Kalkulus dengan Maple sebuah cara baru belajar Kalkulus dengan komputer Oleh : Rosihan Ari Yuana

Daftar Isi DAFTAR ISI ..................................................................... ...................................................................II DAFTAR GAM BAR............................................................................. ...........................................IV DAFTAR TABEL...................... ................................................................................ .........................V DAFTAR LAMPIRAN...................................... ..............................................................................VI KATA PENGANTAR................................................................. ................................................... VII PENGENALAN MAPLE ....... ................................................................................ ...........................9 PENGENALAN IDE MAPLE............................... ................................................................................ .9 BEKERJA DENGAN WORKSHEET MAPLE .............................................. ........................................10 OPERASI DASAR ARITMATIK MAPLE ....... .........................................................................12 OPER ATOR DASAR ARITMATIK ........................................................... ..........................................12 TINGKAT PRESEDENSI ................ ................................................................................ .....................13 ASSIGNMENT ............................................. ................................................................................ .........14 FUNGSI (PEMETAAN)................................................... ................................................................15 PENDEFINISIAN FUNGSI......................................................................... ..........................................15 EVALUASI FUNGSI ................... ................................................................................ ........................18 GRAFIK FUNGSI ....................................... ................................................................................ .........20 FUNGSI IMPLISIT .................................................... ..........................................................................32 FUN GSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL..................................................... ........................................35 OPERASI ALJABAR FUNGSI .............. ................................................................................ ...............37 KOMPOSISI FUNGSI ............................................. .............................................................................40 FUNGSI INVERS................................................................... ..............................................................41 MENGGAMBAR GRAF IK FUNGSI INVERS ............................................................... .......................43 PENDEKATAN FUNGSI DENGAN INTERPOLASI ................. ............................................................44 SOAL-SOAL LATIHAN ................................................................................ .......................................47 LIMIT FUNGSI ......................... ................................................................................ ........................52 PERHITUNGAN LIMIT DENGAN FUNCTION ................... ................................................................56 CALCULUS1 STU DENT PACKAGE UNTUK LIMIT ....................................................... ......................58 KEKONTINUAN ........................................... ................................................................................ ......66 APLIKASI LIMIT ........................................................ ........................................................................70 SOALSOAL LATIHAN ................................................................... ...................................................76 TURUNAN .................. ................................................................................ ........................................80 FUNGSI TERDIFERENSIAL................ ................................................................................ ................83 FUNCTION DIFF UNTUK TURUNAN ................................. ................................................................84 CALCULUS1 STU DENT PACKAGE UNTUK TURUNAN ..................................................... ................85 ATURAN RANTAI (CHAIN RULE) .................................. ..................................................................89 TURUNAN IMP

LISIT........................................................................... ...............................................93 TURUNAN ORDE TINGGI .......... ................................................................................ .......................94 ii

TURUNAN PARSIAL................................................................. .........................................................96 TEOREMA ROLLE ...... ................................................................................ .......................................98 TEOREMA NILAI RATA-RATA............... ................................................................................ ....... 101 APLIKASI TURUNAN ................................................... .................................................................. 103 SOAL-SOAL LATIHAN ....................................................................... ............................................ 124 INTEGRAL....................... ................................................................................ ............................... 129 INTEGRAL TENTU.............................. ................................................................................ ............ 129 INTEGRAL TAK TENTU ............................................ ..................................................................... 135 CALCUL US1 STUDENT PACKAGE UNTUK INTEGRAL ............................................. ..................... 136 MENCARI INTEGRAL TENTU DENGAN METODE PENDEKATAN ...... ........................................ 146 INTEGRAL LIPAT .................... ................................................................................ ....................... 150 PENERAPAN INTEGRAL ................................. ............................................................................... 151 SOAL-SOAL LATIHAN .......................................................... ......................................................... 171 DAFTAR PUSTAKA.... ................................................................................ ................................. 177 LAMPIRAN.................................. ................................................................................ ................... 178 DAFTAR INDEKS........................................... .............................................................................. 1 89 CONTACT PERSON:.............................................................. ..................................................... 191 iii

Daftar Gambar Gambar 2-1. Tampilan IDE Maple ................................................. ...................................................10 Gambar 4-1. Grafik fungsi f(x) = 2x-1..................................................................... ..........................22 Gambar 4-2. Grafik fungsi y = sin(x) .............. ................................................................................ ...25 Gambar 4-3. Grafik fungsi y=sin(x) dan y=cos(x) .......................... ..................................................26 Gambar 4-4. Menu option pro perti grafik.................................................................... ......................27 Gambar 4-5. Grafik fungsi dari data diskrit............ ...........................................................................28 Ga mbar 4-6. Grafik fungsi dari data diskrit dengan style=POINT.................... .............................28 Gambar 4-7. Grafik fungsi f(x,y) = sin(x) cos(y) ............................................................................... 29 Gambar 4-8. Grafik fungsi r = 1 + sin(t) dalam koordinat polar............... ......................................31 Gambar 4-9. Grafik x 2 + y 2 = 16 ..... ................................................................................ ................33 Gambar 4-10. Grafik 2 ( x 2 + y 2 ) = 25 ( x 2 y 2 ) ........ .................................................................34 2 2 Gambar 4 11. Grafik 2 ( x 2 + y 2 ) = 25 ( x 2 y 2 ) yang diperbaiki ........... ..................................35 Gambar 4 12. Grafik fungsi y = x2.......... ................................................................................ ............36 Gambar 4 13. Grafik fungsi y = x3................................ ......................................................................37 Gambar 4 14. Grafik f(x)=sin(x) dan inversnya.......................................... ......................................44 Gambar 4 15. Grafik pendekatan f(x) den gan Spline derajad 1. .....................................................46 Ga mbar 5 1. Grafik f ( x ) = ( x 3 ) /( x 1) dan garis singgungnya........................................73 Gambar 5 2. Garis singgung f(x) = sin(x)+1 di titik x=1......................... .........................................74 Gambar 6 1. Grafik y=x4+3x3 2x2+6 be serta turunannya................................................................ .81 Gambar 6 2. Grafik y= 4x3+9x2 4x memotong sumbu x di 3 titik ................ ................................82 Gambar 6 3. Grafik y = 3x3 4x beserta turunan nya .........................................................................83 Gambar 6 4. Grafik f(x)=x4 3x2+1 dan titik yang bergradien nol ................. ............................... 100 Gambar 6 5. Visualisasi teorema nilai rata r ata pada f(x)=sin(x)+cos(x) dalam selang [0,5] ... 103 Gambar 6 6. Grafik posisi , kecepatan, dan percepatan partikel ........................................... ........ 106 Gambar 6 7. Grafik f(x) = x3 3x2+1 pada selang [ , 4] ............. ................................................. 110 Gambar 6 8. Grafik fungsi f(x) = x 2 sin(2x).............................................................. .................... 112 Gambar 6 9. Grafik fungsi f(x) = x2/3 (6 x)1/3......... ......................................................................... 114 Ga mbar 6 10. Grafik fungsi f(x) = 0.25x4 2x3+4x2.................................. ....................................... 115 Gambar 6 11. Grafik fungsi f(x) = x/ (x2+4) pada interval [ 6,6] .................................................. 1 17 Gambar 6 12. Grafik fungsi f(x) = 2x3 x4 .................................... ................................................. 118 Gambar 6 13. Grafik S() pad a interval [0.5, 1.2]........................................................... .............. 124 Gambar 7 1. Visualisasi Jumlahan Riemann untuk f(x)=sin(x) de ngan 20 partisi pada [0,5].. 132 Gambar 7 2. Visualisasi Jumlahan Riemann untuk f(x)=sin(x) dengan 50 partisi pada [0,5].. 132 Gambar 7 3. Visualisasi metode tr apezoid dengan 10 partisi....................................................... 149 Gambar 7 4. Plot kurva y=x2 dan y=2x x2 ................................... .................................................. 152 Gambar 7 5. Plot kurva y

= x / x 2 + 1 dan y = x 4 x .................................................... ....... 154 Gambar 7 6. Plot kurva y2=3x+7 dany=x 2 ............................ ....................................................... 155 Gambar 7 7. Kurva y= x2 untuk x=04 diputar pada sumbu x .............................................. ..... 158 Gambar 7 8. Kurva y=x2 untuk x=0 4 diputar pada sumbu y............... .................................. 158 Gambar 7 9. Daerah yang dibatasi kurva y= 6x x2 dan y=x ......................................................... 159 Gamb ar 7 10. Daerah antara kurva y=6x x2 dan y=x diputar pada sumbu x .............. ............... 160 Gambar 7 11. Daerah di bawah kurva y = x untuk x=0 2 ....... ........................................... 162 Gambar 7 12. Daerah yang dibatas i kurva y=x2, y=3x2, dan y=3................................................ 163 iv

Daftar Tabel Tabel 4 1. Operator dasar aritmatika............................................ ......................................................12 Tabel 5 1. Fungsi fungs i transenden dalam Maple ....................................................... ...................17 Tabel 6 1. Aturan dalam pencarian limit .................. .........................................................................59 Tabe l 6 2. Aturan limit terkait untuk fungsi transenden............................. ......................................60 Tabel 7 1. Aturan dalam mencari turunan ................................................................................ .........86 Tabel 7 2. Aturan turunan fungsi transenden ........................ ............................................................87 Tabel 8 1. Aturan teknik pengintegralan ......................................................... ............................... 137 Tabel 8 2. Aturan pengintegralan terkait den gan bentuk fungsi dasar ........................................ 138 v

Daftar Lampiran Lampiran 1. Option plot dua dimensi............................................. ................................................. 178 Lampiran 2. Option Plot Ti ga Dimensi...................................................................... ..................... 183 vi

Kata Pengantar Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya atas l impahan rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan buku Kalkulus dengan M aple ini dengan sebaik baiknya. Penyusunan buku ini merupakan upaya kami untuk i kut serta meningkatkan kualitas pendidikan bangsa Indonesia, terutama bidang Mat ematika. Matematika seringkali dianggap suatu hal yang menakutkan di kalangan si swa sekolah karena identik dengan banyak rumus, harus selalu bergelut dengan ang ka, perhitungan yang sangat rumit bahkan seringkali dirasa sangat abstrak sehing ga dirasa kurang ada manfaatnya dalam kehidupan sehari hari. Padahal tidak demik ian halnya. Matematika merupakan suatu ilmu sains yang sangat menarik dan banyak sekali manfaatnya dalam kehidupan sehari hari di sekitar kita. Apabila seseoran g menguasai Matematika maka ia akan menguasai banyak pengetahuan di luar Matemat ika itu sendiri. Hal ini dikarenakan Matematika merupakan mother of science yang di dalamnya melatih seseorang untuk berpikir logis, kritis dan dinamis. Sebagai salah satu upaya untuk membuat Matematika sebagai suatu hal yang menarik adalah mengkaitkannya dengan teknologi. Dengan menggunakan teknologi, pembelajaran Mat ematika dapat dilakukan dengan mudah, selain itu kita tidak perlu direpotkan lag i dengan perhitungan matematis secara manual yang terkadang kurang teliti atau k urang akurat. Maple merupakan suatu software yang kemampuannya tidak hanya sebag ai alat hitung (tool for computing) seperti halnya kalkulator tangan biasa, namu n lebih jauh dari itu Maple juga dapat digunakan sebagai alat pembelajaran (tool for learning), khususnya Matematika. Dengan dasar di atas itulah, mengapa buku ini penulis buat. Buku ini memfokuskan bagaimana menggunakan Maple sebagai alat hitung dan alat pembelajaran Matematika khususnya Kalkulus. Untuk dapat mempergu nakan buku ini, disarankan para pembaca mempergunakan minimal Maple 7, karena di dalam buku ini akan dibahas pula beberapa perintah atau paket yang tidak terdap at dalam Maple sebelum rilis 7. Harapan penulis dengan hadirnya buku ini adalah semakin tertariknya minat masyarakat terutama siswa sekolah dalam mempelajari Ma tematika khususnya Kalkulus. Selain itu, dengan adanya buku ini diharapkan para pengajar juga dapat melakukan inovasi dalam mengajarkan konsep Kalkulus. Demi ke sempurnaan buku ini, penulis sangat mengharapkan kritik, saran, dan masukan dari para pembaca yang dapat disampaikan melalui email vii

rosihanari@gmail.com. Selain menggunakan email, para pembaca dapat juga berdisku si menggunakan Yahoo Messenger dengan id penulis adalah rosihanari. viii

Bab 1 Pengenalan Maple Maple merupakan salah satu software aplikasi yang dapat digunakan untuk perhitun gan matematika dan sains. Beberapa kelebihannya antara lain bahwa Maple dapat di gunakan untuk menyelesaikan persoalan persoalan dalam bidang matematika seperti aljabar, kalkulus, matematika diskrit, numerik dan masih banyak lagi yang lain. Selain itu dalam Maple juga tersedia fasilitas untuk membuat grafik baik dua dim ensi maupun tiga dimensi. Grafik yang dihasilkan dapat dipindah ke dalam dokumen lain. Kelebihan Maple yang lain adalah dapat mendukung pemrograman. Dengan demi kian, program dalam bentuk fungsi fungsi baru untuk penggunaan yang bersifat khu sus dapat dibuat. Perintah perintah dasar Maple sangat sederhana dan mudah dipah ami oleh pengguna pemula sekalipun, sehingga Maple cocok digunakan tidak hanya u ntuk komputasi sains melainkan juga dapat dimanfaatkan untuk proses pemahaman da n pembelajaran matema tika serta sains. Dengan proses perhitungan dan visualisas i grafik dalam Maple akan dapat memudahkan siswa dalam memahami konsepkonsep das ar matematika. Maple dibuat dan dikembangkan oleh Waterloo Maple inc. Maple dapa t diinstal dalam komputer bersistem operasi Windows maupun Macintosh. Pengenalan IDE Maple Dalam subbab ini akan diperkenalkan IDE (Integrated Development Environment) ata u lingkungan dari Maple. Gambar 3 1 menunjukkan tampilan lingkungan Maple.

10 Pengenalan Maple Gambar 3 1. Tampilan IDE Maple Secara garis besar lingkungan Maple terdiri dari menu utama, toolbar, dan juga w orksheet. Bagian worksheet inilah nantinya digunakan untuk menuliskan perintahpe rintah Maple untuk perhitungan matematika. Dalam Maple juga terdapat fasilitas p alette untuk memudahkan pengguna dalam menuliskan perintah maupun simbol simbol matematis. Beberapa jenis palette yang tersedia adalah symbol palette, expressio n palette, dan matrix palette. Symbol palette digunakan untuk menuliskan simbol simbol matematika, expression palette digunakan untuk memudahkan dalam menuliska n ekspresi matematika misalnya integral, deret sigma, bentuk akar dan sebagainya , sedangkan matrix palette digunakan untuk memudahkan pengguna dalam menuliskan matriks. Sebagai dokumentasi, perintah perintah yang telah dituliskan dalam work sheet dapat disimpan ke dalam file. Secara default, ekstensi file worksheet yang disimpan adalah *.mws (maple worksheet). Untuk proses penyimpanan worksheet lan gkahnya adalah sebagai berikut: 1. Klik menu FILE pada menu utama 2. Klik submen u SAVE atau SAVE AS.. 3. Arahkan folder tempat file worksheet akan disimpan dan beri nama file worksheetnya pada bagian FILE NAME 4. Klik OK

Bekerja dengan Worksheet Maple Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa worksheet adalah tempat dituliska nnya perintah perintah Maple. Perintah Maple dituliskan di sebelah kanan dari ta nda prompt (>).

Kalkulus dengan Maple 11 Sebagai contoh, misalkan akan dicari hasil penjumlahan 3+4, maka perintah Maplen ya adalah: > 3+4; Selanjutnya tekan ENTER. Setelah tombol ENTER ditekan, maka dibawah perintah ter sebut akan tampak hasil output penjumlahan kedua bilangan yaitu 7. Perhatikan pe rintah yang telah diberikan, khususnya pada akhir dari perintah yang diberikan t anda titik koma (;). Apabila di bagian akhir perintah tidak diberikan tanda titi k koma, maka akan terjadi kesalahan yang ditandai dengan munculnya pesan Warning, premature end of input. Selain tanda titik koma, dapat pula diberikan tanda titik dua (:). Apabila di ak hir perintah diberikan tanda tersebut, maka hasil output perintah tidak ditampil kan, namun hanya disimpan di dalam memori komputer. Selain dengan menuliskan per intah atau ekspresinya langsung, dapat juga digunakan expression palette. Cara p enggunaannya adalah: 1. Klik VIEW pada menu utama 2. Pilih PALETTES 3. Beri tand a cek pada EXPRESSION PALETTE. Setelah itu akan muncul palette yang di dalamnya tersedia beberapa jenis ekspresi matematika. 4. Pilih ekspresi a+b (penjumlahan) dan selanjutnya Maple akan menampilkan > (%?+%?); 5. Tanda %? adalah tempat menuliskan operand yang akan dijumlahkan. Isilah tanda %? pertama dengan 3. Tekan tombol TAB untuk pindah ke tanda %? kedua dan isilah dengan 4. Selanjutnya tekan ENTER Selain perintah untuk perhitungan matematika, dapat pula diberikan teks yang tidak akan diproses oleh Maple. Untuk membuat te ks, caranya adalah dengan mengklik tombol bertuliskan T pada toolbar. Selanjutny a teks yang diinginkan dapat dituliskan. Sedangkan untuk mengembalikan ke bentuk prompt (>) kembali, klik tombol prompt (di sebelah kanan tombol T pada toolbar) .

12 Operasi Dasar Aritmatik Maple Bab 2 Operasi Dasar Aritmatik Maple Sebelum membahas lebih lanjut penggunaan Maple untuk keperluan perhitungan kalku lus, terlebih dahulu diberikan penjelasan mengenai operasi dasar aritmatik dalam Maple. Pembahasan hal ini meliputi operator dasar aritmatik, tingkat presedensi operator aritmatik dan assignment (pemberian nilai pada variabel). Operator Dasar Aritmatik Aritmatik Tabel 4 1 menjelaskan beberapa operator dasar aritmatik yang sering digunakan da lam Maple. Operator operator yang disajikan dalam tabel tersebut dapat dikombina sikan satu sama lain. Sebagai contoh misalkan akan dicari hasil perhitungan 3+4* ( 2) 4/2. Perintah Maplenya adalah: > 3+4*( 2) 4/2; yang akan dihasilkan 7. Kenapa 7? Mengapa tidak 9? Jawaban pertanyaan ini terkait d engan tingkat presedensi dari operator aritmatik yang akan dibahas berikut ini. Operator + * / ^ atau ** Makna Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Pangkat Contoh > 3+7; (akan dihasilkan 10) > 3 7; (akan dihasilkan 4) > 3*7; (akan dihasilkan 21 ) > 12/3; (akan dihasilkan 4) > 2^3; atau > 2**3; (keduanya akan menghasilkan 8) > 6 mod 4; mod Modulo (sisa hasil bagi) (akan menghasilkan 2) Tabel 4 1. Operator dasar aritmatika

Kalkulus dengan Maple 13 Tingkat Presedensi Tingkat presedensi dari suatu operator menunjukan prioritas dikerjakan/dievaluas i. Semakin tinggi tingkat presedensi operator maka tersebut lebih diprioritaskan untuk dikerjakan lebih dahulu. Berikut ini urutan tingkat presedensi operator a ritmatik mulai dari tertinggi sampai (mulai dari kiri). (^, **), (*,/), (+, ), mod operator operator disajikan terendah Operator operator yang ada dalam kurung memiliki tingkat presendensi yang sama, misalnya ^ dengan **, + dengan . Apabila dalam suatu perintah operasi aritmatik Maple terdapat beberapa operator yang memiliki tingkat presedensi yang sama, ma ka akan didahulukan operasi yang melibatkan operator yang terletak di sebelah ki rinya. Misalnya operasi yang telah diberikan sebelumnya yaitu > 3+4*( 2) 4/2; Dalam operasi yang diberikan di atas, operator * dan / memiliki tingkat preseden si yang lebih tinggi daripada + dan , sehingga * dan / dikerjakan lebih dahulu daripada + dan . Namun, di antara operator * dan / manakah yang akan dikerjakan Maple lebih dahulu? Seperti yang terlihat pada operasi tersebut, bahwa * terlet ak di sebelah kiri dari /, maka 4*( 2) dikerjakan lebih dahulu kemudian 4/2. Set elah kedua operasi dikerjakan dan diperoleh hasilnya yaitu 8 dan 2 barulah operas i + dan dikerjakan. Dalam hal ini operasi + dikerjakan lebih dahulu karena terle tak di sebelah kiri pengurangan, sehingga 3+( 8) dikerjakan lebih dahulu dan has ilnya barulah dikurangkan dengan 2 atau 5 2. Dengan demikian diperoleh hasil 7. Tingkat presedensi suatu operator dapat dinaikkan, misalnya operator penjumlahan dapat diubah untuk lebih diprioritaskan daripada perkalian. Untuk menaikkan tin gkat presedensi suatu operator dapat dilakukan dengan menambahkan tanda kurung. Misalnya > (3+4)*(( 2) 4)/2; Dari operasi ini akan dihasilkan 21. Dalam operasi tersebut, operasi penjumlahan lebih diprioritaskan daripada perkalian dan pembagian, demikian pula untuk opera si pengurangannya. Akan tetapi operasi penjumlahan lebih didahulukan daripada pe ngurangannya karena terletak di sebelah kiri pengurangan.

14 Operasi Dasar Aritmatik Maple Assignment Proses assignment merupakan pemberian nilai pada suatu variabel untuk disimpan p ada alamat tertentu pada memori komputer yang suatu saat dapat digunakan atau di panggil kembali. Nilai yang diassign pada suatu variabel dapat berupa konstanta maupun berasal dari suatu operasi. Sintaks untuk assignment dalam Maple adalah > variabel := nilai; Sebagai contoh, berikut ini diberikan beberapa perintah assignment pada Maple.

Perintah pertama berfungsi untuk mengassign variabel a dengan nilai 5. Perintah kedua untuk mengassign variabel b dengan 34, sedangkan yang perintah ketiga menga ssign variabel c yang nilainya merupakan hasil operasi 2a+b yaitu 24.

> a := 5; > b :=

34; > c := 2*a+b;

Kalkulus dengan Maple 15 Bab 3 Fungsi (pemetaan) Dalam matematika, suatu fungsi (pemetaan) didefinisikan sebagai suatu relasi dar i himpunan A ke himpunan B yang dalam hal ini setiap anggota dari A direlasikan dengan tepat satu anggota B. Apabila dinyatakan dalam notasi, misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke B, maka notasinya adalah f :AB Pendefinisian Fungsi Salah satu contoh fungsi adalah f (x ) = 3x + 4 . Fungsi tersebut memetakan bilangan real ke bilangan real juga. Selanjutnya, baga imana cara mendefinisikan fungsi dalam Maple? Dalam Maple, fungsi di atas dapat didefinisikan dengan cara:

Sintaks secara umum untuk mendefinisikan suatu fungsi dalam Maple adalah sebagai berikut: > nama_fungsi := (variabel) > operasi; Berikut ini beberapa contoh bagaimana mendefinisikan fungsi ke dalam Maple baik fungsi satu variabel atau lebih. Contoh: Definisikan fungsi fungsi berikut ini ke dalam Maple! 1. f ( x ) = 5x 10

> f := (x)

> 3*x+4;

16 Fungsi (pemetaan) 2. g ( x ) = 3x 2 + 2 x + 7 3. 2 x 1 , x > 0 f (x) = x , x 0 4. g ( x ) = 2 x 3 5. h ( x ) = 4x 3 x1 6. g ( x , y ) = 2 xy + x 2 7. h ( x , y ) = 4 x 3 2 x 2 y + 5xy 2 + 8 y 3 8. f ( x , y ) = x y + xy 2 Penyelesaian: 1. > f := (x) > 5*x 10; 2. > g := (x) > 3*x^2 + 2*x + 7; 3. > f := (x) > piecewise(x>0,2*x 1,x g := (x) > s rt(2*x 3); atau > g := (x) > (2*x 3)^(1/2);

Selain bentuk fungsi fungsi seperti yang telah diberikan, dalam kalkulus dikenal juga beberapa bentuk fungsi transenden seperti fungsi logaritma, eksponensial, trigonometri dan hiperbolik. Tabel 5 1 menjelaskan bagaimana mendefinisikan fung sifungsi tersebut dengan Maple.

5. > h := (x) > (4*x 3)/(x 1); 6. > g := (x,y) > 2*x*y+x^2; 7. > h := (x,y) 4*x^3 2*x^2*y + 5*x*y^2 + 8*y^3; 8. > f := (x,y) > abs(x y) + x*y^2;

>

Kalkulus dengan Maple 17 Catatan: khusus untuk fungsi fungsi trigonometri nilai x adalah dalam radian. Selanjutnya akan diberikan contoh bagaimana mendefinisikan fungsi dengan bentuk transenden menggunakan Maple. Sintaks a^x surd(x,n) exp(x) ln(x) log[n](x) log10(x) sin(x) cos(x) tan(x) csc(x) sec(x) cot(x) sinh(x) cosh(x) tanh(x) csch(x) sech(h) coth(x) Makna Eksponensial ax, a konstan Pangkat pecahan (x1/n), n bilangan bulat. Eksponensial ex, e bilangan natural Logaritma natural Logaritma bilangan pokok n , n bilangan asli Logaritma bilangan pokok 10 Sinus x Cosinus x Tangen x Cosecan x Secan x Cotangen x Sinus hiperbolik x Cosinus hiperbolik x Tangen hiperbolik x Cosecan hiperbolik x Secan hiperbolik x Cotangen hiperbolik x Tabel 5 1. Fungsi fungsi transenden dalam Maple

18 Fungsi (pemetaan) Contoh: Definisikan fungsi fungsi berikut ini dalam Maple: 1. f ( x ) = 3x + e x 1 2. g ( x ) = x sin ( x + 1 ) sin 2 ( x ) 3. f ( x ) = 3x 2 + ln ( x 2 + 2 ) log ( x ) 4. g ( x , y ) = 2 log ( sin 2 ( x 5 ) ) sinh ( xy ) Penyelesaian: 1. > f := (x) > 3^x + exp(x 1); 2. > g := (x) > x*sin(x+1) sin(x )^2; 3. > f := (x) > 3*x^2 + ln(x^2+2) log10(x); atau > f := (x) > 3*x^2 + ln(x^2+2) log[10](x); 4. g := (x,y) > log[2](sin(x 5)^2) sinh(x*y); Evaluasi Fungsi Misalkan sudah diketahui suatu fungsi f ( x ) , selanjutnya dapat dicari nilai f ungsi nilai fungsi untuk x=1 atau f(1). Dari perhitungan manual diperoleh f (1) = 12 + 3.1 1 = 3. Maple dapat mendukung proses evaluasi fungsi (mencari nilai fu ngsi). Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh bagaimana mengevaluasi fungsi menggunakan Maple. untuk x tertentu. Sebagai contoh diberikan fungsi f ( x ) = x 2 + 3x 1 dan akan dicari Contoh: Dengan menggunakan Maple tentukan nilai fungsi berikut ini pada titik yang diber ikan. 1.

f ( x ) = 2 x 3 , pada x =

3

Kalkulus dengan Maple 19

2. g ( x ) = x 2 3x + 4 , pada x = 5 3. 4. x 2 ,x > 1 , pada x = 0 f (x) = x + 3 , x 1 f ( x , y ) = cos ( x ) + 2 sin ( x + y ) , pada x = 2.3 dan y = 1 Penyelesaian: 1. > f := (x) > 2*x 3; > f( 3); hasil dari perintah tersebut diperoleh f ( 3 ) adalah 9. 2. > g := (x) > x^2 3*x + 4; > g(5); hasil g ( 5 ) akan diperoleh 14. 3. > f := (x) > piecewise(x>1,x 2,x f(0); Nilai f ( 0 ) berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh 3

dengan menggunakan Maple diperoleh nilai f ( 2.3, 1 ) adalah 0.9817674095.

Beberapa kasus evaluasi fungsi dalam Maple dari fungsi yang telah didefinisikan sebelumnya terkadang tidak memberikan hasil seperti yang diharapkan (hasil tampi lan hanya dalam bentuk simbolik). Sebagai gambaran, diberikan contoh fungsi f ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) , dan akan dievaluasi nilai fungsi tersebut pada x=2 . Apabila digunakan perintah Maple seperti di bawah ini,

> f := (x)

> sin(x) + cos(x); > f(2);

4. > f := (x,y) > f(2.3, 1);

> cos(x)+2*sin(x+y);

20 Fungsi (pemetaan) masing masing tidak dihitung nilainya (dalam numerik), sehingga nilai fungsi f ( 2 ) masih dinyatakan dalam simbol. Kasus semacam ini muncul karena nilai x buka n dalam bentuk floating point. Untuk menyatakan nilai x dalam floating point, ca ranya dengan menambahkan digit desimal pada nilai x yang akan dievaluasi. Dengan demikian perintah f ( 2 ) ; diubah menjadi f ( 2.0 ) ; Hal itu bukan satu satun ya cara untuk menghindari munculnya hasil perhitungan dalam bentuk simbol. Cara lain adalah dengan memberikan perintah evalf() seperti yang ditunjukkan di bawah ini. maka Maple akan menghasilkan sin ( 2 ) + cos ( 2 ) . Di sini nilai sin ( 2 ) dan cos ( 2 )

Tingkat presisi (digit) hasil perhitungan Maple dapat diatur. Secara default Map le menampilkan hasil perhitungan dalam 10 digit presisi. Hal ini tampak pada soa l no. (4) dari contoh sebelumnya yaitu dari hasil 0.9817674095. Untuk mengubah di git presisi perintahnya adalah > Digits := n; dengan n adalah bilangan asli Perintah di atas diberikan sebelum operasi perhitu ngan dilakukan. Misalnya untuk hasil perhitungan soal no. (4) akan ditampilkan d alam 7 digit presisi, maka perintahnya: > Digits := 7; > f := (x,y) > cos(x)+2*sin(x+y); > f(2.3, 1); dan diperoleh hasil 0.9817674 Fungsi Grafik Fungsi Salah satu kelebihan Maple adalah tersedianya fasilitas untuk membuat grafik sua tu fungsi baik berdimensi 2 maupun 3, serta fungsi parametrik. Selain itu, grafi k juga dapat disajikan dalam bentuk koordinat kutub (polar). Efek efek animasi j uga dapat diberikan pada grafik supaya lebih menarik.

> f := (x)

> sin(x) + cos(x); > evalf(f(2));

Kalkulus dengan Maple 21 Grafik Fungsi 2 Dimensi Diberikan suatu fungsi y = f ( x ) , apabila fungsi ini akan dibuat dibuat grafi knya menggunakan Maple, maka digunakan perintah plot dengan sintaks perintahnya adalah: > plot(f(x), x=a..b , option1, option2, ...); dengan x=a..b adalah batas nilai x untuk grafik b]. Sedangkan parameter option adalah properti ifat optional (tidak harus dituliskan). Berikut erintah Maple untuk membuat grafik fungsi dalam yang akan dibuat pada selang [a, asesoris grafik. Option ini bers ini beberapa contoh penggunaan p 2 dimensi:

Contoh: Gambarlah grafik fungsi fungsi di bawah ini: 1. y = 2 x 1 , untuk x [ 3, 3] 2. y = x 2 3x + 7 , untuk x [ 10,10] 3. y = sin ( x ) + 2 cos ( x ) , untuk x [ 5,8] x 2 ,x > 1 , untuk x [0, 7] 4. y = x + 3 , x 1 Penyelesaian: 1. > plot(2*x 1, x = 3..3); cara lain dapat dilakukan dengan mendefinisikan fungsinya terlebih dahulu.

dari perintah tersebut diperoleh grafik seperti pada Gambar 5 1

> f := (x)

> 2*x 1; > plot(f(x),x= 3..3);

22 Fungsi (pemetaan) Gambar 5 1. Grafik fungsi f(x) = 2x 1 kedua cara yang telah diberikan dapat juga dilakukan pada contoh contoh berikutn ya. 2. > plot(x^2 3*x+7,x= 10..10); 3. > plot(sin(x)+2*cos(x),x= 5..8); 4. > plo t(piecewise(x>1,x 2,x