banyaknya suku cadang yang tidak rusak dalam pengujian adalah
3 sedangkan ragam banyaknya suku cadang yang tidak rusak dalam pengujian
adalah ¾.
c. x=0⇒P ( X=0 )=b(0 ;4,3 /4 )=(40 )( 3
4 )0
( 14 )
4
= 4 !0 !4 !
144
= 1256
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Grafik fungsi/sebaran PeluangBinomial
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
x=1⇒P( X=1)=b(1 ;4,3 /4 )=(4
1 )( 34 )
1
( 14 )
3
= 4 !1 !3!
344
=12256
x=2⇒P( X=2)=b(2 ;4,3 /4 )=(42 )( 3
4 )2
( 14 )
2
= 4 !2 !2 !
32
44=54
256=27
128
x=3⇒P( X=3 )=b (3; 4,3/4 )=(4
3 )( 34 )
3
( 14 )
1
= 4 !3!1 !
33
44=108
256
x=4⇒P( X=4 )=b( 4 ;4,3 /4 )=(44 )( 3
4 )4
( 14 )
0
= 4 !4 !0 !
34
44=81
256
Jadi sebaran peluang X nya adalah :
X 0 1 2 3 4
f(x)=P(X=x) 1/256 12/256 54/256 108/256 81/256
d.
F (0)=f (0 )= 1256
F (1)= f (0 )+ f (1 )= 1256
+12256
=13256
F (2)=f (0 )+f (1 )+ f (2 )= 1256
+12256
+54256
=67256
F (3)= f (0 )+f (1 )+f (2)+f (3)= 1256
+12256
+54256
+108256
=175256
F (4 )=f (0 )+ f (1 )+ f (2 )+ f (3 )+f (4 )= 1256
+12256
+54256
+108256
+81256
=256256
=1
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Sehingga sebaran kumulatif p.a. X adalah :
F ( x )={0 jika x<0
1256
jika 0≤x<1
13256
jika 1≤x<2
67256
jika 2≤x<3
175256
jika 3≤x<4
1 jika 4≤x
Grafik Sebaran Kumulatif Binomial
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-1 0 1 2 3 4 5
x
f(x)
2. Distribusi Poisson
Peubah acak X bernilai 0,1,2,... dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter
λ , jika untuk λ >0, :
p( x )=P ( X=x )=p( x ; λ )= e− λ λx
x !, x=0,1,2 , .. .
merupakan fp untuk peubah acak Poisson X karena :
∑x=o
∞p( x )=e−λ ∑
x=0
∞ λx
x !=e−λ eλ=1
Catatan :
Deret Taylor :
Ekspansi Taylor dari y=g(x) di sekitar (x0,y0) adalah :
y=g(x0)+(x-x0)g’(x0)+1/2(x-x0)2g’’(x0)+...................
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Beberapa contoh peubah acak Poisson :
1. Banyaknya kesalahan pengetikan per halaman dalam sebuah buku
2. Banyaknya orang yang umurnya lebih dari 100 tahun dalam suatu
masyarakat
3. Banyaknya nomor telepon salah yang didial per hari
Pada distribusi Poisson, Rata-rata peubah acak X = ragam peubah acak X yaitu :
E( X )=Var ( X )=λ
Contoh :
Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1
milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6
partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?
Jawab :
x=6, λ=4
f (6 )=P( X=6)=p (6 ;4 )=e−4 46
6 !=∑
x=0
6
p( x ;4 )−∑x=0
5
p( x ; 4 )
=0 . 8893−0 . 7851=0 .1042
Hampiran Distribusi Poisson terhadap distribusi Binomial
Ditribusi Poisson dan Binom memiliki histogram yang bentuknya hampir sama bila n
besar dan p kecil (dekat dengan nol). Oleh karena itu, bila kedua kondisi itu
dipenuhi, distribusi Poisson dengan λ=np dapat digunakan untuk menghampiri
peluang binom.
Contoh :
Misalkan bahwa secara rata-rata 1 orang di antara 1000 orang adalah pecandu
alkohol. Hitung peluang bahwa dalam suatu contoh acak 8000 orang terdapat
kurang dari 7 pecandu alkohol?
Jawab :
Sesungguhnya ini merupakan percobaan binom dengan n=8000 dan p=0.001.
Karena p sangat dekat dengan nol dan n sangat besar, kita akan menghampirinya
dengan sebaran Poisson dengan μ=(8000 )(0. 001 )=8 . Oleh karena itu bila X
menyatakan banyaknya pecandu alkohol, kita memperoleh :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
P( X<7 )=∑x=0
6
b ( x ;8000 , 0 .001)
=∑x=0
6
p( x ;8 )
=0 .3134
3. Distribusi Geometrik
Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses
dengan peluang p, gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang peubah
acak X yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama diberikan
oleh :
P( X=n )=pqn−1 , n=1,2,3 , .. .
merupakan fkp bagi peubah acak geometrik X dengan parameter n, karena :
∑n=1
∞P( X=n )=p∑
n=1
∞(1−p )n−1= p
1−(1−p )=1
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah : E( X )=μ= 1
p
Ragam peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah :
Var ( X )=σ 2=1−p
p2
Contoh :
Dalam proses produksi diketahui bahwa rata-rata di antara 100 butir hasil produksi 1
yang cacat. Berapakah peluang bahwa setelah 5 butir yang diperiksa baru
menemukan cacat pertama?
Jawab :
x=5, p= 1
100=0 . 01
f (5)=P ( X=5 )=g(5 ;0 . 01)=(0 . 01)(0 . 99)4=0 .0056
4. Distribusi Binomial Negatif
Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses
dengan peluang p, gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang peubah
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
acak X yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi r sukses yang pertama diberikan
oleh :
P( X=n )=(n−1r−1 ) pr (1−p )n−r , n=r , r+1 , .. .
merupakan fkp bagi peubah acak binomial negatif X, karena :
∑n=r
∞P ( X=n)=∑
n=r
∞
(n−1r−1 ) pr (1−p )n−r=1
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi binomial negatif adalah : E( X )=μ= r
p
Ragam peubah acak X yang berdistribusi binomial negatif adalah :
Var ( X )=σ 2=r (1−p )
p2
Contoh :
Dalam proses produksi diketahui bahwa rata-rata di antara 100 butir hasil produksi 1
yang cacat. Berapakah peluang bahwa setelah 5 butir yang diperiksa menemukan
tiga cacat pertama?
Jawab :
5. Distribusi Hipergeometrik
Percobaan hipergeometrik mempunyai sifat :
1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian (tak bebas) dari N
benda.
2. Sebanyak k benda diberi nama sukses sedangkan yang lainnya gagal
Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam
sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k sukses dan
N-k gagal ialah :
f ( x )=P( X=x )=h( x ; N , n , k )=(kx )(N−k
n−x )(N
n ), x=0,1, . .. , k
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik adalah : E( X )=μ=nk
N
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Ragam peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik adalah :
Var ( X )=σ 2= N−nN−1
nkn(1− k
N)
Contoh :
Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memeuhi syarat penerimaan bila berisi
tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling : dengan memilih 5 suku cadang secara
acak dari dalam kotak dan menolak kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat.
Berapakah peluang mendapat tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5 bila
kotak tersebut berisi 3 yang cacat.
Jawab :
Misal : X menyatakan banyaknya yang cacat
Diketahui : n=5, N=40, k=3, dan x=1, maka
f (1)=P( X=1 )=h(1 ;40 ,5,3 )=(31 )(37
4 )(40
5 )=0. 3011
Latihan !
1. Peluang jembatan akan rusak setelah 20 tahun adalah 0.4. Bila diketahui ada
15 jembatan dengan konstruksi dan komposisi material sama, berapakah
peluangnya ?
a. Paling sedikit 10 jembatan akan rusak setelah 20 tahun?
b. Antara 3 sampai 8 jembatan yang rusak setelah 20 tahun?
c. Tepat 5 jembatan yang rusak setelah 20 tahun?
d. Hitung rata-rata dan simpangan baku dari banyaknya jembatan yang rusak
setelah 20 tahun?
2. Dari kotak berisi 10 paku, diambil 4 secara acak kemudian dipakukan ke kayu.
Bila kotak itu mengandung 3 paku yang cacat yang akan bengkok bila dipakukan,
berapakah peluang bahwa :
a. keempatnya tidak bengkok?
b. Paling banyak 2 yang akan bengkok?
c. Hitung rata-rata dan simpangan baku dari banyaknya paku yang bengkok?
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
3. Peluang bahwa seorang mahasiswa teknik sipil akan berhasil membuat adukan
semen+pasir+gamping+air dengan komposisi tepat adalah 0.7. Hitunglah
peluang mahasiswa tersebut akan :
a. berhasil pada pembuatan adukan ketiga?
b. Berhasil sebelum pembuatan adukan keempat?
d. Hitung rata-rata dan simpangan baku dari banyaknya pembuatan adukan
sampai diperoleh komposisi tepat?
4. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah
10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari.
Berapakah peluang bahwa pada suatu hari tertentu tanker terpaksa ditolak,
karena pelabuhan tak mampu melayaninya?
5.Misalkan bahwa secara rata-rata 1 di antara 1000 orang membuat kesalahan
angka dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 orang formulir diambil
secara acak dan diperiksa, berapa peluang ada 6,7, atau 8 formulir yang
mengandung kesalahan?
6. Two balls are chosen randomly from an urn containing 8 white, 4 black, and 2
orange balls. Suppose that we win $2 for each black ball selected and we lose $q
for each white ball selected. Let X denote our winnings. What are the possible
values of X, and what are the probabilities associated with each value ?
7. Two fair dice are rolled. Let X equal the product of 2 dice. Compute P(X=x) untuk
x=1,2.
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
BAB V
Beberapa Distribusi Peluang Kontinu
5.1 Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan salah satu distribusi/sebaran peluang kontinu yang
menggambarkan dengan cukup baik gejala yang muncul di alam, industri dan
penelititan. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk lonceng/genta.
Gambar 5.1. Distribusi Normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2
Sebaran normal bergantung pada 2 parameter yaitu μ (rata-rata) dan σ (simpangan
baku).
Fungsi densitas/kepekatan/kepadatan peubah acak normal X dengan rata-rata μ
dan ragam/variansi σ2
ialah :
f ( x )=n (x ; μ , σ )= 1σ √2 π
e−1
2 ( x−μσ )2
, −∞< x<∞
dengan π=3 . 14159. . .. .. . dan e=2.71828....
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
a b
f(x)
μ
σ
Jika peubah acak X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2
, maka
X dituliskan sebagai berikut :
X ~ N ( μ , σ2 )
Kaidah empirik distribusi normal :
μ±1σ=68 %
μ±2 σ=95 %
μ±3σ=99.7 %
Sebaran normal mempunyai beberapa sifat penting, yaitu :
1. Luas daerah di bawah kurva normal sama dengan satu
∫−∞
∞
f ( x )dx=1
2. f ( x )>0 untuk −∞<x<∞
3. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai x bergerak
menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan.
limx→∞
f ( x )=0 dan
limx→−∞
f ( x )=0
4. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rata-rata x=μ
f {( x+μ )}=f {( x−μ )} 5. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat
pada x=μ atau Nilai maksimum untuk f terjadi pada x=μ
6. Kurva mempunyai titik belok pada x=μ±σ , cekung dari bawah bila
μ−σ<x<μ+σ dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya atau titik balik f terjadi
pada x=μ±σ
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi normal adalah : E( X )=μ
Ragam peubah acak X yang berdistribusi normal adalah : Var ( X )=σ 2
Luas di bawah kurva normal :
Luas di bawah kurva normal antara ordinat x=x1 dan x=x2 sama dengan peluang
peubah acak (p.a.) X mendapat nilai antara x=x1 dan x=x2 yaitu :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
P( x1< X< x2)=∫x1
x2
f ( x ) . dx =∫x1
x21
σ √2 π. e
−12 ( x−μ
σ )2dx
Gambar 5.2. Luas daerah di bawah kurva normal antara x1 dengan x2 atau
P (x1<X< x2 )Contoh :
Diketahui suatu distribusi normal dengan μ=50 dan σ=10 . Hitunglah peluang
bahwa :
1. X mendapat nilai antara 45 dan 62
P( 45<X<62 )=∫
45
621
10√2π. e
−12 ( x−50
10 )2
dx =. .. .
2. X mendapat nilai antara 40 dan 45
P( 40<X<45)=∫
40
451
10√2 π. e
−12 ( x−50
10 )2dx =.. . .
3. X mendapat nilai lebih dari 60
P(60< X )=∫
60
∞ 110 √2π
.e−1
2 ( x−5010 )2
dx =.. ..
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
f(x)
x2
P (x1<X< x2 )
Tabel Luas Kurva Normal
Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi kepekatan peluang
normal, digunakan tabel luas kurva normal, yaitu setiap p.a. X ditransformasikan ke
p.a. normal baku Z dengan rata-rata nol dan variansi satu.
Bentuk transformasi normal baku sebagai berikut :
Z= X−μσ
Peubah acak Z berdistribusi normal baku.
Jika X mendapat nilai x maka Z yang bersesuaian diberi nilai z= x−μ
σ . Sehingga
untuk X yang bernilai antara x=x1 dan x=x2, p.a. Z bernilai antara z1=
x1−μ
σ dan
z2=x2−μ
σ maka :
P( x1< X< x2)=1σ √2 π
∫x1
x2
e−1
2 (x−μσ )2
dx
=1σ √2 π
∫z1
z2
e−
12
z2
dz
=P (z1<Z<z2 )
Gambar 5.3. Transformasi peubah acak normal X ke peubah acak normal baku Z
Contoh :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
f(x)f(z)
x1 x2 z1 z2
P( x1< X< x2) P( z1<Z<z2)
X ~ N ( μ , σ2 ) Z ~ N (0,1 )
μ
1. Dari contoh 1.
P( 45<X<62 )=P(45−5050
<Z<62−5050 )
=P(−0 .5<Z<1 .2 )=P( Z<1. 2)−P (Z<−0 . 5)=0 . 8849−0 . 3085 (Tabel kurva normal baku di Walpole )=0 . 5764
2. Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi
normal dengan rata-rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang
suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam!
Jawab :
P(778< X<834 )=P(778−80040
<Z<834−80040 )
=P (−0 . 55<Z<0. 85 )=P (Z<0 . 85)−P (Z<−0 . 55)=0.5111
3. Dalam suatu proses industri, diameter suatu beton merupakan bagian yang
penting. Pembeli menetapkan ketentuan mengenai diameternya, yakni :
3 .0±0 .01 meter. Artinya ialah tidak ada beton yang ukurannya di luar ketentuan
ini akan diterima. Diketahui bahwa dalam proses pembuatan diameter beton
tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 3.0 dan simpangan baku 0.005
meter. Berapa banyak rata-rata beton yang akan terbuang?
Jawab :
Sebaran diameter beton : (yang diarsir adalah daerah standar pembeli)
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Peluang beton yang akan terbuang adalah :
P( X<2. 99 ) atau P( X>3. 01 )=1−P(2 .99<X<3 . 01)
=1−P (2. 99−30 .005
<Z<3 .01−30 . 005 )
=1−P (−2 . 0<Z<2. 0 )=1− [P (Z<2 .0 )−P( Z<−2 .0 )]=1−[ 0.9772−0 .0228 ]=1−0. 9544=0 . 0456
Jadi rata-rata ada 4.56% beton yang akan terbuang dari hasil proses produksi.
4. Diketahui X ~ N ( 40 ,36 ) . Hitung nilai x sehingga :
a. luas di sebelah kirinya 45%.
b. luas di sebelah kanannya 15%
Jawab :
a. P(X<x)=0.45 x=?
Jika P(X<x)=0.45 maka P( Z<z )=0 . 45⇒ z=−0. 13
z= x−μ
σ⇒ x=σz+μ=6 .(−0 . 13)+40=39 . 22
Jadi x= 39.22 agar luas di sebelah kirinya 45 %
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
f(x)
2.99 3.01
X ~ N (3 ,(0 . 01)2 )
μ=3
f(x) X ~ N ( 40 ,62 ) f(x) X ~ N ( 40 ,62 )
(a) (b)
b. P(X>x)=0.14 x=?
Jika P(X>x)=0.14 maka P(X<x)=1-P(X>x) = 1-0.14 =0.86
Karena P(X<x)=0.86 maka P( Z<z )=0 . 86⇒ z=1 .08
z= x−μ
σ⇒ x=σz+μ=6 .(1 . 08)+40=41.17
Jadi x= 41.17 agar luas di sebelah kanannya 14 %
Latihan !
1. Seorang mahasiswa teknik sipil melaporkan bahwa kekuatan batu bata
berdistribusi normal dengan rata-rata 40 tahun dan simpangan baku 6.3 tahun.
Berapa peluang bahwa batu bata akan tetap kuat :
a. lebih dari 32 tahun
b. kurang dari 28 tahun
2. Diameter sebuah balok kayu yang berbentuk lingkaran di lokasi penebangan
berdistribusi normal dengan rata-rata 10 dm dan simpangan baku 0.03 dm.
a. Berapa proporsi balok kayu yang berdiameter melebihi 10.075 dm?
b. Berapa peluang balok kayu berdiameter antara 9.97 dan 10.03 dm?
c. Di bawah nilai diameter berapakah terdapat 15% dari seluruh balok kayu di
lokasi penebangan?
Hampiran Normal terhadap sebaran Binom
Dalili :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
x=? μ=40
P(X<x)=45%
x=?μ=40
P(X>x)=14%
Bila X adalah suatu peubah acak binom dengan nilai tengah μ=np dan ragam
σ 2=npq , maka bentuk pelimitan bagi sebaran
Z= X−np
√npq ,
untuk n→∞ , adalah sebaran normal baku.
Sebaran binom memberikan hampiran yang sangat baik pada sebaran binom bila n
besar dan p dekat dengan ½ . Bahkan bila n kecil dan p tidak terlalu dekat pada 0
atau 1, hampiran itu masih cukup baik.
Misal : hampiran sebaran normal bagi sebaran binom b(x;15,0.4), maka
μ=np=(15)(0 . 4 )=6σ 2=npq=(15)(0 . 4 )(0 .6 )=3 .6
Gambar 5.4. Hampiran sebaran normal bagi sebaran binom b(x;15,0.4),
Nilai peluang pasti bahwa peubah acak X mengambil nilai tertentu x adalah sama
dengan luas empat persegi panjang yang alasnya berpusat di x. Misalnya peluang
bahwa X mengambil nilai 4 sama dengan luas empat persegi pangjang yang alasnya
berpusat di x=4. Dengan menggunakan rumus bagi sebaran binom, kita mendaptkan
bahwa luas itu sama dengan b(4;15,0.4)=0.1268
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Nilai peluang ini kira-kira sama dengan luas daerah di bawah kurva normal antara
x1=3.5 dan x2=4.5. Dengan mengubahnya ke nilai z, kita memproleh :
z1=3 . 5−6
1 .9=−1. 316
dan z2=
4 .5−61 . 9
=−0. 789
Bila X adalah suatu peubah acak binom dan Z peubah acak normal baku, maka :
P( X=4 )=b( 4 ;15 , 0.4 )=P(−1. 316<Z<−0 .789 )=P(Z<−0. 789 )−P(Z<−1 .316)=0 .2151−0 . 0941=0 .1210
Nilai peluang ini sangat dekat dengan nilai peluang pastinya sebesar 0.1268.
Hampiran normal sangat bermanfaat untuk menghitung jumlah peluang binom untuk
n yang besar, yang tanpa tersedianya tabel jumlah binom akan merupakan
pekerjaan yang sangat berat atau bahkan mustahil dapat diselesaikan.
a. Distribusi Uniform
Peubah acak X dikatakan berdistribusi uniform pada interval (α,β) jika fungsi
kepekatan peluang (pdf) nya dinyatakan oleh :
f ( x )={ 1β−α
, α<x<β
0 , lainnya
Cdf atau fungsi distribusi dari peubah acak uniform
pada interval (α,β) :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
F ( x )={ 0 , x≤αx−αβ−α
, α<x<β
1 , x≥β
Contoh :
Bus tiba di halte pada interval 15 menit dimulai jam 7 AM., yaitu 7, 7.15, 7.30 dst.
Jika penumpang tiba di halte mengikuti distribusi uniform antara 7 dan 7.30,
temukan peluang bahwa dia menunggu bus :
a. Kurang dari 5 menit b. Lebih dari 10 menit
b. Distribusi Gamma dan Eksponensial
Meskipun distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan banyak persoalan
dalam bidang rekayasa dan sains, masih banyak sekali persoalan yang memerlukan
fungsi kepadatan peluang jenis lain seperti distribusi Gamma dan Eksponensial.
Distribusi Gamma dan eksponensial memainkan peran yang penting dalam teori
antrian dan teori keandalan (reliabilitas) Jarak antara waktu tiba di fasilitas
pelayanan (misalnya bank, dan loket tiket kereta api), dan lamanya waktu sampai
rusaknya suku cadang dan alat listrik, s
ering menyangkut distribusi eksponensial.
5.2.1 Distribusi Gamma
Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma, dengan parameter α dan β , bila
fungsi kepadatan berbentuk :
f ( x )={ 1
βα Γ (α )xα−1 e−x /β , x>0
0 , untuk x lainnya
dengan α >0 dan β>0 serta Γ ( α )=( α−1 )!
Dalam teori keandalan (reliabilitas) yang menyangkut kegagalan peralatan sering
memenuhi proses Poisson, di sini β disebut rata-rata waktu antara kegagalan dan
α menyatakan jumlah tertentu kejadian.
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi gamma adalah : E( X )=μ=αβ
Ragam peubah acak X yang berdistribusi gamma adalah : Var ( X )=σ 2=αβ2
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Gambar 5.5. Distribusi Gamma dengan β=1
Contoh : (Waktu menunggu)
Misalkan bahwa hubungan telepon tiba di suatu gardu (sentral) memenuhi proses
Poisson dengan rata-rata 5 hubungan masuk per menit. Berapakah peluangnya
bahwa dalam satu menit, baru 2 sambungan masuk ke gardu tadi?
Jawab :
Proses Poisson berlaku dengan waktu sampai 2 kejadian Poisson memenuhi
distribusi gamma dengan β=1/5 dan α=2 . Misalkan peubah acak X menyatakan
waktu dalam menit berlalu sebelum 2 hubungan masuk. Peluang yang dicari
adalah :
P( X≤x )=∫0
x1
β2xe− x /β dx
P( X≤1)=25∫0
1
xe−5 x dx=[1−e−5(1)(1+5) ]=0. 96
5.2.2. Distribusi Eksponensial
Distribusi gamma yang khusus dengan α=1disebut distribusi eksponensial.
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
α=1
α=2
α=4
Peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial, dengan parameter β , bila
fungsi kepadatannya berbentuk :
f ( x )={ 1β
e− x /β , x>0
0 , untuk x lainnya
dengan β>0
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi eksponensial adalah : E( X )=μ=β
Ragam peubah acak X yang berdistribusi eksponensial adalah : Var ( X )=σ 2=β2
Contoh :
Misalkan suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam
tahun dinyatakan oleh peubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan
parameter waktu rata-rata sampai gagal β=5 , Bila sebanyak 5 komponen tersebut
dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2
masih akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan?
Jawab :
Peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun
adalah :
P(T >8 )=15∫
8
∞
e−(1/5) t dt=e−8 /5≃0 .2
a. Distribusi Khi Kuadrat
Hal khusus lainnya yang amat penting dari distribusi gamma diperoleh dengan
mengambil α=v /2 dan β=2 untuk v bilangan bulat positif. Hasilnya disebut
ditribusi khi kuadrat. Distribusi ini mempunyai parameter tunggal v, disebut derajat
kebebasan.
Peubah acak kontinu X berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan v, bila
fungsi kepadatan diberikan oleh :
f ( x )={ 1
2v /2 Γ ( v /2)x
v2−1
e−x /2 , x>0
0 , untuk x lainnya
dengan v bilangan bulat positif
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
v=2
v=4
v=6
Distribusi khi kuadrat memegang peranan penting dalam statistika inferensia antara
lain : kaitan antara distribusi khi kuadrat dengan distribusi normal, pengujian
hipotesis dan penaksiran parameter.
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi khi kuadrat adalah : E( X )=μ=v
Ragam peubah acak X yang berdistribusi khi kuadrat adalah : Var ( X )=σ 2=2 v
Gambar 5.6. Distribusi Khi Kuadrat
b. Distribusi Weibull
Teknologi modern telah memungkinkan orang merancang banyak sistem yang rumit
yang penggunaannya, atau barangkali keamanannya,bergantung pada keandalan
berbagai komponen dalam sistem tersebut. Sebagai contoh : suatu sekering
mungkin putus, tiang baja mungkin melengkung atau alat pengindera panas tak
bekerja. Komponen yang sama dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam
waktu yang berlainan yang tak dapat diramalkan. Telah kita pelajari peran yang
dimainkan oleh distribusi gamma dan eksponensial dalam jenis persoalan ini. Salah
satu distribusi lain yang telah banyak sekali dipakai akhir-akhir ini dalam menangani
masalah seperti itu adalah distribusi Weibull yang diperkenalkan oleh fisikawan
Swedia Waloddi Weibull pada 1939.
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
1
2
3
4
Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengna parameter α dan β jika
fungsi kepadatannya berbentuk :
f ( x )={αβ xβ −1e−( αx )β , x>00 , untuk x lainnya
dengan α >0 dan β>0
Gambar 5.7. Distribusi Weibull dengan α=1
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi Weibull adalah :
E( X )=μ=α−1/β Γ (1+ 1β )
Ragam peubah acak X yang berdistribusi Weibull adalah :
Var ( X )=σ 2=α−2 /β {Γ (1+ 2β )−[Γ (1+ 1
β )]2}
Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi Weibull juga dipakai pada
persoalan keandalan dan pengujian panjang umur (life testing) seperti waktu
sampai rusak atau panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu
tertentu sampai rusak.
Contoh :
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
Misalkan bahwa panjang umur dalam tahun, baterai alat bantu pengukuran beton
berbentuk peubah acak yang berdistribusi Weibull dengan α=1/2 dan β=2 .
a. Berapa lama baterai tersebut dapat diharapkan tahan?
b. Berapa peluangnya baterai tersebut masih dapat dipakai setelah 2 tahun?
c. Distribusi Beta
Peubah acak kontinu X berdistribusi beta dengan parameter α dan β bila fungsi
kepadatannya :
f ( x )={ Γ (α+ β )Γ (α )Γ ( β )
xα−1 (1−x )β−1 , 0<x<1
0 , untuk x lainnya
dengan α >0 dan β>0
Rata-rata peubah acak X yang berdistribusi Beta adalah : E( X )=μ= α
α+β
Ragam peubah acak X yang berdistribusi Beta adalah :
Var ( X )=σ 2= αβ
(α +β )2 (α+ β+1 )
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
2
1
10
Gambar 5.8. Distribusi Beta
Contoh :
Bila proporsi suatu televisi merk tertentu membutuhkan perbaikan selama tahun
pertama pemakaiannya merupakan suatu peubah acak berdistribusi beta dengan
α=3 , β=2 , berapakah peluang paling sedikit 80% televisi baru merk tersebut yang
terjual memerlukan perbaikan dalam tahun pertama pemakaiannya?
Oleh: Dr. Suci Astutik, S.Si., M.Si.
α=β=1
α=β=3
top related