5.1. anti turunan (integral tak tentu) -...
TRANSCRIPT
BAB V. INTEGRALBAB V. INTEGRAL5.1. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)
5.2. PENGANTAR UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
5.3. BARISAN DAN DERET
5.4. INTEGRAL TENTU
5.5. TEOREMA DASAR KALKULUS
5.6. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU
5.7. INTEGRAL TAK WAJAR
5.1. ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)
Definisi: fungsi F disebut fungsi primitif atau anti turunan dari fungsi f pada selang I, jika F’(x) = f(x), untuk setiap xpada selang I.
∫== dxxffAxF x )()()(: Notasi
Contoh:
CxxFxxFxxF
xxf
+−=+−=
−==
cos)( 1001cos)(
cos)( sin)( 1.
∫ ++
==
−≠=
+ Cxr
dxxffA
rxxf
rx
r
1
11)()(
1,)( .2
∫ += Cxxdx sincos .3
Cxxdxx ++=+∫ ππ 54 )5( .4 ?132 .5 2
23=
+−∫ dx
xxx
?13 .623
=+−
∫ xxx
∫ =−+− ?)32()23( .11 52 dxxxx
∫ =+ ?733 .8 2 dxxx
?cos)(sin .94
=∫ xdxx ?)2sin2()2(cos .10 4 =−∫ dxxx
Crxgdxxgxg
xgxgxfrxgxf
rr
rr
++
=′
′=′+
=
+
+
∫ 1)()()( Jadi
).()()( maka 1
)()( Jika 7.
1
1
∫ =++ ?)13sin()13cos( .12 dxxx
∫ = ?2sin .13 xdx ?)( maka 1)( Jika .14 3
4xf
xxxf +
=′′
Cxgxfdx
xgxgxfxgxf
xgxgxfxgxf
xgxf
+=′−′′−′
=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫ )(
)()(
)()()()( maka )(
)()()()()()( Karena .15 22
?52
3
)52( .16
2
23
3=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
+
−∫ dxxx
x
x
∫ += Cxx
xdx
3cos3sin
31
)3(cos bahwaBuktikan .18 2
∫ = ?)(sin .17 3 dxx
5.2. PENGANTAR UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
Masalah: Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2) dan gradiennya di setiap titik sama dengan perbandingan antara absis dan ordinatnya.
Persamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang mengandung turunan suatu fungsi yang tidak diketahui.
Solusi (penyelesaian) suatu PD adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut.
Solusi UMUM adalah solusi yang masih memuat konstanta sebarang.
Solusi KHUSUS adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum dengan menggantikan konstanta sebarang dengan suatu bilangan tertentu
Contoh-contoh: Tentukan solusi PD berikut ini.
03 .1 2 =+ xdxdyy 2
2
y-1 .2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dxdy
.1 bila 5dan ,2 .3 2 ==+= − xyxxdxdy
5.3. BARISAN DAN DERET
Barisan bilangan riil adalah suatu fungsi yang memetakan setiap bilangan asli dengan suatu bilangan riil.
)( :
iaiaif
=→a
Jadi
adalah suatu barisan.
Contoh:
{ } K
K
,25 ,16 ,9 ,4 ,1)(,9,4,1
)()(
321
2
========
∈ iii
i
aaaaa
aiaiif
5.4. INTEGRAL TENTU
Definisi: Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [a,b]. Jika selang [a,b] dibagi menjadi n selang bagian oleh partisi P = {x0, x1, x2, ..., xn | xi-1 < xi, i = 1, ..., n}, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika
ada. )(lim1
*0|| ∑
=→
n
iiiP
xxf ∆
Bentuk limit tersebut dinotasikan sebagai
,)(lim)(1
*0|| ∑∫
=→=
n
iiiP
b
a
xxfdxxf ∆
dan disebut integral tentu atau integral Riemann atau limit jumlah Riemann fungsi f dari a ke b.
Catatan:
|P| = norm partisi P = panjang selang bagian terpanjang dari partisi P
nixxxxxx iiiiii ,,1 , , *11 K=≤≤−= −−∆
Contoh:
}2,1,,0,1,2,3{
]2,3[,3)( .1
21
21
21
2
−−−=
−∈=
P
xxxf2. Bagilah selang [-3,2] menjadi 5 bagian
yang sama panjang dan ambil5,4,3,2,1,1
* == − ixx ii
3. Bagilah selang [-3,2] menjadi 5 bagian yang sama panjang dan ambil
5,4,3,2,1,* == ixx ii
4. Bagilah selang [-3,2] menjadi 5 bagian yang sama panjang dan ambil
5,4,3,2,1,2
1* =+
= − ixxx iii
5. Bagilah selang [-3,2] menjadi n bagian yang sama panjang dan ambil
nixx ii ,,1,1* K== −
6. Bagilah selang [-3,2] menjadi n bagianyang sama panjang dan ambil
nixx ii ,,1,* K==
Definisi-definisi lain untuk integral tentu:
0 .3
.2
.... .1
=
−=
====
∫
∫∫
∫ ∫ ∫∫
a
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
f(x)dx
f(x)dxf(x)dx
f(u)du)df(f(t)dtf(x)dx αα
Teorema keterintegralan:
Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu bagian demi bagian maka f terintegralkan pada [a,b].
Catatan:
f dikatakan terbatas pada selang [a,b] jika terdapat bilangan riil M > 0 sehingga |f(x)| < M, untuk setiap x pada selang [a,b].
f dikatakan kontinu bagian demi bagian pada selang [a,b] jika f kontinu pada [a,b] kecualidi sejumlah berhingga titik.
5.5. TEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUS I (TDK I):
Jika f kontinu pada [a,b] maka
)()( xfdttfdxd x
a
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∫
TEOREMA DASAR KALKULUS II (TDK II):
Jika f kontinu pada [a,b] maka
[ ])()( mana di
,)()()()(
tftF
dttfaFbFdttfb
a
b
a
=′
=−= ∫∫
5.6. SIFAT_SIFAT INTEGRAL TENTU:
( )
[ ]
)()(
maka , pada alkan terintegrdan ],,[,)( Jika 5.
maka ],,[),()( Jika .4
.3
)( .2
.1
abMf(x)dxabm
a,bfbaxMxfm
g(x)dxf(x)dxbaxxgxf
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
g(x)dxf(x)dxdxxgf(x)
f(x)dxkkf(x)dx
b
a
b
a
b
a
c
b
b
a
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
−≤≤−
∈∀≤≤
≤∈∀≤
+=
±=±
=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
0 maka ganjil fungsi Jika .8
2 maka genap fungsi Jika .7
maka periodedengan periodik Jika .6
0
=
=
=
∫
∫∫
∫∫
−
−
+
+
a
a
aa
a
b
a
pb
pa
f(x)dxf
f(x)dxf(x)dxf
f(x)dxf(x)dxpf
Sifat-sifat integral tentu (lanjutan):
Teorema Nilai Rata-rata untuk integral:
Jika f kontinu pada [a,b] maka sehingga
).)(( abcff(x)dxb
a
−=∫
),( bac∈∃