tugas matematika 2 : buku calculus (integral tentu)

POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG

TUGAS MATEMATIKA“Buku Calculus Hal. 61-66”

DISUSUN

Oleh :

Kelompok 8Nama : 1. Harlin Saputra

2. Kuntoro3. M. Habiburrakhman4. M. Wahyu Utama

Prodi : Teknik ElektronikaKelas : 1E ASemester : 2 (Dua)

POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNGKawasan Industri Air Kantung Sungailiat, Bangka 33211

Telp. (0717) 93586, Fax. (0717) 93585Email : [email protected] : www.polman-babel.ac.id

TAHUN AJARAN 2014/2015INTEGRAL TENTU

Tugas Buku Calculus hal. 61-66

http://www.polman-babel.ac.id/

mailto:[email protected]


Definisi integral tentu dan asas pertama teorema kalkulus.

Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interfal tertutp [a,b], maka integral tentu dari f dari a ke b didefinisikan sebagai pembatas jumlah yang diberikan oleh :

∫a

b

f (x )dx= limmax∆ x i→ 0

∑i=1

n

f (c i)∆ x i , dimana [a,b] dibagi menjadi n subinterval (tidak perlu

sama dengan), ci adalah nilai di-i subinterval [ xi−1 , x i], dan ∆ x i=x i−x i−1, dengan syarat limit ini ada.

Pembatas jumlah, ∑i=1

n

f (ci)∆ xi, pada definisi integral tentu disebut penjumlahan

Riemann. Penjumlahan ini adalah hasil angka.

Untungnya, dalil berikutnya mengartikan bahwa fungsi yang terus menerus memiliki sebuah metode yang jitu untuk memeriksa integral lebih baik dari metode Riemann.

Asas pertama theorem kalkulus : jika f terus menerus pada integral tertutup [a,b] dan

F adalah antiderivative dari f pada [a,b] maka evaluasi dari integral tentu ∫a

b

f (x )dx

diberikan oleh ∫a

b

f (x )dx=F (b )−F(a).

Teorema ini mengartikan bahwa kamu dapat mengevaluasi integral tentu, ∫a

b

f (x )dx ,

melalui empat langkah proses :

1. Tentukan F sebuah antiderivative dari f.2. Cari F(b).3. Cari F(a).4. Hitung F(b)-F(a).

Catatan : Pengintegralan yang terus menerus dikurang ketika sebuah integral pasti diperiksa. Untuk itu kamu bisa menghilangkannya dari perhitungan.

Notasi beriku ini digunakan ketika mengaplikasikan teorema dasar kalkulus. untuk mengevaluasi integral tentu,

Catatan : Selanjutnya, symbol ≈ akan digunakan untuk mengartikan “kira-kira sama dengan.”



Latihan 9.1

Selesaikan integral tentu berikut ini.(Berikan jawaban kira-kira untuk hasil akhir.)

1. ∫−10

10

(3 x2+4 x−5 ) dx

2. ∫−50

30

8 dx

3. ∫2

7x5

x2 dx

4. ∫6

361t

dt

5. ∫0,5 π

π

sec( 56

θ) tan( 56

θ)dθ

6. ∫1

√3dx

√4−x2

7. ∫1

2

( 3 x4−5 x3−21 x2+36 x−10 ) dx

8. ∫3

5

( x3 . ln x ) dx

9. ∫1

√3

cot−1 (x ) dx

10. ∫2

51

1+ex dx

Sifat yang berguna dari integral tentu.

Integral tentu memiliki sifat yang berguna berikut ini.

1. Jika f didefinisikan di x=a, maka ∫a

a

f ( x )dx=0

2. Jika f diintegralkan pada [a,b], maka ∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f ( x ) dx



3. Jika f diintegralkan pada [a,b], [a,c], dan [c,b], maka ∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x ) dx

4. Jika f diintegralkan pada [a,b] dan k adalah sebuah konstanta, maka

∫a

b

kf (x ) dx=k∫a

b

f ( x )dx

5. Jika f dan g diintegralkan pada [a,b], maka ∫a

b

[ f ( x )± g (x ) ]dx=∫a

b

f (x ) dx ±∫a

b

g ( x ) dx

6. Jika f diintegralkan dan tidak negatif pada [a,b], maka ∫a

b

f ( x )dx ≥ 0

7. Jika f dan g diintegralkan pada [a,b] dan jika f ( x ) ≥ g ( x ) untuk setiap x di [a,b], maka

∫a

b

f ( x )dx ≤∫a

b

g ( x ) dx

Latihan 9.2



Untuk soal 1-6, selesaikan integral tentu, diberikan ∫−2

0

f (x)dx=12 dan ∫0

2

f (x )dx=15.

Benarkan jawabanmu.

1. ∫2

2

f ( x )dx

2. ∫0

−2

f ( x ) dx

3. ∫1

1

f ( x )dx

4. ∫−2

2

f ( x ) dx

5. ∫−2

0

5 f ( x ) dx

6. ∫2

−2

10 f ( x ) dx

Untuk soal 7-10, selesaikan integral tentu, diberikan ∫1

5

f (x )dx=−8 dan ∫1

5

g (x)dx=22.

Benarkan jawabanmu.

7. ∫1

5

[ f ( x )+g ( x ) ] dx

8. ∫1

5

[ f ( x )−g (x ) ]dx

9. ∫1

512

f (x ) dx

10. ∫1

5

2 g ( x )dx+∫1

5

3 f ( x ) dx

Asas kedua teorema kalkulus

Asas kedua teorema kalkulus berbunyi bahwa jika f terus menerus pada interval tertutup [a,b], maka fungsi f didefinisikan oleh :

F (x)=∫a

x

f (t )dt , dimana x ada di [a,b]

Diturunkan pada [a,b] dan merupakan sebuah antiderivative dari f : itulah yang dikatakan, untuk setiap x di [a,b],

F ' ( x )= ddx [∫

a

x

f ( t ) dt ]=f (x )

Catatan : untuk menghindari kebingungan, sejak variabel x digunakan sebagai batas

atas pada integral, ∫a

x

f (t)dt , variabel t digunakan sebagai variable dari integral.

Contoh berikut ini menjelaskan kegunaan teorema ini.



Contoh berikutnya menjelaskan penggunaan aturan rantai bersamaan dengan asas kedua teorema kalkulus.

ddx [∫

0

3 x2

sin ( t ) dt ]=sin (3 x2 ) . ddx

(3 x2 )=sin (3 x2 ) .6 x=6 x sin (3 x2 )

Asas kedua teorema kalkulus menjamin bahwa jika sebuah fungsi terus menerus, maka itu memiliki sebuah antiderivative. Meskipun, antiderivative mungkin tidak dengan mudah diperoleh.

Latihan 9.3

Untuk soal 1-5, gunakan asas kedua teorema kalkulus untuk mencari derivative.

1.ddx [∫

0

x

(t 2+3 )−5dt ]

2.ddx [∫

1

x

√3 t+5dt ]3. d

dx [∫π

x4

t sin t ]4. d

dx [∫−5

5 x2

3√t 2dt ]5.

ddx

¿

Untuk soal 6-10, gunakan asas kedua teorema kalkulus untuk mencari F’(x).

6. F ( x )=∫0

x

sin (3 t ) dt

7. F ( x )=∫5

4 x1

t+1dt

8. F ( x )=∫0

sin x

6 t 2 dt

9. F ( x )=∫−3

√x

2t 4 dt

10. F ( x )= ∫−8

2 x+1

3 t−7 dt

Teorema nilai rata-rata untuk integral



Teorema nilai rata-rata untuk integral berbunyi bahwa jika f terus menerus pada interval tertutup [a,b], maka terdapat sebuah bilangan c di [a,b] seperti berikut

∫a

b

f ( x )dx=f (c ) (b−a )

Teorema ini menjamin bahwa bilangan c ada di [a,b], tapi perhatikan bahwa teorema ini tidak menentukan nilai dari c. Banyak persoalan yang berhubungan dengan konsep ini melibatkan ditemukannya nilai c. Di sisi lain, dalam beberapa kasus, hal itu mungkin cukup untuk mengetahui sedikitnya satu bilangan di [a,b] ada.

Soal Temukan nilai c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral

untuk fungsi yang didefinisikan oleh f ( x )=x2+2 dan interval [0,3].

Solusi Dengan teorema nilai rata-rata untuk integral, kamu memiliki

Dari dua nilai c yang mungkin ini, hanya nilai √3 yang terletak di [0,3], jadi c=√3 adalah nilai yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral.

Jika f diintegralkan pada integral tertutup [a,b], nilai rata-rata dari f adalah

1b−a

∫a

b

f (x ) dx

Di perkataan lain, nilai dari f (c ) diberikan di teorema nilai rata-rata untuk integral adalah rata-rata nilai dari f pada interval [a,b].

Soal Temukan nilai rata-rata dari f ( x )=x2+2 pada interval [0,3].

Solusi Nilai rata-rata diberikan oleh



Latihan 9.4

Untuk soal 1-5, temukan nilai c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral untuk fungsi yang diberikan diatas interval yang ditunjuk.

1. f ( x )=2 x+6 , dan interval [-1,1]

2. f ( x )=2−5√x , dan interval [0,4]

3. f ( x )= 4

x3 , dan interval [1,4]

4. f ( x )=sin x , dan interval [ 0 , π ]

5. f ( x )=1x

, dan interval [1,3]

Untuk soal 6-10, temukan nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan diatas interval yang ditunjuk.

6. f ( x )=x2 , dan interval [-2,2]

7. f ( x )=1x


8. f ( x )=cos x , dan interval [−π2

,π2 ]

9. f ( x )=92

√x , dan interval [1,4]

10. f ( x )=ex , dan interval [0,1]



JAWABAN

Latihan 9.1

1. ∫−10

10

(3 x2+4 x−5 ) dx

¿ x3+2x2−5 x

¿ (103+2.102−5.10 )−(−103+2.−102−5.−10 )¿1150−(−750 )=1900

2. ∫−50

30

8dx

¿8 x¿ (8.30 )−(8.−50 )¿240+400=640

3. ∫2

7x5

x2 dx

¿∫2

7

x3 dx=14

x4

¿( 14

.74)−( 14

.24)¿ 2401−16

4=596,25

4. ∫6

361t

dt

¿ ln t=ln36−ln 6¿3,58−1,79=1,79

5. ∫0,5 π

π

sec( 56

θ) tan( 56

θ)dθ

¿ 65

sec( 56

θ)¿( 6

5sec (5

6.180 °))−( 6

5sec( 5

6.90 °))

¿( 65

sec (150 ° ))−( 65

sec (75 ° ))¿ 6

5 ( 1cos150 °

− 1cos75 ° )



¿ 65

(−1,15−3,86 )=65

(−5,01 )=−6,012

6. ∫1

√3dx

√4−x2

¿∫1

√3

( 4−x2 )−12 dx

¿ 1−2x

.1

−12

+1. (4−x2 )

−12

+1

¿− 12 x

.2 . ( 4−x2 )12

¿−1x

√4−x2

¿(−1

√3.√4−(√3 )2)−(−1

1.√4−(1 )2)

¿(−1

√3.√1)−(−1.√3 )

¿− 1

√3+√3=−1+3

√3

¿ 2√3

. √3√3

=23√3

7. ∫1

2

( 3 x4−5 x3−21 x2+36 x−10 ) dx

¿ 35

x5−54

x4−7 x3+18 x2−10 x

¿( 35

.25−54

.24−7.23+18.22−10.2)−( 35

.15−54

.14−7.13+18.12−10.1)¿( 96

5−20−56+72−20)−( 3

5−5

4−7+18−10)

¿( 965

−24)−( 35−5

4+1)

¿ 965

−35+ 5

4−24−1

¿ 935

−25+ 54

¿ 372−500+2520

=−10320

=−5,15

8. ∫3

5

( x3 . ln x ) dx



u=ln x ,dudx

=1x

, du=1x

dx

dv=x3 dx , v=∫ dv=∫ x3dx=14

x 4

∫u . dv=u . v−∫v du=ln x .14

x4−∫ 14

x4 .1x

dx

¿ 14

x4 ln x−14∫ x3 dx

¿ 14

x4 ln x−14 ( 1

4x4)

¿ 14

x4 ln x− 116

x4

¿( 14

.54 ln 5− 116

.54)−( 14

.34 ln 3− 116

.34)¿( 201

4−625

16 )−( 894

−8116 )

¿ 1124

−54416

=28−34=−6

9. ∫1

√3

cot−1 (x ) dx

¿∫1

√31

cot xdx=∫

1

√3

tan x dx=∫1

√3sin xcos x

dx=∫1

√3

sin x . cos−1 x dx

u=cos x ,dudx

=−sin x , dx= du−sin x

∫1

√3

sin x .cos−1 x dx=∫1

√3

sin x . u−1 .du

−sin x=−∫

1

√3

u−1 du

¿ ln u=ln (cos x )=[ ln (cos√3 ) ]− [ ln (cos1 ) ]¿ ( 4,57.10−4 )−(1,52.10−4 )=3,05.10−4

10. ∫2

51

1+ex dx

¿∫2

5

(1+ex )−1dx

u=1+ex ,dudx

=e x , dx=du

ex

∫2

5

(1+ex )−1dx=∫

2

5

u−1 .duex = 1

e x∫2

5

u−1 du

¿ 1ex . ln u= 1

ex . ln (1+e x)= ln (1+ex )ex



¿ [ ln (1+e5 )e5 ]−[ ln (1+e2 )

e2 ]¿0,0337−0,2878=−0,2541



Latihan 9.2

1. ∫2

2

f ( x )dx

¿0

2. ∫0

−2

f ( x ) dx

¿−∫−2

0

f ( x ) dx

¿−12

3. ∫1

1

f ( x )dx

¿0

4. ∫−2

2

f ( x ) dx

¿∫−2

0

f ( x ) dx+∫0

2

f ( x ) dx

¿12+15=27

5. ∫−2

0

5 f ( x ) dx

¿5∫−2

0

f ( x ) dx

¿5 (12 )=60

6. ∫2

−2

10 f ( x ) dx

¿10∫2

−2

f ( x ) dx=10.−∫−2

2

f ( x ) dx

¿−10(∫−2

0

f ( x )dx+∫0

2

f (x ) dx )¿−10 (12+15 )=−270

7. ∫1

5

[ f ( x )+g ( x ) ] dx

¿∫1

5

f ( x ) dx+∫1

5

g (x ) dx



¿−8+22=14

8. ∫1

5

[ f ( x )−g (x ) ]dx

¿∫1

5

f ( x ) dx−∫1

5

g ( x )dx

¿−8−22=−30

9. ∫1

512

f (x ) dx

¿ 12∫

1

5

f ( x ) dx

¿ 12

(−8 )=−4

10. ∫1

5

2 g(x )dx+∫1

5

3 f (x)dx

¿2∫1

5

g ( x ) dx+3∫1

5

f ( x ) dx

¿2 (22 )+3 (−8 )¿44−24=20



Latihan 9.3

1.ddx [∫

0

x

(t 2+3 )−5dt ]

¿ ( x2+3 )−5

¿ 1

( x2+3 )5

2.ddx [∫

1

x

√3 t+5dt ]¿√3 x+5

3. ddx [∫

π

x4

t sin t ]¿ x4 sin ( x4 ) . d

dx( x4 )

¿ x4 sin ( x4 ) . 4 x3

¿4 x7 sin ( x4 )

4. ddx [∫

−5

5 x2

3√t 2dt ]¿

3√ (5 x2 )2.

ddx

(5 x2 )

¿ 3√25 x4 .10 x

¿10 x3√25 x4

5.ddx

¿

¿ ( x+2 )2−2 ( x+2 )+1

¿ x2+4 x+4−2 x−4+1

¿ x2+2x+1

6. F ( x )=∫0

x

sin (3 t ) dt

F ' ( x )= ddx [∫

0

x

sin (3 t ) dt ]F ' ( x )=sin 3 x



7. F ( x )=∫5

4 x1

t+1dt

F ' ( x )= ddx [∫

5

4 x1

t+1dt ]

F ' ( x )= 14 x+1

8. F ( x )=∫0

sin x

6 t 2 dt

F ' ( x )= ddx [∫

0

sin x

6 t 2 dt ]F ' ( x )=6 (sin x )2

F ' ( x )=6. sin2 x

9. F ( x )=∫−3

√x

2t 4 dt

F ' ( x )= ddx [∫

−3

√x

2t 4 dt ]F ' ( x )=2 (√ x )4

F ' ( x )=2 x2

10. F ( x )= ∫−8

2 x+1

3 t−7 dt

F ' ( x )= ddx [ ∫

−8

2 x+1

(3 t−7 ) d t ]F ' ( x )=3 (2 x+1 )−7

F ' ( x )=6 x+3−7

F ' ( x )=6 x−4

11.



Latihan 9.4

1. f ( x )=2 x+6 , dan interval [-1,1]

∫a

b

f ( x )dx=f (c ) (b−a )

∫−1

1

(2 x+6 ) dx=(2 c+6 ) (1−(−1 ) )

x2+6 x=(2 c+6 ) .2(1+6 )−(1−6 )=4 c+1212−12=4 cc=0

2. f ( x )=2−5√x , dan interval [0,4]

∫a

b

f ( x )dx=f (c ) (b−a )

∫0

4

( 2−5√x ) dx=( 2−5√c ) ( 4−0 )

∫0

4 (2−5 x12 )dx=( 2−5√c ).4

2 x− 532

x32=8−20√c

2 x−103

x√ x=8−20√c

(8−103

.4√4 )−(0−103

.0√0)=8−20√c

8−803

=8−20 √c

−803

=−20√c

√c=43

c=√ 43

3. f ( x )= 4

x3 , dan interval [1,4]

∫a

b

f ( x )dx=f (c ) (b−a )

∫1

44x3 dx= 4

c3 (4−1 )



∫1

4

4 x−3 dx=12c3

−2 x−2=12

c3

−2

x2=12

c3

(−216 )−(−2

1 )=12

c3

3016

=12

c3

c3=16.1230

=325

c= 3√ 325

=1,857

4. f ( x )=sin x , dan interval [ 0 , π ]

∫a

b

f ( x )dx=f (c ) (b−a )

∫0

π

sin x dx=sin c . (π−0 )

−cos x=sin c . π(−cos π )−(−cos0 )=sin c .π

1− (−1 )=sin c . π2π=sin c

c=arc sin2π=39,54 °=0,22 π

5. f ( x )=1x


∫a

b

f ( x )dx=f (c ) (b−a )

∫1

31x

dx=1c

. (3−1 )

ln x=2c

ln 3−ln 1=2c

1,0986=2c

c= 21,0986

=1,8205



6. f ( x )=x2 , dan interval [-2,2]

¿ 1b−a

∫a

b

f (x ) dx

¿ 12−(−2 ) ∫−2

2

x2 dx=14 [ 1

3x3]

¿ 14 [( 8

3 )−(−83 )]

¿ 14

.163

=1612

=43

7. f ( x )=1x


¿ 1b−a

∫a

b

f (x ) dx

¿ 13−1

∫1

31x

dx=12

[ ln x ]

¿ 12

[ ln 3−ln1 ]=12

(1,9086 )=0,5493

8. f ( x )=cos x , dan interval [−π2

,π2 ]

¿ 1b−a

∫a

b

f (x ) dx

¿ 1π2−(−π

2 )∫−π

2

π2

cos x dx= 1π

[ sin x ]

¿ 1π

[sin (90 ° )−sin (−90 ° ) ]= 1π

(1−(−1 ) )= 2π

9. f ( x )=92

√x , dan interval [1,4]

¿ 1b−a

∫a

b

f (x ) dx

¿ 14−1

∫1

492

√x dx=13∫1

492

x12 dx

¿ 13 [ 9

232

x32 ]=1

3[3.x √x ]=1

3[3.4 .√4−3.1.√1 ]

¿ 13

(24−3 )=13

(21 )=7



10. f ( x )=ex , dan interval [0,1]

¿ 1b−a

∫a

b

f (x ) dx

¿ 11−0

∫0

1

ex dx=1 ( ex )

¿e1−e0=2,718−1=1,718


tugas matematika 2 : buku calculus (integral tentu)

Education