Barisan dan Deret AritmatikaSMP Kelas IX

Shella Anggun Pertiwi1002270

Pendidikan Metematika 2010

MENU

Kompetensi DasarIndikator

Pencapaian Kompetensi

Materi SOAL

Kompetensi Dasar

Menggunakan Pola dan Generalisasi untuk Menyelesaikan Masalah Nyata Serta Menemukan Masalah Baru

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menentukan suku ke-n suatu barisan bilangan aritmetika

Menentukan jumlah n suku pertama barisan bilangan aritmetika

Barisan Aritmetika

Apakah Barisan Aritmetika itu?

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan barisan bilangan berikut : 1, 4, 7,10,13, ...

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku

b = Un – Un – 1.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.U1 = a

U2 = U2 + b = a + b

U3 = U3 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U4 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U5 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

. . .

Un = Un + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalahKeterangan: Un = suku ke-n

a = suku pertama b = beda n = banyak suku

Un = a + (n – 1)b

Contoh Soal

Tentukan suku ke-9 dari barisan 2, 6, 10, 14,...Jawab:2, 6, 10, 14,...Suku pertama adalah a = 2 dan bedanya b =Un-Un-1 = 6 – 2 = 4.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

U9 = a + (n - 1)b

U9 = 2 + (n – 1)4

Suku ke-9 : U9 = 2 + (9 – 1)4= 2+32 = 34

Deret Aritmetika

Definisi :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + U disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.

Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan Sn .

Dengan demikian, Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un .

Menentukan rumus umum untuk Sn sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahUn = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,U1 = a = aU2 = a + b = Un – (n – 2)bU3 = a + 2b = Un – (n – 3)b

. . . . . . . . .

Un = a + (n – 1)b = Un

Dengan demikian, diperoleh ;

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (Un – (n – 2) b) + (Un – (n – 3) b) + ... + Un

............ (1)Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

Un-1 = Un – b

Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b

Un-3 = Un-2 – b = Un – 3b

Demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan

Sn = a + (Un – (n – 1)b) + … + (Un – 2b) + (Un – b)+ Un .......... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;

Sn = a + (Un – (n – 2)b) + (Un – (n – 3)b) + ... +Un

Sn = Un+ (Un – b) + (Un – 2b) + ... + a

2Sn = (a + Un) + (a + Un)+ (a + Un) + ... + (a + Un )

n suku

Dengan demikian, 2Sn = n(a + Un )

Sn = n(a + Un )

Sn = n(a + (a + (n – 1)b))

Sn = n(2a + (n – 1)b)

2

1

2

1

2

1

+

Contoh Soal Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,

14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 5 – 2 = 3, dan n = 5.S5 = x 5 {2(2) + (5 – 1)3}

= x 5 {4 + 12}

= x 5 (16) = 40Jadi, jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut adalah 40.

2

1

2

1

2

1

SOAL 1

Tentukan suku ke-6 dan ke-10 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawab:–3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b,

diperoleh :U = a + (n - 1) bU = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-6 : U6 = –3 + (6 – 1)5=-3+25 = 22

Suku ke-10 : U10 = –3 + (10 – 1)5=-3+45=42

Soal 2Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 +

4 + 6 + 8 +....

Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n =

100.

S100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret

tersebut adalah 10.100.

2

1