taburan kebarangkalian diskret 1

Download Taburan Kebarangkalian Diskret 1

Post on 03-Dec-2015

91 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

1

TRANSCRIPT

MTE 1034 KebarangkalianIPGK KENT TUARAN

3.0 TABURAN KEBARANGKALIAN DISKRET

3.1 Taburan Kebarangkalian Pembolehubah rawakPembolehubah rawak adalah sesuatu set X yang unsurnya ialah nilai yang merupakan kesudahan yang ditentukan dalam satu ujikaji ialah suatu pembolehubah rawak.

Dalam suatu kajian tentang rekod permainan pasukan bola sepak Jinjang dalam dua permainan yang lalu, kita boleh merekodkan keputusan setiap permainan sebagai menang (M), seri (S), atau kalah (K). Oleh itu, ruang sampel ialah . Namun demikian, adakalanya kita hanya ingin mengetahui bilangan kemenangan dalam dua permainan itu. Maka nombor yang terlibat ialah . Jika ia dipindah dalam bentuk set :

Nombor 0, 1, 2 boleh dianggap sebagai nombor yang timbul secara rawak.Maka set dikenali sebagai satu pembolehubah rawak.

Contoh 1:3 benda dipilih secara rawak daripada satu proses pengeluaran. Setiap benda diperiksa dan dikelaskan sebagai cacat atau baik. Jika X mewakili bilangan benda yang baik, apakah nilai X yang mungkin?Penyelesaian:S = {BBB, CCC, CCB, BCC, CBC, BCB, CBB, BBC}

Umpukkan nombor untuk setiap unsur di ruang sampel S.X : Bilangan benda yang baik.x = 0, 1, 2, 3

Contoh 2:4 biji bola dikeluarkan daripada satu kotak yang mengandungi 4 bola merah dan 6 bola hitam, jika X mewakili bola merah yang didapati, apakah nilai-nilai yang mungkin?i) tanpa pengembalian. ii) dengan pengembalian. Penyelesaian:i) Bilangan titik di ruang sampel S ialah 10C4X : Bilangan bola merah didapatix = 0, 1, 2, 3, 4ii) Bilangan titik di ruang sampel S ialah 104X : Bilangan bola merah yang didapatix = 0, 1, 2, 3, 4

Contoh 3:Sekeping syiling dilambung 3 kali. Jika X mewakili bilangan kepala yang timbul, senaraikan nilai-nilai yang mungkin bagi X.Penyelesaian:S = {HHH, TTT, TTH, HHT, THH, HTT, HTH, THT}X : bilangan kepala yang timbul. Berikan nilai untuk setiap titik di ruang sampel, iaituHHH : berikan nilai 3 TTH : berikan nilai 1TTT : berikan nilai 0 HHT : berikan nilai 2 dan seterusnya

Nombor-nombor 0, 1, 2, 3 adalah cerapan-cerapan rawak dan nilainya ditentukan daripada suatu ujikaji. Maka bilangan kepala yang timbul ialah pembolehubah rawak ditandakan dengan X.x : nilai yang diberikan X ialah = 0, 1, 2, 3

Latihan1. 3 biji guli dikeluarkan tanpa gantian daripada sebuah kotak yang mempunyai 4 guli merah dan 6 guli biru. Jika X mewakili bilangan merah yang didapati, apakah nilai-nilai X yang mungkin?2. Seorang kerani stor mengembalikan tiga topi keledar secara rawak kepada 3 orang pekerja kilang besi yang memang mengenali topi masing-masing. Jika Ang, Cheong dan Lee, mengikut tertib ini, menerima satu topi seorang daripada tiga buah topi ini, tentukan nilai-nilai bagi X di mana X adalah bilangan padanan yang betul.3. Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak 3 kali. Tentukan pembolehubah rawak X yang mewakili bilangan kali mendapat angka.4. Untuk mengkaji kefahaman seorang budak tentang suatu konsep, dia dikehendaki menjawab dua soalan. Bagi jawapan yang betul, budak itu diberikan 2 mata dan 1 mata akan ditolak jika jawapanya salah. Jika pembolehubah rawak X ialah bilangan mata yang diperoleh, cari nilai-nilai yang mungkin bagi X.

Taburan kebarangkalian diskret Pembolehubah adalah diskret jika ia hanya boleh dianggap sebagai beberapa nilai yang boleh dikira (terhingga atau tak terhingga). Pembolehubah diskret yang hasil daripada pengiraan mempunyai nilai integer. Contoh pembolehubah diskret adalah: Bilangan pokok, x, dalam satu hutan. Bilangan budak, y, sedang menonton televisyen. Bilangan cip computer, z, dihasilkan dalam satu tahun. Pembolehubah rawak diskret A boleh ditulis sebagai A = 1, 2, 3, 4, 5 iaitu nilai-nilai yang A boleh ambil adalah 1 atau 2 atau ... 5. Katakan X ialah pembolehubah diskret dengan nilai-nilai , , ..., dan setiap diperuntukakan kebarangkalian P(X=).

Jika = 1, maka X adalah pembolehubah rawak diskret.

Contoh 1:Sebuah kotak mengandungi tiga guli yang sama dengan menandakan A, B, dan C. Satu permainan dijalankan dengan memilih dua guli satu demi satu secara rawak dari kotak dengan pengembalian. Seorang pemain mendapat 3 mata jika dia terpilih guli A, 2 mata jika dia terpilih guli B, dan 1 mata jika dia terpilih guli C. Jumlah mata yang diperolehi daripada dua guli diambil kira. Menunjukkan bahawa mata yang diperolehi daripada pemain adalah taburan kebarangkalian diskret.Penyelesaian:Ruang sampel bagi setiap percubaan adalah:S = Katakan X mewakili skor pemain, oleh itu:

) Oleh itu, X adalah taburan kebarangkalian diskret.

Contoh 2:Satu patrol pengakap mempunyai seramai 8 orang ahli, 3 ahli memiliki lencana basikal, dua ahli dari patrol dipilih secara rawak, dan X mewakikan bilangan yang memiliki lencana basikal. Tunjukkan bahawa X ialah pembolehubah rawak diskret.Penyelesaian:Katakan B = ahli yang mendapat lencana basikal. B = ahli yang tidak dapat lencana basikal.Ruang sampel = Maka nilai-nilai yang mungkin bagi X ialah 0, 1, dan 2.

Maka X ialah suatu pembolehubah rawak diskret.

Contoh 3:Diberi dan P ialah fungsi taburan kebarangkalian yang ditakrifkan kepada unsur Y dengan petua:

Tunjukkan bahawa Y ialah pembolehubah rawak diskret dan cari:a) Taburan kebarangkalian bagi Y.b) P(Y 2)Lukiskan graf taburan kebarangkalian bagi Y.Penyelesaian: Oleh itu, Y ialah satu pembolehubah rawak diskret.a) Taburan kebarangkalian Y ialah:0246Jumlah

1

b) Graf taburan kebarangkalian bagi Y adalah seperti berikut:

Contoh 4:Pembolehubah rawak diskret U mempunyai fungsi taburan kebarangkalian P yang ditakrifkan sebagai

Cari nilai k. Seterusnya, caria) Jadual taburan kebarangkalian bagi U.b) Penyelesaian: Diberi U ialah suatu pembolehubah rawak diskret, maka a) Jadual taburan kebarangkalian bagi U ialah:2357810Jumlah

0.100.150.250.140.160.201

b)

1. ialah suatu pembolehubah dengan satu fungsi yang ditakrifkan seperti dalam jadual yang berikut.Tunjukkan bahawa X ialah suatu pembolehubah rawak diskret dengan fungsi taburan kebarangkalian P.2. Sekeping syilling dilambung 3 kali. Jika X mewakili bilangan kepala yang timbul, senaraikan nilai-nilai yang mungkin bagi X dan carikan fungsi kebarangkalian bagi x.3. 3 biji guli dikeluarkan tanpa gantian daripada sebuah kotak yang mempunyai 4 guli merah dan 6 guli biru. Jika X mewakili bilangan merah yang didapati, apakah nilai-nilai X yang mungkin.Seterusnya cari fungsi kebarangkalian bagi x.4. Y ialah suatu pembolehubah dengan kebarangkalian bagi unsurnya diberi sebagai

Tunjukkan bahawa Y ialah suatu pembolehubah rawak diskret dengan fungsi kebarangkalian P.5. Taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskret diberi oleh bagi setiap x berkenaan.a) Cari nilai m.b) Dapatkan taburan kebarangkalian bagi X.c) Cari d) Cari Latihan

Min, Varians, Sisihan Piawai1) Min (Nilai Jangkaan) Nilai min bagi sesuatu pembolehubah rawak disebut sebagai nilai jangkaan atau jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret yang diberikan simbol atau Katakan X adalah satu pembolehubah rawak diskret dengan fungsi kebarangkalian maka nilai ditakrifkan sebagai nilai jangkaan atau jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak tersebut.Mean,

Jika kebarangkalian mendapatkan nilai , , dan masing-masing adalah , , dan , maka jangkaan matematiknya ialah:

XP(x)

2) Varians dan Sisihan Piawai Varians adalah satu pembolehubah rawak X yang disumbangkan oleh atau Var(X). Ia ditakrifkan sebagai nilai min kuasa dua daripada sisihan X dari nilai jangkaan :Variance,

Varians boleh dinyatakan dalam bentuk yang lain yang lebih mudah untuk digunakan dalam pengiraan yang melibatkan kuantiti ( yang bukan integer.Variance,

Oleh itu:Variance,

Sisihan piawainya adalah:

Varian dan sisihan piawai bagi data krisis di dalam Jadual adalah dikira dan ditunjukkan di dalam Jadual. Min data krisis adalah 1.15 krisis. Sisihan piawai ialah 1.19 krisis dan varian ialah 1.41.Pengiraan Varian dan Sisihan Piawai Data KrisisXP(X)(X - )2(X - )2.P(X)

00.37 (0-1.15)2 = 1.32(1.32)(0.37) = 0.49

10.31 (1-1.15)2 = 0.02(0.02)(0.31) = 0.01

20.18 (2-1.15)2 = 0.72(0.72)(0.18) = 0.13

30.09 (3-1.15)2 = 3.42(3.42)(0.09) = 0.31

40.04 (4-1.15)2 = 8.12(8.12)(0.04) = 0.32

50.01(5-1.15)2 =14.82(14.82)(0.01) = 0.15

(X-)2.P(X) = 1.41

Varian 2 = [(X-)2.P(x) = 1.41

Sisihan piawai, = = 1.19 krisis

Contoh 1:Pembolehubah rawak diskret X mempunyai taburan kebarangkalian seperti berikut:X=x12345

P(X=x)0.10.30.30.20.1

(a) Carikan min X.(b) Carikan varians X.Penyelesaian:(a) Mean, (b) Variance,

Contoh 2:Katakan 20% daripada penduduk Kuala Lumpur mengemari Pepsi sebagai pilihan minuman ringan mereka. Jika sampel rawak 6 responden yang dipilih, bilangan pengemar Pepsi adalah antara 0 dan 6. Ditunjukkan di sini kebarangakalian bilangan pengemar Pepsi di dalam sampel. Gunakan data ini untuk menentukan min bilangan pengemar Pepsi di dalam sampel 6 responden di Kuala Lumpur dan kirakan sisihan piawai.Bilangan Pengemar PepsiKebarangkalian

00.262

10.393

20.246

30.082

40.015

50.002

60.000

Penyelesaian:Min adalah dikira sebagaimana berikut:Bilangan Pengemar Pepsi (X)Kebarangkalian P(X)X.P(X)

00.2620.000

10.3930.393

20.2460.492

30.0820.246

40.0150.060

50.0020.010

60.0000.000

[X.P(X)] = 1.201

= E(X) = [X.P(X)] = 1.201

Nilai terjangka pengemar Pepsi ialah 1.201.XP(X)(X-)2(X-)2.P(X)

00.2621.4420.378

10.3930.0400.016