taburan kebarangkalian diskret 1

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN

3.1 Taburan Kebarangkalian

Pembolehubah rawak

Dalam suatu kajian tentang rekod permainan

pasukan bola sepak Jinjang dalam dua permainan

yang lalu, kita boleh merekodkan keputusan setiap

permainan sebagai menang (M), seri (S), atau kalah

(K).

1

Pembolehubah rawak adalah sesuatu set X yang unsurnya

ialah nilai yang merupakan kesudahan yang ditentukan

dalam satu ujikaji ialah suatu pembolehubah rawak.

3.0TA

BUR

AN

KEB

ARA

NGK

ALIA

N

DISK

RET

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Oleh itu, ruang sampel ialah {MM ,SS ,KK , MS,SM , MK , KM ,SK , KS }. Namun demikian, adakalanya kita hanya ingin mengetahui bilangan kemenangan dalam

dua permainan itu. Maka nombor yang terlibat ialah {0 ,1 ,2 }. Jika ia dipindah dalam bentuk set :

∴Nombor 0, 1, 2 boleh dianggap sebagai nombor yang timbul secara rawak.

Maka set {0 ,1 ,2 } dikenali sebagai satu pembolehubah rawak.

Contoh 1:

3 benda dipilih secara rawak daripada satu proses pengeluaran. Setiap benda diperiksa dan

dikelaskan sebagai cacat atau baik. Jika X mewakili bilangan benda yang baik, apakah nilai

X yang mungkin?

Penyelesaian:

S = {BBB, CCC, CCB, BCC, CBC, BCB, CBB, BBC}

Umpukkan nombor untuk setiap unsur di ruang sampel S.

X : Bilangan benda yang baik.

∴x = 0, 1, 2, 3

Contoh 2:

4 biji bola dikeluarkan daripada satu kotak yang mengandungi 4 bola merah dan 6 bola

hitam, jika X mewakili bola merah yang didapati, apakah nilai-nilai yang mungkin?

i) tanpa pengembalian.

ii) dengan pengembalian.

Penyelesaian:

i) Bilangan titik di ruang sampel S ialah 10C4

X : Bilangan bola merah didapati

∴x = 0, 1, 2, 3, 4

ii) Bilangan titik di ruang sampel S ialah 104

2

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARANX : Bilangan bola merah yang didapati

∴x = 0, 1, 2, 3, 4

Contoh 3:

Sekeping syiling dilambung 3 kali. Jika X mewakili bilangan kepala yang timbul, senaraikan

nilai-nilai yang mungkin bagi X.

Penyelesaian:

S = {HHH, TTT, TTH, HHT, THH, HTT, HTH, THT}

X : bilangan kepala yang timbul. Berikan nilai untuk setiap titik di ruang sampel, iaitu

HHH : berikan nilai 3

TTH : berikan nilai 1

TTT : berikan nilai 0

HHT : berikan nilai 2 dan seterusnya

Nombor-nombor 0, 1, 2, 3 adalah cerapan-cerapan rawak dan nilainya ditentukan daripada

suatu ujikaji. Maka bilangan kepala yang timbul ialah pembolehubah rawak ditandakan

dengan X.

x : nilai yang diberikan

∴X ialah = 0, 1, 2, 3

3

1. 3 biji guli dikeluarkan tanpa gantian daripada sebuah kotak yang

mempunyai 4 guli merah dan 6 guli biru. Jika X mewakili bilangan merah

yang didapati, apakah nilai-nilai X yang mungkin?

2. Seorang kerani stor mengembalikan tiga topi keledar secara rawak kepada

3 orang pekerja kilang besi yang memang mengenali topi masing-masing.

Jika Ang, Cheong dan Lee, mengikut tertib ini, menerima satu topi seorang

daripada tiga buah topi ini, tentukan nilai-nilai bagi X di mana X adalah

bilangan padanan yang betul.

3. Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak 3 kali. Tentukan

pembolehubah rawak X yang mewakili bilangan kali mendapat angka.

4. Untuk mengkaji kefahaman seorang budak tentang suatu konsep, dia

dikehendaki menjawab dua soalan. Bagi jawapan yang betul, budak itu

diberikan 2 mata dan 1 mata akan ditolak jika jawapanya salah. Jika

pembolehubah rawak X ialah bilangan mata yang diperoleh, cari nilai-nilai

yang mungkin bagi X.


Taburan kebarangkalian diskret

Pembolehubah adalah diskret jika ia hanya boleh dianggap sebagai beberapa nilai yang

boleh dikira (terhingga atau tak terhingga).

Pembolehubah diskret yang hasil daripada pengiraan mempunyai nilai integer.

Contoh pembolehubah diskret adalah:

Bilangan pokok, x, dalam satu hutan.

Bilangan budak, y, sedang menonton televisyen.

Bilangan cip computer, z, dihasilkan dalam satu tahun.

Pembolehubah rawak diskret A boleh ditulis sebagai A = 1, 2, 3, 4, 5 iaitu nilai-nilai yang

A boleh ambil adalah 1 atau 2 atau ... 5.

Katakan X ialah pembolehubah diskret dengan nilai-nilai x1, x2, ..., xn dan setiap x1

diperuntukakan kebarangkalian P(X=x1).

∴

Jika ∑i=1

n

P (X=x i )= 1, maka X adalah pembolehubah rawak diskret.

4

Latihan

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARANContoh 1:

Sebuah kotak mengandungi tiga guli yang sama dengan menandakan A, B, dan C. Satu

permainan dijalankan dengan memilih dua guli satu demi satu secara rawak dari kotak

dengan pengembalian. Seorang pemain mendapat 3 mata jika dia terpilih guli A, 2 mata jika

dia terpilih guli B, dan 1 mata jika dia terpilih guli C. Jumlah mata yang diperolehi daripada

dua guli diambil kira. Menunjukkan bahawa mata yang diperolehi daripada pemain adalah

taburan kebarangkalian diskret.

Penyelesaian:

Ruang sampel bagi setiap percubaan adalah:

S = {( AA ) , ( AB ) , ( AC ) , (BB ) , (BA ) , ( BC ) , (CC ) , (CA ) ,(CB)}Katakan X mewakili skor pemain, oleh itu:

P ¿ )

¿ P ( X=2 )+P ( X=3 )+P ( X=4 )+P ( X=5 )+P(X=6)

¿ 19+ 2

9+ 3

9+ 2

9+ 1

9

¿1

Oleh itu, X adalah taburan kebarangkalian diskret.

5

P ( X=1 )=P (B ' B )+P(BB')

¿ P (B ' ) ∙ P (B|B ' )+P(B)∙ P (B '|B )

¿ 58 (37 )+ 3

8 ( 57 )

¿ 1528


Contoh 2:

Satu patrol pengakap mempunyai seramai 8 orang ahli, 3 ahli memiliki lencana basikal, dua

ahli dari patrol dipilih secara rawak, dan X mewakikan bilangan yang memiliki lencana

basikal. Tunjukkan bahawa X ialah pembolehubah rawak diskret.

Penyelesaian:

Katakan B = ahli yang mendapat lencana basikal.

B’ = ahli yang tidak dapat lencana basikal.

Ruang sampel = {B' B' , B' B , B B' , BB }Maka nilai-nilai yang mungkin bagi X ialah 0, 1, dan 2.

P ( X=0 )=P (B' B' )

¿ P(B') ∙ P ( B '|B ' )

¿ 58

×47

¿ 514

P ( X=2 )=P(BB)

¿ P (B ) ∙ P (B|B )

¿ 38

×27

¿ 328

Maka X ialah suatu pembolehubah rawak diskret.

Contoh 3:

Diberi Y= {0 ,2 , 4 ,6 } dan P ialah fungsi taburan kebarangkalian yang ditakrifkan kepada

unsur Y dengan petua:

P (Y= y )=12− y36

Tunjukkan bahawa Y ialah pembolehubah rawak diskret dan cari:

a) Taburan kebarangkalian bagi Y.

b) P(Y ˃ 2)

Lukiskan graf taburan kebarangkalian bagi Y.

Penyelesaian:

P (Y= y )=12− y36

Y= {0 ,2 , 4 ,6 }

6

∑ P ( X=x )=P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )

¿5

14+15

28+ 3

28

¿1

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN∑ P (Y = y )=P (Y=0 )+P (Y =2 )+P (Y =4 )+P (Y=6 )

¿ 1236

+ 1036

+ 836

+ 636

¿1

Oleh itu, Y ialah satu pembolehubah rawak diskret.

a) Taburan kebarangkalian Y ialah:

Y 0 2 4 6 Jumlah

P (Y= y ) 13

518

29

16

1

b) P (Y >2 )=P(Y=4 atau6)

¿ P (Y=4 )+P (Y=6 )

¿ 29+ 1

6

¿ 78

Graf taburan kebarangkalian bagi Y adalah seperti berikut:

7


Contoh 4:

Pembolehubah rawak diskret U mempunyai fungsi taburan kebarangkalian P yang

ditakrifkan sebagai

P (U=u )={u

2kbagiu=2 , 3 ,5

u5k

bagiu=7 , 8 ,10

0bagiu yang lain.

Cari nilai k. Seterusnya, cari

a) Jadual taburan kebarangkalian bagi U.

b) P (4<U ≤8 ) .

Penyelesaian:

U={2 ,3 ,5,7 ,8 ,10 }

∑ P (U=u )=P (U=2 )+P (U=3 )+P (U=5 )+P (U=7 )+P (U=8 )+P(U=10)

¿ 22 k

+ 32k

+ 52 k

+ 75 k

+ 85 k

+ 105k

¿ 102 k

+ 255 k

¿ 5k+ 5

k

¿ 10k

Diberi U ialah suatu pembolehubah rawak diskret, maka

∑ P (U=u )=1

10k=1

k=10

a) Jadual taburan kebarangkalian bagi U ialah:

u 2 3 5 7 8 10 Jumlah

P(U=u) 0.10 0.15 0.25 0.14 0.16 0.20 1

8

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARANb) P (4<U ≤8 )=P (5 )+P (7 )+P(8)

¿0.25+0.14+0.16

¿0.55

9

1. X={0 ,2 ,4 ,6 } ialah suatu pembolehubah dengan satu fungsi yang

ditakrifkan seperti dalam jadual yang berikut.

X 0 2 4 6

P(X=x) 0.20 0.35 0.30 0.15

Tunjukkan bahawa X ialah suatu pembolehubah rawak diskret dengan

fungsi taburan kebarangkalian P.

2. Sekeping syilling dilambung 3 kali. Jika X mewakili bilangan kepala

yang timbul, senaraikan nilai-nilai yang mungkin bagi X dan carikan

fungsi kebarangkalian bagi x.

3. 3 biji guli dikeluarkan tanpa gantian daripada sebuah kotak yang

mempunyai 4 guli merah dan 6 guli biru. Jika X mewakili bilangan

merah yang didapati, apakah nilai-nilai X yang mungkin.Seterusnya cari

fungsi kebarangkalian bagi x.

4. Y ialah suatu pembolehubah dengan kebarangkalian bagi unsurnya

diberi sebagai

P(Y = y){0.1 bagi y=1 , 3 ,5 ,70.2 bagi y=2 , 4 , 6

0 bagi y lain .

Tunjukkan bahawa Y ialah suatu pembolehubah rawak diskret dengan

fungsi kebarangkalian P.

5. Taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskret

X={1 ,2 , 3 ,4 } diberi oleh P ( X=x )=m(x+1)2 bagi setiap x berkenaan.

a) Cari nilai m.

b) Dapatkan taburan kebarangkalian bagi X.

c) Cari P ( X>2 ) .


10

Latihan

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Min, Varians, Sisihan Piawai

1) Min (Nilai Jangkaan)

Nilai min bagi sesuatu pembolehubah rawak disebut sebagai ‘nilai jangkaan’ atau

‘jangkaan matematik’ bagi pembolehubah rawak diskret yang diberikan simbol atau

E(x ) .

Katakan X adalah satu pembolehubah rawak diskret dengan fungsi kebarangkalian

P(x ), maka nilai ∑ x P(X ) ditakrifkan sebagai nilai jangkaan atau jangkaan matematik

bagi pembolehubah rawak tersebut.

Jika kebarangkalian mendapatkan nilai a1, a2, a3 dan a4 masing-masing adalah p1, p2,

p3 dan p4, maka jangkaan matematiknya ialah:

∑ x P ( X )=a1 p1+¿a2 p2+¿a3

p3+¿a

4p

4¿¿¿

2) Varians dan Sisihan Piawai

Varians adalah satu pembolehubah rawak X yang disumbangkan oleh σ 2 atau Var(X). Ia

ditakrifkan sebagai nilai min kuasa dua daripada sisihan X dari nilai jangkaanμ :

11

Mean, ¿ E(X )

¿∑ x P (X=x )

Variance, σ 2=E [(X−μ)2 ]

¿∑ ( X−μ )2 P (X=x )

X P(x) x P ( X )

a1 p1 a1 p1

a2 p2 a2 p2

a3 p3 a3 p3

a4 p4 a4 p4

∑ x P ( X )=a1 p1+¿a2 p2+¿a3

p3+¿a

4p

4¿¿¿

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Varians boleh dinyatakan dalam bentuk yang lain yang lebih mudah untuk digunakan

dalam pengiraan yang melibatkan kuantiti (X−μ¿ yang bukan integer.

Variance, σ 2=E [(X−μ)2 ] ¿ E [ ( X2−2 μ ∙ X+μ2 ) ] ¿E (X 2)−2μ ∙ EX+μ2

¿ E (X 2)−2 μ2+μ2

Oleh itu:

Sisihan piawainya adalah:

Varian dan sisihan piawai bagi data krisis di dalam Jadual adalah dikira dan ditunjukkan

di dalam Jadual. Min data krisis adalah 1.15 krisis. Sisihan piawai ialah 1.19 krisis dan

varian ialah 1.41.

Pengiraan Varian dan Sisihan Piawai Data Krisis

X P(X) (X - )2 (X - )2.P(X)

0 0.37 (0-1.15)2 = 1.32 (1.32)(0.37) = 0.49

1 0.31 (1-1.15)2 = 0.02 (0.02)(0.31) = 0.01

2 0.18 (2-1.15)2 = 0.72 (0.72)(0.18) = 0.13

3 0.09 (3-1.15)2 = 3.42 (3.42)(0.09) = 0.31

4 0.04 (4-1.15)2 = 8.12 (8.12)(0.04) = 0.32

5 0.01 (5-1.15)2 =14.82 (14.82)(0.01) = 0.15

(X-)2.P(X) = 1.41

Varian 2 = [(X-)2.P(x) = 1.41

Sisihan piawai, = √1.41 = 1.19 krisis

12

Variance, σ 2=E (X2 )−μ2 where E ( X2 )=∑ x2 P (X=x )

σ=√∑ x2 P ( x )−μ2

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARANContoh 1:Pembolehubah rawak diskret X mempunyai taburan kebarangkalian seperti berikut:

X=x 1 2 3 4 5P(X=x

)0.1 0.3 0.3 0.2 0.1

(a) Carikan min X.(b) Carikan varians X.Penyelesaian:

(a) Mean, ¿∑ x P (X=x ) ¿1 (0.1 )+2 (0.3 )+3 (0.3 )+4 (0.2 )+5(0.1) ¿2.9

(b) Variance, σ 2=∑ ( X−μ )2 P(X=x ) ¿ (1−2.9 )2 (0.1 )+(2−2.9 )2 (0.3 )+(3−2.9 )2 (0.3 )+( 4−2.9 )2 (0.2 )+ (5−2.9 )2 (0.1 )

¿0.361+0.243+0.003+0.242+0.441 ¿1.29

Contoh 2:

Katakan 20% daripada penduduk Kuala Lumpur mengemari Pepsi sebagai pilihan minuman

ringan mereka. Jika sampel rawak 6 responden yang dipilih, bilangan pengemar Pepsi

adalah antara 0 dan 6. Ditunjukkan di sini kebarangakalian bilangan pengemar Pepsi di

dalam sampel. Gunakan data ini untuk menentukan min bilangan pengemar Pepsi di dalam

sampel 6 responden di Kuala Lumpur dan kirakan sisihan piawai.

Bilangan Pengemar

PepsiKebarangkalian

0 0.262

1 0.393

2 0.246

3 0.082

4 0.015

5 0.002

6 0.000

13

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARANPenyelesaian:

Min adalah dikira sebagaimana berikut:

Bilangan Pengemar Pepsi (X) Kebarangkalian P(X) X.P(X)

0 0.262 0.000

1 0.393 0.393

2 0.246 0.492

3 0.082 0.246

4 0.015 0.060

5 0.002 0.010

6 0.000 0.000

[X.P(X)] = 1.201

= E(X) = [X.P(X)] = 1.201

Nilai terjangka pengemar Pepsi ialah 1.201.

X P(X) (X-)2 (X-)2.P(X)

0 0.262 1.442 0.378

1 0.393 0.040 0.016

2 0.246 0.638 0.157

3 0.082 3.236 0.265

4 0.015 7.834 0.118

5 0.002 14.432 0.029

6 0.000 23.030 0.000

[X-)2.P(X)] = 0.963

2 = [X-)2.P(X)] = 0.963

= √0 . 963 = 0.981

Varian ialah 0.963 dan sisihan piawai ialah 0.981.

Contoh 3:

Biarkan X sebagai no. yang diperolehi apabila sebiji dadu 6-sisi dilambung (x = 1, 2, 3, 4, 5,

6). Biarkan Y sebagai no. yang diperolehi apabila sebiji dadu 4-sisi dilambung (y = 1, 2, 3,

4).

(a) Cari E(X) dan E(Y).

(b) Cari Var (X) dan Var (Y).

14


Penyelesaian:

x p(x) X p(x) x2 p( x ) y p(y) Y p(y) y2 p( y )

1 1/6 1/6 1/6 1 ¼ ¼ ¼

2 1/6 2/6 4/6 2 ¼ 2/4 4/4

3 1/6 3/6 9/6 3 ¼ ¾ 9/4

4 1/6 4/6 16/6 4 ¼ 4/4 16/4

5 1/6 5/6 25/6

6 1/6 6/6 36/6

1 21/6 91/6 1 10/4 30/4

Daripada jadual kita dapati,

(a) μX=E(X )=Σ xP( x )=21

6=3 .5

μY=E(Y )=Σ yP( y )=104=2. 5

(b) σ

X2=Var (X )=Σx2 p( x )−μ

X2

=91

6−(21

6 )2

=10536

=2 . 92

σ

Y2=Var (Y )=Σy2 p( y )−μ

y2

=20

4−(10

4 )2

=20

16=1 .25

15


3.2 Taburan Binomial

Ujikaji Binomial

Salah satu taburan diskret yang diketahui dengan meluas ialah taburan binomial.

Taburan binomial telah digunakan beratus tahun dahulu lagi. Beberapa andaian

disebalik penggunaan taburan binomial ialah:

Sebagaimana ditunjukkan oleh perkataan binomial, mana-mana percubaan tunggal ujikaji

binomial mengandungi hanya dua kemungkinan hasil sahaja.

Dua hasil ini adalah dilabelkan sebagai kejayaan atau kegagalan.

Sebagai contoh, jika analisis kawalan kualiti melihat keluaran yang rosak, ia akan

mempertimbangkan untuk mencari keluaran yang rosak sebagai kejayaan

Jika penyelidik hendak mengkaji orang kidal, hasil memperolehi orang yang kidal di

dalam ujikaji adalah kejayaan.

Lain-lain kemungkinan hasil di dalam ujikaji binomial adalah dipanggil kegagalan.

Perkataan kegagalan adalah digunakan hanya di dalam songsangan kepada kejayaan.

Di dalam ujikaji di atas, kegagalan adalah untuk memperolehi barangan yang baik

(songsangan kepada barangan yang rosak) atau orang yang tidak kidal (songsangan

kepada orang yang kidal).

Taburan binomial adalah taburan diskret. Di dalam n percubaan, hanya X kejayaan adalah

mungkin, dimana X adalah nombor bulat di antara 0 dan n.

Di dalam ujikaji binomial, ujikaji mestilah bebas.

Kekangan ini bermakna sama ada ujikaji secara semula jadi menghasilkan percubaan yang

bebas (seperti melambung duit syiling atau melempar dadu) atau ujikaji dilakukan dengan

penggantian.

Kesan keperluan ujikaji bebas ialah p, kebarangkalian memperolehi kejayaan bagi satu

ujikaji, masih tetap dari satu ujikaji ke satu ujikaji.

16

Ujikaji melibatkan n percubaan identikal.

Setiap percubaan hanya mempunyai dua kemungkinan hasil ditandakan

sebagai berjaya atau gagal.

Setiap percubaan adalah bebas dengan percubaan yang sebelumnya.

Sebutan p dan q adalah tetap disepanjang ujikaji, dimana sebutan p ialah

kebarangkalian memperolehi kejayaan dan sebutan q = ( 1 – p ) ialah

kebarangkalian memperolehi kegagalan di dalam mana-mana satu

percubaan.


Rumus Kebarangkalian Binomial

Dimana:

n = bilangan percubaan (atau bilangan sampel)

X = bilangan kejayaan yang diperlukan

p = kebarangkalian memperolehi kejayaan di dalam satu percubaan

q = 1 – p = kebarangkalian memperolehi kegagalan dalam satu percubaan.

Contoh 1:

Sebuah Syarikat Insuran mendapati bahawa 10% daripada tuntutan kerosakan adalah

disebabkan oleh kecurian. Jika 5 tuntutan dipilih secara rawak, selesaikan masalah di

bawah:

a) Cari kebarangkalian lebih daripada 4 tuntutan disebabkan oleh kecurian.

b) Sekurang-kurangnya 2 tuntutan bukan disebabkan oleh kecurian.

c) Dua hingga empat tuntutan disebabkan oleh kecurian

Penyelesaian:

a) X = bilangan tuntutan kerosakan yang disebabkan oleh kecurian.

X ~ B(n = 5, p = 0.1)

P ( x>4 )=P( x≥5 )=(55 )(0 .1)5 (0.9 )0 atau

= (0.1)5

b) P(x 2) = 1 – P(x 1)

[Daripada Jadual Binomial], p = 0.9 P(X 1)

= 0.7373

= 1 – [P(x = 0)] + P(x = 1)]

= 1 – 0.7373 = 0.2627

c) P(2 X 4) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)

= P(x 4) – P(x 1)

= 0.9997 – 0.7373

= 0.2624

17

P(X )=n CX . pX . qn-X

=n!X! (n - X )!

. pX . qn-X

P( x≥5 )=1−P (x≤4 )

= 1 – 0.9997

= 0.0003


Contoh 2:

Sebuah kotak mengandungi 6 guli biru dan 4 guli merah. 3 biji guli dikeluarkan dengan

gantian. Cari kebarangkalian berikut:

i) Kebarangkalian tiada guli biru yang didapati

ii) Kebarangkalian sekurang-kurangnya mendapat 1 guli biru.

Penyelesaian:

i) P(MMM) =

410

.4

10.

410

=0 . 064

Atau

X mewakili bilangan biru, nilai bagi x = 0, p = 6/10

P(x = 0) = (30 ) (0. 6 )0 (0 . 4 )3

= 0.064

ii) Sekurang-kurangnya satu bermakna 1 atau lebih biru.

X: bilangan biru yang didapati.

P(X≥1)=1−P( x≤0 )=1−0. 064=0 .936

Contoh 3:

Satu kajian mendapati 65% daripada semua pelanggan syarikat kewangan adalah amat

berpuas hati dengan institusi kewangan utama. Katakan 40 pelanggan syarikat kewangan

dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian hanya 23 daripada 40 pelanggan amat

berpuashati dengan institusi kewangan utama mereka.

Penyelesaian:

Nilai p ialah 0.65 (amat berpuas hati),

nilai q = 1 – p

= 1 – 0.65

= 0.35 (amat tidak berpuas hati),

n = 40,

X = 23.

Formula binomial menghasilkan jawapan berikut:

40C23(0.65)23(0.35)17 = (88732378800)(0.000049775)(0.000000)

18

1. Cari kebarangkalian mendapat nombor 6 timbul jika sebiji dadu

dilemparkan sekali.

2. Cari kebarangkalian nombor 6 timbul tepat 4 kali jika sebiji dadu

dilemparkan 10 kali.

3. Menurut bancian Jabatan Buruh, hampir 6% semua dari tenaga kerja

adalah tidak berkerja. Di dalam menjalankan bancian melalui telefon,

apakah kebarangkalian memperolehi dua atau kurang daripada

tenaga kerja tidak berkerja?

4. Satu kajian terhadap keluaran makanan di Malaysia mendapati

Nestle mengawal lebih kurang 10% bahagian pasaran untuk bijirin.

Katakan 20 pembeli bijirin adalah dipilih secara rawak daripada

populasi, apakah kebarangkalian kurang daripada empat pembeli

membeli keluaran Nestle?

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN = 0.0784

19

Latihan


Min, Varians dan Sisihan piawai

Taburan binomial mempunyai nilai terjangka atau purata jangka panjang, ditandakan

sebagai . Nilai ditentukan dengan n.p.

Sebagai contoh, jika n = 10 dan p = 0.4 maka = (10(0.4)) = 4.

Purata jangka panjang atau nilai terjangka bermakna jika n item dibuat persampelan di

dalam jangka panjang dan jika p adalah kebarangkalian memperolehi kejayaan bagi

satu percubaan, purata bilangan kejayaan bagi setiap sampel adalah dijangkakan

menjadi n.p.

Jika 40% dari semua guru pelatih di IPG adalah lelaki dan jika sampel rawak 10 guru

pelatih dipilih banyak kali, jangkaannya adalah, secara purata 4 daripada 10 guru

pelatih adalah wanita.

20

Min (μ ), varians (σ 2) dan Sisihan Piawai (σ ) Taburan Binomial

μ= n . pσ 2=√n . p .qσ=√n . p .q

TABUR

AN

KEBAR

ANGK

ALIAN

SELAN

JAR:

TABUR

AN

KEBAR

ANGK

ALIAN

NORM


21

TABUR

AN

KEBAR

ANGK

ALIAN

SELAN

JAR:

TABUR

AN

KEBAR

ANGK

ALIAN

NORM

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN4.1 Pengenalan kepada taburan Normal dan taburan Normal Piawai

Sifat-sifat taburan Normal

Taburan normal adalah simetri.

Setiap separuh daripada taburan ialah imej cermin daripada sebelah bahagian yang

satu lagi.

Kebanyakan jadual taburan normal mengandungi nilai kebarangkalian hanya untuk

satu bahagian taburan disebabkan nilai kebarangkalian bagi bahagian taburan yang

satu lagi adalah identikal dengan simetri.

Secara teorinya, taburan normal adalah asimtot kepada paksinya. Ia tidak menyentuh

paksi-X dan ia pergi terus di dalam setiap arah.

Realitinya ialah kebanyakkan penggunaan keluk normal adalah ujikaji yang

mempunyai limit finit bagi potensi hasil.

Sebagai contoh, keputusan ujian SAT yang dianalisis oleh taburan normal, skor SAT

hanyalah antara 200 hingga 800.

Keluk normal kadangkala dirujukkan sebagai keluk berbentuk lonceng. Ia adalah

unimodal di dalam nilai yang meningkat hanya di dalam satu bahagian graf, iaitu di

tengah-tengah keluk.

Taburan normal sebenarnya adalah keluarga keluk. Setiap nilai unik bagi min dan nilai

unik bagi sisihan piawai mempunyai keluk normal yang berlainan.

Sebagai tambahan, jumlah keluasan di bawah sebarang taburan normal adalah 1.

Keluasan di bawah keluk menghasilkan kebarangkalian, oleh itu jumlah semua

kebarangkalian bagi taburan normal ialah 1.

Disebabkan oleh taburan normal adalah simetri, keluasan taburan di setiap bahagian

keluk mempunyai min 0.5.

Taburan normal ini adalah mustahak di antara taburan-taburan yang lain dan sering

digunakan dalam statistik.

Jika pembolehubah rawak X tertabur secara normal dengan min dan varians 2,

secara ringkas ditanda dengan X~ N(, 2), maka fungsi ketumpatan kebarangkalian

bagi x ialah

22

f ( x )=1

√2π σe− 1

2σ2(x−μ )2

, −∞<x<∞ , σ>0

parameter : , 2 ,

: min populasi ,

2 : varian populasi

TABUR

AN

KEBAR

ANGK

ALIAN

SELAN

JAR:

TABUR

AN

KEBAR

ANGK

ALIAN

NORM

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Populasi normal biasanya mengandungi unsur-unsur yang terlalu banyak, iaitu nilai N

yang terlalu besar.

Populasi Normal ini diperihalkan oleh bentuk Histogram daripada Taburan Kekerapan

Relatif.

Oleh kerana populasi normal dianggap mempunyai cerapan-cerapan yang terlalu

banyak, selang kelas bagi Histogram Taburan Kekerapan Relatif boleh dipilih sekecil-

kecilnya sehingga Histogram tersebut kelihatan seperti satu lengkungan yang licin

seperti dalam Rajah di bawah.

Rajah Histogram Kekerapan Relatif Bagi Populasi Normal

23

Kek

erap

an R

elat

if

Tinggi

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Sifat-sifat taburan Normal Piawai

Bentuk dan tempat letaknya sesuatu lengkung normal bergantung kepada parameter

dan .

Jika dan diketahui, lengkung normal dapat diketahui dengan lengkapnya.

Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X mengambil nilai-nilai di antara X = a dan X

= b, dengan a<b, diwakili oleh luas di bawah lengkung yang berpadanan dalam selang (a,

b), iaitu:

Kesulitan wujud apabila kebarangkalian dihiting dengan mencari luas di antara dua nilai X di

bawah suatu lengkung normal.

Oleh itu, sifar luas lengkung normal diperlukan untuk rujukan segera.

Untuk tujuan ini, taburan normal dengan min 0 dan sisihan piawai 1 digunakan sebagai dan

ia disebut taburan normal piawai.

Persamaan bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian ialah:

Kita akan menggunakan huruf Z untuk mewakili suatu pembolehubah rawak noral piawai,

iaitu Z N (0 ,1).

Mencari luas di bawah taburan Normal

24


4.2 Taburan Normal: Mengira kebarangkalian

25

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Mencari kebarangkalian untuk taburan Normal

26


27


28


4.3 Taburan normal: mencari nilai

29

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Skor Z

Skor Z mewakili nombor nilai sisihan piawai di atas atau di bawah min bagi set nombor

apabila data adalah bertaburan normal.

Menggunakan skor Z membolehkan kita menterjemahkan nilai kasar jarak daripada

min kepada unit sisihan piawai.

Jika skor Z negatif, maka nilai kasar (X) adalah di bawah min dan sebaliknya.

Contoh 1:

Bagi set data yang bertaburan normal dengan min adalah 50 dan sisihan piawai 10,

tentukan skor Z bagi nilai 70 (X = 70).

Penyelesaian:

Nilai X = 70 adalah 20 unit di atas min, oleh itu:

Z=70 - 5010

=202

=+2 . 00

Skor Z ini menunjukkan skor kasar 70 adalah dua sisihan piawai di atas min.

Bagaimana skor Z ini ditafsirkan? Peraturan empirikal menyatakan bahawa 95% daripada

semua nilai adalah disekitar dua sisihan piawai dari min jika data adalah hampir bertaburan

normal. Nilai 70 adalah dua sisihan piawai di atas min ( Z = 2.00), 95% daripada nilai

adalah di antara 70 dan 30, iaitu dua sisihan piawai di bawah min (Z=30 - 50

10= -2 . 00)

.

Oleh kerana 5% daripada nilai diluar jeda dua sisihan piawai daripada min dan bertaburan

normal adalah simetri, 2.5% adalah di bawah nilai 30. Oleh itu, 97.5% daripada nilai

adalah di bawah 70. Disebabkan skor Z adalah bilangan sisihan piawai bagi nilai individu

data daripada min, peraturan empirikal boleh dinyatakan semula didalam sebutan skor Z.

30

Z =X - μσ

Di antara Z = -1.00 dan Z = +1.00 adalah hampir 68% daripada nilai

Di antara Z = -2.00 dan Z = +3.00 adalah hampir 95% daripada nilai

Di antara Z = -3.00 dan Z = +4.00 adalah hampir 99.5% daripada nilai


Rajah 4.3: Peratus Pecahan Skor Dua Sisihan Piawai daripada Min

JADUAL TABURAN NORMAL (z)z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

31

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993

3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995

3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997

3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

32

Nota:

Taburan di atas adalah satu sisi kanan (positif) (z ≥ 0).

Oleh kerana taburan normal berbentuk simetri dengan z = 0, maka taburan satu

sisi kiri (negatif) adalah sama seperti kawasan satu sisi kanan (positif).

P(–1.96 ≤ z ≤ 0) = 0.475, oleh itu:

P(–1.96 ≤ z ≤ 1.96) = 2(0.475)

= 0.95.


4.4 Taburan Pensampelan dan Teorem Had Memusat

Definisi Taburan persampelan

Persampelan meluas digunakan di dalam perniagaan untuk memperolehi maklumat

yang berguna berkaitan populasi.

Data adalah diambil daripada sampel dan kesimpulan adalah dibuat terhadap populasi

sebagai bahagian daripada proses pentaabiran statistik.

Sebagai contoh, katakan penyelidik mahu menjalankan kajian terhadap kepuasan

pekerja-pekerja kilang disekitar Kota Kinabalu. Untuk melakukan kajian ini, sampel

rawak pekerja-pekerja kilang dari beberapa kilang disekitar Kota Kinabalu akan dipilih.

Soal selidik yang dibuat dengan teliti akan digunakan untuk memperolehi data yang

dikehendaki. Penyelidik kemudiannya akan menganalisis data yang diperolehi dari

jawapan pekerja-pekerja yang telah dipilih. Ringkasan dan keputusan kajian akan

disediakan berdasarkan keputusan analisis yang diperolehi. Pihak pengurusan kilang

dan pembuat keputusan akan menggunakan lapuran keputusan kajian tersebut uantu

membantu mereka di dalam memperbaiki keadaan tempat kerja dan motivasi pekerja-

pekerja.

Biasanya sampel yang sempurna akan dapat memberikan maklumat yang amat

berguna di dalam proses membuat keputusan.

Taburan persampelan daripada min sampel

Di dalam proses statistik pentaabiran, sampel rawak adalah dipilih dari populasi,

statistik dikira berdasarkan sampel, dan kesimpulan adalah dibuat berkaitan parameter

populasi dari statistik.

Di dalam percubaan untuk menganalisis statistik sampel, biasanya kita perlu

mengetahui taburan statistik.

Di dalam bahagian ini, kita akan mengkaji min sampel, X , sebagai statistik. Min

sampel ialah statistik yang biasa digunakan di dalam statistik pentaabiran.

Untuk mengira dan menetapkan kebarangkalian terjadi sesuatu nilai bagi min sampel,

penyelidik mesti mengetahui taburan bagi min sampel.

Satu cara untuk menguji taburan kebarangkalian adalah mengambil populasi dengan

taburan tertentu, memilih sampel rawak bagi saiz tertentu, kira min sampel, dan cuba

untuk menentukan bagaimana mereka bertaburan.

33

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Katakan populasi finit yang kecil mengandungi hanya N = 8 angka: 54, 55, 59, 63, 64,

68, 69, 70.

Menggunakan histogram, kita lihat bentuk taburan bagi populasi data.

Katakan kita mengambil semua kemungkinan sampel bersaiz n = 2 daripada populasi

ini dengan penggantian. Keputusannya adalah sebagaimana pasangan data berikut:

(54,54) (55,54) (59,54) (63,54) (64,54) (68,54) (69,54) (70,54)

(54,55) (55,55) (59,55) (63,55) (64,55) (68,55) (69,55) (70,55)

(54,59) (55,59) (59,59) (63,59) (64,59) (68,59) (69,59) (70,59)

(54,63) (55,63) (59,63) (63,63) (64,63) (68,63) (69,63) (70,63)

(54,64) (55,64) (59,64) (63,64) (64,64) (68,64) (69,64) (70,64)

(54,68) (55,68) (59,68) (63,68) (64,68) (68,68) (69,68) (70,68)

(54,69) (55,69) (59,69) (63,69) (64,69) (68,69) (69,69) (70,69)

(54,70) (55,70) (59,70) (63,70) (64,70) (68,70) (69,70) (70,70)

34


Min bagi setiap sampel ini ialah

54.0 54.5 56.5 58.5 59.0 61.0 61.5 62.0

54.5 55.0 57.0 59.0 59.5 61.5 62.0 62.5

56.5 57.0 59.0 61.0 61.5 63.5 64.0 64.5

58.5 59.0 61.0 63.0 63.5 65.5 66.0 66.5

59.0 59.5 61.5 63.5 64.0 66.0 66.5 67.0

61.0 61.5 63.5 65.5 66.0 68.0 68.5 69.0

61.5 62.0 64.0 66.0 66.5 68.5 69.0 69.5

62.0 62.5 64.5 66.5 67.0 69.0 69.5 70.0

Sekali lagi, menggunakan histogram, kita boleh melihat bentuk taburan bagi min

sampel ini.

Perhatikan bentuk histogram bagi min sampel adalah lebih kurang sama bentuknya

histogram populasi. Min sampel kelihatannya memenuhi ke arah pertengahan taburan

dan mengecil kearah hujung taburan.

Walau bagaimanapun, min sampel yang diambil dari populasi ini menghampiri taburan

normal, terutamanya apabila saiz sampel bertambah besar.

35

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Apakah akan terjadi kepada taburan min sampel jika kita mengkaji populasi yang

mempunyai bentuk taburan yang berbeza? Jawapan akan diberikan di dalam teorem

had memusat.

Tafsiran Teorem Had Memusat

Teorem had memusat membentuk potensi penggunaan taburan normal kepada

banyak masalah apabila saiz sampel adalah cukup besar.

Min sampel yang hendak dikira dari sampel rawak yang dipilih daripada populasi yang

bertaburan normal adalah bertaburan normal.

Walau bagaimanapun, kebaikan sebenar teorem had memusat ialah bahawa sampel

data adalah diambil daripada populasi yang tidak bertaburan normal atau populasi

yang tidak diketahui bentuknya juga boleh dianalisis menggunakan taburan normal

kerana min sampel adalah bertaburan normal untuk sampel yang cukup besar

saiznya.

Lajur 1 Rajah 4.4 menunjukkan empat taburan populasi yang berbeza. Setiap lajur

yang bersebelahan menunjukkan bentuk taburan min sampel bagi saiz sampel yang

tertentu. Perhatikan dibaris bawah sekali bagi populasi yang bertaburan normal

menunjukkan min sampel adalah juga bertaburan normal apabila n = 2.

Perhatikan juga bagi lain-lain taburan populasi, taburan min sampel menghampiri

keluk normal apabila n menjadi semakin besar. Bagi semua empat taburan, taburan

min sampel menghampiri normal apabila n = 30.

36

Jika sampel bersaiz n diambil secara rawak daripada

populasi dan mempunyai min dan sisihan piawai , min

sampel X , adalah bertaburan normal bagi sampel saiz

yang cukup besar (n 30) menurut bentuk taburan

populasi. Jika populasi bertaburan normal, min sampel

adalah bertaburan normal bagi sebarang saiz sampel.

Dari jangkaan matematik, ia boleh ditunjukkan bahawa min

bagi min sampel ialah min populasi.

μX=μ

dan sisihan piawai bagi min sampel ialah sisihan piawai

populasi dibahagikan dengan punca kuasadua saiz sampel.

σ X¿ σ

√n

Teorem


Rajah 4.4: Bentuk Taburan Min Sampel bagi Tiga Saiz Sampel yang diambil dari Empat Taburan Populasi yang

Berbeza

Jika populasi adalah bertaburan normal, min sampel adalah bertaburan normal bagi

sampel saiz sekecil n = 1. Sebagaimana yang ditunjukkan di dalam Rajah 4.4,

taburan adalah semangkin tirus. Ini disebabkan sisihan piawai bagi min ialah σ

√n .

Nilai ini akan menjadi semangkin kecil apabila saiz n ditingkatkan.

Di dalam jadual 4.4.1, min dan sisihan piawai bagi min adalah ditunjukkan bagi

sampel rawak berbagai saiz (n = 2 hingga n = 30) diambil dari taburan seragam

dengan a = 10 dan b = 30. Min populasi ialah 20, dan sisihan piawai populasi ialah

5.774. Perhatikan min bagi min sampel bagi setiap saiz sampel adalah hampir 20 dan

sisihan piawai bagi min sampel bagi setiap set 90 sampel adalah hampir sama

denganσ

√n .

37

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Perbezaan yang kecil di antara sisihan piawai min sampel dan

σ

√n disebabkan tidak

semua sampel yang mungkin bagi sampel saiz yang diberi diambil dari populasi

(hanya 90).

Secara teorinya, jika semua kemungkinan sampel bagi sampel saiz yang diberi adalah

diambil, min bagi min sampel adalah sama dengan min populasi dan sisihan piawai

bagi min sampel adalah sama sebagaimana sisihan piawai dibahagi dengan punca

kuasa dua n.

Jadual 4.4.1 μX dan

σ X 90 Sampel rawak untuk Lima Saiz Sampel yang Berbeza

Saiz

sampelMin bagi Min Sampel Sisihan Piawai bagi Min Sampel

σ

√n

n = 2 19.92 3.87 20 4.08

n = 5 20.17 2.65 20 2.58

n = 10 20.04 1.96 20 1.83

n = 20 20.20 1.37 20 1.29

n = 30 20.25 0.99 20 1.05

Teorem had memusat menyatakan min sampel adalah bertaburan normal bergantung

kepada bentuk populasi untuk sampel yang besar dan bagi sebarang saiz sampel

dengan populasi yang bertaburan normal. Min sampel ini boleh dianalisis dengan

menggunakan skor Z. Ingat kembali bahawa skor-z adalah:

Jika min sampel adalah bertaburan normal, formula skor Z yang digunakan untuk min

sampel adalah:

Keputusan ini mengikut corak am skor Z: perbezaan di antara statistik dan min

dibahagi dengan stastistik sisihan piawai.

38

Z =X - μσ

Z=X - μX

σ X

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN Di dalam formula ini, min statistik yang diminati ialah

μX dan sisishan piawai yang

dikehendaki ialah σ X , kadang kala dirujukkan sebagai ralat piawai bagi min.

Untuk menentukan μX , penyelidik mesti mempunyai pilihan rawak daripada semua

kemungkinan sampel untuk saiz daripada populasi, kirakan min sampel, dan

mempuratakannya.

Tugas ini adalah mustahil untuk disiapkan di dalam masa yang realistik. Oleh yang

demikian, μX adalah sama sebagaimana , yang mana mudah untuk diperolehi.

Disamping itu, untuk menentukan nilai σ X , penyelidik perlu mengambil semua

kemungkinan sampel bagi saiz yang diperlukan dari populasi, kirakan min sampel, dan

tentukan sisihan piawai bagi sampel.

Kerja ini juga adalah mustahil. Oleh itu, σ X boleh dikira dengan menggunakan

sisihan piawai populasi dibahagikan dengan punca kuasa dua saiz sampel.

Apabila sampel saiz meningkat, sisihan piawai bagi min sampel menjadi kecil dan kecil

disebabkan sisihan piawai populasi dibahagikan dengan nilai yang semakin besar

punca kuasa dua n. Kebaikan utama teorem had memusat ialah praktikal, versi yang

amat berguna bagi formula Z untuk min sampel.

Apabila populasi adalah bertaburan normal dan saiz sampel adalah 1, formula ini bagi

min sampel akan menjadi formula Z yang asal bagi nilai individu. Ini disebabkan min

bagi nilai satu ialah nilai tersebut, dan apabila n = 1 nilai.

39

Formula Z bagi Min Sampel

Z = X - μ

( σ

√n )

σ

√n=σ


Kebarangkalian dan Teorem Had memusat: Mencari kebarangkalian untuk taburan

pensampelan

Contoh 1:

Min perbelanjaan per pelanggan di pasar raya ialah RM85.00, dengan sisihan piawai

RM9.00. Jika sampel rawak 40 pelanggan diambil, apakah kebarangkalian purata

sampel perbelanjaan per pelanggan bagi sampel ini adalah RM87.00 atau lebih?

Penyelesaian:

Disebabkan saiz sampel adalah lebih besar daripada 30, teorem had memusat boleh

digunakan, dan min sampel adalah bertaburan normal. Dengan = RM85.00, =

RM9.00 dan formula Z bagi min sampel, Z dikira sebagai:

Z =X - μ

(σ√n )

= RM87 .00 - RM85 . 00

(RM9 . 00

√40 )

=RM2 . 00RM1 . 42

= 1 . 41

Untuk Z = 1.41 di dalam taburan Z, kebarangkaliannya ialah 0.4207. Ia adalah

kebarangkalian memperolehi min di antara RM87.00 dan min populasi, RM85.00.

Menyelesaikan untuk hujung taburan menghasilkan:

0.5000– 0.4207 = 0.0793

dimana kebarangkalian X RM87.00. Iaitu, 7.93% dari sampel rawak 40 pelanggan

dari populasi ini akan menghasilkan min perbelanjaan RM87.00 atau lebih.

40

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARANRajah dibawah menunjukkan masalah ini dan penyelesaiannya.

41


Contoh 2:

Katakan dalam sata satu jam di dalam pasaraya yang besar, purata bilangan

pelanggan ialah 448, dengan sisihan piawai 21 pelanggan. Apakah kebarangkalian

sampel rawak 49 jam membeli belah yang berbeza akah menghasilkan min sampel

antara 441 dan 446 pelanggan?

Penyelesaian:

Bagi masalah ini, = 448, = 21, dan n = 49. Masalahnya ialah untuk mencari P(441

X 446). Gambar rajah di bawah meenerangkan masalah tersebut.

Menyelesaikan masalah ini dengan mengira skor Z.

Z =441 - 448

(21

√49 ) =-7

3= -2 . 33

dan

42


Z =446 - 448

(21

√49 ) =-2

3= -0 . 67

Kebarangkalian nilai Z = -2.33 ialah 0.4901 dan kebarangkalian nilai Z = -0.67 ialah

0.2486. Oleh itu kebarangkalian nilai Z di antara Z = -2.33 dan Z = 0.67 ialah 0.4901 –

0.2486 = 0.2415. Oleh yang demikian, terdapat 24.15% peluang memilih secara

rawak tempoh masa 49 jam untuk memperolehi min sampel di antara 441 dan 446

pelanggan.

4.5 Penghampiran Normal kepada taburan Binomial

Adalah sangat menarik untuk dipaparkan bahawa walaupun taburan normal merupakan

taburan selanjar, ianya boleh digunakan untuk dibuat penghampiran bagi taburan

Binomial.

Penghampiran ini dianggap baik sekiranya sampel saiz n besar dan p tidak terlalu

hampir kepada 0 atau 1.

Sebagai panduan, penghampiran Normal boleh digunakan sekiranya n 20 dan 0.05

< p < 0.95, nilai np 5 dan nq 5. Secara ringkasnya boleh dinyatakan,

Apabila n besar dan np 5 dan nq 5,

X N( = np, 2 = npq)

Maka,

Oleh kerana taburan Binomial adalah diskrit dan taburan normal adalah selanjar, maka

diperlukan Pembetulan Faktor Keselanjaran iaitu dengan menolak atau menambah 0.5

ditempat yang sepatutnya.

Sebagai panduan;

43

P(X k ) = p(X k + 0.5)

P(X k) = p(X k – 0.5)

P(X = k) = p(k x k + 1)

= p(k – 0.5) X (k + 1) – 0.5)

Z= X−μσ

= X−np

√npq~ N (0, 1 )

X ~ N(np, npq)


Contoh 1:

Misalkan X ~ B(n = 20, P = 0.3). Cari P(5 X 10)

Penyelesaian:

Kebarangkalian X di antara 5 dan 10 boleh ditunjukkan dengan Rajah di bawah:

Rajah: Taburan Binomial dengan n = 20, p = 0.3 Dengan Taburan Normal superimposed dengan = 6, = 2.05

P(5 X 10) adalah kawasan yang dilorekkan dalam rajah atas. Kita akan

selesaikan masalah ini iaitu dengan menggunakan Taburan Binomial, Penghampiran

Normal Tanpa Pembetulan Faktor keselanjaran dan Penghampiran Normal Dengan

Faktor Keselanjaran.

P(5 X 10) dengan menggunakan Jadual Binomial:

P(x 10) – P(x 4) = 0.9829 – 0.2375 = 0.7454

Penghampiran Normal Tanpa Pembetulan Faktor Keselanjaran

P(5≤X≤10 )≈P ( 5−62 .05

≤X≤10−62. 05 )

44

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN= P(0.49 < Z < 1.95) = 0.9744 – 0.3121 = 0.6623

Penghampiran Normal Dengan Pembetulan Faktor Keselanjaran

P(5 X 10) P(4.5 X 10.5)

= P( 4 .5−6

2 . 05<Z≤10. 5−6

2 . 05 )= P(-0.73 Z 2.20) = P(Z 2.20) – P(Z - 0.73)

= 0.986 – 0.2327 = 0.7534

∴Daripada contohdi atas , jelaslah di sinibahawa denganmenggunakan pembentulan

faktor keselanjaranmemberikan nilai yanghampir kepadaTaburan Binomial .

Contoh 2:

Misalkan 40% daripada pelajar yang mengambil kursus MTK 3003 pada semester

lepas telah mendapat gred C. Jika 100 orang pelajar dipilih secara rawak apakah

kebarangkalian lebih daripada 30 orang telah mendapat gred C.

Penyelesaian:

X : bilangan pelajar yang mendapat gred C. X ~ B(n = 100, p = 0.4)

Oleh kerana n besar dan np dan nq > 5, maka:

X N( = np = 100 x 4 = 40, 2 = npq = 100 x (0.4)(0.6) = 24)

Maka,

P(X > 30) = P(X 31) P(X 30.5)

= 1 – P(X 30.5)

= 1−P(Z≤30 .5−40

4 .8990 )=1−P(Z<−1 .94 )

= 1 – 0.0262 = 0.9738

45


Contoh 3:

Sejenis bateri storan pada puratanya dapat digunakan selama 3 tahun dengan sisihan

piawai 0.5 tahun. Anggap hayat/umur bateri tersebut tertabur secara normal.

Selesaikan:

1. Jika sebuah bateri dibeli, cari kebarangkalian bahawa bateri tersebut boleh

digunakan selama:

a) kurang daripada 2.3 tahun.

b) lebih besar daripada 4.25 tahun

2. Jika min hayat 1000 bateri storan adalah boleh digunakan selama 3 tahun dengan

sisihan piawai 0.5 tahun, kirakan berapa buah bateri yang boleh digunakan di

antara 2.32 hingga 4.65 tahun.

3. 2.5% tertinggi daripada umur bateri adalah lebih daripada berapa tahun?

Penyelesaian:

Soalan 1

a)

2. P(2.32 < X < 4.65)

P( 2 .32−3

0. 5<Z< 4 .65−3

0 .5 )=P(−1 .36<Z<3 . 3)

= P(Z < 3.3) – P(Z < - 1.36)

= 0.9995 - 0.0869

= 0.9126

Bilangan bateri yang boleh digunakan di antara 2.32 hingga 4.65 tahun adalah

sebanyak (1000 x 0.9126) = 9126.

46

P(X<2. 3)=P(z<2 .3-30 .5 )

=P (z<−1 . 4 )=0.0808

P(X>4 . 25)=P(Z>(4 .25-3 )0. 5 )

=P (Z>2 .5 )=1−P(Z<2 . 5)= 1 - .9938 = 0. 0062

b)

MTE 1034 Kebarangkalian IPGK KENT TUARAN3.

P(X > x0) = 0.025

P(X < x0) = 0.975

P(Z<x0−3

0. 5 )=. 975 , P(Z<1. 96 )=0. 975

x0−3

0 .5=1 .96 , x0=0.98+3=3 .98

RUJUKAN

Abdul Hadi Yaakub dan Ong Beng Sim. (2013). Mathematics for Matriculation. Selangor Darul

Ehsan. Oxford Fajar Sdn.Bhd.

Mansoh Jusoh. (1986). KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan

Pustaka Kementerian Pelajaran Malaysia.

Pa Ismail. (1985). Kebarangkalian. Kuala Lumpur: Dewan Pusaka Kementerian Pelajar Malaysia.

Soon Chin Loong dan Lau Too Kya. (2012). Per-U Text STPM Mathematics (T) Third Term. Kuala

Lumpur. Pearson Malaysia SDN BHD.

Stefan Waner. (2000). Probability. Muat turun 1 September 2013, dari

http://people.hofstra.edu/stefan_waner/RealWorld/Summary6.html

Tan Chong Eng, Lye Min Soon dan Khor Bean Hwa. (2004). Pure and Statistics. Selangor Darul

Ehsan. Oxford Fajar Sdn.Bhd.

47


48

LAM

PIRA

N

taburan kebarangkalian diskret 1

Documents