aljabar linear
DESCRIPTION
tuggas kelompokTRANSCRIPT
TUGAS
ALJABAR LINIEAR
Disusun Oleh:Kelompok 12
1) MALIK HANAFI
2) MAGHFIRA M. LUTFI
3) SITI SUNDARI
4) SINTONG SIBAGARIANG
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS AL-AMIN MUHAMADIYAH (UNAMIN) SORONG
TAHUN 2011
FKIP Matematika_D
Latihan 3
1. Untuk tiap sistem persamaan di bawah ini:
i. {x+ y=4x− y=2
ii. {x− y=3x+ y=5
iii. {x+ y=5x− y=6
iv. {2x−3 y=73 x+2 y=7
v. {5 x+2 y=183x−2 y=14
vi. { 2 x+3 y=62x+3 y=12
a. gambarlah grafiknya dalam sistem koordinat b. tulislah koordinat titik potong kedua garis tersebut
2. apakah anda dapat dengan mudah membaca kordinat titik potong pasangan garis untuk soal nomor 1 dengan iv dan v? jelaskan pendapat anda.
3. apakah anda menemukan titik potong dengan garis untuk soal nomor 1 bagian iv? jelaskan pendapat anda.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
Pembahasan Soal 3
1. Untuk tiap sistem persamaan di bawah ini:
i. {x+ y=4x− y=2
JAWAB ;titik potong dengan sumbu x dan y.
x + y = 4
x 0 4y 4 0
a. Gambar grafik
b. koordinat titik potong (3, 1)
ii. {x− y=3x+ y=5
JAWAB ;titik potong dengan sumbu x dan y.
a. Gambar Grafik
b. koordinat titik potong(4, 1)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
Titik potong
Titik potong(4, 1)
x - y = 2
x 0 2y -2 0
x – y = 3
X 0 3Y -3 0
x + y = 5
X 0 5Y 5 0
FKIP Matematika_D
iii. {x+ y=5x− y=6
JAWAB ;titik potong dengan sumbu x dan y.
a. Gambar grafik
b. koordinat titik potong
(5 12 ,−12 )
iv. {2x−3 y=73 x+2 y=7
JAWAB ;titik potong dengan sumbu x dan y.
a. Gambar grafik
b. koordinat titik potong
(11239,− 713
)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
Titik potong
(512,−12
)
Titik potong(
11239,− 713
x + y = 5
X 0 5Y 5 0
x – y = 6
X 0 6Y -6 0
2x – 3y = 7
X 0 72
Y −73
0
3x + 2y = 7
X 0 73
Y 72
0
FKIP Matematika_D
v. {5 x+2 y=183x+2 y=14
JAWAB ;titik potong dengan sumbu x dan y.
a. Gambar grafik
b. koordinat titik potong (2, 4)
vi. {5 x+2 y=183x+2 y=14
JAWAB ;titik potong dengan sumbu x dan y.
a. Gambar Grafikb. koordinat titik potong tdk
ada
2. iya
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
Titik potong( 2, 4 )
SEJAJAR
5x + 2y = 18
X 0 185
Y 9 0
3x + 2y = 14
X 0 143
Y 7 0
2x + 3y = 6
X 0 3Y 2 0
2x + 3y = 12
X 0 6Y 4 0
FKIP Matematika_D
Berdasarkan grafik pada gambar (iv), terlihat bahwa pada grafik, garisnya akan
berpotongan sehingga titik potong kedua garis adalah titik (11239,− 713 )
Berdasarkan grafik pada gambar (v), terlihat bahwa pada grafik garisnya akan berpotongan sehingga titik potong kedua garis adalah titik (2, 4)
3. Tidak, berdasarkan grafik pada gambar (vi), terlihat sekali bahwa grafik ini garisnya akan sejajar sehingga tidak di temukan titik potong pada pasangan garis tersebut.
Latihan 4
1. Tentukan koordinat titik potong tiap pasang garis berikut ini.
a. {y=4 x−2y=−2
b. {y=2−xy=x+1
c. { y=x−2y=−2 x−5
d. {y=3 x−2y=x+6
e. {y=4−2xy=3 x−6
f. {y=−2 x+1y=−x+2
2. Tentukan nilai masing-masing variabel pada tiap sistem persamaan linear dibawah ini .
a. {a=2b−2a=−b+1
b. { p=k−3p=2k+1
c. {y=2 x−2y=1−x
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
d. { m=5nm=8n−3
e. {s=4−hs=h−2
f. { j=5k−8j=10k−13
3. selesaikanlah tiap sistem persamaan di bawah ini.
a. { y=6 xx+ y=21
b. { x=4x+ y=10
c. { y=x+2y+x=12
d. { y=2 x−53x+ y=30
e. { x=3 yy+2x=21
4. tentukan nilai tiap variabel pada sistem persamaan dibawah ini.
a. {a=4−bb−a=2
b. { m=n−32m+2n=6
c. { x=2 y+35 y−5 x+10=0
d. { e=5−3 t3 t+2e=7
e. { g=5−3h3h−2 g=8
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
Pembahasan Soal 4
1. Tentukan koordinat titik potong tiap pasang garis berikut ini.
a. {y=4 x−2y=−2
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
4 x−2=−24 x=−2+24 x=0x=0
subtitusikan nilai x = 0 , ke persamaan (1)
y=4 x−2y=4 (0 )−2y=−2
koordinat titik potong ( 0, -2)
b. y = 2 – x y = x + 1
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
2 – x = x + 1-2x = -1 X = ½
subtitusikan nilai x = ½ , ke persamaan (1)y = 2 – x y = 2 – ½ y = 3/2
koordinat titik potong ( ½ , 3/2 )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
c. y = x – 2 y = -2x – 5
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
x – 2 = -2x – 53x = -3X = -1
subtitusikan nilai x =-1 , ke persamaan (1)y = x – 2 y = -1 – 2 y = -3
koordinat titik potong ( -1, -3)d. y = 3x – 2
y = x + 6
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
3x – 2 = x + 62x = 8X = 4
subtitusikan nilai x = 4 , ke persamaan (1)y = 3x – 2 y = 3(4) – 2 y = 12 – 2 y = 10
koordinat titik potong ( 4, 10)
e. y = 4 – 2xy = 3x – 6
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
4 – 2x = 3x – 6-5x = -10X = 2
subtitusikan nilai x = 2 , ke persamaan (1)y = 4 – 2xy = 4 – 2(2)y = 0
koordinat titik potong ( 2, 0)
f. y = -2x + 1 y = x + 2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
-2x + 1 = x + 2-3x = 1X = -1/3
subtitusikan nilai x = -1/3 , ke persamaan (1)y = -2x + 1 y = -2(-1/3) + 1 y = 2/3 + 1y = 5/3
koordinat titik potong ( -1/3, 5/3 )
2. Tentukan nilai masing-masing variabel pada tiap sistem persamaan linear dibawah ini .
a = 2b – 2 a = -b + 1
JAWAB ;subtitusikan nilai a pada persamaan (2)
2b−2=−b+12b+b=1+23b=3b=1
subtitusikan nilai b = 1 , ke persamaan (1)
a=2b−2a=2 (1 )−2a=0
b. p = k – 3 p = 2k + 1
JAWAB ;subtitusikan nilai p pada persamaan (2)
k−3=2k+1k−2k=1+3
−k=4k=−4
subtitusikan nilai k = -4 , ke persamaan (1)
p=k−3p=−4−3k=−7
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
c. y = 2x – 2y = 1 – x
JAWAB ;subtitusikan nilai y pada persamaan (2)
2 x−2=1−x2 x+x=1+23x=3x=1
subtitusikan nilai x = 1 , ke persamaan (1)
y=2 x−2y=2 (1 )−2y=0
d. m = 5nm = 8n – 3
JAWAB ;subtitusikan nilai m pada persamaan (2)
5n=8n−35n−8n=−3−3n=−3n=1
subtitusikan nilai n = 1 , ke persamaan (1)
m=5nm=5 (1)m=5
e. s = 4 – h s = h – 2
JAWAB ;subtitusikan nilai a pada persamaan (2)
4−h=h−2−h−h=−2−4
−2h=−6
h=−6−2
h=3
subtitusikan nilai h = 3 , ke persamaan (1)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
s=4−hs=4−3s=1
f. j = 5k – 8j = 10k – 13
JAWAB ;subtitusikan nilai a pada persamaan (2)
5k−8=10k−135k−10k=−13+8
−5k=−5k=1
subtitusikan nilai k = 1 , ke persamaan (1)
j=5 k−8j=5 (1 )−8j=−3
3. selesaikanlah tiap sistem persamaan di bawah ini.
a. y = 6xx + y = 21
JAWAB :subtitusikan nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
x + y = 21x + (6x) = 217x = 21X = 3
Subtitusikan nilai x = 3, ke persamaan (2)3 + y = 21y = 21 – 3y = 19
b. x = 4x + y = 10
JAWAB :subtitusikan nilai x pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
x + y = 104 + y = 10 y = 10 – 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y = 6
Subtitusikan nilai y = 6, ke persamaan (2)x + y = 10x + 6 = 10x = 10 – 6 x = 4
c. y = x + 2y + x = 12
JAWAB :subtitusikan nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
y + x = 12(x + 2 ) + x = 122 + 2x = 122x = 12 – 22x = 10x = 5
Subtitusikan nilai x = 5, ke persamaan (2)y + 5 = 12 y = 12 – 5 y = 7
d. y = 2x – 53x + y = 30
JAWAB :subtitusikan nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
3x + y = 303x + (2x – 5 ) = 305x – 5 = 305x = 30 + 55x = 35X = 7
subtitusikan nilai x = 7 , ke persamaan (1)
y = 2x – 5y = 2(7) – 5y = 14 – 5y = 9
e. x = 3yy + 2x = 21
JAWAB :subtitusikan nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
y + 2x = 21y + 2( 3y ) = 21
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y + 6y = 217y = 21y = 3
subtitusikan nilai y = 3 , ke persamaan (1)
x = 3yx = 3(3)x = 9
4. tentukan nilai tiap variabel pada sistem persamaan dibawah ini.
a. a = 4 – bb – a = 2
JAWAB :subtitusikan nilai a pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
b – a = 2b – (4 – b ) = 22b = 2 + 42b = 6 b = 3
subtitusikan nilai b = 3 , ke persamaan (1)a = 4 – ba = 4 – 3a = 1
b. m = n – 32m + 2n = 6
JAWAB :subtitusikan nilai m pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
2m + 2n = 62(n – 3) + 2n = 62n – 6 + 2n = 64n = 6 + 64n = 12n = 3
subtitusikan nilai n = 3 , ke persamaan (1)m = n – 3m = 3 – 3m = 0
c. x = 2y + 35y – 5x + 10 = 0
JAWAB :
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
subtitusikan nilai x pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
5y – 5x + 10 = 05y – 5(2y + 3) + 10 = 05y – 10y + 15 +10 = 0
-5y +25 =0-5y = -25
y = 5
subtitusikan nilai y = 5 , ke persamaan (1)x = 2y + 3x = 2(5) + 3x = 13
d. e = 5 – 3t 3t + 2e = 7
JAWAB :subtitusikan nilai e pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
3t + 2e = 73t + 2(5 – 3t ) = 73t + 10 – 6t = 7-3t = 7 -10-3t = -3t = 1
subtitusikan nilai t = 1 , ke persamaan (1)e = 5 – 3t e = 5 – 3(1)e= 5 – 3e = 2
e. g = 5 – 3h3h – 2g = 8
JAWAB :subtitusikan nilai g pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh ;
3h – 2g = 83h – 2(5 – 3h) = 83h – 10 + 6h = 89h = 8 +109h = 18h = 2
subtitusikan nilai h = 2 , ke persamaan (1)
g = 5 – 3hg = 5 – 3(2)g = 5 - 6 g = -1
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
Latihan 5
selesaikan tiap sistem persamaan dibawah ini dengan metode eliminasi.
1. x + 2y = 7x + y = 4
2. 5x + 2y = 235x – 3y = -17
3. 3x + 8y = 405x – 8y = 16
4. 4a + 2b =12-4a – 3b = 3
5. 11c + 2d = 375c + 2d = 19
6. 2e – 5f = 14e – 5f = 5
7. m + 5n = 212m – 5n = 6
8. p + 3q = 11p – 3q = 5
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
9. 3k + 4h = 17k – 4h = 7
10. 7x + 5y = 19-4x + 5y = 8
Pembahasan Soal 5
1. x + 2y = 7x + y = 4JAWAB ;karena koefisien variabel x sama, yaitu 1 ; maka eliminasi x dengan mengurangi persamaan (1) dg persamaan (2).
Untuk mencari nilai x, kita eliminir y dengan terlebih dahulu menyamakan koefisiennya.
Jadi, x = 1 dan y = 2.
2. 5x + 2y = 235x – 3y = -17JAWAB ;karena koefisien variabel x sama, yaitu 5 ; maka eliminasi x dengan mengurangi persamaan (1) dg persamaan (2).
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
x + 2y = 7 ...................... ( 1 )x + y = 4 _ _...................... ( 2 )0x + y = 3 y = 3
x + 2y = 7 x 1............. x + 2y = 7x + y = 4 _ _ x 2.............2x + 2y = 8 _ _
-x + 0y = -1 x = 1
5x + 2y = 24 ...................... ( 1 )5x - 3y = -17 _ _...................... ( 2 )0x + 5y = 40
y = 405
y = 8
FKIP Matematika_D
Untuk mencari nilai x, kita eliminir y dengan terlebih dahulu menyamakan koefisiennya.
Jadi, x = 75
dan y = 8.
3. 3x + 8y = 405x – 8y = 16JAWAB ;Karena koefisien y berlawanan , elimenir y dengan menambahkan persamaan (1) dan (2)
Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 5 dan persamaan (2) dg 3.
Jadi, x = 198
dan y = 7.
4. 4a + 2b =12-4a – 3b = 3JAWAB ;Karena koefisien a berlawanan , elimenir a dengan menambahkan persamaan (1) dan (2)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
5x + 2y = 24 x 3............. 15x + 6y = 695x - 3y = -17 _ x 2............. 10x - 6y = -34 _ +
25x + 0y = 35
x = 3525
= 75
3x + 8y = 40 ...................... ( 1 )5x - 8y = 16 _ +...................... ( 2 )8x + 0y = 56
y = 568
y = 7
3x + 8y = 40 x 5............. 15x + 40y = 2005x - 8y = 16 _ x 3............. 15x - 24y = 48 _ _
0x + 64y = 152
x = 15264
= 198
4a + 2b = 12 ...................... ( 1 )-4a- 3b = 3 _ +...................... ( 2 ) 0a - b = 15 -b = 15 b = -15
FKIP Matematika_D
Karena koefisien b tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 3 dan persamaan (2) dg 2.
Jadi, x = 212
dan b = -15.
5. 11c + 2d = 375c + 2d = 19JAWAB ;karena koefisien variabel d sama, yaitu 2 ; maka eliminasi d dengan mengurangi persamaan (1) dg persamaan (2).
Karena koefisien c tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 5 dan persamaan (2) dg 11.
Jadi, c = 3 dan d = 2.
6. 2e – 5f = 14e – 5f = 5JAWAB ;karena koefisien variabel f sama, yaitu -5 ; maka eliminasi f dengan mengurangi persamaan (1) dg persamaan (2).
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
4a + 2b = 12 x 3............. 12a + 6a = 36-4a - 3b = 3 _ x 2............. -8a - 6a = 6_ +
4a + 0y = 42
4a = 424
= 212
11c + 2d = 37 ...................... ( 1 ) 5c + 2d = 19 _ _...................... ( 2 ) 6c + 0y = 18
c = 186
c = 3
11c + 2d = 37 x 5............. 55c + 10d = 185 5c + 2d = 19 _ x 11............. 55c+ 22d = 209_ _
0c - 12d = -24
-d = −2412
d = 2
2e - 5f = 1 ...................... ( 1 )4e - 5f= 5 _ _...................... ( 2 )-2e + 0f = -4-2e = -4 e = 2
FKIP Matematika_D
Karena koefisien e tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 4 dan persamaan (2) dg 2.
Jadi, f =35
dan e = 2.
7. m + 5n = 212m – 5n = 6JAWAB ;Karena koefisien n berlawanan , elimenir n dengan menambahkan persamaan (1) dan (2)
Karena koefisien m tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 2 dan persamaan (2) dg 1.
Jadi, m = 9 dan n = 125
.
8. p + 3q = 11p – 3q = 5JAWAB ;karena koefisien variabel p sama, yaitu 1 ; maka eliminasi p dengan mengurangi persamaan (1) dg persamaan (2).
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
2e - 5f = 1 x 4............. 8e - 20f = 44e - 5f = 5 _ x 2............. 8e - 10f = 10 _ _
0e - 10f = -6
f = −6−10 = 3
5
m + 5n = 21 ...................... ( 1 )2m- 5n = 6 _ +...................... ( 2 ) 3m + 0n = 27
m = 273
m = 9
m + 5n = 21 x 2............. 2m + 10n = 42 2m - 5n = 6 _ x 1............. 2m - 5n = 6_ _
0m - 15n = 36
n = 3615
= 125
p + 3q = 11 ..................... ( 1 )p - 3q = 5 _ _...................... ( 2 )0p + 6q = 6
q = 66
= 1
FKIP Matematika_D
Karena koefisien q berlawanan , elimenir q dengan menambahkan persamaan (1) dan (2)
Jadi, p = 8 dan q = 1.
9. 3k + 4h = 17k – 4h = 7
JAWAB ;Karena koefisien h berlawanan , elimenir h dengan menambahkan persamaan (1) dan (2)
Karena koefisien k tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 1 dan persamaan (2) dg 3.
Jadi, k = 6 dan h = −14
.
10. 7x + 5y = 19-4x + 5y = 8
JAWAB ;karena koefisien variabel y sama, yaitu 5 ; maka eliminasi y dengan mengurangi persamaan (1) dg persamaan (2).
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
p + 3q = 11 ...................... ( 1 ) p- 3q = 5 _ +...................... ( 2 ) 2p - 0q = 16
p = 162
p = 8
3k + 4h = 17 ...................... ( 1 ) k- 4h = 7 _ +...................... ( 2 ) 4k - 0h = 24
k = 244
k = 6
3k + 4h = 17 x 1............. 3k + 4h = 17 k - 4h = 7 _ x 3............. 3k - 12h = 21_ _
0k + 16h = -4
h = −416
= −14
7x + 5y = 19 ..................... ( 1 ) -4x + 5y = 8 _ _...................... ( 2 )11x + 0y = 11
x = 1111
= 1
FKIP Matematika_D
Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 4 dan persamaan (2) dg 7.
Jadi, x = 1 dan y = 13255
.
Latihan 6
selesaikan lah setiap sistem persamaan dibawah ini .
1. 2x + y = 43x – 2y = -1
2. 2x – y = 15x + 3y = 19
3. x – 2y = 43x + y =5
4. x + y = -32x – 3y = 14
5. 5x – 2y = 32x + 5y =7
6. 5x – 3y = 2-x + 5y =4
7. 3x + 4y = 144x - 3y =2
8. -4x + 5y = -1 x - 2y = 1
9. 3x + 5y = 52x + 3y = 3
10. 9x + 5y = 193x - 2y = -1
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
7x + 5y = 19 x 4............. 28x + 20y = 76-4x + 5y = 8 _ x 7............. -28x + 35y = 56_ +
0x + 55y = 132
y = 13255
FKIP Matematika_D
Pembahasan Soal 6
1. 2x + y = 43x – 2y = -1
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 3 dan persamaan (2) dg 2.
Subtitusi y = 2, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 2
2. 2x – y = 15x + 3y = 19
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 5 dan persamaan (2) dg 2.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
2x + y = 4 x 3............. 6x + 3y = 12 3x - 2y = -1 _ x 2............. 6x - 4y = -2_ _
0x + 7y = 14
y = 147
y = 2
2x + y = 4 ...................... ( 1 ) 2x + (2) = 4 2x = 4 – 2
x = 22
= 1
2x - y = 1 x 5............. 10x - 5y = 5 5x + 3y = 19 _ x 2............. 10x + 6y = 38_ _
0x - 11y = -33
y = −33−11
y = 3
FKIP Matematika_D
Subtitusi y = 2, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 2 dan y = 3
3. x – 2y = 43x + y =5
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 3 dan persamaan (2) dg 2.
Subtitusi y = -1 , ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 2 dan y = -1
4. x + y = -32x – 3y = 14
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 2 dan persamaan (2) dg 1.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
2x - y = 1 ...................... ( 1 ) 2x - (3) = 1 2x = 1 + 3
x = 42
= 2
x - 2y = 4x 3............. 3x - 6y = 12 3x + y = 5 x 1............. 3x + y = 5_ _
0x - 7y = 7
y = 7
−7y = -1
x - 2y = 4...................... ( 1 ) x - 2(-1) = 4 x + 2 = 4 x = 4 – 2
x = 2
x + y = -3 x 2............. 2x + 2y = -6 2x - 3y = 14 x 1............. 2x - 3y = 14_ _
0x + 5y = -20
y = −205
y = - 4
FKIP Matematika_D
Subtitusi y = -4, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = -4
5. 5x – 2y = 32x + 5y =7
JAWAB ;
Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 2 dan persamaan (2) dg 5.
Subtitusi y = 1, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 1
6. 5x – 3y = 2-x + 5y =4
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 1 dan persamaan (2) dg 5.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
x + y = -3 ...................... ( 1 )x + (-4) = -3x - 4 = -3 x = -3 + 4
x = 1
5x - 2y = 3 x 2............. 10x - 4y = 6 2x + 5y = 7 _ x 5............. 10x + 25y = 35_ _
0x - 29y = -29
y = −29−29
y = 1
5x - 2y = 3 ...................... ( 1 ) 5x - 2(1) = 3 5x = 3 + 2
x = 55
= 1
5x - 3y = 2 x 1............. 5x - 3y = 2 -x + 5y = 4 x 5............. -5x + 25y = 20_ _
0x + 22y = 22
y = 2222
y = 1
FKIP Matematika_D
Subtitusi y = 1, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 1
7. 3x + 4y = 144x - 3y =2
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 4 dan persamaan (2) dg 3.
Subtitusi y = 2, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 2 dan y = 2
8. -4x + 5y = -1 x - 2y = 1
JAWAB ;Karena koefisien y tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 2 dan persamaan (2) dg 5.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
5x - 3y = 2...................... ( 1 ) 5x - 3(1) = 2 5x - 3 = 2 5x = 2 + 3
x = 55
= 1
3x + 4y = 14 x 4............. 12x + 16y = 56 4x - 3y = 2 x 3............. 12x - 9y = 6_ _
0x + 25y = 50
y = 5025
y = 2
3x + 4y = 14...................... ( 1 ) 3x + 4(2) = 14 3x + 8 = 14 3x = 14 – 8
x = 63
= 2
-4x + 5y = -1 x 2............. -8x + 10y = -2 x - 2y = 1 x 5............. 5x - 10y = 5_ +
-3x + 0y = 3
x = 3
−3x = -1
FKIP Matematika_D
Subtitusi x = -1, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = -1 dan y = -1
9. 3x + 5y = 52x + 3y = 3
JAWAB ;Karena koefisien x tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 2 dan persamaan (2) dg 3.
Subtitusi y = 1, ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya x = 0 dan y = 1
10. 9x + 5y = 193x - 2y = -1
JAWAB ;Karena koefisien y tidak sama, kita kalikan persamaan (1) dg 2 dan persamaan (2) dg 5.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
-4x + 5y = -1...................... ( 1 ) -4(-1) + 5y = -1 4 + 5y = -1
5y = -1 – 4
y = −55
= -1
3x + 5y = 5 x 2............. 6x + 10y = 10 2x + 3y = 3 x 3............. 6x + 9y = 9_ _
0x + 1y = 1 y = 1
3x + 5y = 5...................... ( 1 ) 3x + 5(1) = 5
3x = 5 - 5
x = 03
= 0
9x + 5y = 19 x 2............. 18x + 10y = 38 3x - 2y = -1 x 5............. 15x - 10y = -5_ +
33x + 0y = 33
x = 3333
x = 1
FKIP Matematika_D
Subtitusi x = 1, ke persamaan (2)
Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 2
latihan 7
1. sketsalah grafik fungsi pada setiap sistem persamaan dibawah ini kemudian tentukan koordinat titik potongnya.
a. y = 4x2
y = 8x
b. y = x2 – 5 y = 4x
c. y = 8x – x2
y = 2x
d. x – 2y = 10y = x2 + 2x – 15
e. y + 3x = 1y = x2 – 2x + 1
2. selesaikanlah setiap sistem persamaan berikut ini a. x2 – y2 = 9
x = 5
b. 2x2 – 4y2 = 12x = 4
c. y2 = 4x2x – y = 4
d. x + y = 6x2 + y2 = 26
e. x2 + y2 = 13x + y = 5
f. x2 + y2 = 20x – 2y = 0
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
3x - 2y = -1...................... ( 1 )3(1) - 2y = -13 - 2y = -13x - 2y = -1 – 3
y = −4−2 = 2
FKIP Matematika_D
g. x2 + 2y2 = 122x – y = 2
h. x + y = 4xy = 15
i. x + y = 1xy = -12
j. 2x – y + 2 = 0xy = 4
Pembahasan Soal 7
1. a. y = 4x² → y - 4x² = 0 (1)y = 8x → y - 8x = 0 _(2)
-4x² + 8x = 0 -4x (x - 2) = 0x₁ → -4x = 0 x₂ → (x – 2) = 0x = 0/4 x = 0 + 2x₁ = 0 x₂ = 2
x₁ disubtitusikan di persamaan (1) → x₁ = 0y = 4x₂y = 4(0)²y = 0Hp { 0,0 }
x₂ disubtitusikan di persamaan (2)→ x₂ = 2 y = 8x y = 8 (2) y = 16Hp { 2,16 }
Jadi Hpnya adalah { (0,0) , (2,16) }
b. y = x² - 5 → y - x² + 5 = 0 (1)y = 4x → y – 4x = 0 _(2)
-x² + 4x +5 = 0( -x + 5) (x + 1) = 0
x₁ → -x + 5 = 0 x₂ → x + 1 = 0-x = 0 - 5 x = 0 – 1- x = -5 x = -1x₁ = 5 x₂ = -1
x₁ disubtitusikan pada persamaan (1) → x₁ = 5 y - x² + 5 = 0 y – (5)² + 5 = 0 y – 25 + 5 = 0 y – 20 = 0
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y = 0 + 20y = 20
Hp { 5,20 }x₂ disubtitusikan pada persamaan (2)
→ x₂ = -1 y – 4x = 0 y – 4(-1) = 0 y + 4 = 0 y = 0 – 4 y = -4 Hp { -1,-4 }Jadi Hpnya adalah { ( 5,20 ) , ( -1,-4 ) }
c. y = 8x - x² → y – 8x + x² = 0 (1)y = 2x → y – 2x = 0____ _ (2)
-8x + 2x + x² = 0 x² - 6x = 0 x ( x – 6 ) = 0
x₁ → x = 0 x₂ → x – 6 = 0x = 0 + 6x₂ = 6x₁ disubtitusikan pada persamaan (1)
→ x₁ = 0 y – 8x + x² = 0 y – 8(0) + (0)² = 0 y = 0 Hp { 0,0 }x₂ disubtitusikan pada persamaan (2)
→ x₂ = 6 y – 2x = 0 y – 2 (6) = 0 y – 12 = 0 y = 12 Hp { 6,12 }Jadi hpnya adalah { ( 0,0 ) , ( 6,12 ) }
d. x – 2y = 10 → x – 2y – 10 = 0 x 1 y = x² + 2x - 15 → x² + 2x – y - 15 = 0 x 2
x – 2y – 10 = 0 ....... (1) 2x² + 4x –2 y - 30 = 0 _....... (2)
-2x² + x – 4x –10 + 30 = 0 -2x² - 3x + 20 = 0 ( -2x + 5 ) ( x + 4 ) = 0
x₁ → -2x + 5 = 0 x₂ → x + 4 = 0 -2x = 0 – 5 x = 0 - 4 -2x = -5 x₂ = -4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
x₁ = 52
x₁ disubtitusikan pada persamaan (1)
x₁ → x = 52
x – 2y – 10 = 0
52−¿2y – 10 = 0
52−202
−2 y=0
−152
−2 y=0
2 y=−152
y=
−1522
=−154
Y
Hp {52 ,−152 }x₂ disubtitusikan padda persamaan (2)
x₂ → x = -4 2x² + 4x –2 y – 30 = 0 2 (-4) +4 (-4) – 2y – 30 = 0 -8 – 16 – 2y – 30 = 0 -24 – 30 – 2y = 0 -54 – 2y = 0 -2y = 54 Y = - 54/2 Y = -27 Hp { -4 , -27 }Jadi Hpnya adalah { ¿ ) , ( -4 , - 27 ) }
e. y + 3x = 1 → y + 3x – 1 = 0 ........... (1)y = x² - 2x + 1 → y - x² + 2x – 1 = 0 _ ......... (2)
x² + 3x – 2x – 1 + 1 = 0 x² + x = 0 x ( x + 1 ) = 0
x₁ → x = 0 x₂ → x + 1 = 0 x = 0 – 1 x = - 1
x₁ disubtitusikan pada persamaan (1) x₁ → x = 0 y – 3x – 1 = 0 y – 3(0) – 1 = 0 y – 1 = 0
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y = 0 + 1 y = 1 Hp { 0 , 1 }x₂ disubtitusikan pada persamaan (2)
x₂ → x = - 1 y - x² + 2x – 1 = 0 y – ( -1)² + 2(-1) – 1 = 0 y – 1 – 2 – 1 = 0 y – 4 = 0 y = 0 + 4 y = 4 Hp { -1 , 4 }Jadi Hpnya adalah { ( 0,1 ) , ( -1 ,4 ) }
2. a. x² - y² = 9 (1) x = 5 (2)
JAWAB ;
persamaan (2) disubtitusikan pada persamaan (1) → x² - y² = 9 (5)² - y² = 9 25 - y² = 9
-y² = 9 – 25 -y² = -16 y = √16 y = ± 4 → y₁ = 4 dan y₂ = - 4Jadi Hpnya adalah { ( 5 , 4 ) , ( 5 , -4 ) }
2x² - 4y² = 12 (1)x = 4 (2)
JAWAB ;
persamaan (2) disubtitusikan pada persamaan (1) → 2x² - 4y² = 12 2(4)² - 4y² = 12
2(16) – 4y² = 12 32 – 4 y² = 12 -4y² = 12 – 32 -4y² = -20 y² = 20/4 y² = 5
y = √5Jadi Hpnya adalah { 4 , √5 }
y² = 4x² (1) x – y = 4 (2) → x = y + 4
JAWAB ;
persamaan (2) disubtitusikan pada persamaan (1) → y² = 4x² → x = y + 4 y² = 4( y + 4 )² x = - 16/3 + 4 y = 4 ( y + 4 ) x = - 16/3 + 12/3 y = 4y + 16 x = - 4/3
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y – 4y = 16 -3y = 16 y = 16 / -3 y = - 16/3Jadi Hpnya adalah { -4/3 , 6/3 }
x + y = 6 → y = 6 – x (1)x² + y² = 26 (2)
JAWAB ;
persamaan (1) disubtitusikan pada persamaan (2) → x² + y² = 26 x² + ( 6 – x )² = 26 x² + x² - 12x + 36 = 26 2x² - 12x + 36 – 26 = 0 2x² - 12x +10 = 0 ( 2x – 2 ) ( x – 5 ) = 0
x₁ → 2x – 2 = 0 x₂ → x – 5 = 0 2x = 0 + 2 x = 0 + 5 2x = 2 x₂ = 5 x = 2 / 2 x₁ = 1x₁ disubtitusikan pada persamaan (1)
→ x = 1 Y = 6 – x Y = 6 – 1 y₁ = 5 Hp { 1, 5 }x₂ disubtitusikan pada persamaan (2)
→ x² + y² = 26 (5)² + y² = 26 25 + y² = 26 y² = 26 – 25 y² = 1
y = √1 y = 1 Hp { 5 , 1 }Jadi Hpnya adalah { (1 , 5 ) , ( 5 , 1 ) }
x² + y² = 13 (1)x + y = 5 → y = 5 – x (2)
JAWAB ;
persamaan (2) disubtitusikan pada persamaan (1) → x² + y² = 13 x² + ( 5 – x )² = 13 x² + x² - 10x + 25 = 13 2x² -10x + 25 – 13 = 0 2x² - 10x + 12 = 0 ( 2x – 6 ) ( x – 2 ) = 0 x₁ → 2x – 6 = 0 x₂ → x – 2 = 0
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
2x = 6 x = 2 x₁ = 3 y₁ → x² + y² = 13 y₂ → y = 5 - x (3)² + y² = 13 y = 5 - 2 9 + y² = 13 y = 3 y² = 13 – 9 Hp { 2 , 3 } y² = 4 y = √ 4 y = 2 Hp { 3 , 2 }
Jadi Hpnya adalah { ( 3 , 2 ) , ( 2 , 3) }
x² + y² = 20 (1)x – 2y = 0 → x = 2y (2)
JAWAB ;
Persamaan (2) disubtitusikan pada persamaan (1) → x² + y² = 20 (2y)² + y² = 20 4y² + y² = 20 5y² = 20 y² = 20/5 y² = 4 y = √ 4 y = 2 → x = 2y x = 2(2) = 4Jadi Hpnya adalah { 4,2}
x² + 2y² = 12 (1)2x –y = 2 → y = 2x – 2 (2)
JAWAB ;
Persamaan (2) disubtitusikan pada persamaan (1) → x² + 2y² = 12 x² + 2(2x – 2)² = 12 x² + 2(4x² - 8x + 4) = 12 x² + 8x² - 16x + 8 = 12 9x² - 16x + 8 – 12 = 0 9x² - 16x – 4 = 0 (9x + 2 ) (x – 2 ) = 0
x₁ → 9x + 2 = 0 x₂ → x – 2 = 0 9x = - 2 x = 2 x = - 2/9 y₂ → x² + 2y² = 12 y₁ →y = 2x – 2 (2)² + 2y² = 12 y = 2(-2/9) – 2 4 + 2y² = 12 y = -4/9 – 2 2y² = 12 - 4 y = -4/9 – 18/9 y² = 8/2 y = - 22/9 y = 2 Hp { - 2/9 , - 22/9 } Hp { 2,2}Jadi Hpnya adalah { ( -2/9 , -22/9 ) , ( 2 , 2 0 }
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
x + y = 4 → x = 4 – y (1)xy = 15 (2)persamaan (1) disubtitusikan pada persamaan (2)
→ xy = 15 (4 – y)y = 15 4y - y² - 15 = 0 -y² + 4y – 15 = 0
x + y = 1 → x = 1 – y (1) xy = - 12 (2)
JAWAB ;
persamaan (1) di subtitusikan pada persamaan (2) → xy = - 12 (1 – y)y = - 12 y - y² + 12 = 0 -y² + y + 12 = 0 (- y – 3 ) ( y – 4 ) = 0 y₁ → -y – 3 = 0 y₂ → y – 4 = 0 -y = 3 y = 4 y = - 3 x₂ → xy = - 12 x₁ → x = 1 – y x(4) = -12 x = 1 – (-3) x = -12/4 x = 4 x = -3 Hp { 4 , -3 } Hp { -3 , 4 }Jadi Hpnya adalah { ( 4,-3) , (-3,4) }
2x –y + 2 = 0 → y = 2x + 2 .... (1)xy = 4 .... (2)
JAWAB ;
persamaan (1) disutitusikan pada persamaan (2) → xy = 4 x(2x + 2) = 4 2x² + 2x – 4 = 0 (2x – 2) (x + 2) = 0
x₁ → 2x – 2 = 0 x₂ → x + 2 = 0 2x = 2 x = -2 x = 1 y₂ → xy = 4 y₁ → y = 2x + 2 (-2)y = 4 y = 2(1) + 2 y = 4/-2 y = 4 y = -2 Hp { 1 , 4 } Hp { -2 , -2 }Jadi Hpnya adalah { (1,4) , (-2,-2) }
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
Latihan 8
selesaikan soal-soal dibwah ini dengan sistem persamaan linear.
1. jumlah umur rohani dan rahman 30. dua kali umur rohani ditambah dengan tiga kali umur rahman mnjadi 77. berapakah umur mereka masing-masing?
2. jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya adalah 12. tentukan bilangan-bilangan itu.
3. apabila pembilang darisuatu pecahan adalah 2 dan penyebutnya ditambah 1 maka hasilnya sama dengan ½. namun, apabila pembilang ditambah 1 dan penyebutnya dikurangai dengan 2 hasilnya menjadi 3/5. tentukan bilangan pecahan itu.
4. dua tahun yang lalu umur seorang ayah 6 kali umur anaknya. dalam 18 tahun mendatang, umur ayah akan menjadi dua kali umur anaknya. berapakah umur mereka sekaraang?
5. harga lima meja dan delapan kursi $115, harga tiga meja dan lima kursi $70. berapakah harga tiap meja dan kursi?
6. tentukan kecepatan seseorang yang mendayung di air tenang dan kecepatan arus sungai apabila ia memerlukan waktu 2 jam untuk mendayung sejauh 9 mil searah dengan arus sungai dan 6 jam berlawanan dengan arus sungai !
7. dua partikel bergerak pada kecepatan yang berbeda tetapi konstan sepanjang lingkaran 276 ft (kaki). partikel mulai bergerak pada waktu yang sama dari tempat yang sama. apabila partikel-partikel bergerak berlawanan maka berpapasan setiap 6 detik, dan apabila bergerak searah maka partikeal yang satu melewati yang lainnya setiap 32 detik. berapa kecepatan masing-masing partikel itu?
8. temperatur fahrenheit= m x (temperatur celcius) + n atau f = mc + n ,dimana m dan n konstanta. pada tekanan suatu atmosfer titik didih air adalah 212derajat f atau 100derajat c dan titik beku air adalah 32 f atau 0 c.
a. hitunglah niai m dan n dari informasi diatasb. berapakah temperatur fahrenheit yang bersesuain dengan -273 c, yaitu
temperatur terndah yang dapat dicapai?
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
Pembahasan Soal 8
1. jumlah umur rohani dan rahman 30. dua kali umur rohani ditambah dengan tiga kali umur rahman mnjadi 77. berapakah umur mereka masing-masing?
Jawab ;Misal ; x = umur rohani
y = umur rahmandapat disusun menjadi sistem persamaan linear ( dua persamaan ) yaitu ;
dengan mengeliminasi variabel x, maka ;
subtitusi y = 17 ke persamaan (2) :
Jadi umur mereka masing-masing, rohani 13 dan rahman 17.
2. jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya adalah 12. tentukan bilangan-bilangan itu.
Jawab :Misal ; x = bilangan pertama
y = bilangan keduadapat disusun menjadi sistem persamaan linear ( dua persamaan ) yaitu ;
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
x + y = 30 .........................( 1 )2x + 3y = 77 .........................( 2 )
- Persamaan (1) x 2............. 2x + 2y = 60- Persamaan (2) x 1............. 2x + 3y = 77_ _
- y = -17
y = 17
2x + 3y = 77...................... ( 2)2x + 3(17) = 77 2x + 51 = 77 2x = 77 – 51 2x = 26
x = 262
= 13
x + y = 28 .........................( 1 ) x - y = 12 .........................( 2 )
FKIP Matematika_D
mengeliminasi variabel x, maka ;
subtitusi y = 8 ke persamaan (2) :
Jadi nilai bilangan masing-masing adalah 20 dan 8.
3. apabila pembilang dari suatu pecahan adalah 2 dan penyebutnya ditambah 1 maka hasilnya sama dengan ½. namun, apabila pembilang ditambah 1 dan penyebutnya dikurangai dengan 2 hasilnya menjadi 3/5. tentukan bilangan pecahan itu.
Jawab :
4. dua tahun yang lalu umur seorang ayah 6 kali umur anaknya. dalam 18 tahun mendatang, umur ayah akan menjadi dua kali umur anaknya. berapakah umur mereka sekaraang?
Misal ; x = Umur ayahy = Umur anak
dapat disusun menjadi sistem persamaan linear ( dua persamaan ) yaitu ;
dengan mengeliminasi variabel x, maka ;
subtitusi y = 2 ke persamaan (2) :
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
x + y = 28 .........................( 1 )x - y = 12 _ .........................( 2 ) 2y = 16
y = 162
= 8
x - y = 12 .........................( 2 )x - 8 = 12 x = 12 + 8 x = 20
x - 6y = 2 .........................( 1 ) x + 2y = 18 .........................( 2 )
- Persamaan (1) ............. x - 6y = 2- Persamaan (2) ............. x + 2y = 18_ _
- 8y = -16
y = −16−8
=2
FKIP Matematika_D
x+2 y=18x+2 (2 )=18x+4=18x=18−4x=14
Jadi Umur ayah 14 tahun dan umur anak 2 tahun
5. harga lima meja dan delapan kursi $115, harga tiga meja dan lima kursi $70. berapakah harga tiap meja dan kursi?
Jawab :Misal ; x = Meja
y = Kursidapat disusun menjadi sistem persamaan linear ( dua persamaan ) yaitu ;
dengan mengeliminasi variabel x, maka ;
subtitusi y = 5 ke persamaan (2) :
Jadi harga tiap meja $15 dan harga tiap kursi $5
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
5x + 8y = 115 .........................( 1 ) 3x + 5y = 70 .........................( 2 )
3x + 5y = 70 .........................( 2 )3x + 5(5) = 70 .........................( 2 )3x + 25 = 70 .........................( 2 ) 3x = 70 – 25
x = 453
= 15
- Persamaan (1) x 3............. 15x + 24y = 345- Persamaan (2) x 5............. 15x + 25y = 350_ _
- y = -5
y = 5
FKIP Matematika_D
Latihan 9
1. selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini .a. x + y + z = 2
2x – y + z = -1x – y – z = 0
b. x + y + z = 12x – y + 3z = 22x – y – z = 2
c. x + y + 2z = 02x – 2y + z = 83x + 2y + z = 2
d. x – 5y – z = 23x – 9y + 3z = 6x – 3y + z = -10
e. 5y – 8z = -195x – 8z = 63x – 2y = 12
f. 2x + z = 7y – z = -2x + y = 2
g. x + 2y + ½z = 0x +3/5y – 2/5z = 1/54x – 7y – 7z = 6
h. x + ½y – ½z = 4x +3/2y – 2z = 31/4x +1/4y – 1/4z = 0
2. tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi tiap sistem persamaan dibawah ini
a.3x− 4y+ 6z=1
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
9x+ 8y−12z
=3
9x− 4y+ 12z
=4
b.xyx+ y
=12
yzy+ z
=13
xzx+z
=17
c. 0,5x + 0,3y + 0,2z = 460,2x – 0,5y + 0,4z = 00,1x + 0,8y – 0,6z = 26
d. 2,1x – 0,1y – z = 0,9-0,1x + 2,1y – z = 3,1-x + 1,2y + z = 2,4
e. √ x+√ y+√z=113√ x+2√ y+√ z=242√x−√ y+√z=5
f. x + y + z = a + b + cbx – ay + cz = b2
ax – ay + cz = ab
6. Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis kacang , yaitu kacang telor, kacang atom, dan kacang disko. keuntungan dari 1 kg kacang telor, 1 kg kacang atom, 2 kg kacang disko ialah Rp. 90.000,00. keuntungan dari 1 kg kacang atom dan 1 kg kacang disko ialah Rp. 30.000,00. keuntungan dari 1 kg kacang atom dan 3 kg kacang disko sama dengan keuntungan 1 kg kacang telor.jika keuntungan 1 kg kacang telor, 1 kg kacang atom, 1 kg kacang disko berturut-turut dilambang kan dengan x, y, dan z ,nyatakan satu sistem persamaan tiga variabel untuk data diatas. tentukan keuntungan per 1kg untuk ketiga jenis kacang tersebut.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
Pembahasan Soal 9
1. selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini .a. x + y + z = 2
2x – y + z = -1x – y – z = 0
JAWAB :eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) ,
x+ y+z=22x− y+z=−1−x+2 y=3
−¿
kemudian Eliminasi Persamaan (2) dan (3)
2x− y+z=−1x− y−z=03 x−2 y=−1
+¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
{ −x+2 y=3………… (4 )3x−2 y=−1…………(5)
Eliminasai y dari persamaan (4) dan (5)
−x+2 y=33x−2 y=−12 x=2x=1
+¿
subtitusi x =1 ke persamaan (4);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
−x+2 y=3−(1 )+2 y=32 y=3+12 y=4
y=42=2
Subtitusi x = 1 dan y = 2 ke persamaan (2);
2 x− y+z=−12 (1 )−2+z=−12−2+z=−1z=−1
¿
¿
Jadi Penyelesaiannya (1, 2, -1) atau HP = {(1, 2, -1)}
b. x + y + z = 12x – y + 3z = 22x – y – z = 2
JAWAB :eliminasi y dari persamaan (1) dan (2) ,
x+ y+z=12x− y+3 z=23 x+4 z=3
+¿
kemudian Eliminasi y dari Persamaan (2) dan (3)
2x− y+3 z=22 x− y−z=24 z=0
−¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
{3x+4 z=3………… (4)4 z=0………(5)
Eliminasai z dari persamaan (4) dan (5)
3x+4 z=34 z=03 x=3x=1
−¿
subtitusi x =1 ke persamaan (4);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
3x+4 z=33 (1 )+4 z=34 z=3−34 z=0
z=04=0
Subtitusi x = 1 dan z = 0 ke persamaan (2);
2 x− y+3 z=22 (1 )− y+3(0)=22− y+0=2− y=2−2y=0¿
¿
Jadi Penyelesaiannya (1, 0, 0) atau HP = {(1, 0, 0) }
c. x + y + 2z = 02x – 2y + z = 83x + 2y + z = 2
JAWAB :eliminasi z dari persamaan (1) dan persamaan (2) x 2 ,
x+ y+2 z=04 x−4 y+2 z=16−3 x+5 y=−16
−¿
kemudian Eliminasi z dari Persamaan (2) dan (3)
2x−2 y+z=83 x+2 y+z=2−x−4 y=6
−¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
{−3 x+5 y=−16……… ..…(4)−x−4 y=6… ..…………(5)
Eliminasai y dari persamaan (4) x4 dan (5) x5−12x+20 y=−64−5x−20 y=30−17 x=−34
x=−34−17
=2
+¿
subtitusi x =2 ke persamaan (4);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
−3x+5 y=−16−3 (2 )+5 y=−16−6+5 y=−165 y=−16+6
y=−105
y=−2¿
¿
Subtitusi x = 2 dan y = -2 ke persamaan (2);
2x−2 y+z=82 (2 )−2(−2)+z=8
4+4+ z=88+z=8z=0¿
¿
Jadi Penyelesaiannya (2, -2, 0) atau HP = { (2, -2, 0) }
d. x – 5y – z = 23x – 9y + 3z = 6x – 3y + z = -10
JAWAB :eliminasi z dari persamaan (1) x3 dan persamaan (2) x 1 ,
3x−15 y−3 z=23x−9 y+3 z=66 x−24 y=8
+¿
kemudian Eliminasi z dari Persamaan (1) dan persamaan (3)
x−5 y−z=2x−3 y+ z=−102 x−8 y=−8
+¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
{−3 x+5 y=−16……… ..…(4)2 x−8 y=−8… ..………… (5)
Eliminasi x dari persamaan (4) x2 dan (5) x3
−6 x+10 y=−326 x−24 y=−24−14 y=−56
y=−56−14
=4
+¿
subtitusi y = 4 ke persamaan (5);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
2 x−8 y=−82 x−8(4)=−82 x=−8+32
x=242
=12
¿
Subtitusi x = 12 dan y = 4ke persamaan (2);
3x−9 y+3 z=63 (12 )−9 (4 )+3 z=636−36+z=6
z=6¿¿
¿
Jadi Penyelesaiannya (12, 4, 6) atau HP = { (12, 4, 6) }
e. 5y – 8z = -195x – 8z = 63x – 2y = 12
JAWAB :eliminasi z dari persamaan (1) dan persamaan (2) ,
0 x+5 y−8 z=−195 x+0 y−8 z=6−5 x+5 y=−25
−¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
¿
Eliminasi x dari persamaan (4) x3 dan (3) x5−15x+15 y=7515 x−10 y=605 y=135
y=1355
=27
+¿
subtitusi y = 27 ke persamaan (4);
−5 x+5 y=−25−5 x+5(27)=−25−5x+135=−25−5 x=−25−135
x=−160−5
=32
¿
Subtitusi x = 32 dan y = 27 ke persamaan (2);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
5 x+0 y−8 z=65(32)+0(27 )−8 z=6
160−8 z=6−8 z=6−160
z=−154−8
=774
Jadi Penyelesaiannya (32, 27, 774
) atau HP = { (32, 27, 774
)}
f. 2x + z = 7y – z = -2x + y = 2
JAWAB :eliminasi z dari persamaan (1) dan persamaan (2) ,
2x+0 y+z=70 x+5 y−z=−22 x+5 y=5
+¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
¿
Eliminasi x dari persamaan (4) x1 dan (3) x2
2 x+5 y=52x+2 y=43 y=1
y=13
−¿
subtitusi y = 13
ke persamaan (4);
2x+5 y=5
2 x+5( 13 )=52x=5−5
3
2x=15−53
2 x=103
¿ x= 103.2
=106
=53
¿
Subtitusi x = 53
dan y = 13
ke persamaan (2);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y−z=−213−z=−2
¿
−z=−2−13
−z=−6−13
=−73
z=73
¿
¿
Jadi Penyelesaiannya (53, 13, 73) atau HP = { (
53, 13, 73) }
g. x + 2y +12
z = 0
x + 35
y – 25
z = 15
4x – 7y – 7z = 6
JAWAB :eliminasi x dari persamaan (1) dan persamaan (2) ,
x+2 y+12z=0
x+35y−25z=15
75y−1410z=−1
5
+¿
kemudian Eliminasi x dari Persamaan (2) x4 dan persamaan (3)
4 x+125y−85z=45
4 x−7 y−7 z=6475y+ 275z=−26
5
+¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
{ 75 y−1410 z=−15……… ..…… ..(4)
475y+ 27
5z=−26
5… ..…………(5)
Eliminasi y dari persamaan (4) x475
dan (3) x75
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
32925
y−32925
z=−725
32925
y+ 18925
z=−18225
14025
z=17525
z=175 x 2525 x 140
=175140
z=3528
−¿
subtitusi z = 3528
ke persamaan (4);
75y−75z=
−15
75y−75 ( 3528 )=−1
575y−245140
=−15
¿ 75y=−1
5+245140
75y=217140
¿ y=217140
.57=3128
¿
Subtitusi z = 3528
dan y = 3128
ke persamaan (2);
x+2 y+12z=0
x+2( 3128 )+ 12 ( 3528 )=0¿
x+ 3114
+ 3556
=0
x=15956
¿
¿¿
¿
Jadi Penyelesaiannya (15956 ,
3128,
3528) atau HP = { (
15956 ,
3128,
3528) }
h.
x−12y−12z=4
x−32y−2 z=3
14x+14y−14z=0
JAWAB :eliminasi x dari persamaan (1) dan persamaan (2) ,
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
x−12y−12z=4
x−32y−2 z=3
y−32z=1
−¿
kemudian Eliminasi z dari Persamaan (2) dan persamaan (3)
14x−38y−24z=34
14x+ 14y−14z=0
−58y−14z=34
−¿
dari eliminasi tersebut didapat 2 persamaan ;
{ y−32z=1………… ...…(4 )
−58y−14z=34… ..…………(5)
Eliminasi x dari persamaan (4) x58
dan (5)
58y−1516z=58
−58y−14z=34
−1916
z=118
z=118.(−1619 )=−176
152
z=−2219
+¿
subtitusi z = −2219
ke persamaan (4);
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
FKIP Matematika_D
y−32z=1
y−32 (−2219 )=1y−6638
=1
y=1+ 6638
y=10438
=5219
¿
Subtitusi y = 5219
dan z = −2219
ke persamaan (1);
x−12y−12z=4
x−12 ( 5219 )−12 ( 2219 )=4¿x−
5238
−2238
=4
¿
x−7438
=4
x=4+ 7438
x=22638
=11319
Jadi Penyelesaiannya (11319,5219,−2219 ) atau HP = { (
11319,5219,−2219 )}
6. Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis kacang , yaitu kacang telor, kacang atom, dan kacang disko. keuntungan dari 1 kg kacang telor, 1 kg kacang atom, 2 kg kacang disko ialah Rp. 90.000,00. keuntungan dari 1 kg kacang atom dan 1 kg kacang disko ialah Rp. 30.000,00. keuntungan dari 1 kg kacang atom dan 3 kg kacang disko sama dengan keuntungan 1 kg kacang telor.jika keuntungan 1 kg kacang telor, 1 kg kacang atom, 1 kg kacang disko berturut-turut dilambang kan dengan x, y, dan z ,nyatakan satu sistem persamaan tiga variabel untuk data diatas. tentukan keuntungan per 1kg untuk ketiga jenis kacang tersebut.
JAWAB
diketahui ; x = Kacang Telor,y= kacang atomz= kacang disko
dapat disusun menjadi sistem persamaan linear ( Tiga persamaan ) yaitu ;
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
x + y + 2z = 90.000 .........................( 1 ) y + z = 30.000 .........................( 2 ) y + 3z = x .........................( 3 )
FKIP Matematika_D
subtitusi (3) ke persamaan (1) :
x+ y+2 z=90000( y+3 z )+ y+2 z=90000
2 y+5 z=90000……………… ..(4)
dengan mengeliminasi variabel y, maka ;
subtitusi z =10.000 ke persamaan (4) :
2 y+5 z=90.0002 y+5 (10.000 )=90.0002 y+50.000=90.0002 y=90.000−50.000
2 y=40.000
y=40.0002
=20.000
subtitusi z =10.000 dan y = 20.000 ke persamaan (1) :
x+ y+2 z=90000x+20.000+2 (10.000 )=90.000
x+40.000=90.000x=90.000−40.000
x=50.000
Jadi keuntungan dari 1 kg kacang Telor = Rp. 50.000,00, 1kg kacang atom = Rp.20.000 dan 1 kg kacang disko =Rp.10.000,00
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 12
Sumber : Buku erlangga , tingkat SMA kelas X, edisi kurikulum KTSP berdasarkan standar isi 2006.
- Persamaan (4) x 1............. 2y + 5z = 90.000- Persamaan (2) x 2............. 2y + 2z = 60.000_ _
3z = 30.000
z = 10.000